Centrale Maths 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Étude de matrices réelles symétriques et symétriques définies positives
Principaux outils utilisés produit scalaire, diagonalisation, théorème spectral, convexité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PSI
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 2

Notations
On note R le corps des nombres réels. Si n est un entier positif,ðon munit 
l'espace vectoriel Rn du produit
scalaire canonique, noté éX, Y ê pour X, Y  Rn . On note ëXë = éX, Xê la norme 
associée.
On note Mn (R) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
On assimile Rn à l'espace des
vecteurs colonnes d'ordre n et Mn (R) à son algèbre d'endomorphismes. Ainsi éX, 
Y ê = tXY . On note In la
matrice unité de Mn (R).
n
Ø
Si A = (aij )16i,j6n  Mn (R), on note Tr(A) la somme de ses éléments diagonaux 
: Tr(A) =
aii . On rappelle
i=1

que Tr(A) est égale à la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec 
leurs ordres de multiplicité.
Si A  Mn (R), le polynôme caractéristique de A est PA (X) = det(A - XIn ).
)
*
Si A  Mn (R), on définit R(A) = t XAX - X  Rn , ëXë = 1 qui est une partie de R.
Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes.

I Généralités
Soit A = (aij )16i,j6n  Mn (R).
I.A ­
Démontrer que les valeurs propres réelles de A sont dans R(A).
I.B ­
I.B.2)

I.B.1)

Démontrer que les éléments aii (1 6 i 6 n) de la diagonale de A sont dans R(A).

En considérant la matrice
A=

3

0
-1

1
0

4

montrer que les éléments aij avec i Ó= j ne sont pas nécessairement dans R(A).
I.C ­
On considère deux nombres réels a  R(A) et b  R(A), avec a < b. Soient X1 et X2 
deux vecteurs
de norme 1 tels que t X1 AX1 = a, t X2 AX2 = b.
I.C.1) Démontrer que X1 et X2 sont linéairement indépendants.
I.C.2)

On pose X = X1 + (1 - )X2 pour 0 6  6 1.
t
X AX
est définie et continue sur l'intervalle [0, 1].
Démontrer que la fonction  :  Ô
ëX ë2
I.C.3) En déduire que le segment [a, b] est inclus dans R(A).
I.D ­

Démontrer que si Tr(A) = 0 alors 0  R(A).

I.E ­

Soit Q une matrice orthogonale réelle. Démontrer que R(A) = R(t QAQ).

I.F ­

On considère les conditions suivantes :

(C1)

Tr(A)  R(A)

(C2)

Il existe une matrice orthogonale réelle Q telle que la diagonale de la matrice 
t QAQ soit de la forme
(Tr(A), 0, . . . , 0)

I.F.1)

Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1).

I.F.2) On suppose que x  R(A).
Démontrer qu'il existe une matrice Q1 orthogonale telle que
4
3
x L
t
Q1 AQ1 =
C B
où B est une matrice de format (n - 1, n - 1) (B  Mn-1 (R)), C un vecteur 
colonne à n - 1 éléments
(C  Mn-1,1 (R)) et L un vecteur ligne à n - 1 éléments (L  M1,n-1 (R)).
I.F.3) Démontrer que si la matrice A est symétrique il en est de même pour la 
matrice B ci-dessus.

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I.F.4)

Démontrer que Tr(A) = Tr(t Q1 AQ1 ).

I.F.5)

En déduire que si A est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2)
On pourra raisonner par récurrence sur n.

II Matrices symétriques de format (2, 2)
Dans toute cette partie A et B désignent des matrices symétriques réelles de M2 
(R). On note 1 6 2 (resp.
µ1 6 µ2 ) les valeurs propres de A (resp. B).
De plus on dira qu'une matrice symétrique S est positive, ce que l'on notera S 
> 0, si et seulement si toutes ses
valeurs propres sont > 0.
II.A ­ Démontrer que R(A) = [1 , 2 ].
II.B ­

On considère l'ensemble   R2 défini par l'équation éAX, Xê = 1.

II.B.1) Caractériser les conditions sur les i pour lesquelles cet ensemble est :
a)
b)
c)
d)

vide ;
la réunion de deux droites ;
une ellipse ;
une hyperbole.

II.B.2) Réprésenter sur une même figure les ensembles  obtenus pour A diagonale 
avec 1  {-4, -1, 0, 1/4, 1}
et 2 = 1.
II.C ­ Démontrer que Tr(AB) 6 1 µ1 + 2 µ2 .
On pourra utiliser une matrice P orthogonale telle que t P BP soit une matrice 
diagonale, pour obtenir
t
P AP = A = (aij ) avec Tr(A) = 1 + 2 = a11 + a22 .
II.D ­

On pose
A=

3

a b
b d

4

et on suppose A > 0.
II.D.1) Démontrer que det(A) > 0.
II.D.2) Démontrer que t XAX > 0 pour tout vecteur X.
II.D.3) Démontrer que a > 0 et d > 0.
II.D.4) Soit S  M2 (R) symétrique. Démontrer que :
S>0
II.E ­

si et seulement si

(Tr(S) > 0 et det(S) > 0)

On pose
A=

3

a1
b1

b1
d1

4

B=

3

a2
b2

b2
d2

4

On suppose dans cette section que A > 0 et B > 0.

