Centrale Maths 2 PSI 2016

Thème de l'épreuve Transformations de Fourier et de Laplace
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, probabilités
Mots clefs transformation de Fourier, formule d'inversion de Fourier, support compact, fonctions périodiques, formule d'échantillonnage de Shannon, transformation de Laplace

Corrigé

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Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Ce problème aborde l'étude de deux transformations intégrales utilisées pour le 
traitement des signaux analo--
giques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d'elles 
permet de modéliser le comportement
fréquentiel d'un signal. La partie I étudie quelques propriétés de la 
transformée de Fourier d'un signal analogique
continu par morceaux et intégrable sur IR. La partie Il aboutit à la formule 
d'inversion de Fourier qui permet de
retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie III traite 
le cas particulier d'un signal dont
le spectre des fréquences est limité à [--1/2, 1/2]. La partie IV étudie le cas 
particulier d'un signal périodique. Le
résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie V pour démontrer le 
théorème de l'échantillonnage de Shan--
non. La partie VI utilise un résultat classique de probabilité pour démontrer 
l'injectivité de la transformation
de Laplace sur l'ensemble des fonctions continues sur [R + et nulles hors d'un 
segment.

On note
-- ECPm le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues par 
morceaux sur [R et intégrables sur [R ;

-- 5 le C--espace vectoriel des fonctions f : [R --> [: continues sur [R telles 
que VlEUR EUR M la fonction 55 r--> 331" f (sc)
est bornée sur [R.

I Transformation de Fourier

Pour toute fonction f EUR E on considère la fonction 5"(f) (transformée de 
Fourier de f) définie par

