Centrale Maths 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve Exponentielle de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction, espaces euclidiens
Mots clefs exponentielle, nilpotentes, diagonalisables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, % Mathématiques 2

"à «
_/ PSI

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

Eoeponentz'elle de matrices

2013

Le but du sujet est d'étudier l'exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet, }) désigne un entier naturel non nul.

Si K désigne un corps, R ou C, on adopte les notations suivantes :

-- K[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients dans K.

-- Kp[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré au plus 19.

-- Mp(K) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre p à coefficients dans K.

-- Ip est la matrice identité de Mp(K).

-- Une matrice A E Mp(K) est dite antisymétrique si 'A = --A.

-- GLp(K) est l'ensemble des matrices inversibles de Mp(K).

-- On note tr l'application trace et det l'application déterminant.

-- OMR) est l'ensemble des matrices orthogonales à coefficients dans K et 
d'ordre p.
-- S OMR) est l'ensemble des matrices de Op(K) de déterminant 1.

-- On munit Mp(K) de la norme quadratique H - H2 définie par

VA = (ai,j)1oo

E(A) = lim (I.. + %A)

-- Lorsque K = K on munit Rp de sa structure canonique d'espace euclidien.

I Question préliminaire

Soit 27 E @.

On pose z=a+ib, où a,b EK.

I.A -- Soit H E N*. Déterminer le module et un argument de (l + %) n en 
fonction de a, b et n.
I .B -- En déduire que

lim (l + î)n : eZ

n_>00 "

2013--03--25 11:40:45 Page 1/4 @c) BY--NC-SA

II Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3

II.A -- Matrices antisymétriques d'ordre 2

0--04

Soit n E N*. Soit A E M2(R) une matrice antisymétrique. On pose A = (a 0 ) où 
04 E R.

II.A.1) Déterminer un nombre @... EUR Rï tel que

1 1
ÆÎ. (12 + EA) & SOZ(R)

II.A.2) Déterminer un nombre réel 9" tel que
à (fg + %A) = (rfi: 1îïî")

II.A.3) En déduire que E (A) existe et que c'est une matrice de rotation, dont 
on précisera l'angle.
II.B -- Matrices antisymétriques d'ordre 3
II.B.1) Soit B E M3(R) antisymétrique.
a ) Montrer que det B = 0.
b) Montrer que (Ker 'aB)L est stable par uB.
c) En déduire que B est de rang 0 ou 2.
II.B.2) Montrer qu'il existe une matrice P de Og(R) et un réel 5 tels que

0 0 0

B = P 0 0 --5 P _1
O 5 0

B
II.B.3) Montrer que lorsque l'égalité de la question précédente est vérifiée, 
on a \5\ = @

\Æ .

II.B.4) Montrer que E (B) existe et est une matrice de rotation. Préciser la 
valeur de son angle non orienté
en fonction de HBH2.

III Exponentielle de matrices diagonalisables

III.A -- Cas des matrices diagonales
Soit D E Mp(K) une matrice diagonale.

III.A.1) Montrer que E(D) existe et que E(D) EUR GLp((C).
III.A.2) Montrer qu'il existe un polynôme Q EUR C[X] tel que Q(D) : E(D).
III.A.3) Soit (A, +) le sous-groupe additif de Mp(R) formé par les matrices 
diagonales.

Montrer que E définit un morphisme de groupe de (A, +) dans (GLp(R), ><).

2013--03--25 114045 Page 2/4 (ce) BY--NC-SA

III.B -- Eoez'stence et propriétés de E(A) lorsque A est diagonah'sable
Soit A E Mp(K) une matrice diagonalisable.

III.B.1) Montrer que E(A) existe.

III.B.2) Montrer que det(E(A)) : etr(A).

III.B.3) Soit 515 E @.
Montrer que E (515119 + A) existe et que
E(96Ïp + A) : eoeE(A)
III.C -- Eoep0nentz'elle de la somme
Soient A, B E Mp(K) deux matrices diagonalisables. On suppose que A et B 
commutent.
III.C.1) Montrer qu'il existe P E GLp((C) telle que P _1AP et P _1BP soient 
diagonales.
On étudiera les restrictions de @@ aux sous--espaces propres de uA.

III.C.2) En déduire que E(A + B) existe et que E(A + B) : E(A)E(B) : E(B)E(A).

IV Exponentie11e de matrices nilpotentes

Soit A E MMC) et 16 E N* tel que A'EUR : 0 et Alf--1 # 0 (on dit que A est 
nilpotente d'ordre k). Soit également
B EUR MAC).