II.E.1) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs (b1 , det A) 
et (b2 , det B), démontrer que
ð

b1 b2 6 a1 a2 d1 d2 - det A det B
II.E.2) En calculant det(A + B) - det A - det B, en déduire que
ð
det(A + B) > det(A) + det(B) + 2 det(A) det(B)

II.F ­

On suppose dans cette sous-partie A > 0 et B > 0, det A det B Ó= 0 et b1 b2 Ó= 
0.

II.F.1) Démontrer que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E.2 si 
et seulement si les vecteurs

(a1 , d1 ) et (a2 , d2 ) sont liés, ainsi que les vecteurs (b1 , det A) et (b2 
, det B).
II.F.2) Démontrer alors que l'on a l'égalité dans la formule de la question 
II.E.2 si et seulement si les
matrices A et B sont proportionnelles (A = B pour un   R,  > 0).
II.G ­ On considère la relation suivante sur l'ensemble des matrices 
symétriques réelles de format (2,2) : on
dit que S 6 S  si et seulement si la matrice symétrique S  - S vérifie S  - S > 
0.
Démontrer que la relation 6 ci-dessus est bien une relation d'ordre sur les 
matrices symétriques réelles de format
(2,2).

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Page 2/3

II.H ­

On considère une suite (An )n>0
An =

3

an
bn

bn
dn

4

de matrices symétriques de M2 (R). On suppose que la suite (An )n>0 est 
croissante et majorée pour la relation
d'ordre définie à la question précédente.
II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur X, la suite (t XAn X)n>0 est croissante 
majorée.
II.H.2) Démontrer que les suites (an )n>0 et (dn )n>0 sont croissantes majorées.
II.H.3) En considérant le vecteur X = (1, 1), démontrer que la suite de 
matrices (An )n>0 est convergente
dans M2 (R), c'est-à-dire que les suites (an )n>0 , (bn )n>0 et (dn )n>0 sont 
convergentes dans R.

III Matrices symétriques définies positives
Dans cette partie toutes les matrices sont de format (n, n), où n est un entier 
supérieur ou égal à 2. On dit
qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes 
ses valeurs propres sont strictement
positives.
III.A ­ Soit A une matrice symétrique définie positive.
Démontrer qu'il existe une matrice inversible Y telle que A = t Y Y .
III.B ­ Soient A une matrice symétrique définie positive et B une matrice 
symétrique.
Démontrer qu'il existe une matrice inversible T telle que :
t

T AT = In

et

t

T BT = D

où In désigne la matrice identité et D une matrice diagonale.
III.C ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives.
III.C.1) Démontrer que : det(In + B) > 1 + det B.
III.C.2) En déduire que : det(A + B) > det A + det B.
III.D ­ Soient x un nombre réel strictement positif,  un nombre réel tel que 0 
<  < 1.
Démontrer que : x 6 x + 1 - .
III.E ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives,  et  deux 
nombres réels > 0 tels que
 +  = 1 ; démontrer que :
det(A + B) > (det A) (det B)
III.F ­ Pour 1 6 i 6 k, soient Ai des matrices symétriques définies positives 
et i des nombres strictement
positifs tels que 1 + · · · + k = 1. Démontrer que
det(1 A1 + · · · + k Ak ) > (det A1 )1 . . . (det Ak )k
On pourra raisonner par récurrence sur k.
· · · FIN · · ·