cpm'
+oo '
% EUR R 5r(f)(ê) : f(ïÎ)EUR*""5dït
I.A * On considère la fonction 

.r"f(æ) est intégrable sur [R. I.B.2) Démontrer que la fonction 5"(f) est de classe C°° sur [R et que +oo Vn EUR IN, V5 EUR [R, (ÿ(f))...[(î) : (_27rî)n/ tnf(t>EURf2flitâ dt I.E * On considère la fonction 19 : [R --> @ définie par 0(æ) : exp (--7ræ2), pour r EUR [R. I.E.1) Justifier que 0 appartient a 5 et que 3'(0) est solution de l'équation différentielle % EUR [R, y'(ê) = --27r£y(ê) I.B.2) Établir que ÿ(9) : 9. On admettre que fjÏ 0(æ)doe : 1. 2016--01--13 14:24:16 Page 1/4 @@ BY--NC-SA II Formule d'inversion de Fourier Soit f E 5 . On suppose que ff ( f) est intégrable sur IR. Pour tout entier naturel non nul n, on pose +oo +°° !. : 5"(f)(£)9 (%) d£ J.. = / f (%) ÿ(0)(t)dt II.A * Montrer que n1--1>£Pooln : +OO 5"(f)(£) d£. II.B * Calculer lim Jn. n-->+oo II.C * Prouver que Vn EUR D\l*, ]" : Jn. On admettre la formule de Fubini : /+oo ( +00 f(t)9 (%) e*277it5 d£) dt : /+OO ( +oo f(t)9 (%) 6f2«itg dt) d£ II.D * Démontrer que f(0) : /+00 Î(f)(£) (15. En déduire, en utilisant la fonction h : t |--> f(OE + t), que voeue. f<æ>= oeï(f)(£)62"ioeïdê am *00 Cette formule permet de reconstruire le signal f a partir de sa transformée de Fourier ÿ" ( f). ILE -- Une application e27riæ£ 1 2 d£ : --eÎ|OE|. +oo Démontrer que V.ÎÏ EUR HQ, / m 2 III rI'ransformée de Fourier à support compact Soit f une fonction de 5 dont la transformée de Fourier ? ( f ) est nulle en dehors du segment [--1/27 1/2]. D'après la relation ll.1, on a 1/2 _ VoeetR. f<æ>=/ 5f<â>eî...fidê 1/2 III.A -- Démontrer que 5"(f) est de classe C°° sur [R et que 3"(f) EUR 5. En déduire que f est de classe 000 sur [R. III.B * Prouver que V 2 +00 ('T _OE0>n 1/2 - n 27rioe { <æ,æo> e n% , Z --... / / (2mê) 3'(f)(ê>e @ d£ : f n=0 il 2 III.C * On suppose que f est nulle en dehors d'un segment [a, b]. Montrer que f : 0. IV Cas des fonctions périodiques Pour tout entier naturel n, on note Sn la fonction définie sur [? par Vw E [R. Sn(æ) : Z 627..." k=fn Soit f : [EUR --> C une fonction de classe 000 sur D? et l--périodique. On considère : -- la fonction 9 définie sur [--1, 1] par Vw @ 1--L1[\{0}. g<æ> : @ g<0> : fÇ[°> g<1> : g<--1>= --g<0> sin(7roe) -- la suite de complexes (en ( f))nEURZ définie par 1/2 Vn EUR Z, cn(f) : / f(oe)e*2"mæ dx f1/2 2016--01--13 14:24:16 Page 2/4 GQ BY--NC-SA I V.A + IV.A.1) Montrer que la fonction g est de classe C1 sur ]--1,1]\ {0} et continue sur ]--1, 1]. IV.A.2) Calculer la limite de g' en 0. En déduire que g est de classe C1 sur ]+1,1]. On admet dorénavant que g est de classe 01 sur ]--1, 1]. 1/2 I V.B + Soit 71 EUR D\l. Calculer l'intégrale S,, (sc) dx. %1/2 IV. C + Démontrer que sin((2n + 1)7TOE) sin(7roe) Vn @ D\l, Va: @ ]--%, %] \ {o}, S,,(æ) : I V.D + Justifier que n 1/2 Vn EUR IN*, z ck(f) : f(0) +/ g(oe) sin((2n + 1)7m) da: k=+n 1/2 I V.E + À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'existence d'un réel C tel que g C VnEN, 2n+1 1/2 / g<æ>sin(<2n+ 1)...dæ 1/2 IV.F + Soit 16 EUR ]--1/2,1/2]. On considère la fonction Gt définie sur ]--1/2,1/2] par w; EUR ]-%. %] , G,(oe) : f'(æ + t) Sm(m _ (f(æ + t) _ f(t))7rcos(m:) Établir l'existence d'un réel D, indépendant de a: et de t, tel que 1 1 We ]--%,%] , Voe EUR ]--%, %] , |G,(oe)l < Doe2 IV. G + Prouver l'existence d'un réel E tel que n We ]--%.â]. ]f(t)-- î: c.eW k=+fl E < 2n + 1 (Nl) On pourra introduire la fonction ht : oe 1--> f(oe +16). V Formule d'échantillonnage de Shannon Soit f E 5 dont la transformée de Fourier ff ( f) est nulle en dehors du segment ]--1/2,1/2] On pose Vk EUR Z, Vac E [R, 1/)k(sc) : 1/)(oe + k:) (V.1) où 1/) est définie à la question LB. V.A -- Justifier que Vn EUR N, (ÿ(f))"" (%> = (E...)... (--â) : 0. V.B + Soit h la fonction définie sur [R, qui est 1--périodique et qui vaut ÿ(f) sur l'intervalle ]--1/2,1/2] Montrer que h est de classe C°° sur [R. V. C + À l'aide de l'inégalité IV.1, prouver l'existence d'une suite de nombres complexes (dk)kEURZ telle que la suite de fonctions (x H 2 dk62"ikoe) converge uniformément vers 3" ( f) sur ]--1/2, 1 / 2]. k=+n nEURN V.D + Démontrer que la suite de fonctions d conver e uniformément vers sur [R. k k g . nEN +OE) On notera symboliquement f : î: dk'l/Jk. k=+OE) V.E % Établir que Vj EUR Z, f(--j) = d,. +OE) L'égalité f : î: f(--k)1/)k traduit la reconstruction du signal f a partir de l'échantillon ( f (k)) k=+OE) keZ' 2016--01--13 14:24:16 Page 3/4 @@ BY--NC-SA VI Transformation de Laplace Soit f : [R+ % C une fonction continue et nulle en dehors d'un segment. On définit la fonction Æ ( f ) (transformée de Laplace de f) sur [R par +oo Vw e ie, z<æ> = / f(t>e*"dt 0 On admettra que Æ(f) est de classe 000 sur B? et que VOE EUR R» Vn & n <Æ>%> = <--l>" /... ftflaætdr 0 Rappelons que, pour tout réel a:, Lst désigne la partie entière de :c. VI.A * On considère (X"),OEW une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisê (Q, A, P), mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Poisson de paramètre À > 0. On pose VnEURN*, Sn=Xl+--'-+Xn VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier n G N, Sn suit la loi de Poisson de paramètre nÀ. On admettra que, pour tout entier n G N*, les variables S" et Xn+1 sont mutuellement indépendantes. VI.A.2) Soit 5 EUR |Rî. Prouver que Vn EUR ... P(|Sn --nÀ| ; ne) < A 1152 VI.A.3) Soit 6 > O. Justifier les deux inclusions suivantes (Sn > n(À + e)) c (|Sn _ nÀ| ; ng) (Sn EUR "(À -- S)) C (ISn -- nÀ| ; ne) VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose $ 2 0. Déduire du VI.A.3 que lim (Sn lim (S n n-->"oo oe)=0 si0<æ<À n noe)=1 siæ>À //\ //\ VI.B * À l'aide de la question VI.A, montrer que k . lim Z (nÀ) e"'={0 s10+oo k! 1 Sl I > À ngg lnoe) VI. C * Dans la suite de cette partie, on admettra que k lim î: (nÀ) eÎ"À= 1 . | -- s1 ar : À TL-->+OO ngg @@ [EUR 2 VI.C.1) Soit oe EUR R+. Démontrer que . k (k) " Æ; Z (--1)k%(£(f>) (n) = / f(y) dy 0gkglæææ) 0 VI.C.2) En déduire que l'application £ : f l--> Æ ( f) est injective sur l'ensemble des fonctions à valeurs com-- plexes, continues sur là et nulles en dehors d'un segment. oooFlNooo 2016--01--13 14:24:16 Page 4/4 ("à BY--NC-SA

