E3A Maths A PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
Principaux outils utilisés calcul différentiel et intégral, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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G41S

e 3 5
Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est

amené à prendre.

L'usage de Iacalculatrice n'est pas autorisé

Soit (L) l'équation différentielle : y "(x) ---- y(x) == h(x), définie sur 
[0,1], où b et y sont des
fonctions définies sur [O, 1] à valeurs dans R, b continue et y de classe C2 et 
(L0) l'équation
différentielle homogène associée : y ' ' (x) ---- y(x) == 0.

Partie 1 : Expression des solutions de (L).

1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (Lo) ? En donner une 
base.

2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ?
x

3. Vérifier que la fonction h : x EUR [0,1] .... h(x) = ! sh (x ---- t) b(t) dt 
est une solution de
O
l'équation différentielle (L).

(Rappel : pour tout z réel, sh(z) : ÊÎ--Ë-'Ë--ÏÏ-- et ch(z) : ËÎ--%Ê:î ).

4. En déduire que les solutions de (L) s'écrivent sous la forme :
V x E [0,1], y(x) : Ach(x) + Bsh(x) + h(x)
où A et B sont des constantes réelles.
5. Soient a et [? deux nombres réels.
s (O) = a sh (1 )
Prouver l'existence d'une unique solution s de (L) vérifiant : et
s ( l ) == fl sh ( 1 )
Page 1 / 4

Tournez la page S.V.P

On admettra que la fonction 3 est la fonction :
1
s : xe [0,1] e--+ s(x) : ash(l ---x) +flsh(x)--J H(x,t) b(t) dt
0

où H est la fonction de deux variables définie par :
H:[du2 @ R

1 .

sh(l--x) sh(t) 31 tx

1
et que la fonction x » ] H(x, t) b(t) dt est de classe C2 sur [O, 1]2.
0

Partie 2 : Développement en série de Fourier de la fonction H.

On fixe x dans [O, 1] et soit (p la fonction impaire, 2 ---- périodique, 
définie sur [O, 1] par :
sh]l --- x) .

sh(l) sh(t) s10 < t < x,
sh (x)
sh ( 1 )

V t 65 [0,1],  ([ f(t) sin (ant) dt).

O

3. Donner la définition d'un endomorphisme auto-adjoint (ou symétrique) de E.
Prouver que 'P est un endomorphisme auto--adjoint de E.

4. Vérifierque : VfEUR E, ('P(l) If) > O

5. Soit u & Etelle que : ('P (u) l u) = O
1

5.1. Vérifier que : V n 6 N, [ u(x) sin (nnx) dx = O.
0

5.2. Soit F la fonction définie sur R, impaire et 2 --- périodique, telle que :

u(x) si x & ]O,l[

2 six==Ooule

F:xe[O,l]r--+F(x)={

Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de u.

1
En déduire que : ! u2(x) dx = O.
0

5.3. Prouver alors que :
Pour toute fonction v différente de la fonction nulle de E, ('P (v) | v) > 0.

5.4. Quel résultat peut--on en conclure pour les valeurs propres de '1' '?

6. Pour m & N*, soit la fonction fm définie par :

V x EUR [0,1], fm(x) : sin (mm).
1

6.1. Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Calculer : [ sin (7r px) sin 
(7cqx) dx.
0

6.2. Déterminer, pour m G N*, lP(fm).

7. Soit 2. une valeur propre de '1' et f À un vecteur propre associé.
7.1. Prouver que f). est de classe C2 sur [0,1].

Mo --- (1 --- -------O)y(x>0 =
7.2. Vérifier que f ). est solution du problème : y(O) :

J'... =0

7.3. Prouver qu'il est impossible que ). = 1.

7.4. Prouver qu'il est impossible que 1 ----- %-- > 0.
7.5. Lorsque 1 ---- --1-- < 0, montrer qu'il existe m e N* tel que : ). = 
---------------L----------.
 m2 7r2 + 1

7.6. Déterminer alors les éléments propres de 'P.
Page 3 / 4

Tournez la page S.V.P

Partie 4 : Calcul de la norme de l'endnmorphisme 'P.

