Centrale Maths 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des matrices réelles sans valeur propre réelle
Principaux outils utilisés opérations élémentaires sur les matrices, diagonalisation, polynômes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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_oen..._ e......___... _ , __ m...:QÈËEË ëä......... &

m8w uoe>oeQ:OE - QOEÈOEQ 93850

Rappels,'notaüons et objectifs du problème

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et
/Ïn( EUR) l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n. De plus :

. /Æ,, désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n ;
0 si A E%,,( C) , on note Ai, j le terme de A situé sur la ligne i et la 
colonne j ;

0 pour (a, B) E IR2 , M(a, B) est la matrice E; 'B] ;

CX. ,

c si (av ...,ap) ' et (51, ...,BP) sont . dans IE" , on désigne par

diag (M(av BI), M(a2, BZ), M(ap, B,,» la matrice de %2p définie par blocs

carrés d'0rdre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs
diagonaux M(av BI), M(a2,132), ..., M(Gp, Bp) ;

0 I n--- est la matrice unité diag(l, ...,1)' élément de %,, ;

0 On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une
matrice et leur codage : \

échange des lignes i et j

multiplication de la ligne i par a == 0

ajout de la ligne j , multipliée par le scalaire )» , à la ligne i (i ; j ) Li 
<-- Li + LL].

On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une
matrice.

Si A EÆ',, et si E est la matrice obtenue à partir de In par utilisation d'une 
opé-
ration élémentaire, alors EA (resp. AE ) est la matrice obtenue à partir de A en
effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de A
(on ne demande pas de démontrer ce résultat).

On confond respectivement :

' matrice et endomorphisme de IR" (resp. EUR" ) canoniquement associé,
0 vecteur de IR" (resp. C" ) et matrice colonne de ses coordonnées,

0 matrice de taille 1 et scalaire la constituant.

On rappelle qu'une symétrie s de IR" est un automorphisme de IR" vérifiant
32 '= s 03 : Idmn ;il existe alors deux sous--espaces supplémentaires E1 et E2 
tel
que 3 soit la symétrie par rapport à E1 parallèlement à E2 , définie par :

s| : ME] et s|Ë2 : --IdE2.

En

Préciser la s étrie s , c'est déterminer les sous--es aces E et E associés.
1 2

On note (P A) la propriété :

(P A) _ A ne possède pas de valeur pr0pre réelle

Le but de ce problème 'est d'étudier des matrices de %n vérifiant la
propriété (P A).

Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particu--
liers dans les parties I et II et (incas plus général dans la partie III.

Résultats préliminaires

1) On se propose de démontrer le résultat suivant :
« deux matrices de %,," semblables dans %,,'( C) sont semblables dans %,. ».

Soit donc A et B deux matrices de "%,, semblables dans %,,(C) et P un élé--
ment de GLn(C) tel que A : PBP"'.

a) Montrer qu'il existe R, J EUR%n tels que P = R + iJ avec i2 = -- .
b) Montrer que, pour tout't EUR EUR , A(R + tJ) : (R + tJ)B .

0) Montrer qu'il existe to EUR IR tel que det(R + tOJ ) == 0 .

d) En déduire que A et B sont semblables dans % ,, .

2)

a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au
moins une racine réelle.

b) En déduire que s'il existe une matrice A de %,, vérifiant (P A) , alors n est
pair.

Dans toute la suite du problème, on suppose n pair et on note n = 2 p
avec p & ]N \{O}.

Partie I -

LA - Dans cette section I.A.1, on se place dans IR2 et on désigne par (el, 92) 
la
base canonique, avec e1 : (1,0) et e2 : (0,1).

I.A.1) On cdnsidère la matrice M (O, 1) = {O "I] et on désigne par u l'endo-
morphisme associé. 1 0

a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de 31 , symétrie par rapport
àla droite IRe1 parallèlement àla droite IRe2 .

b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l'application u os1 . ,
En déduire qu'il exiSte une symétrie 32 , qu'on précisera, telle que u = 32 o 
31 .

I.A.2) On considère la matrice A = E " :l.

a) Montrer que A est semblable à M(O, l) et donner une matrice P de /Æ2 à
coefficients entiers et de déterminant 1 telle que M(O, ]) : P'1AP.

b) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de
deux symétries qu' on précisera.

Soit on et B des nombres réels tels que {SZ--az : 1 et B : [È 43} .

c) Montrer que B est semblable a M(O, 1) et donner une matrice Q de %2 telle
que M(O, 1)= Q"BQ.

Indication : on pourra calculer Be1 : B [à] .

d) Montrer que B est la matrice, dans la base canonique, de la composée de
deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.

LA 3) On considère 1la matrice M(a, B)= [" '5] où a et B sont des nombres
réels tel que a2 + [32 B "

Montrer que M (a, B) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de
deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.