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Centrale Maths 2 PSI 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Juliette Brun-Leloup (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege
(Enseignant-chercheur à l'université).

Le sujet est consacré aux transformations de Fourier et de Laplace d'une 
fonction
intégrable. Il évoque également rapidement leur application à la théorie de 
l'échantillonnage de Shannon. Ses six parties font appel à la majorité du cours 
d'analyse de
deuxième année ainsi qu'à certains chapitres du cours de probabilités.
· La première partie définit la transformation de Fourier et prouve les 
principales
propriétés utiles pour la suite. Elle se conclut par un exemple, qui permet de
manipuler concrètement les objets définis et sera réutilisé dans la partie II.
· La deuxième partie est écrite dans le prolongement de la première et aboutit à
la formule d'inversion de Fourier, qui permet de retrouver une fonction à partir
de sa transformée de Fourier. Elle se conclut également par un exemple concret.
· La troisième partie considère le cas particulier de la transformée de Fourier 
à
support compact. C'est une partie un peu technique, qui demande en particulier
de savoir gérer correctement les majorations.
· Dans la quatrième partie, ce sont les fonctions périodiques qui sont étudiées.
C'est une partie difficile et assez calculatoire. Elle demande également de 
réutiliser les questions précédentes et d'appliquer à bon escient tous les 
outils classiques d'analyse.
· La cinquième partie donne une application des résultats précédents en évoquant
la formule d'échantillonnage de Shannon, qui permet de retrouver un signal à
partir d'un échantillon de ce dernier.
· Enfin, la sixième partie, un peu à part, introduit la transformation de 
Laplace.
C'est un peu l'analogue de la première partie. Elle a sans doute été placée ici
afin de proposer un peu de probabilités (basées sur des lois de Poisson).
Ce problème est long mais il reste classique et sans grande difficulté (hormis 
peutêtre la partie IV). Il constitue de ce fait un excellent problème de 
révision d'analyse en
vue des écrits. En outre, le rapport de l'épreuve signale qu'il était possible 
d'obtenir
une note « tout à fait honorable » en étant « précis dans la rédaction et 
l'utilisation des théorèmes d'analyse de seconde année », « sans avoir eu 
besoin d'aborder
chacune des six parties ». Pour les questions nécessitant « l'utilisation de 
théorèmes
spécifiques aux intégrales à paramètre », le jury rappelle que les correcteurs 
sont
« particulièrement attentifs à la présence de l'hypothèse de domination adaptée 
au
contexte particulier » et apprécient « une présentation numérotée des 
différents points
à vérifier ». Enfin, pour les théorèmes utilisés dans leur version « intégrales 
généralisées », le jury « apprécie de voir rappelées certaines hypothèses 
spécifiques même si
les constatations sont parfois totalement évidentes ».

