Centrale Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Dimension maximale d'un sous-espace vectoriel d'endomorphismes formé de similitudes
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques et antisymétriques, orthogonalité
Mots clefs matrices de similitude, sous-espace orthogonal, famille de vecteurs orthonormés, famille d'endomorphismes anticommutatifs

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(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j 
hi = 0.
Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ?

On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de
Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire.

Filière PSI

Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2.

Montrer que  =  =  = 0 et que   {-1, 1}.

Soit un vecteur fixé x  E de norme 1.

a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une 
base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , ,  tel que :
f 3 ( x ) = x +  f 1 ( x ) +  f 2 ( x ) +  f 1 f 2 ( x ).

On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) 
d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux,
antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0

II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4.
II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 
4
inclus dans Sim( E).

II.A.2)

II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il 
existe
d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que 
les f i soient des
automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f 
i = 0.
Soit x  E de norme 1.
a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille 
orthonormale, et

que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 .
b) En déduire que dn-4 > 3

II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair.

Partie II - Étude dans des dimensions paires

Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés :
·
il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans
Sim( E)
il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy·
métriques de E vérifiant :
i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que 
les hi
soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= 
j,
hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace 
vectoriel de
L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E).

Page 2/3

I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la 
question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique.
a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE .
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout 
f , g
de L ( E) ( f | g) = tr ( f  g).

I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que 
pour tout
i  {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme 
combinaison de
f i et id E ).

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques
Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) 
et de
dimension d > 2.
Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V.
I.D.1) Montrer que pour tout i  {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire 
à IdE .

C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des
sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE .

On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 .
En déduire que dn = 1.
I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de 
dimension
d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans 
Sim( E),
de même dimension d, et contenant IdE .

I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g 
appartiennent
à GL( E), montrer qu'il existe   R tel que f + g soit non inversible.

I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace
vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec 
soin,
que d2 = 2.

MATHÉMATIQUES II

c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j 
hi = 0.
Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ?

On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de
Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire.

Filière PSI

Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2.

Montrer que  =  =  = 0 et que   {-1, 1}.

Soit un vecteur fixé x  E de norme 1.

a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une 
base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , ,  tel que :
f 3 ( x ) = x +  f 1 ( x ) +  f 2 ( x ) +  f 1 f 2 ( x ).

On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) 
d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux,
antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0

II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4.
II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 
4
inclus dans Sim( E).

II.A.2)

II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il 
existe
d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que 
les f i soient des
automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f 
i = 0.
Soit x  E de norme 1.
a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille 
orthonormale, et

que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 .
b) En déduire que dn-4 > 3

II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair.

Partie II - Étude dans des dimensions paires

Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés :
·
il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans
Sim( E)
il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy·
métriques de E vérifiant :
i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que 
les hi
soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= 
j,
hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace 
vectoriel de
L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E).

Page 2/3

I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la 
question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique.
a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE .
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout 
f , g
de L ( E) ( f | g) = tr ( f  g).

I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que 
pour tout
i  {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme 
combinaison de
f i et id E ).

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques
Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) 
et de
dimension d > 2.
Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V.
I.D.1) Montrer que pour tout i  {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire 
à IdE .

C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des
sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE .

On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 .
En déduire que dn = 1.
I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de 
dimension
d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans 
Sim( E),
de même dimension d, et contenant IdE .

I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g 
appartiennent
à GL( E), montrer qu'il existe   R tel que f + g soit non inversible.

I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace
vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec 
soin,
que d2 = 2.

MATHÉMATIQUES II

On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen-

II.C.6)

En déduire la valeur de d12 .

- x6
- x7
x3
- x5
- x2
x4
x0
x1

· · · FIN · · ·

II.E - Conjecture du résultat général
Conjecturer la valeur de dn dans le cas général.

Que peut-on en déduire ?

est une matrice de similitude.

Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 )  R8 ,

x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5
 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3

 x2 x4
x0 - x1 - x6 x7

 x4 - x2 x1
x0
x7
x6

 x3 x5
x
-
x
x
-
x1
6
7
0

 x5 - x3 - x7 - x6 x1
x
0

 x6 x7 - x3 x5
x2 - x4
x7 - x6 x5
x3 - x4 - x2

II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8

Page 3/3

d) Montrer que la somme de W et V  est directe et que W  V  est stable par
f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction.

Ainsi W = f 4 (V  ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4.

c) Soit e fixé dans V  , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce 
n'est
pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une 
base orthonormale
de V  . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour 
montrer que :
y  V  , f 4 (y)  V.

Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 
.

b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V  , i = 1, 2, 3.
Justifier qu'il existe   {-1, 1} tel que f 3 =  f 1 f 2 .

a) Montrer que V  est stable par f 1 , f 2 , f 3 .

II.C.5)
sion 8.

II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 
1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x ))
est une famille orthonormale.

On fixe un tel x pour la suite.

Montrer qu'il existe x  E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0.

II.C.1)

En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 .
II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et 
non
colinéaire à IdE .
II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ?

II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12
On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 
d'automorphismes
orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 )  R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 
) est une matrice
de similitude. Qu'en conclure ?

c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , 
x2 , x3 ) dans B
de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 .

b) Montrer que f 3 =  f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose 
dans la
suite que f 3 = f 1 f 2 .

MATHÉMATIQUES II

- x7
x6 

- x5 

- x3 

x4 

x2 

- x1 
x0

Filière PSI

On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen-

II.C.6)

En déduire la valeur de d12 .

- x6
- x7
x3
- x5
- x2
x4
x0
x1

· · · FIN · · ·

II.E - Conjecture du résultat général
Conjecturer la valeur de dn dans le cas général.

Que peut-on en déduire ?

est une matrice de similitude.

Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 )  R8 ,

x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5
 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3

 x2 x4
x0 - x1 - x6 x7

 x4 - x2 x1
x0
x7
x6

 x3 x5
x
-
x
x
-
x1
6
7
0

 x5 - x3 - x7 - x6 x1
x
0

 x6 x7 - x3 x5
x2 - x4
x7 - x6 x5
x3 - x4 - x2

II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8

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d) Montrer que la somme de W et V  est directe et que W  V  est stable par
f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction.

Ainsi W = f 4 (V  ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4.

c) Soit e fixé dans V  , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce 
n'est
pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une 
base orthonormale
de V  . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour 
montrer que :
y  V  , f 4 (y)  V.

Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 
.

b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V  , i = 1, 2, 3.
Justifier qu'il existe   {-1, 1} tel que f 3 =  f 1 f 2 .

a) Montrer que V  est stable par f 1 , f 2 , f 3 .

II.C.5)
sion 8.

II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 
1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x ))
est une famille orthonormale.

On fixe un tel x pour la suite.

Montrer qu'il existe x  E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0.

II.C.1)

En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 .
II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et 
non
colinéaire à IdE .
II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ?

II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12
On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 
d'automorphismes
orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 )  R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 
) est une matrice
de similitude. Qu'en conclure ?

c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , 
x2 , x3 ) dans B
de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 .

b) Montrer que f 3 =  f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose 
dans la
suite que f 3 = f 1 f 2 .

MATHÉMATIQUES II

- x7
x6 

- x5 

- x3 

x4 

x2 

- x1 
x0

Filière PSI

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Guillaume Batog (ENS Cachan).

Ce sujet s'intéresse à l'ensemble Sim(E) des similitudes d'un espace vectoriel
euclidien E. Plus précisément, si E est de dimension n, l'objectif du problème 
est
de déterminer la dimension maximale dn d'un sous-espace vectoriel de L (E) 
inclus
dans Sim(E). Il procède pour cela en deux temps :
· La première partie établit une caractérisation des similitudes de E et prouve
plusieurs propriétés sur les endomorphismes antisymétriques. Ceci permet 
d'obtenir un encadrement de dn , puis sa valeur lorsque n est impair. 
L'aboutissement
de cette partie est la démonstration de l'équivalence entre l'existence d'un 
sousespace vectoriel de L (E) de dimension d inclus dans Sim(E) et l'existence 
d'une
famille (f1 , . . . , fd-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisymétriques telle 
que
i 6= j

fi fj + fj fi = 0

· Cette équivalence est ensuite exploitée dans la deuxième partie, pour 
calculer dn
dans plusieurs cas particuliers : n = 2p avec p impair, puis n = 4, n = 8 et
enfin n = 12, l'objectif étant de conjecturer la valeur de dn dans le cas 
général.
Comme le résume le rapport du jury, ce sujet comporte « des parties "faciles",
découlant directement des définitions ou théorèmes classiques du cours, 
notamment
les débuts des deux parties. Les "milieux et fins" de ces parties [sont], en 
revanche,
plus difficiles [...]. Ils [exigent] un effort de réflexion, de compréhension 
et parfois
même d'ingéniosité. » C'est un problème qui permet à la fois de bien réviser 
l'algèbre
bilinéaire et de s'essayer à une démarche d'investigation mathématique peu 
fréquente
dans les énoncés de concours.

