Centrale Maths 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Représentation algébrique et graphique de sous-ensembles de {M}2 (R)
Principaux outils utilisés matrices symétriques, matrices orthogonales, norme matricielle, segments et droites de l'espace des matrices, réduction des endomorphismes en dimension 2, trigonométrie, surfaces de révolution, coniques

Corrigé

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_oen_......___... ! _ , _? .  1 __ oe...30Ç<â...E<ë. ...>...............

m8w omäQ:æ- -oeËÈoeU 83880

Notations. Dans tout le problème, on ne considère que des matrices carrées 
réelles.

On désigne par E l'espace vectoriel réel des matrices carrées (réelles) d'ordre 
2, c'est-J
a b
c d

_tmce Tr(M ) = a + d et de son polynôme caractéristique

à--dire à 2 lignes et 2 colonnes. Si M = < > E E, on rappelle la définition de 
sa '

XM : a: E R 1--------> det(oelb-- M),

où llz désigne la matrice identité et det le déterminant d'ordre 2.
En outre, on identifie les espaces vectoriels réels R2 et 93îg 1(R) et on munit 
R2 de
, Son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée.

On pose donc, pour x = (ÿ) & R2, HXII = ,/æî +æâ.
2

On rappelle enfin qu'une matrice carrée réelle A d'ordre 2 est orthogonale si, 
et

seulement si, "AA : ll2. L'ensemble des matrices orthogonales réelles d'ordre 2 
est _
noté 02.

On désigne par 52 l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.

Partie I - Généralités

I.A --

I.A.1) Démontrer que si deux matrices de E sont semblables, elles ont même trace
et même polynôme caractéristique. La réciproque est--elle vraie ? Justifier la 
réponse.

I.A.2) Démontrer que (I) : (M1, M2) 1----> Tr('M1 M2),définit un produit 
scalaire
sur E. Pour la suite du problème, E pourra être muni de la norme associée à ce
produit scalaire.

1
I..A 3) Démontrer que, pour toute matrice M E E, on a |det(M )] Tr("M M )

Quand y a--t- il égalité?

I.A.4) Pour MEUR E et a: EURR,exprimer XM(a') en fonction de a:, Tr(M) et 
det(M).
En conclure que 1 est 'une valeur propre de M si, et . seulement si,
Tr(M) : 1 + det(M). '

I.B -. La décomposition UDV
' a b

On donne dans cette question M = (c d

) élément de E, avec (a, b, c,d) EUR R4.

1.3.1) * Si 9 6 R, on pose P(9) : (ÊÎÊÉ ÎZÊÏSHHÛ) et 

Partie II - Les ensembles .% et .5"

On désigne par 9? l'ensemble des matrices M E E telles que HM X "{  VX 5 R2, tXtM MX < tX X.

_ n.o.2)

a) Si M E E. justifier le fait que le polynôme caractéristique de tM M est de 
la forme
(cc -- À1)(oe ---- À2), avec /\1 et À2 réels.
Démontrer ensuite que ces réels sont positifs ou nuls.

On pourra considérer des erpressz'ons de la forme tX tM MX .
b) Démontrer que M EUR 9? si, et seulement si, les valeurs propres de tM .M 
appar--

tiennent à [O, 1].

II.D - Déduire en particulier deII.C.2.a que

' thM) <-- 1+)2 '
MGÆÇ=>{TÏÜMM) < '2 e

II.E -- On définit .? comme :

5"= {M595 | ElXO EURR2, X05£0> llMX0ll : llX0ll}'

II. E. 1) En'reprenant les calculs de Il. C. 2. a, démontrer que M appartient a 
.5" si,
et seulement si, le polynôme caractéristique de tM M est de la forme (oe-- 
À)(oe-- 1),
où A EUR [O, 1].

II.E.2) Si M E E, on l'écrit sous la forme M : P(f1)DP(tg), où (t1, t2) E R2 et
oùD=(ä 2)aveca0 '

a) Déterminer les valeurs propres de tM M en fonction dec) et 5 .

b) Démontrer que M EUR .5" si, et seulement si, il existe U et V, matrices 
orthogonales

d' ordre 2 et 7 EUR [---1, 1] tels que M-- - U (3 (1)) V.

II.E.3) En déduire que, si M est une'matrice non orthogonale de Y , il existe 
des

matrices orthogonales W et W' d'ordre 2 telles que M appartienne au segment
[WW'l-

On pourra montrer d'abord que si M est de la forme (3 (1))' avec 7 EUR] -- 1 
,,1[

on peut choisir W et W' orthogonales et diagonales telles que M appartienne au
segment [WW'].