Indications
Partie I
I.B.1 Utiliser le fait que la fonction sinus est développable en série entière.
I.B.2 Utiliser la 1-périodicité de x 7 |sin(x)|.
I.C Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
I.D.2 Appliquer le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre.
Partie II
II.A Vérifier les hypothèses du théorème de convergence dominée.
II.B Raisonner comme à la question II.A .
II.D Combiner les questions II.A, II.B et II.C pour la première égalité. 
Appliquer ensuite le résultat du début de la question à la fonction h donnée 
dans
l'énoncé.
Partie III
III.A Grâce à l'égalité (II.1), se ramener à la question I.D.2 .
III.B Pour (x0 , x)  R2 , x0 6 x, appliquer la formule de Taylor avec reste 
intégral
à la fonction f entre x0 et x. Calculer ensuite les dérivées successives de f
en exploitant une méthode similaire à la question I.D.2 . Montrer enfin que le
reste intégral converge vers 0. Le cas x 6 x0 se traite de manière identique.
III.C Appliquer la formule de la question précédente à un réel x tel que f (x) 
= 0.
En déduire alors que l'intégrale est nulle, puis que la fonction f est nulle.
Partie IV
IV.A.2 Pour obtenir un équivalent, utiliser des développements limités des 
termes
apparaissant au numérateur.
IV.C Séparer les termes positifs et négatifs de la somme et reconnaître la somme
des termes d'une série géométrique. Utiliser ensuite la formule
e 2ix - 1 = e ix (e ix - e -ix ) = e ix 2i sin(x)
valable pour tout x  R.
IV.D Exploiter les questions IV.B et IV.C .
IV.E Effectuer une intégration par parties, en posant
u(x) = g(x)

et

v  (x) = sin((2n + 1)x)

L'inégalité triangulaire permet ensuite d'obtenir la constante C.
IV.F Utiliser l'égalité des accroissements finis, d'abord appliquée à f , puis 
à f  ,
en faisant apparaître artificiellement le terme requis. Majorer ensuite les
termes obtenus.
IV.G En vue d'appliquer les questions IV.D et IV.E à la fonction ht donnée dans
l'énoncé, définir la fonction g correspondante. Faire attention au fait que la
constante C de la question IV.E dépend de g, donc ici de t. Conclure grâce
à la question IV.F . Enfin, exprimer les coefficients ck (ht ) en fonction des
coefficients ck (f ) pour tout entier k.

Partie V
V.C Appliquer les résultats de la partie IV à la fonction h en posant dk = ck 
(h)
pour tout k  Z.
V.D Utiliser l'égalité (II.1) puis, pour x  R et n  N, majorer la quantité
f (x) -

n
P

dk k (x)

k=-n

en se servant du résultat de la question V.C .
Partie VI
VI.A.1 Utiliser la caractérisation par les fonctions génératrices.
VI.A.2 C'est une conséquence de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à 
la
variable aléatoire Sn .
VI.A.4 Appliquer le résultat des questions VI.A.3 puis VI.A.2 à  = | - x|.
VI.B Réécrire la conclusion de la question VI.A.4 en utilisant la question 
VI.A.1 .
VI.C.1 Expliciter la somme demandée et reconnaître la somme de la question VI.B 
.
Justifier alors qu'on peut intervertir la limite et l'intégrale à l'aide du 
théorème de convergence dominée.

I. Transformation de Fourier
I.A La fonction  est continue sur R r {-1/2, 1/2} et elle admet une limite finie
à gauche et à droite en -1/2 et 1/2. Par suite, elle est bien continue par 
morceaux
sur R. En outre, elle est nulle en dehors du segment [ -1/2 ; 1/2 ], sur lequel 
elle est
continue. Elle est donc intégrable sur R. Finalement,
La fonction  appartient à l'ensemble Ecpm .
Z +
F ()() =
(t) e -2it dt

Soit   R. On a

-

=

Z

1
2

e -2it dt

- 12

e -2it
F ()() =
-2i

Supposons   R . Alors

En outre,

1
2

 sin()
F ()() =

1

  R

1 dt = 1

- 12

-

donc

- 12
-i

-e
2i
Z +
Z
F ()(0) =
(t) dt =
=

e

i

 12

si  6= 0
sinon

I.B.1 La fonction sinus est développable en série entière, de rayon de 
convergence
infini, et son développement vaut
P (-1)n 2n+1
y
n=0 (2n + 1)!
+

y  R

sin(y) =

Soit x  R . En posant y = x et en divisant l'égalité précédente par y, il vient
P (-1)n
(x)2n
n=0 (2n + 1)!
+

(x) =

Comme cette égalité reste vraie pour x = 0, on en déduit que
La fonction  est développable en série entière,
de rayon de convergence infini et
+
P (-1)n
x  R
(x) =
(x)2n
n=0 (2n + 1)!
Comme la somme d'une série entière est de classe C  sur son disque ouvert de
convergence, il vient
La fonction  est de classe C  sur R.
Le rapport du jury signale que cette question « portant sur le caractère 
développable en série entière d'une fonction est très mal traitée ». Pour 
toutes ces
questions sous la forme « montrer qu'il existe », le jury recommande d'« 
utiliser un brouillon pour faire l'analyse du problème avant d'expliciter 
clairement
l'objet vérifiant la propriété requise ».