Centrale Maths 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve Distance d'un sous-espace de matrices 3×3 au groupe orthogonal
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, matrices symétriques, topologie, quadriques
Mots clefs norme, groupe orthogonal, décomposition polaire, distance, diagonalisation

Corrigé

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- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 19 fevrier 2008 17h4

MATHÉMATIQUES II

AP, BQ

inf
kA - Bk

I.C - Demontrer que l'application M 7 kM k, de M3 (R) dans R est continue.

Filière

PSI

En appliquant la methode decrite ci-dessus determiner U  O3 (R) et S  S3+ (R)
telles que M = U S.

II.D - Etude d'un exemple

1 0
0

On considere la matrice M = 0 1 - 2.
2
0
0

On admettra que le resultat reste vrai si M est non inversible, c'est-a-dire :
« Si M  M3 (R), il existe U  O3 (R) et S  S3+ (R), telles que M = U S
(decomposition polaire) ».

II.C - Demontrer que si M est inversible, il existe U  O3 (R) telle que M = U S.

II.B - Demontrer qu'il existe S  M3 (R) symetrique a valeurs propres positives
telle que tM M = S 2 .

II.A - Demontrer que tM M est symetrique a valeurs propres positives.

Soit M  M3 (R).

Partie II - Decomposition polaire

I.F - Soit P un sous-espace vectoriel
de M3 (R). Si r  R+ , on pose

Br = M  M3 (R)
kM k 6 r .

I.F.1) Demontrer qu'il existe r > 0 tel que d P, O3 (R) = d P  Br , O3 (R) .

I.F.2) Demontrer qu'il existe A  P telle que d P, O3 (R) = d A, O3 (R) .

I.E - Soit  l'application de M3 (R) dans R definie par (M ) = d(M, O3 (R)).
I.E.1) Soient M, N  M3 (R).
Demontrer que :

U  O3 (R), d M, O3 (R) 6 kN - U k + kN - M k,

puis que :
d M, O3 (R) 6 d N, O3 (R) + kN - M k.
I.E.2) En deduire que  est continue.

I.D - Soit A  M3 (R). Demontrer qu'il existe

U  O3 (R) tel que d A, O3 (R) = kA - U k.

Page 1/3

I.B - Demontrer que O3 (R) est une partie bornee. En deduire que O3 (R) est un
compact de M3 (R).

I.A - Si A  O3 (R), calculer kAk.

Partie I - Generalites sur les distances

AP

On a aussi (et on l'admettra) d(P, Q) = inf d(A, Q).

d(P, Q) =

· Si P et Q sont deux parties non vides de M3 (R), la distance entre P et Q est 
:

BP

· Si A  M3 (R), et P est une partie non vide de M3 (R), la distance de A a P
est, par definition :
d(A, P ) = inf kA - Bk

· On note O3 (R) le groupe des matrices orthogonales, S3 (R) l'espace des 
matrices
symetriques, et S3+ (R) l'ensemble des matrices symetriques positives de M3 (R),
c'est-a-dire des matrices symetriques dont toutes les valeurs propres sont 
positives
ou nulles.

· On note k k la norme associee : kAk = hA, Ai.

i=1 j=1
2

a 0 0
· On designe la matrice 0 b 0 par la notation diag(a, b, c). Ainsi diag(1, 1, 1)
0 0 c
est la matrice identite I3 .
· L'espace vectoriel des matrices reelles 3 × 3, note M3 (R) est muni du produit
3 X
3
 X
t
scalaire usuel hA, Bi = T r ( A)B =
ai,j bi,j .

Notations et definitions

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

2

2i

!
- 2hU, Di + 3.

Filière PSI

Soit A  V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite :
d(V, O3 (R)) > 1.

Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) .

(a, b, c, d, e, f )  R6 .

· AV
· B orthogonale a I3 - D
1
· C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ).
2
Dans la suite,  est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f .

IV.E - Justifier que :
I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk.

t0

IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type :
f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C  M3 (R) 
verifient :

a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t  R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 
(ct).

IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de 
matrices
orthogonales a I3 - D.
Demontrer qu'il existe a, b, c  R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 
(0)  V.

IV.B - Comparer (D - I3 ) et V.

cos(t) - sin(t) 0
cos(t) 0 - sin(t)
1
0 ,
Pour t  R, on note R1 (t) =  sin(t) cos(t) 0, R2 (t) =  0
0
0
1
sin(t)
0
cos(t)

1
0
0
et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t).
0 sin(t) cos(t)

A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec
+
D = diag(x, y, z)  V, et
 x, y, z  R .
On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie.

Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 
6
quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1.

IV.A.2)

IV.A.1)

0
0
0

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

 a b
IV.A - Dans cette question seulement, V =  c d

e f

Page 2/3

III.C - Etude d'un exemple

1 0
0

Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la
2
0
 0
distance d M, O3 (R) .

En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k .

III.B.3)

i=1

i=1

i .

Si U  O3 (R), montrer que hU, Di 6

3
X

Si U  O3 (R), montrer que kD - U k =

III.B.2)

III.B.1)

3
X

III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ .

· Il existe D = diag(1 , 2 , 3)  W ou les i sont dans R+ , telle que
d W, O3 (R) = d D, O3 (R) .

· d W, O3 (R) = d V, O3 (R)

· dim(W) = dim(V)

III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W
sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant :

Soient A  M3 (R) et U  O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk.
En deduire que, pour tout A  M3 (R), il existe une matrice D diagonale a 
coefficients positifs telle que :

d A, O3 (R) = d D, O3 (R) .

III.A III.A.1)

Partie III - Distance a O3 (R)

MATHÉMATIQUES II

2

2i

!
- 2hU, Di + 3.

Filière PSI

Soit A  V. En considerant les valeurs propres de t AA, demontrer l'inegalite :
d(V, O3 (R)) > 1.

Calculer d(I3 , V), puis en deduire la valeur de d V, O3 (R) .

(a, b, c, d, e, f )  R6 .

· AV
· B orthogonale a I3 - D
1
· C = diag(-a2 - b2 , -a2 - c2 , -b2 - c2 ).
2
Dans la suite,  est la fonction apparaissant dans ce developpement limite de f .

IV.E - Justifier que :
I3 + t2 B + C + (t) - D > kI3 - Dk.

t0

IV.D - Demontrer que f a un developpement limite du type :
f (t) = I3 + tA + t2 (B + C) + t2 (t) avec (t) -- 0 ou A, B, C  M3 (R) 
verifient :

a, b, c sont ainsi fixes pour la suite, et on pose f : t  R 7 R1 (at)R2 (bt)R3 
(ct).

IV.C - Verifier que R1 (0), R2 (0), R3 (0) est une famille libre formee de 
matrices
orthogonales a I3 - D.
Demontrer qu'il existe a, b, c  R non tous nuls tels que aR1 (0)+bR2 (0)+cR3 
(0)  V.

IV.B - Comparer (D - I3 ) et V.

cos(t) - sin(t) 0
cos(t) 0 - sin(t)
1
0 ,
Pour t  R, on note R1 (t) =  sin(t) cos(t) 0, R2 (t) =  0
0
0
1
sin(t)
0
cos(t)

1
0
0
et R3 (t) = 0 cos(t) - sin(t).
0 sin(t) cos(t)

A l'aide de la partie III, on se ramene au cas ou d V, O3 (R) = kD - I3 k, avec
+
D = diag(x, y, z)  V, et
 x, y, z  R .
On suppose D 6= I3 , sinon, d V, O3 (R) = 0, et l'inegalite est vraie.

Dans toute la suite du probleme V designe un sous-espace vectoriel de dimension 
6
quelconque de M3 (R). On se propose de demontrer que d V, O3 (R) 6 1.