II.F' - On "désigne par El l'ensemble des matrices de la forme (a --b>, avec.

b a
c d 2
d --c ,avec (c,d) EUR R .

II. F. 1) Démontrer que E1 et E2 sont deux sous-espaces vectoriels 
supplémentaires
de E orthogonaux au sens du produit scalaire  défini en I. A. 2.

(a, b) É R2 et par E: l'ensemble des matrices de la forme (

II. F. 2) Démontrer que El contient toutes 'les matrices orthogonales d'ordre 2 
et

de déterminant +1 et que E2 contient toutes les matrices orthogonales d' Ordre 
2 et
de déterminant --1. » ...

II.F.3) Lorsque M est une matrice non orthogonale de .5" , déduire de ce qui 
précède
le nombre de segments [WW' ] -- où W et W' sont orthogonales -- contenant M.

Partie III - Définition de l'ensemble %"

III.A - _ .
III.A.1) Si M : (î Z), démontrer que que M EUR 5" implique

a2+b2+62+cl2=1+(ad--bc)2

On désigne par % l'ensemble des matrices M EUR E vérifiant cette dernière 
relation.

III.A.2)

a) Réciproquement, à quelle condition, vérifiée par son déterminant, une matrice
M EUR %" appartient-elle à 5" ?

b) Démontrer qu'une matrice M EUR %" appartient à 5" si et seulement si TT('M 
M) $ 2.

III.B _-

-III.B.1) Si (A, B) EUR El >< E2, calculer det(A + B) en fonction de det(A) et 
de
det(B). ' .! ' »

Si (M1, M2) EUR E2, avec M1 # M2 on définit la droite affine (M1M2) comme
l'ensemble des matrices de la forme (1 -- t)M1 + tM2, où t décrit R. Dans
la suite, on l'appellera droite (M1M2).

III.B.2) Dém0ntrer que, si W et W' sont des matrices orthog0nales éléments de E,
telles que det(W) : +1 et det(W' ) = --1, la droite (WW' ) est incluse dans %" .
Réciproquement, % est--elle réunion de droites de cette forme ?

Partie IV - Représentatiàn graphique de %"

IV.À - Si M E E, on rappelle que le polynôme caractéristique de tM M est de la
forme (a: ----' À1)(oe ---- /\2), avec (À1,À2) EUR R2, À1 > 0 etÀ2 ; 0. Pour 
fixer les idées, on
suppose0 < À1 < Àg.

On suppose M # 0". Déterminer en fonction de Al et À2 le nombre de réels t 
positifs
tels que tM EUR % . On en trouvera << en général >> deux, et on interprétera
les cas particuliers.

\

On étudie a partir de cette question l'intersection de %" avec certains

sous--espaces vectoriels de E. On commence par des exemples de plans
vectoriels. '

a:
, fi ?!
IV.B -- Soit P1 l'ensemble des matrices de la forme //{1(æ, y) = 0 au
' 75

IV.B.1) Déterminer les matrices orthogonales qui sOnt dans Pl.

IV.B.2) Dans cette question, on identifie J/li(oe, y) avec le point (a:, y) de
R2 muni de son produit scalaire canonique et de son repère orthonormal

canonique. On procédera à desidentifications analogues dans les] ques--
tions suivantes.

a) "Démontrer que %" 0 P1 est la réunion de deux coniques "& et "fig.
Déterminer 'Ë1 fi fig.

b) Représenter par un dessin %. 0 P1 et .5" FTP1 dans le plan P1.

a: m
IV.C - Soit P2 l'ensemble des matrices de la forme //12 (33, y) = <% 75). Soit
0 y '

(u, 0) EUR lR2 ; on ne demande pas de vérifier que la relation du III.A.1 
implique
.//lg(æ, y) EUR % ñP2 <=) 562312 +2(oe2+y2 -- 1) =0

Étudier et représenter par un dessin % 0 P2 et 5" 0 P2 dans léplan P2 (on pourra
discuter et résoudre l'équation par rapport à la variable y).

IV.D - Exemple d'intersection de %" avec un sous--espace de dimension 3

On désigne par 82 l'espace vectoriel des'matrices symétriques réelles d'ordre 
2.--

IV.D.1) Démontrer qu'une matrice M EUR 82 appartient à % si, et seulement si,
elle admet une valeur propre égale à. +1 ou a --1.

