Centrale Maths 2 PSI 2007

Thme de l'preuve Perspective cavalire
Principaux outils utiliss algbre linaire, espaces euclidiens, coniques
Mots clefs perspective cavalire, ellipse, projection d'une sphre sur un plan

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 PSI 2007 -- Corrig
Ce corrig est propos par Jean Starynkvitch (Professeur en CPGE) ; il a t 
relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Le problme traite de la modlisation mathmatique de la perspective cavalire.
Une perspective est un moyen de reprsenter un objet de l'espace par un dessin 
sur
un plan ; sur le plan mathmatique, elle est dcrite par la donne d'une 
application p
de R3 dans R2 .
Les deux types de perspectives les plus utilises sont la perspective cavalire 
et la
perspective classique. La perspective cavalire est la plus commode pour faire 
des calculs prcis (c'est notamment celle utilise par les ingnieurs) ; pour 
cette perspective,
l'application p est linaire. La perspective classique est utilise depuis la 
Renaissance
pour reprsenter notre impression visuelle.
Cube en perspective cavalire

Cube en perspective classique

L'esprit du sujet est assez classique. Pour les candidats peu  l'aise avec les 
problmes de gomtrie, sa principale difficult est de savoir transposer une 
proprit
gomtrique en proprit analytique sur des coordonnes.
 La premire partie traite de gnralits concernant une modlisation de la 
perspective cavalire.
 La deuxime partie tudie l'image d'une sphre dans une telle perspective.
On montre qu'il s'agit d'une ellipse.
 La troisime partie tudie un balayage de l'ellipse en question par des 
cercles
via un recouvrement de la sphre par d'autres cercles.
Les diffrentes parties, de difficult progressive, sont raisonnablement 
indpendantes entre elles. Inversement,  l'intrieur d'une partie, les 
questions sont fortement
dpendantes les unes des autres et doivent tre traites dans l'ordre. Enfin, 
les notations introduites dans une partie sont parfois voques dans une partie 
ultrieure.
On retiendra qu'il s'agit d'un problme tout  fait classique de gomtrie pour 
le
concours Centrale-Suplec.

Indications

I.A.1
I.B

I.C.1
I.C.4
I.D.2.a
I.E.2
I.E.3
I.E.4

Partie I

On trouve notamment Ker p = Vect (-
 ).
La rponse est non : lever au carr l'ingalit, et dvelopper, en tudiant
l'ingalit comme un trinme de la variable z (les variables x et y considres
comme paramtres).
Raisonner par double inclusion.
Adapter ce qui a t fait  la question I.C.3.
Raisonner par quivalence, ou bien par analyse-synthse.
Raisonner par analyse-synthse, en cherchant u par sa matrice (dont les
coefficients seront pris comme inconnues) dans la base canonique.
Utiliser le fait que, dans un trinme de la forme 2 + B + C, le terme C
correspond au produit des racines du trinme.
Distinguer le cas (a, b) = (0, 0) des autres cas.
Partie II

II.A.1 Montrer (en raisonnant par quivalence) que, pour Y donn dans R3 , on a
Y  p-1 {}  Y  D . Pour la dernire sous-question, utiliser l'quation 
paramtre de D et l'quation cartsienne de S.
II.A.2 Utiliser la condition portant sur le signe du discriminant d'un trinme 
pour
connatre le nombre de ses racines relles.
II.A.3.c Si vous ne savez pas rpondre aux premires questions, il est temps de 
rviser
votre cours sur les coniques. Pour vrifier que F et F sont bien les foyers,
utiliser la caractrisation focale de l'ellipse.
x cos  + y sin 
II.B.1 On trouve t0 = -
2

II.B.3 Pour bien mener le calcul de  p(X) , garder le plus longtemps possible
l'expression z, pour ne la remplacer qu'au dernier moment par sa valeur en
fonction de (x, y),  partir de l'quation de P0 .
Partie III
III.B.1 Raisonner par quivalence, comme  la question II.A.1.
III.B.2 Utiliser l'quation paramtre du cercle C et une quation cartsienne 
du

plan P0 = {-
 } .