Indications
Partie I
I.A.2 Montrer les équivalences i)  ii) et i)  iii).

I.B.2 Revenir à la définition de l'orthogonal d'un espace : f (x)  S si et 
seulement
si hf (x), yi = 0 pour tout y  S.
I.B.3 Montrer que hf (x), g(x)i = -hg(x), f (x)i.
I.B.4 Partir de f 2 = -f  f .

I.C.1 Considérer l'espace Vect (Id E ).
I.C.2 Démontrer que l'application  est injective.
I.C.3 Considérer Vect (I2 , A), où A est une matrice antisymétrique la plus 
simple
possible.
I.C.4 Prouver que f g -1 possède au moins une valeur propre réelle.
I.C.5 Composer tous les endomorphismes de V par g -1 , où g est un 
endomorphisme inversible de V.
I.D.1 Utiliser la caractérisation ii) de la question I.A.2 . Pour cela, 
considérer par
exemple l'endomorphisme fi + Id E .
I.D.3.a Calculer (gi + gj )2 puis appliquer la question I.B.4 .
I.D.3.c Reprendre le raisonnement de la question I.D.3.a pour hi et hj et 
calculer
de deux façons (hi | hj ).
Partie II

II.A.1.b Raisonner sur S .
II.A.2 Montrer par l'absurde que d2p 6 2 puis chercher un exemple de sous-espace
de dimension 2 en réutilisant celui de la question I.C.3 .
II.B.1.a Exprimer les coefficients comme des produits scalaires entre f3 (x) et 
les
éléments de la base.
II.B.1.b Calculer de deux façons différentes la valeur f3 (x + y) où y est un 
vecteur
non nul.
II.B.2 Utiliser la caractérisation ii) de la question I.A.2.
II.C.1 Raisonner par l'absurde et calculer f3 f4 .
II.C.3 Considérer la somme d'un vecteur propre associé à la valeur propre 1 et 
d'un
vecteur propre associé à la valeur propre -1.
II.C.4 Raisonner comme dans les questions II.A.1 et II.B.1 .

II.C.5.c Montrer d'abord que f4 (e)  V puis décomposer un vecteur quelconque
de V selon la base orthonormale donnée avant de lui appliquer f4 .

II.C.5.d Pour la conclusion, appliquer la question I.D.4 à (W  V ) .

II.C.6 Pour montrer que d12 > 4, utiliser le même exemple qu'à la question 
II.B.2
en remplaçant chaque élément a de la matrice par un bloc aI3 .

II.D Remarquer que x0 2 + · · · + x7 2 M(x0 , . . . , x7 ) est orthogonale pour 
tout
(x0 , . . . , x7 )  R8 . Ces matrices forment un sous-espace de dimension 8.
II.E Résumer tous les résultats obtenus et considérer la puissance de 2 dans la
décomposition de n en facteurs premiers.

Le rapport du jury signale que ce sujet « a bien rempli son rôle. L'écarttype 
est particulièrement important et les bonnes copies qui révèlent compréhension, 
connaissances et "inventivité" conjuguée avec rigueur obtiennent
des notes en correspondance avec les qualités manifestées. » Il note également 
que « les très bonnes copies sont très rares » et font preuve à la fois
de « maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux ».
Le jury déplore en revanche avoir vu dans d'autres copies « des fautes de
raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions de base ».
La forme laisse également parfois à désirer : « les correcteurs n'ont aucune
demande "calligraphique", mais de futurs ingénieurs devaient être capables de
fournir un texte lisible, si possible pas trop "truffé" de fautes 
d'orthographe. »
Autre reproche du même ordre, « anecdotique mais désagréable : la plupart
des candidats ne numérote pas les feuilles, les questions non plus, d'ailleurs.
Le correcteur est souvent perplexe devant un "b)", tout seul, perdu en début
d'une feuille sans aucun repère ! Pour peu que le raisonnement soit lui-même
un peu "fumeux", sa patience est mise à rude épreuve ! »
Enfin, le jury répète que les « affirmations du type : "il est clair que ...",
"il est évident que ...", "on voit immédiatement que ...", pour justifier une
proposition qui mérite d'être démontrée, se soldent par un zéro. Aucun point
n'est prévu pour récompenser une conviction même si elle semble sincère. Le
jury attend qu'on lui apporte une démonstration achevée, cohérente où les
arguments soient clairement étayés. »
Il ressort de ces conseils qu'il est aussi important de soigner la présentation 
de sa copie que le fond. Attention donc à bien maîtriser les résultats
essentiels, faire des raisonnements cohérents et justifier les réponses, mais
également à soigner votre orthographe et votre style. Ne négligez pas les
conseils de vos professeurs à ce sujet durant l'année...