On admet qu'une base orth0normale de 82 est @ : (M1, M2, M3), avec

M1=_Ë(â31),M.=È(çg),m=%@ï)

IV. D. 2) En écrivant une matrice de 82 sous la forme xM1 + yM2 + ZM3, décrire»
l'ensemble Ca des matrices de 82 admettant le réel donné a comme valeur propre.
En déduire une description de % fi Sg.

IV...D 3) Soit 9 E R et N:: P(9)M(oe, y,z z)P(9)"l; démontrer que c'est une
matrice de la forme M (u v, w) et exprimer (u, v, 7.0) en fonction de (a:, y,z 
2.) In--
terpréter certains des résultats de la question IV. D. 2.

lV.D.4) Représenterpar un dessin %" n 82 et 5" fi SZ.

oooFINooo

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Centrale Maths 2 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien
Lévy (Professeur en CPGE) et Arnaud Durand (ENS Cachan).

Cette épreuve est un long enchaînement de petits exercices sur des matrices 
réelles
en dimension 2.
Les questions successives permettent de mettre en oeuvre toutes les notions du
programme d'algèbre linéaire, des propriétés de la trace jusqu'à la réduction 
des matrices réelles symétriques. Une incursion finale dans les représentations 
de courbes et
de surfaces coniques permet, comme souvent dans les épreuves du concours commun
Centrale-Supélec, de tester l'habileté des candidats en géométrie.
· L'objectif de la première partie est de présenter les notions utilisées et 
d'introduire une décomposition des matrices utile dans toute la suite du 
problème.
· La deuxième partie permet de caractériser des ensembles de matrices dont
l'étude forme l'essentiel du sujet.
· La troisième introduit un nouvel ensemble, vu comme une union de droites
dans l'espace des matrices. À partir de ces questions, l'énoncé devient de plus
en plus un problème de géométrie.
· La quatrième partie relie les ensembles étudiés précédemment à des coniques
du plan et de l'espace, et se termine par l'étude et la représentation graphique
de ces fonctions.
Le problème, qui permet de s'exercer en même temps en algèbre linéaire et en
géométrie, est concret et original mais relativement long. S'il ne comporte pas 
de
difficultés majeures, il utilise sans cesse les résultats démontrés dans les 
parties précédentes, et de nombreuses questions sont astucieuses ; on peut 
rester bloqué faute
de trouve la bonne idée.

Indications
Partie I
I.A.3 Utiliser, après l'avoir démontrée, l'inégalité a2 + d2 > |2ad| pour tous
réels a et d.
I.B.2 Utiliser le fait que les matrices symétriques sont diagonalisables en base
orthonormée, ce qui permet de mettre MP(1 ) sous la forme QDQ-1 avec
D diagonale et Q orthogonale. Puis utiliser le fait que l'endomorphisme
associé à la matrice orthogonale Q en dimension 2 est soit une rotation,
auquel cas Q est de la forme P(t), soit la composée d'une rotation et d'une
symétrie.

Partie II
II.D Exprimer t MM (x) sous la forme x2 - Tr (t MM)x + det(t MM) et étudier le
signe de t MM (1).
II.F.3 Noter que l'expression M = tW + (1 - t)W peut se voir comme la 
décomposition de M sur les sous-espaces supplémentaires E1 et E2 , ce qui assure
l'unicité de t, W et W .

Partie III
III.B.2 Montrer que Tr (t MM) = 1 + (det M)2 , en tant qu'égalité entre deux 
polynômes en t, pour t défini par la relation M = tW + (1 - t)W avec W et W
des matrices orthogonales de E de déterminants 1 et -1. Pour ce faire,
utiliser la question précédente.

Partie IV
IV.B.2.b On peut déduire de la question III.A.1 que S  H , ce qui implique
S  P1  H  P1
IV.C Ne pas utiliser l'indication de l'énoncé. Les variables x et y sont de 
toute
façon interchangeables dans l'équation donnée par l'énoncé.
IV.D.2 Reconnaître dans z 2 = x2 + y 2 l'équation d'un cône d'axe Oz.

I.