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Gilbert
Monna (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet d'algèbre s'organise en trois parties très largement indépendantes.
· La première partie concerne l'étude du haussdorfien d'une matrice, défini pour
toute matrice A  Mn (R) par
R(A) = {t XAX | kXk = 1}
L'objectif est principalement d'établir (sans que ce soit dit explicitement) 
qu'il
s'agit d'une partie convexe de R qui contient notamment les valeurs propres et
les éléments diagonaux de la matrice, ainsi que sa trace sous certaines 
conditions. On justifie également que cet ensemble est invariant par changement 
de
base orthogonale.
· La deuxième partie introduit la notion incontournable, bien que hors 
programme, de matrice symétrique positive. Après quelques questions aboutissant
à des inégalités sur leurs déterminants, on établit un résultat qui rappellera
étrangement une propriété bien classique des suites réelles : pour une relation
d'ordre bien choisie, on démontre que toute suite croissante et majorée de 
matrices symétriques positives est convergente.
· La troisième partie démarre comme la deuxième par une nouvelle notion 
horsprogramme de matrice symétrique définie positive. L'objectif est à nouveau
d'établir des inégalités sur des déterminants, et notamment la jolie formule
det(1 A1 + · · · + k Ak ) > det(A1 )1 · · · det(Ak )k
pour tous réels 1 , . . . , k et toutes matrices A1 , . . . , Ak symétriques 
définies
positives. Le rapprochement avec les comparaisons des moyennes arithmétique
et géométrique est bien entendu immédiat.
Le sujet manipule donc en long, en large et en travers les matrices symétriques
positives. Cette notion est hors programme en PC/PSI mais elle survient très 
fréquemment aux concours, au point que la plupart des enseignants de CPGE dans 
ces
deux filières ont un paragraphe à leur sujet dans leur cours. La plupart des 
résultats présentés ici sont d'ailleurs des classiques d'oraux de la filière 
MP. En ce sens,
l'épreuve est plutôt décevante car même si chaque résultat pris séparément est 
intéressant, l'absence de lien entre les parties est évident, et aucune 
application sérieuse
de ces résultats n'est présentée.

Indications
Partie I
I.A Considérer X un vecteur propre de A, supposé de norme 1, et calculer t X AX.
t
I.B.1 Montrer que les éléments diagonaux de A s'obtiennent en calculant X AX
pour X variant dans la base canonique.
I.B.2 Calculer t X AX pour tout vecteur X.
I.C.1 Montrer qu'une relation de dépendance entre X1 et X2 s'écrit X2 = +
- X1 .
I.C.2 Remarquer que la fonction  est une fraction rationnelle.
I.C.3 Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
I.E Observer qu'une isométrie vectorielle réalise une bijection entre les 
vecteurs
de norme 1.
t
I.F.2 Considérer X1 un vecteur de norme 1 tel que X1 AX1 = x, et compléter
la famille (X1 ) en une base orthonormale (X1 , . . . , Xn ). Poser ensuite Q1 
la
matrice dont les vecteurs colonnes sont les Xi .
t
f2 telle que Q
f2 BQ
f2 a sa
I.F.5 Lors de la récurrence on obtiendra une matrice Q
diagonale de la forme (0, . . . , 0). Introduire ensuite la matrice Q2 dont le 
bloc
f2 , et compléter par un 1 en position
carré inférieur droit de taille n - 1 est Q
(1, 1) et des zéros ailleurs.
Partie II
II.A
II.B
II.D.2
II.D.3
II.E.2
II.F.1

Diagonaliser A en utilisant le théorème spectral et utiliser la question I.E.
Se ramener au cas d'une matrice diagonale.
Se ramener à X de norme 1 et utiliser la question II.A.
Utiliser le résultat de la question II.B.1.
Développer l'expression det(A + B) et utiliser la question précédente.
Il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si les 
vecteurs
sont liés.
II.G Une relation d'ordre est une relation réflexive, antisymétrique et 
transitive.
Pour la transitivité, en prenant S, S et S symétriques telles que S - S > 0
et S - S > 0, on pourra considérer un vecteur propre de S - S et utiliser
la question II.D.2.
Partie III

III.A Utiliser le théorème spectral. Une matrice diagonale DA semblable à A 
ayant
ses valeurs propres strictement positives, on pourra considérer une de ses 
racines carrées, c'est-à-dire une matrice diagonale dont les éléments diagonaux
sont des racines carrées de ceux de D.
t
III.B Remarquer que (Y-1 ) BY-1 est symétrique.
III.C.1 On pourra diagonaliser B.
III.C.2 Montrer que la matrice D obtenue à la question III.B est définie 
positive.
Appliquer ensuite le résultat de la question III.C.1 à det(In + D).
III.D Introduire la fonction x 7 x et montrer qu'elle est concave.
III.E Utiliser les matrices T et D de la question III.B, ainsi que la question 
III.D.
III.F Pour dérouler correctement la récurrence, justifier qu'une combinaison 
linéaire à coefficients strictement positifs de matrices symétriques définies 
positives est symétrique définie positive.