1. Déterminer, pour m E N*, Il fm II.

On pose alors, pour tout m EUR N*, m = ----£'--'1--.
Nik"
2. Vérifier que :
+oo
2.1. erE,'PU)= Wh...,
1 m 7t2 +1
m:

+oo
2.2. ... E, ...2 = 2 (h... lf)2-
m=l

3. En déduire que :

er E, ||'P(I)ll2 < " "2 2.
' (n2+1)

4. Prouver que 'P est un endomorphisme continu de (E, || ll ).

5. Enfin, calculer : sup ll'P(f) Il.
l|fll=1

Fin du problème.

Page4/4

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E3A Maths A PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) ; il a été
relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Cette épreuve s'intéresse à l'application  qui à une fonction b continue sur [ 
0 ; 1 ]
à valeurs réelles associe l'unique fonction y de classe C 2 sur [ 0 ; 1 ] 
vérifiant
(
x  [ 0 ; 1 ]
y  (x) - y(x) = b(x)
y(0) = y(1) = 0
· Dans la première partie, on démontre une formule exprimant (b) en fonction
de b à l'aide d'une fonction intermédiaire H à deux variables.
· Dans la deuxième partie, on écrit H comme la somme d'une série de fonctions.
· Dans la troisième partie, on s'intéresse aux valeurs propres et aux vecteurs
propres de l'application linéaire  après avoir montré son caractère auto-adjoint
pour le produit scalaire défini par
Z 1
(f, g)  C 0 ([ 0 ; 1 ] , R)2
(f | g) =
f (x)g(x) dx
0

· Enfin, la quatrième et dernière partie démontre la continuité de 
l'endomorphisme  de C 0 ([ 0 ; 1 ] , R) pour la norme induite par le produit 
scalaire,
et l'on calcule la norme de .
Ce sujet est d'une difficulté raisonnable à condition de bien maîtriser presque
tous les chapitres d'analyse et d'algèbre linéaire, notamment les équations 
différentielles linéaires (théorème de Cauchy, principe de superposition), les 
séries de Fourier
(coefficients trigonométriques, condition suffisante de convergence normale, 
relation
de Parseval) et les endomorphismes dans un espace préhilbertien réel (symétrie, 
positivité, éléments propres, continuité). C'est une bonne occasion de réviser 
ou d'approfondir ces sujets délicats.

Indications
Partie I
I.5 Raisonner par analyse-synthèse.
Partie II
II.2 Justifier que  est continue et de classe C 1 par morceaux sur R puis 
démontrer
n  N

an () = 0

et

n  N

bn () =

2
sin(nx)
1 + n2  2

II.3 Justifier que la série de Fourier de  converge normalement vers  sur R.
II.4 Exploiter le lien entre  et H ainsi que les deux questions précédentes.
Partie III
2

III.1 Utiliser le fait que H est bornée sur [ 0 ; 1 ] .
III.2 Penser à la question II.4 et intervertir la somme et l'intégrale.
III.3 Utiliser le théorème d'interversion des symboles de sommation et 
d'intégration
pour montrer que pour tout (f, g)  E2
Z 1
Z 1
+
P
1
((f ) | g) = 2
f
(t)
sin(nt)
dt
g(x) sin(nx) dx
2 2
n=1 1 + n 
0
0

III.4
III.5.1
III.5.2
III.5.3

Utiliser la relation démontrée à la question précédente.
Même indication que précédemment.
Justifier que F vérifie l'identité de Parseval.
Raisonner par l'absurde et utiliser la question III.4.

III.6.2 Montrer que

m  N

(fm ) =

1
fm
1 +  2 m2

III.7.3 Raisonner par l'absurde et utiliser la question III.7.2.
III.7.4 Raisonner par l'absurde et intégrer sur [ 0 ; 1 ], après l'avoir 
justifiée, la relation

1

f f = 1 -
f 2

III.7.5 Utiliser la question III.7.2.
Partie IV
IV.2.1 Utiliser la question III.2.
IV.2.2 Procéder comme en III.5.2.
IV.3 Appliquer le résultat de la question IV.2.2 à  (f ), utiliser le caractère 
symétrique de  puis exploiter le résultat de la question III.6.2.
IV.5 Utiliser la question III.6.2 avec m = 1.

