E3A Maths A PSI 2009

Thème de l'épreuve Trois façons de calculer 0+∞sin xxdx
Principaux outils utilisés intégrales curvilignes, intégrales doubles, intégrales à paramètre, fonctions de deux variables, arcs paramétrés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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E' 3 5
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

' Applications simples du cours
Rappels.

Soit I = [a, b] (avec a < b) un intervalle de R et U un ouvert de R2.

On considère : V : (:::, y) E U r--+( âÊî' % )un champ de vecteurs et 'y un arc 
orienté du plan de paramétrage :

t .
t E I r---->( OE( ) ) , de classe Cl par morceaux sur I, parcouru dans le sens 
des t crmssants.

On rappelle que la circulation de V le long de 7, notée / V se calcule par la 
formule :

ÂV = [{ ( P(m,y)doe + Q(x,y)dy )

On suppose P et Q de classe C1 sur U. L' arc 'y est supposé fermé, sans point 
double et parcouru dans le sens trigonométrique
Il délimite un domaine G d'un seul tenant, inclus dans U.

On rappelle la formule de Green--Riemann .

/V =//G (%Ë- ($ y) --- ÿf_(æ y)) dædy

Dans cette question uniquement, on prend G = { (a:, y) EUR R2, y 2 x2

et 3/2 < a:} et pour 'y l'arc frontière délimitant ce domaine,

parcouru dans le sens trigonométrique.
1.1. Représenter le domaine G et 7.

1.2. Calculer directement, en paramétrant l'arc : ] V avec P : (a:,y) i--> 2æy 
-- 332 et Q : (a:,y) i----> a: + y2.
"r

1.3. Retrouver le résultat précédent en utilisant la formule de Green--Riemann.

8
On suppose que les deux fonctions P et Q vérifient : pour tout (a:, y) EUR R2, 
âE--(æ, y) : ô--y(oe, y).

2.1. Que vaut : /V?
"Y

2.2. Donner un exemple de champ de vecteurs V, non identiquement nul, et 
vérifiant la propriété :
@@ ôP

V, EURR2,--,=--,.
($ 31) 85EUR ($ y) ay ($ 9)
1
3.1. Démontrer que les intégrales curvilignes suivantes : A1 : / ædy, A2 : ---- 
/ ydm et A3 : ê [ (oedy -- ydoe)
7 7 7

sont égales.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
æ(t) : cos3 t

31 (t) : sin3 t ) dans un repère

3.2. Représenter graphiquement l'arc orienté 7 d'équations paramétriques : t E 
[--7r, 7r] H (

----a -->
orthonormé (O, 6 , j ) direct.
On précisera les tangentes aux points singuliers.

3.3. Déterminer l'aire délimitée par la courbe 7.

Problème
Préliminaires
2

1. Illustrer graphiquemth la double inégalité : Vt EUR [O, % ] , -- t < sint < 
t.
7r

+oo --
,, , smt
2. On veut montrer que l 1ntegrale / --t-- dt est convergente.
()
sint
On pose alors, pour tout t > O, cp(t) : --t----.

2.1. Vérifier que cp est prolongeable par continuité sur l'intervalle [O, 1].

2.2. Pour tout a: > 1, on définit çb : :c r--> çb(cc) = / go(t) dt.
1

&: t2

2.3. Prouver que d)(oe) tend vers une limite finie lorsque 3: tend vers +00.

cos " cost
Montrer que l'on a : Va: > 1, $(æ) : cosl -- oe --- / -- dt.
1

_ _ +°° sint
2.4. Dédu1re de ces résultats que l'intégrale / T dt est convergente.
0

+00 -
Partie 1 : Une première façon de calculer I = / SITnt dt
()
Soient les deux fonctions :

e--y
.'L'2 + y2
6--3!
322 + y2

P:(æ,y)t-->P(OE,y)= [msinoe--ycosoe]

[oecosoe +ysinoe]

@ : (tm) ...... Q(OEyy) =

et V le champ de vecteurs : (m'y) ,__) ( P(OE7y) )

Q(fl% y)

Justifier le fait que P et Q sont deux fonctions de classe C'1 sur tout domaine 
U de R2 ne contenant pas l'origine.

Question 2.