R sin  cos 
III.B.4 On trouve  =
et R = R cos . Pour montrer que l'ensemble
R sin  sin 
des p(C ) recouvre p(S), utiliser l'expression en coordonnes polaires d'un
point gnrique de S.
III.B.5 Exprimer par une ingalit portant sur la distance entre les centres 
d'une
part, et les rayons d'autre part, une condition d'intersection (ou non) de
deux cercles.
III.D Considrer une famille de cercles (C ) , intersections de S et d'un plan 
parallle au plan 2 appartenant au cne isotrope de q introduit  la question 
I.D.1.

I. Gnralits
I.A.1
 Montrons que p est une application linaire. Soient X1 = t (x1 y1 z1 )
t
et X2 = (x2 y2 z2 ) deux vecteurs de R3 , et  un scalaire. On a

x1 + x2
p(X1 + X2 ) = p  y1 + y2 
z1 + z2

(x1 + x2 ) - (z1 + z2 )
=
(y1 + y2 ) - (z1 + z2 )
=

(x1 - z1 ) + (x2 - z2 )
(y1 - z1 ) + (y2 - z2 )

p(X1 + X2 ) = p(X1 ) +  p(X2 )
Donc p est bien une application linaire de R3 dans R2 . En crivant en colonne
l'image des vecteurs de la base canonique de R3 , on trouve que la matrice de p
dans la base canonique est

1 0 -
P = Mat -
(p)
=
 M2,3 (R)

-

0 1 -
(
i ,-
, k )
t

 Dterminons le noyau de p. Soit X = (x y z)  R3 . Nous avons les quivalences 
suivantes
X  Ker p

X  Ker p
Ainsi

Ker p = Vect

p(X) = 0
x - z = 0 et y - z = 0
x = z et y = z
t
X = z (  1)

X  Vect t (  1)
t

(  1) = Vect (-
)

 Dterminons l'image de p. Plus prcisment, montrons que p est surjective.
 Premire mthode (explicite) :
t
Soit U = (x y)  R2 . Posons
t

X = (x y 0)  R3
On a alors p(X) = U, c'est--dire que U est dans l'image de p. On a donc
montr que R2  Im p et, l'inclusion rciproque tant vidente, il vient
Im p = R2
 Deuxime mthode (dtermination du rang de p) :
Le thorme du rang qui, appliqu  p, donne
dim Ker p + dim Im p = dim R3
montre que Im p est un sous-espace de R2 de dimension 2 (ce qui peut
galement tre montr en constatant que la matrice de p dans la base
canonique est de rang 2), et donc est gal  R2 .

La premire question est trs classique et sans difficults, mais il s'agit de 
la
premire question du problme que lira le correcteur. Il est donc important
de rdiger bien et rapidement, pour donner une bonne impression.
I.A.2 Ci-dessous, une reprsentation dans le plan des vecteurs images par p de 
la
base canonique de R3 . Par le calcul, on trouve :

 p -
i = (1, 0)

 p -
 = (0, 1)

-
-

p 
 p k = (-, -)
-
-

p i
-

-

p k
t

I.B Calculons p  p. Pour X = ( x y z)  R3 , on a :

x - z
x - z
p  p(X) = p  y - z  = y - z  = p(X)
0
0

de sorte que

pp=p

L'endomorphisme p est donc un projecteur. Son noyau est Vect -
 et son image

- ) paralllement 
est Vect -
i ,-
 ). En rsum, p est la projection sur Vect -
i ,

-

-

-
2
Vect  . Identifions maintenant le plan Vect i ,  )  R via l'application 
linaire
(
R3 - R3
:
(x, y, z) 7- (x, y)

-  sur R2 . On a alors clairement
qui ralise une bijection de Vect -
i ,
p=p

Ainsi

p peut s'interprter comme une projection de R3 sur R2 .
t

Pour X = (x y z)  R3 , nous avons les quivalences suivantes :
kp(X)k 6 kXk 

kp(X)k 6 kXk 

kp(X)k2 6 kXk2
(x - z) + (y - z)2 6 x2 + y 2 + z 2
z 2 (1 - 2 -  2 ) - 2z(x + y) 6 0

Puisque  et  sont deux rels strictement positifs, on peut fixer x et y tels que
x + y soit non nul. Sous cette condition, le trinme en z

z 2 (1 - 2 -  2 ) - 2z(x + y) = z z(1 - 2 -  2 ) - 2(x + y)

a deux racines relles distinctes, et n'est donc pas de signe constant. 
Finalement,
Il existe au moins un X  R3 tel que kp(X)k > kXk .