I. Premières propriétés
I.A

Étude de Sim(E)

I.A.1 Notons Sim (E) l'ensemble des similitudes non nulles de E. Montrons que
c'est un sous-groupe de GL(E) :
· Toute similitude f non nulle est la composée d'une homothétie de rapport
non nul et d'un automorphisme orthogonal, tous deux inversibles, donc f est
inversible. Ainsi, Sim (E)  GL(E).
· Id E  Sim (E) donc il est non vide.
· Soit (f, g)  (Sim (E))2 . Par définition, il existe (F, G)  O(E)2 et (, µ)  R 
2
tels que f = F et g = G. Comme O(E) est un groupe, FG  O(E). Ainsi,
f g = (µ)(FG)  Sim (E).
· Soit f  Sim (E). Il existe F  O(E) et   R tel que f = F. Comme
O(E) est un groupe, F-1  O(E). Par suite, f -1 = -1 F-1  Sim (E).

Finalement,
Sim (E) est un sous-groupe de GL(E) pour la composition des applications.
Le jury regrette que « de nombreux candidats ignorent totalement ce qu'est
un sous-groupe ». Ne perdez pas de points sur des questions aussi faciles...
I.A.2 Montrons d'abord l'équivalence i)  ii) :

· i)  ii) : Soit h  Sim(E). Il existe f  O(E) et   R tel que h = f . Ainsi,
h h = (f ) (f ) = 2 f  f = 2 Id E
puisque f  O(E). Par suite, h h est colinéaire à Id E .
· ii)  i) : Si h est l'application nulle, alors h  Sim(E). Sinon, si h h est
colinéaire à Id E , il existe   R tel que h h =  Id E . Ainsi,
x  E

kh(x)k2 = hh(x), h(x)i = hh h(x), xi = hx, xi = kxk2

Comme h 6= 0, on peut trouver
6 0, tel que h(x) 6= 0. On en déduit
 x  E, x =
que 
 > 0. Posons g = (1/ )h. Alors g  g = Id E et g  O(E). Par suite,
h = g  Sim(E).

Montrons ensuite l'équivalence i)  iii) :

· i)  iii) : Soit h  Sim(E). Il existe f  O(E) et   R tel que h = f . D'après
le cours, la matrice P de f dans une base orthonormale est alors orthogonale.
Celle de h est alors égale à P, donc colinéaire à une matrice orthogonale.
· iii)  i) : Si la matrice de h dans une base orthonormale est de la forme
A = P avec P orthogonale, alors l'endomorphisme g associé à P est orthogonal
et h = g  Sim(E).
Il y a équivalence entre les trois propriétés i), ii) et iii).
La preuve « cyclique » i)  ii)  iii)  i) n'est pas toujours la plus
aisée. Ici, il était plus facile de se ramener systématiquement à l'hypothèse
la plus simple, à savoir « h  Sim(E) ».
La preuve ii)  iii) demandait sinon de savoir redémontrer le résultat classique 
« t H H = 0  H = 0 », dont on rappelle ici la preuve.
t
t
t
Soit X  Mn,1 (R). On a H HX = 0, d'où X H HX = 0. Ceci se rét
écrit (HX) HX = 0, c'est-à-dire kHXk2 = 0, en utilisant la norme euclidienne 
canonique sur Rn . Par suite, HX = 0. Comme ceci est vrai pour tout
X  Mn,1 (R), H = 0.
Le rapport du jury regrette que « la plupart des élèves semble incapable
de gérer un raisonnement par équivalence : ils débutent sur des équivalences
(plus ou moins bien étayées), puis continuent sur des implications (elles aussi
plus ou moins bien étayées) et enfin terminent sur une équivalence ! » Ne
tentez pas le diable et raisonnez plutôt par implication, ce qui est plus 
facile.
Le rapport résume bien ce problème en rappelant qu'« il faut toujours se
méfier des raisonnements qui tendent à prouver directement une équivalence
(i)  ii)). Ils conduisent souvent le candidat à ne pas voir une difficulté et à
faire un raisonnement faux par négligence. »