Soit 7 un arc fermé sans point double, n'entourant pas l'origine et parcouru 
dans le sens trigonométrique.

Démontrer que : / V = O.
.),

On considère F l'arc de cercle de rayon p > 0 paramétré par : 6 EUR {O, %] 
+----> ( ËÊZ% Î '; gïg ) et on note Ap l'intégrale :

Ap = /F (P(oe,y) dæ + Q(æ,y) dy).

% .
3.1. Montrer que *: Ap = / 67 ps..." cos(pcos 9) d6.
0

3.2. Calculer : lim Ap.
p-->0+

3.3. Montrer que : lim Ap = O.
P--*+00

On pourra, par exemple7 utiliser les préliminaires.

Soient 'r et R deux réels tels que : 0 < r < R. On considère l'arc '7 constitué 
par :

'yl : le segment [A1,A2] où A1 = (730) et A2 = (R, O),

fy2 : le quart de cercle de centre O et de rayon R reliant A2 à A3 = (O, R),
73 : le segment [A3, A4] où A4 = (O', 7"),

74 : le quart de cercle de centre O et de rayon ?" reliant A4 à A1.

4.1. Représenter graphiquement l'arc orienté 7 dans un repère orthonormé (O, ?, 
?) direct
R sina:

4.2. Montrer que : / V :] dx.

71 ?" $
4.3. Vérifier que : / V = O.

73

_ _ , , , , _ +°° sinoe
4.4. En utilisant les resultats precedents, determiner la valeur de I = a: dx.
0
+00 sin t
Partie 2 : Une deuxième façon de calculer I = / ------£-- dt
0

% cost sin 2nt % sin 2nt
On pose, pour tout T:. E N* , un = / ---------(----)-- dt et on -- / 
----(------2 dt.
0 smt 0 73

1.1. Vérifier que un et 'Un existent pour toute valeur de l'entier naturel n 
non nul.

1.2. En calculant un+1 -- u... montrer que un est indépendante de n et donner 
sa valeur.

Soit h une fonction de classe C1 sur un segment [a, fil à valeurs dans R.

5 .
On pose, pour tout m E N , H... = / h(t) e'mt dt.

0!

Montrer, en utilisant une intégration par parties que : lim H... = O.
m--+ OO

Ce résultat est connu sous le nom de Lemme de Riemann--Lebesgue.

1
Montrer que la fonction h : t r--> h(t) : Î __

4.1. Calculer : lim ('Un ---- un).

cost

7r
est prolongeable en une fonction de classe C'1 sur [D, --2--} .

sin t

n-->+oo
4.2. En déduire la valeur de I = / s1na: das.
0 33
+00 sint
Partie 3 : Une troisième façon de calculer ] = / --t------- dt
0

Soit U E Rï. On note A = [O, u] X [0,15] et J = // (sin :::) e_""y doedy
A

Donner une primitive de la fonction sc n--> (sin a:) e"°"" où a E R*.

" 1 --- e'y"(cosu + ysinu)

u
En utilisant l'inté ale J , montrer ne : 1 ---- e"""' da: = ] 
------------------ d .
gr (1 /0 $ [ ] 0 1 + y2 y

u ' u S' S
On note alors : K1 = / e""'" s1næ da: et K2 = / w--+--2CÆ e"yu dy.
0 33 0 1 + y
3.1. Prouver que : lim K1 = O.

u-->+oo

3.2. En utilisant une majoration, déterminer : lim Kg.
u--> 00

sin 3:

dcr.

+00
3.3. Retrouver alors la valeur de I = /
0

+00
4.1. Montrer que l'intégrale ]
0

(L'

sin2 a:
da: est convergente.

OE2
sin2 a:

doe.