I V.A --
IV.A.1) Montrer que, pour tout entier j tel que 1 < j < k, Ker Aj_1 est inclus 
strictement dans Ker Aj .
IV.A.2) En déduire que 16 < p.

I V.B -- Montrer que E (A) existe. Proposer une procédure Maple ou Mathematica 
prenant en entrée une matrice
triangulaire supérieure stricte A et renvoyant la valeur de E (A)

IV. C' -- Montrer qu'il existe un polynôme Q EUR C[X] tel que Q(A) : E(A).
IV.D -- Soit B E MMC). On suppose que A et B commutent et que E(B) existe.

On admet que, pour tout entier 75 compris entre 1 et p,

"11320 (Ip + %B) n = "1320 (Ip + %B) ...
Montrer que E(A + B) existe et que E(A + B) : E(A)E(B).
IV.E -- Soit 515 E @.
Montrer que E(acÏp + A) existe et que E(acÎp + A) : eoeE(A).

I V.F -- Montrer que E (A) -- Ip est nilpotente.

2013--03--25 11:40:45 Page 3/4 @c) BY--NC-SA

V Cas général
Soit A E M,,(C) et H E N*. On note
X 'n
P,,(X) : (1 + ;) EUR C[X]
et XA le polynôme caractéristique de A défini par
XA(X) : det(A -- XÏp)
V.A -- Liens avec le polynôme caractéristique
V.A.1) Montrer qu'il existe un unique couple (Q... Rn) EUR C[X] >< Cp_1[X] tel 
que

Pn=QnXA+Rn

V.A.2) Montrer que E (A) existe si et seulement si lim R,,(A) existe.

n-->oo

V.A.3) Soient 16 E N* et Al, À2, . . ., Àk les racines de XA deux a deux 
distinctes, dont on note ..., 77.2, . . ., ..., les
ordres de multiplicité respectifs.

Pour tout entier q compris entre 1 et p, on note Jq la matrice de Mq((C) dont 
tous les coefficients sont nuls sauf
ceux situés juste au--dessus de la diagonale qui valent 1.

Montrer que, pour tout 515 E C, pour tout entier q compris entre 1et p, la 
famille {(oeIq + Jq)i, 0 < 75 < q -- 1}
est libre.

V.A.4) Soit B : diag{ÀJ... + J..., . . ., À;,Ink + Jnk} la matrice diagonale 
par blocs définie par

À1[nl + Jn1 () . . . 0
() À2In2 + 1,12 . . . 0
B : ' . .
: . '- 0
Montrer que XB : X A.
V.B -- Convergence de E(A)
V.B.1) Soit 75 un entier ; 1.
Montrer que
(AJ... + J...)i 0 . 0
. () (À2In2 + Jn2)z ()
BZ : _ _
: '- '- 0 .

V.B.2) Soit P un polynôme annulateur non nul de la matrice B.
a) Montrer que le degré de P est ; p.
I)) En déduire que la famille {BZ, 0 < 75 < p -- 1} est libre.

V.B.3) Montrer que lim P,,(B) existe.
'ÏL_>OO

V.B.4) En déduire que E (A) existe.

oooFINooo

2013--03--25 114045 Page 4/4 @c) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Samuel Baumard (ENS Ulm) ; il a été relu par 
PierreYves Bienvenu (ENS Ulm) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

Ce sujet, très progressif, vise à donner une construction de l'exponentielle 
matricielle ne passant pas par les séries comme on le fait usuellement, mais 
par une
analogie avec l'identité

x n
ex = lim 1 +
(1)
n
n
valable pour x  R. Le but est aussi de préciser au passage le comportement de
l'exponentielle vis-à-vis du déterminant et des sommes commutatives.
· On commence par rappeler via des développements asymptotiques simples que
l'identité (1) est encore vraie si l'on suppose plus généralement que x est un
nombre complexe.
· On passe ensuite au cas des matrices antisymétriques réelles en dimension 2
et 3, en montrant que les exponentielles de ces matrices sont des rotations dont
on peut déterminer l'angle ; parmi les outils mis en oeuvre, on compte la 
stabilité par un endomorphisme de l'orthogonal du noyau de cet endomorphisme,
et l'invariance par similitude orthogonale d'une certaine norme matricielle.
· La suite du problème se place en dimension quelconque, avec d'abord le cas des
matrices diagonalisables, passant notamment par un résultat de diagonalisation
simultanée...
· ... puis le cas des matrices nilpotentes, en raisonnant entre autres sur la 
suite
des noyaux itérés.
· Enfin, la dernière partie prouve que l'exponentielle d'une matrice quelconque
existe toujours, en combinant les résultats des deux parties précédentes dans le
formalisme des polynômes d'endomorphismes.
Ce sujet, qui n'utilise finalement qu'assez peu de résultats du cours, permet de
revoir une bonne partie des techniques classiques en algèbre linéaire et en 
réduction
des endomorphismes, avec un crochet par les espaces euclidiens.