Généralités

I.A.1 Supposons que A et B sont deux matrices semblables de E, c'est-à-dire 
telles
qu'il existe M inversible vérifiant A = M-1 BM.
Le polynôme caractéristique de A est défini par A (x) = det(xI2 - A).
Le polynôme caractéristique d'une matrice M sur un espace de dimension
quelconque d est le plus souvent défini sous la forme det(M - xId ). On a alors
det(xId - M) = det(-(M - xId ))
= det(-Id ) det(M - xId )
det(xId - M) = (-1)d det(M - xId )
C'est seulement dans le cas d'un espace de dimension paire ­ ce qui est
bien le cas de R2 , l'espace utilisé dans ce problème ­ que det(-Id ) = +1.
Les deux définitions reviennent au même dans ce cas.
Remplaçons A par M-1 BM dans l'expression de A .
A (x) =
=
=
=
=
A (x) =

det(xI2 - M-1 BM)
det(M-1 (xI2 - B)M)
det(M-1 ) det(xI2 - B) det M
(det M)-1 det(xI2 - B) det M
det(xI2 - B)
B (x)

Les polynômes caractéristiques de A et B sont donc identiques.
Par ailleurs, la trace d'une matrice est l'opposé du deuxième coefficient de son
polynôme caractéristique. Vérifions-le dans le cas de E, en posant

a b
A=
c d
On a alors

det (xI2 - A) =

x-a
-c

-b
x-d

= (x - a)(x - d) - bc
A (x) = x2 - (a + d)x + (ad - bc)
On a donc A (x) = x2 - Tr (A)x + det(A) et de même B (x) = x2 - Tr (B)x + 
det(B).
Comme les deux matrices A et B de E ont même
polynôme caractéristique, elles ont même trace.
On peut aussi démontrer que les traces de deux matrices semblables sont
égales en écrivant Tr (A) = Tr (M-1 BM) et en utilisant la formule classique
(X, Y)  E2 ,

Tr (XY) = Tr (YX)

En prenant X = M-1 et Y = BM, on obtient
Tr (A) = Tr (M-1 BM) = Tr (XY) = Tr (YX) = Tr (BMM-1 ) = Tr (B)

Démontrons à présent que la réciproque est fausse. Soit Z la matrice

0 1
0 0
Il apparaît que Tr (Z) = 0 et Z (x) = x2 . Z a donc même trace et même polynôme 
caractéristique que la matrice nulle 0E , mais elles ne sont pas semblables
puisque M-1 0E M = 0E pour toute matrice M inversible de E. Or, Z n'est pas la
matrice 0E .
La réciproque est donc fausse : si deux matrices ont même trace et
même polynôme caractéristique, elles ne sont pas nécessairement
semblables.
I.A.2 Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. 
Il est
clair que l'application  qui à (M1 , M2 ) associe Tr (t M1 M2 ) va de E × E 
dans R.
Vérifions les propriétés qui définissent le produit scalaire en considérant M1 
et M2
deux éléments de E et a un réel.
· Symétrie : pour toute matrice A dans E, on sait que Tr (t A) = Tr (A), donc
(M1 , M2 ) = Tr (t M1 M2 ) = Tr (t (t M1 M2 )) = Tr (t M2 M1 ) = (M2 , M1 )
ce qui démontre que  est symétrique.
· Bilinéarité :  étant symétrique, il suffit de montrer la linéarité en l'une 
des
variables, par exemple la seconde. Comme la trace est linéaire, on peut écrire
(M1 , aM2 + M3 ) =
=
=
(M1 , aM2 + M3 ) =

Tr (t M1 · (aM2 + M3 ))
Tr (a · t M1 M2 + t M1 M3 )
a Tr (t M1 M2 ) + Tr (t M1 M3 )
a(M1 , M2 ) + (M1 , M3 )

On en conclut que  est bilinéaire.

a b
un élément de E. On peut
c d
écrire que (M, M) = Tr (t MM) est en fait la somme des carrés des coefficients
de la matrice M. Ce résultat est vrai quelle que soit la dimension de l'espace,
mais peut se vérifier aisément en dimension 2

a c
a b
t
Tr ( MM) = Tr
·
b d
c d
 2

a + c2 ab + cd
= Tr
ab + cd b2 + d2

· Caractère défini et positivité : soit M =

Tr (t MM)=a2 + b2 + c2 + d2
Les coefficients de M étant réels, leur carré est toujours positif. Le réel Tr M
est une somme de carrés, il est donc positif, et ne peut être nul que si tous
les coefficients de M sont nuls. On a donc (M, M) > 0 et (M, M) = 0 est
équivalent à M = 0E .
On peut en conclure que  est une forme bilinéaire symétrique définie positive
sur E c'est-à-dire que
 est un produit scalaire sur E.