+oo
4.2. En utilisant le résultat de la question 3.3. calculer la valeur de / 2
0 33

Fin du problème.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Silvère
Gangloff (ENS Ulm) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Cette épreuve propose de calculer de trois manières différentes l'intégrale
Z +
sin x
I=
dx
x
0
Elle fait appel à une large part du programme d'analyse des deux années de 
prépa.
Bien que long et demandant parfois une certaine technicité dans les calculs, 
l'énoncé
est rédigé de manière à ce que les questions à l'intérieur d'une même partie 
s'enchaînent très facilement, de sorte que l'on n'est jamais pris au dépourvu.
Après des « applications simples du cours » et des « préliminaires » qui seront
utiles par la suite, trois parties indépendantes présentent chacune une façon 
de calculer I.
· La partie d'applications du cours permettait aux correcteurs de s'assurer que 
le
candidat maîtrisait la formule de Green-Riemann et son application au calcul
de l'aire délimitée par un arc fermé et sans point double. Les chapitres 
associés
à ces concepts sont en général les moins bien connus ; remarquons cependant
que la formule de Green-Riemann est rappelée et que les questions sont simples
et bien introduites.
· La partie préliminaire établit une inégalité de convexité sur la fonction 
sinus
et montre que l'intégrale I est bien définie. Ses questions, très classiques, ne
devraient pas poser de problème à un candidat sérieusement préparé.
· La première partie propose l'intégration d'un champ de vecteurs sur un contour
bien choisi pour en déduire la valeur de I.
· La deuxième partie est abordable avec le programme de première année, mais
elle nécessite de la rigueur sur les développements limités et les prolongements
de fonctions.
· Enfin, la dernière partie propose d'évaluer de deux manières une intégrale
double pour en déduire une troisième fois la valeur de I.
Ce sujet, bien qu'élémentaire, est assez long pour une épreuve de trois heures.
Il constitue un bon entraînement sur les fonctions de plusieurs variables, les 
intégrales
curvilignes et les intégrales doubles.

Indications
Applications simples du cours
A.1.2 Utiliser le paramétrage

2

 [ -1 ; 1 ] - R
 2
p:
(t , -t) si t  [ -1 ; 0 ]

t
7-

(t, t2 )
si t  ] 0 ; 1 ]

En notant p = (p1 , p2 ), on a alors
Z
Z 0

V=
P(p1 (t), p2 (t))p1 (t) + Q(p1 (t), p2 (t))p2 (t) dt

-1
Z 1

+
P(p1 (t), p2 (t))p1 (t) + Q(p1 (t), p2 (t))p2 (t) dt
0

A.2.1 Appliquer la formule de Green-Riemann.
A.3.1 Ici encore, c'est une conséquence de la formule de Green-Riemann.
A.3.2 Les points singuliers sont définis par l'annulation du vecteur   (t). 
Penser à
réduire le domaine d'étude, avant de représenter graphiquement l'arc.
A.3.3 Utiliser la question A.3.1.
Préliminaires
P.2.1 Effectuer un développement limité à l'ordre de 1 de sin en 0.
P.2.2 Effectuer une intégration par parties, en intégrant t 7 sin t et en 
dérivant
t 7 1/t.
P.2.3 Utiliser le fait que t 7 1/t2 est intégrable sur [ 1 ; + [.
Partie I
I.2
I.3.2
I.3.3
I.4.2

Utiliser la question P.2.1, et ne pas avoir peur de se lancer dans les calculs !
Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégral.
Minorer la fonction sinus par t 7 2/t.
Sur un segment horizontal contenu dans l'axe (Ox), paramétrer par l'abscisse.
Z
I.4.4 Décomposer l'intégrale V en l'intégrale sur chacun des morceaux i , puis

utiliser les résultats des questions I.4.2 et I.4.3. Faire ensuite tendre r 
vers 0
et R vers +, en utilisant les résultats des questions I.3.2 et I.3.3.
Partie II
II.1.1 En procédant par développements limités au voisinage de zéro, montrer que
les intégrandes se prolongent en des fonctions continues sur [ 0 ; /2 ].
II.1.2 Utiliser successivement les identités trigonométriques suivantes, 
valables pour
tout (p, q)  R2 :

p+q
p-q
sin p - sin q = 2 sin
cos
2
2
et

cos p + cos q = 2 cos

p-q
2

cos

p+q
2

II.3 Montrer que h se prolonge en une fonction continue sur [ 0 ; /2 ], puis que
cette fonction est dérivable en tout point de [ 0 ; /2 ], la dérivée étant 
continue.
II.4.1 Utiliser les résultats des deux questions précédentes, en remarquant que 
sin x
est la partie imaginaire de e i x .
II.4.2 Utiliser les résultats des questions II.4.1 et II.1.2.
Partie III
III.1 S'inspirer de l'énoncé de la question suivante !
III.2 Appliquer le théorème de Fubini.
III.3.1 Montrer que |sin x| 6 x pour tout x  [ 0 ; u ].
cos u + y sin u
est bornée sur [ 0 ; u ] indépendamment de u
III.3.2 La fonction y 7
1 + y2
et de y.
III.3.3 Faire tendre u vers + dans l'égalité de la question III.2.