IV.A.2)

IV.A.1)

0
0
0

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

 a b
IV.A - Dans cette question seulement, V =  c d

e f

Page 2/3

III.C - Etude d'un exemple

1 0
0

Pour la matrice M = 0 1 - 2 definie dans la question II.D, calculer la
2
0
 0
distance d M, O3 (R) .

En deduire que d D, O3 (R) = kD - I3 k .

III.B.3)

i=1

i=1

i .

Si U  O3 (R), montrer que hU, Di 6

3
X

Si U  O3 (R), montrer que kD - U k =

III.B.2)

III.B.1)

3
X

III.B - Soit D = diag(1 , 2 , 3 ), ou les i sont dans R+ .

· Il existe D = diag(1 , 2 , 3)  W ou les i sont dans R+ , telle que
d W, O3 (R) = d D, O3 (R) .

· d W, O3 (R) = d V, O3 (R)

· dim(W) = dim(V)

III.A.2) En deduire que si V est un sous-espace vectoriel de M3 (R), il existe W
sous-espace vectoriel de M3 (R) verifiant :

Soient A  M3 (R) et U  O3 (R). Demontrer que kU Ak = kAU k = kAk.
En deduire que, pour tout A  M3 (R), il existe une matrice D diagonale a 
coefficients positifs telle que :

d A, O3 (R) = d D, O3 (R) .

III.A III.A.1)

Partie III - Distance a O3 (R)

MATHÉMATIQUES II

2
2

= kI3 - Dk + 2t2 hI3 - D, Ci + t2 2 (t)

· · · FIN · · ·

IV.J - Demontrer que d(V, O3 (R)) 6 1.

Page 3/3

Justifier que E  F est un cercle dont on determinera le rayon.
Quel est le diametre de E  G (c'est-a-dire la distance maximum entre deux de ses
points) ?

IV.I - Identifier geometriquement les ensembles suivants :

x2 + y 2 + z 2 = x + y + z ,
· E = (x, y, z)  R3

x+y =2 ,
· F = (x, y, z)  R3

3
· G = (x, y, z)  R
x+y >2 .

IV.H - Demontrer que x2 + y 2 + z 2 = x + y + z.

IV.G - Demontrer que l'un au moins des trois reels 2 - x - y, 2 - y - z, 2 - x 
- z
est negatif ou nul.
On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que 2 - x - y 6 0.

t0

avec 2 (t) -- 0. Qu'en deduire sur hI3 - D, Ci ?

I3 + t2 B + C + (t) - D

IV.F - Etablir que :

MATHÉMATIQUES II

Filière PSI

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Denis Conduché (ENS Ulm) ; il a été relu par Tristan
Poullaouec (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

L'objectif de ce problème est l'étude de la distance entre le groupe orthogonal 
O3 (R) et un sous-espace vectoriel quelconque de dimension 6 de M3 (R) à l'aide,
entre autres, de la décomposition polaire. L'espace vectoriel des matrices 3 × 
3 est
muni du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée.
L'épreuve se compose de quatre parties relativement autonomes ; la partie II 
peut
être traitée indépendamment du reste du sujet.
· Dans la première partie, on montre quelques résultats généraux sur les 
distances. En particulier, si P est un sous-espace vectoriel de M3 (R), la 
distance
de P à O3 (R) est égale à kA-Uk pour un certain couple (A, U) dans P×O3(R).

· La deuxième partie s'intéresse à la décomposition polaire. L'existence d'une
telle décomposition est démontrée dans le cas d'une matrice inversible, puis on
calcule explicitement la décomposition polaire d'une matrice M particulière.
· La troisième partie montre que, quitte à considérer un sous-espace vectoriel
isomorphe et à la même distance de O3 (R), la distance entre un sous-espace
vectoriel arbitraire et O3 (R) est la distance entre une certaine matrice 
diagonale
et la matrice identité. On applique ce résultat à la matrice M de la partie
précédente.
· La dernière partie s'intéresse au cas d'un sous-espace de dimension 6. À 
l'aide de
matrices de rotations bien choisies, on montre que la distance entre cet espace
et O3 (R) est toujours plus petite que 1.
Ce sujet donne l'occasion de manipuler des changements de bases et de réaliser
quelques calculs explicites sur des matrices 3 × 3. Il ne présente pas de 
difficulté
théorique majeure.