I. Expression des solutions de (L)
I.1 L'équation (L0 ) est linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants. 
Ainsi,
Les solutions de (L0 ) sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]
forment un espace vectoriel de dimension 2.
L'équation caractéristique associée à (L0 ) est
X2 - 1 = 0
Celle-ci admet deux racines réelles simples : -1 et 1. Il vient donc,
Les fonctions t 7 e t et t 7 e -t forment une base de
l'espace vectoriel des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ].
Comme tout R-espace vectoriel de dimension 2, l'espace des solutions de L0
sur R admet une infinité de bases. Par exemple, la famille (ch , sh ) est 
également une base de cet espace.
I.2 L'équation (L) est une équation linéaire, d'ordre 2 et à coefficients 
constants.
De plus, la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ]. Par conséquent,
Les solutions de (L) sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]
forment un espace affine de dimension 2.
Plus précisément, pour toute solution y0 de (L) sur [ 0 ; 1 ], l'espace (affine)
des solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] est exactement l'ensemble
y0 + S(L0 )
où S(L0 ) désigne l'espace (vectoriel) des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ].
I.3 Définissons les fonctions h1 et h2 sur [ 0 ; 1 ] en posant pour x  [ 0 ; 1 ]
Z x
Z x
x-t
h1 (x) =
e
b(t) dt
et
h2 (x) =
e t-x b(t) dt
0

0

1
h = (h1 - h2 )
2

de sorte que
Remarquons que
h1 (x) = e x

Z

x

e -t b(t) dt

et

h2 (x) = e -x

0

Z

x

e t b(t) dt

0

Puisque la fonction b est continue sur [ 0 ; 1 ] et puisque les fonctions t 7 e 
t et t 7 e -t
le sont aussi, il en est de même de leurs produits t 7 e t b(t) et t 7 e -t 
b(t). Par suite,
les fonctions
Z x
Z x
e -t b(t) dt
x 7
e t b(t) dt
et
x 7
0

0

1

sont de classe C sur [ 0 ; 1 ]. Par produit, les fonctions h1 et h2 sont 
également de
classe C 1 sur [ 0 ; 1 ]. De plus, pour x  [ 0 ; 1 ],
Z x

x
h1 (x) = e
e -t b(t) dt + e x e -x b(x) = h1 (x) + b(x)
0Z
x
et de même h2 (x) = -e -x
e t b(t) dt + e -x e x b(x) = -h2 (x) + b(x)
0

Par conséquent, la fonction h est de classe C 1 sur [ 0 ; 1 ] et vérifie
1 
(h - h2 )
2 1
1
= (h1 + b + h2 - b)
2
1

h = (h1 + h2 )
2
h =

Les fonctions h1 et h2 étant de classe C 1 sur [ 0 ; 1 ], il en est de même de 
h . Par suite,
h est de classe C 2 sur [ 0 ; 1 ]. En outre,
1 
(h + h2 )
2 1
1
= (h1 + b - h2 + b)
2
1
= (h1 - h2 ) + b
2

h = h+b

h =

En particulier,

La fonction h est solution de (L) sur [ 0 ; 1 ].

I.4 Remarquons que les fonctions ch et sh sont solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ] 
d'après le
résultat de la question I.1. Puisqu'elles sont linéairement indépendantes, 
elles forment
une base de l'espace vectoriel des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Comme h 
est une
solution particulière de (L) sur [ 0 ; 1 ] d'après la question précédente, le 
résultat de la
question I.2 assure que les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les 
fonctions
de l'ensemble
h + S(L0 )
où S(L0 ) désigne l'ensemble des solutions de (L0 ) sur [ 0 ; 1 ]. Puisque
S(L0 ) = Vect (ch , sh )
on en conclut que
Les solutions de (L) sur [ 0 ; 1 ] sont exactement les
fonctions de la forme x 7 A ch (x) + B sh (x) + h(x)
où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
I.5 Raisonnons par analyse-synthèse. Supposons connue une solution s de 
l'équation (L) sur [ 0 ; 1 ] vérifiant
s(0) =  sh (1)

et

s(1) =  sh (1)

D'après la question précédente, il existe deux réels A et B tels que pour tout 
x  [ 0 ; 1 ]
s(x) = A ch (x) + B sh (x) + h(x)
En particulier,

s(0) = A ch (0) + B sh (0) + h(0)

et

s(1) = A ch (1) + B sh (1) + h(1)