III.4.1 Utiliser le fait que la fonction x 7 1/x2 est intégrable sur [ 1 ; + [.

III.4.2 Intégrer x 7 sin x/x par parties en utilisant le fait que x 7 1 - cos x 
est une
primitive de sinus, puis faire jouer l'égalité cos x = 1 - 2 sin2 (x/2).

Les conseils du jury
Le rapport du jury donne mot pour mot les conseils généraux suivants :
· Le cours doit être parfaitement su.

· Les techniques de base du calcul différentiel et intégral doivent être
maîtrisées.
· Le bon sens et la rigueur ne doivent pas être sacrifiés à une sorte de
fuite en avant pour « grapiller » des points.
· La rigueur doit sauter aux yeux à la lecture de la copie.

· La présentation, qui en général traduit la clarté de la pensée, doit
être excellente.
· Les notions de géométrie élémentaire indispensables à un futur ingénieur ne 
doivent pas être « oubliées » !
Le rapport du jury conclut en annonçant que les prochains sujets du
concours E3A seront élaborés de façon à tester les candidats sur toutes ces
compétences attendues.

Applications simples du cours
A.1.1 Les ensembles x = y 2 et y = x2 sont deux paraboles, d'où le dessin 
suivant :
y
y = x2
x = y2

1
G 
0

x

1

Dans le rapport du jury, celui-ci s'interroge sur « l'impossibilité pour de 
nombreux candidats de représenter correctement le domaine G de la première
question. » Ce tracé ne présente pas de difficulté, et bâcler cette question ne
met pas le correcteur en confiance !
A.1.2 Avant de commencer, donnons une description précise du domaine G et de
l'arc . Soit (x, y)  R2 . Alors
x2 6 y

x2 6 y

et y 2 6 x

et y 2 6 x

x2 6 y,

=

2

y 2 6 x,

x4 6 x et y 4 6 y

2

2

x 6 y, y 6 x et (x, y)  [ 0 ; 1 ]

y 2 6 x 6 y et y  [ 0 ; 1 ]

=
=

Toutes ces implications sont des équivalences, on peut donc conclure que

G = {(x, y)  R2 | 0 6 y 6 1, y 2 6 x 6 y}

De plus, il est immédiat que le support de  est donné par la frontière de G :

Fr(G) = {(x, y)  R2 | 0 6 y 6 1, y 2 = x ou x = y}
Utilisons le paramétrage suivant :

2

 [ -1 ; 1 ] - R
 2
p:
(t , -t) si t  [ -1 ; 0 ]

t
7-

(t, t2 )
si t  ] 0 ; 1 ]

Définissons p1 et p2 comme les fonctions qui associent à t  [ -1 ; 1 ] la 
première et la
deuxième composante de p. La fonction p = (p1 , p2 ) ainsi considérée est 
continue sur
chacun des intervalles [ -1 ; 0 ] et ] 0 ; 1 ]. En outre, p(t) admet la limite 
(0, 0) = p(0)
lorsque t tend vers 0 par valeurs supérieures, elle est donc continue sur [ -1 
; 1 ]. Enfin,
la fonction p est également de classe C 1 sur chacun des intervalles ] -1 ; 0 [ 
et ] 0 ; 1 [,
et forme bien un paramétrage de l'arc  orienté dans le sens trigonométrique.
D'après la définition, la circulation d'un champ de vecteurs P(x, y)dx+ Q(x, 
y)dy
le long d'un arc  paramétré par q = (q1 , q2 ) de classe C 1 sur un intervalle 
I s'écrit
Z 
 Z 

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =
P(q1 (t), q2 (t))q1 (t) + Q(q1 (t), q2 (t))q2 (t) dt

I