Indications
Partie I
t

I.A Utiliser la définition d'une matrice orthogonale : A A = I3 .
I.B Une partie fermée et bornée dans un espace vectoriel de dimension finie est
compacte.
I.C Montrer que l'application est 1-lipschitzienne.
I.D Une application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
I.E.1 Appliquer l'inégalité triangulaire, puis prendre la borne inférieure.
I.E.2 Montrer que  est 1-lipschitzienne.
I.F.1 Écrire la définition d'une borne inférieure, puis utiliser le résultat de 
la
question I.D.
I.F.2 Même indication qu'à la question I.D.
Partie II
II.A Si X est un vecteur propre de t M M pour la valeur propre , remarquer que
kMXk2 = kXk2 .

II.B Une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.
II.C Remarquer que M est une matrice diagonale par blocs, il suffit donc de 
décomposer chacun des blocs.
Partie III
III.A.1 Utiliser la décomposition polaire obtenue lors de la réponse à la 
question II.C,
puis diagonaliser la matrice symétrique dans une base orthonormée.
III.A.2 Se ramener à la question précédente en utilisant le résultat obtenu en 
I.F.2.
III.B.1 Se souvenir que kAk2 = hA | Ai.
III.B.2 Un calcul explicite suffit, en sachant que les coefficient d'une 
matrice orthogonale sont tous plus petit que 1.
III.B.3 L'opposé d'un maximum est le minimum des opposés.
Partie IV
IV.A.1 À l'aide des questions précédentes, se ramener à l'étude de kD - I3 k.
IV.A.2 L'identité est un élément de O3 (R).
IV.B Le point qui réalise la distance à un sous-espace vectoriel est le projeté 
orthogonal sur ce sous-espace.
IV.C Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel engendré par V et par les
matrices Ri (0).
IV.D Un simple développement limité de f à l'ordre 2 suffit.
IV.E Noter que d(V , O3 (R)) = kD - I3 k.
IV.G Expliciter en fonction de x, y et z le produit scalaire hI3 - D, Ci.
IV.I Pour calculer le diamètre de E  G, montrer que le centre de E n'est pas
dans G. Par conséquent deux points à distance maximale seront dans E  F.
IV.J Faire la synthèse des résultats des questions IV.G, IV.H, IV.I.

Le rapport du jury souligne que ce sujet traite « une partie essentielle du
programme ». « Le problème est très bien gradué et débute par une première
partie "facile", application directe du cours pour terminer par une quatrième
partie beaucoup plus "géométrique" qui exige des qualités de compréhension
et qui n'a été abordée, pour les questions difficiles, que par un nombre très
restreint d'élèves. »
En conclusion, le jury « pense que ce sujet a très bien rempli son rôle.
L'écart-type est particulièrement important et les bonnes copies qui révèlent
compréhension et connaissances obtiennent des notes en correspondance avec
les qualités manifestées ». En effet, « les très bons candidats font preuve tout
à la fois de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des
enjeux du sujet proposé. » En revanche, le jury déplore « dans d'autres copies
des fautes de raisonnement grossières et des erreurs portant sur des notions
de base qui révèlent une incompréhension totalte de concepts élémentaires »
et recommande de ne pas se « réfugi[er] dans une argumentation fausse dès
la première ligne sans se préoccuper de la moindre vraisemblance ».
La première partie a « largement été abordée par la plupart des candidats
et s'est révélée d'emblée très discriminante ». Le début de la troisième partie
« est d'un niveau soutenu : seuls les très bons candidats ont pu faire la 
partie III.A.2 . Mais la suite du problème pouvait être traitée indépendamment
de cette partie, en admettant le résultat final. » Enfin, « la question IV.B et
la seconde partie de IV.C sont partculièrement difficiles (et intéressantes) et
n'ont presque pas été traitées ».