Indications
Partie I
I.B Faire un développement asymptotique du module et de l'argument.
Partie II
II.B.1.c Adapter le raisonnement de la question II.B.1.a à la restriction de uB 
au
sous-espace (Ker uB ) .
II.B.3 Justifier que kBk2 = kP-1 BPk2 .
Partie III
III.A.2 On cherche un polynôme prenant des valeurs données en des points 
prescrits.
III.C.1 Montrer que les restrictions en question sont des endomorphismes 
diagonalisables, et recoller les morceaux.
Partie IV
IV.A.1 Montrer que l'implication Ker Aj  Ker Aj-1 = Ker Aj+1  Ker Aj est
toujours vraie.
IV.A.2 Passer aux dimensions dans les résultats de la question précédente.
IV.B Utiliser la formule du binôme de Newton.
Partie V
V.A.2 Penser au théorème de Cayley-Hamilton.
V.A.3 Développer les éléments par la formule du binôme, et montrer que les 
puissances de Jp qui interviennent forment une famille libre.
V.B.2.a Justifier que P est un multiple de (X - j )nj pour tout j.

I. Question préliminaire
I.A Commençons par calculer le module :

d'où
et

z
n

2

2

a
b
= 1+ +i
n
n
 2

a 2
b
+
= 1+
n
n
(a + n)2 + b2
=
n2

z
(a + n)2 + b2
1+
=
n
n2

n/2
z n
(a + n)2 + b2
1+
=
n
n2
1+

Pour ce qui est de l'argument, on commence par exclure le cas 1 + z/n = 0,
autrement dit (a, b) = (-n, 0), et on se sert du fait que, pour tout (u, v)  R2 
,
les arguments de u + i v sont donnés par

Arctan (v/u) [2]
si u > 0

arg(u + i v)  2 sgn(v) [2]
si u = 0

 + Arctan (v/u) [2] si u < 0
Il faut donc distinguer les cas selon la position de a par rapport à -n :

z
b
· si a + n < 0, alors Re (1 + z/n) < 0 et arg 1 +
  + Arctan
[2] ;
n
a+n
· si a + n = 0, alors 1 + z/n = i b/n et arg(1 + z/n)  2 sgn(b) [2] ;

z
b
· si a + n > 0, alors arg 1 +
 Arctan
[2].
n
a+n
Comme la somme des arguments de deux nombres complexes est un argument de
leur produit, cela donne

b

n + n Arctan
[2] si a + n < 0

a+n

z n
arg 1 +
 n 2 sgn(b) [2]
si a + n = 0

n

n Arctan b [2]
si a + n > 0
a+n

Pour limiter le nombre de cas, on aurait aussi pu utiliser la formule dite de
l'angle au centre :
 z  C r R- ,

arg z  2 Arctan

Im z
[2]
|z| + Re z

I.B L'objectif est de déterminer le comportement asymptotique du module et d'un
argument de (1 + z/n)n lorsque n tend vers l'infini. Les développements limités 
utiles
ici sont (1 + u) = 1 +  u + o (u), ln(1 + u) = u + o (u) et Arctan (u) = u + o 
(u) au
voisinage de u = 0. Il n'est pas nécessaire de se préoccuper du cas a + n 6 0, 
tous les
développements asymptotiques étant faits au voisinage de l'infini.
Pour le module,
 2

(a + n)2 + b2
a 2
b
=
1
+
+
2
n
n
n
 
2a
1
+o
= 1+
n
n
 
2
2
(a + n) + b
2a
1
d'où
ln
=
+o
n2
n
n
n
(a + n)2 + b2
puis
ln
= a + o (1)
2
n2
z n
et enfin
1+
= ea (1 + o (1))
n
Pour l'argument,
b
b
1
=
a+n
n 1 + a/n
 
b
1
= +o
n
n
 
b
b
1
Arctan
= +o
a+n
n
n

z n
arg 1 +
 b + o (1) [2]
n

d'où
et
Par conséquent,

z n
z
1+
= 1+
n
n

n

z n 
exp i arg 1 +
= ea (1+o (1)) ei (b+o(1)) = ea+i b +o (1)
n

ce qui signifie précisément que

z n
1+
= ez
n
n
lim