I. Généralités
I.A Soient  une valeur propre réelle de A et X un vecteur propre associé à .
Le vecteur Y = X/kXk est ainsi de norme 1 et est également un vecteur propre
t
t
associé à . De plus Y AY = Y Y = kYk2 = . Par suite  appartient à R(A).
En conclusion,
Les valeurs propres réelles de A sont dans R(A).
t

I.B.1 Soit i  {1, . . . , n}. Posons Yi = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 en 
position i)
t
le i-ème vecteur de la base canonique de Rn . Alors AYi = (a1,i , . . . , an,i 
) est le
t
i-ème vecteur colonne de A et Yi AYi est le i-ème coefficient de AYi , 
c'est-à-dire ai,i .
Puisque Yi est de norme 1, ai,i  R(A). Par conséquent,
Les éléments diagonaux de A sont dans R(A).
I.B.2 Soit X = t (x, y) un vecteur quelconque de R2 . Alors t X A = (-y, x) et
t
X AX = -xy + xy est nul. En particulier, pour tout vecteur X de R2 de norme 1,
t
X AX = 0 et donc R(A) = {0}. Ainsi -1 et 1, qui sont les éléments hors diagonale
de A, ne sont pas dans R(A).
Les éléments ai,j pour i 6= j ne sont pas nécessairement dans R(A).
I.C.1 Supposons la famille (X1 , X2 ) liée. Puisque X1 et X2 sont deux vecteurs 
réels
de même norme,
· soit X2 = X1 , auquel cas t X2 AX2 = t X1 AX1 = a 6= b, ce qui est absurde ;
t

t

t

· soit X2 = -X1 , auquel cas X2 AX2 = (-X1 ) A(-X1 ) = X1 AX1 = a 6= b,
ce qui est absurde également.
Par conséquent,

X1 et X2 sont linéairement indépendants.

I.C.2 Puisque X1 et X2 sont linéairement indépendants, le vecteur X est non nul
pour tout   [ 0 ; 1 ]. Ainsi kX k n'est jamais nul et
 est définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ].
Par ailleurs, l'application  7 X étant une application affine de R vers Rn ,
elle est continue. De plus, les applications
t

X 7 X AX

et

t

X 7 X X = kXk2

sont continues de Rn vers R par continuité du produit matriciel. Enfin, 
l'application
(x, y) 7 x/y est continue de R × R vers R. Comme  s'écrit comme composée
d'applications continues,
 est continue sur [ 0 ; 1 ].

I.C.3 Remarquons que pour  = 0, X = X2 et pour  = 1, X = X1 (la notation est 
maladroite mais il n'y a pas d'ambiguïté !). Ainsi, (0) = b et (1) = a.
Soit t  [ a ; b ].  étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires 
s'applique
et il existe   [ 0 ; 1 ] tel que () = t. Comme on l'a remarqué à la question 
précédente, X n'est jamais nul. Par suite, Y = X /kX k est de norme 1 et vérifie
t
Y AY = () = t  R(A). En conclusion,
[ a ; b ]  R(A)
I.D D'après la question I.B.1, les éléments diagonaux de A sont dans R(A).
Supposons que Tr A = 0.
· Si tous les éléments ai,i sont nuls alors 0  R(A).
· Sinon, puisque Tr A = a1,1 + · · ·+ an,n = 0, il existe deux entiers i et j 
distincts
tels que a = ai,i < 0 < aj,j = b. Par conséquent, d'après la question 
précédente,
[ a ; b ]  R(A). Puisque 0  [ a ; b ], on conclut que 0 est dans R(A).
Si Tr A = 0 alors 0 appartient à R(A).

Conclusion :

I.E Puisque Q est orthogonale, l'application associée est une isométrie, donc 
pour
tout vecteur X de norme 1, QX est également de norme 1. Réciproquement, puisque 
Q
est inversible et que Q-1 est également orthogonale, pour tout élément X de 
norme 1,
kQ-1 Xk = 1 et X = Q(Q-1 X). Ainsi X 7 QX est une bijection de la sphère unité
sur elle-même et
{QX | X  Rn , kXk = 1} = {X  Rn | kXk = 1}
Par suite,

t

t

t

R( Q AQ) = { X Q AQX | X  Rn , kXk = 1}
t

= { (QX) A(QX) | X  Rn , kXk = 1}
R( t Q AQ) = { t X AX | X  Rn , kXk = 1}
Par conséquent

t

R( Q AQ) = R(A)
t

I.F.1 Supposons (C2). Alors l'élément en position (1, 1) de Q AQ est Tr A. 
D'après
t
le résultat de la question I.E, R( Q AQ) = R(A) et l'on a montré en question 
I.B.1
t
que Tr A  R( Q AQ). Par conséquent, Tr A  R(A) et l'on a montré que
La condition (C2) implique la condition (C1).
t

I.F.2 Puisque x  R(A), il existe un vecteur X1 de norme 1 tel que X1 AX1 = x.
Le sous-espace vectoriel F = (X1 ) est de dimension n - 1 et c'est un espace 
vectoriel
euclidien si on le munit du produit scalaire canonique défini sur E. D'après le 
cours,

il existe une base orthonormale (X2 , . . . , Xn ) de E. Puisque F = (X1 ) , la 
famille
(X1 , . . . , Xn ) forme une base orthonormale de E.
Un théorème hors-programme stipule que toute famille orthonormale d'un
espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale : c'est le 
théorème de la base orthonormale incomplète.