I. Généralités sur les distances
I.A Soit A  O3 (R) une matrice orthogonale. Par définition elle vérifie t A A = 
I3 ,
ce qui entraîne
kAk2 = Tr ( t A A) = Tr (I3 ) = 3

Ainsi,
kAk = 3
I.B D'après le résultat de la question précédente, O3 (R) est inclus dans la 
sphère

de rayon 3 et de centre la matrice nulle, par conséquent c'est une partie 
bornée.
De plus, si on note f : M 7 t M M, f est une application continue, car 
polynomiale
en les coefficients de M, et O3 (R) = f -1 ({I3 }). Donc O3 (R) est fermé comme 
image
réciproque par une application continue d'un ensemble fermé. Par conséquent O3 
(R)
est fermé et borné dans un espace vectoriel de dimension finie, c'est-à-dire que
O3 (R) est un compact de M3 (R).
D'après le rapport du jury, « plus de la moitié des candidats ont affirmé que
"O3 (R) est un sous-espace vectoriel" et utilisé le théorème de Pythagore ».
D'autres candidats ont défini O3 (R) 
comme « l'image réciproque de {-1, 1}
par l'application déterminant ou de 3 par l'application "norme" »...
I.C Pour tout (M, M )  M3 (R), la seconde partie de l'inégalité triangulaire 
s'écrit
kMk - kM k 6 kM - M k

Ceci signifie que la norme M 7 kMk est une application 1-lipschitzienne.

Conclusion :

L'application M 7 kMk est continue.

Une autre démonstration existe, dans le cas présent, car la norme est la
fonction composée suivante
p
kMk = Tr (f (M))
t

où les fonctions f : M 7 M M, trace et racine carrée sont continues. Ainsi,
la norme est continue comme composée d'applications continues.
Rappelons comment s'obtient la seconde partie de l'inégalité triangulaire. 
Soient u et v deux éléments d'un espace vectoriel normé E. L'inégalité
triangulaire classique pour u - v et v s'écrit
kuk = k(u - v) + vk 6 ku - vk + kvk
Par conséquent
kuk - kvk 6 ku - vk
En échangeant u et v, et puisque kv - uk = ku - vk, il vient
kvk - kuk 6 ku - vk.

Ceci entraîne finalement l'inégalité cherchée :

kuk - kvk 6 ku - vk

I.D Soit A  M3 (R). L'application fA : M3 (R)  R définie par fA (U) = kA - Uk
est continue en tant que composée d'applications continues. Sur le compact O3 
(R),
elle est donc bornée et atteint sa borne inférieure d(A, O3 (R)). Ainsi,
Il existe U  O3 (R) tel que d(A, O3 (R)) = kA - Uk.
I.E.1 Par définition, d(M, O3 (R)) =
U  O3 (R)
Ainsi,

Inf

UO3 (R)

kM - Uk, ce qui entraîne

d(M, O3 (R)) 6 kM - Uk 6 kM - Nk + kN - Uk

U  O3 (R)

d(M, O3 (R)) 6 kN - Uk + kN - Mk

L'inégalité précédente étant vraie pour toute matrice U  O3 (R), elle est vraie
pour une matrice U qui vérifie d(N, O3 (R)) = kN - Uk. Une telle matrice existe
d'après le résultat de la question I.D, donc
d(M, O3 (R)) 6 d(N, O3 (R)) + kN - Mk
I.E.2 L'inégalité obtenue lors de la réponse à la question I.E.1 peut s'écrire
M, N  M3 (R)

Or (M) = d(M, O3 (R)), ainsi

d(M, O3 (R)) - d(N, O3 (R)) 6 kN - Mk

M, N  M3 (R)

(M) - (N) 6 kN - Mk

Par symétrie des rôles joués par M et N, il vient
M, N  M3 (R)

donc  est 1-lipschitzienne. Par suite,

|(M) - (N)| 6 kN - Mk

L'application  est continue.