I.A.4) On considère à présent la matrice M (a, B): {a --[3] où a et B sont des
(1

nombres réels tels que a2 + {32 == 0. Montrer que M (a, B) est la matrice, dans 
la

base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie.

cd

a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de
A pour que (P A) soit réalisée.

b) En supposant que A vérifie (P A) , et en étudiant la diagonalisation dans
%2( EUR) de A , montrer qu'il existe une unique matrice, semblable à A , du type

M(a, B) avec a réel et |?» réel strictement positif. Expliciter a et B en 
fonction de
a , b , c et d .

c) Que peut--on dire de det(A) si A vérifie (P A) et est dans /Æ3 ?

d) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de
deux symétries et d'une homothétie.

I.A.5) Soit A = {a "] appartenant à %2.

LA. 6) On suppose que IR2 est muni de sa structure euclidienne orientée
canonique (i. e. (e,, e2) est orthonormée directe). Que sont 2alors les 
endomorphis--

mes de matrice M(a, B) (avec a et B réels tels que (1 22+6 #0) dans la base
canonique?

LB - Soit B une matrice de %,, vérifiant B2 : Ip. Soit A la matrice de %,,

définie par blocs sous la forme A = F; "îä .

I.B.1) Montrer que B est diagonalisable dans %,, et qu'il existe une matrice
Q de %,, inversible, des entiers naturels q et r tels que Q"IBQ soit sous la

forme d'une matrice par blocs {% î:]
_ r

On convient que cette matrice vaut I p lorsque r = 0 et q = p

et qu'elle vaut --Ip lorsque q = 0 et r = p .

I.B.2) Déterminer une matrice par blocs P de %,, inversible et constituée de

multiples de I p telle que : P"1 AP : [; "fl .

I.B.3) En déduire que A est semblable dans %,, àla matrice
0 --Iq 0
0 [,
[IQ o} 0
o --1,

13.4) Montrer alors que A est semblable dans %,, à une matrice du type
diag(M(0, l), M(O, 1),.. .,,M(O l)).

I.B.5) Exemple . on considère dans /%4 la matrice

46--10--15

A: --2--4 510_
2 3 --4 --6
-1--22 4

a) Déterminer une matrice inversible M de %.; telle que
M'AM = diag(M(0, 1), M(O, 1)).

b) En utilisant la technique vue à la question LA 1, montrer que A est la

matrice, dans la base canonique de IR4 de la composée de deux symétries qu' on
précisera.

Partie II -

II.A - Dans cette question, A désigne une matrice de %,, telle que A2 = --I n .
II.A.I) Montrer que (P A) est réalisée.

II.A.2) Si E est obtenue à partir de I n par utilisation d'une opération 
élémen--
taire, comment déduit-on EAE"1 de A ?

On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :
a)Li <--> L j ,
b)L,-- *-- aL, avec a & IR* , _
c)L,+--Li+ij avec kEIR. . \>

II.A.3)

a) En utilisant II.A.1, montrer qu'il existe iz 2 tel que Ai,1 :: 0 .

b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe P EJÆ,,
inversible telle que si A' : PAP"1 alors A'i,1 : 0 si i:2 et A'2,1 : 1.

c) Montrer alors que A'i,2 : 0 si i:1 et A'1,2 : --1. «
II.A.4) Montrer qu'il existe Q E%,, inversible telle que QA'Q"1 soit de la

forme par blocs [M(g' 1) ;] avec B E/%,, _2 .

II.A.5) Montrer que A est semblable à une matrice du type
diag(M(0, 1), M(O, 1), M(0, ....

II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver
une matrice M inversible de %4 telle que MAM"1 : diag(M(O, 1), M(O, 1)) où A
est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les 
opérations
élémentaires utilisées.

II.B - Dans cette question A est une matrice
de %,, vérifiant (A --- aIn)2 + BzIn : 0 avec (a,B) & IR x IR* .

II.B.l) Montrer que A vérifie (P A).

II.B.2) , Montrer que A est semblable àla matrice d'ordre n
diag(M(a, B), M(a, (3), ..., M(% B))-
Que peut-on dire de det(A) ?

II.C - Soit u l'endomorphisme de IRn _ 1[X ] défini par : pour tout polynôme P 
de
IRn_ 1[X], u(P) vérifie :

Vx & IR* , u(P)(x) : x""1P( :l ) .

x

II.C.1)_ Déterminer pour quelles valeurs de i et j dans {O, ..., n -1} , le plan
vect (X ',XJ ) est stable par u.

II.C.2) En déduire que la matrice A de %,, telle que An +1_,-,,-- : (--l)i"1 si

ls i s n , les autres coefficients de A étant nuls, est semblable à
diag(M(0, 1), M(O, 1), M(O, l)).

Partie III -

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de %,, vérifiant (P A) .
On se propose de montrer l'équivalence entre les trois propositions suivantes :
i) A est semblable à une matrice du type '

diag(M(ab B,), M(a2, p,), M(ap, B,,)) avec (ak,Bk) e 13 x 1Rî pour 1 5 k 5 p.
ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé
par A. '

iii) Tout sous--espace vectoriel de IR" de dimension 2 stable par A possède
un sous--espace vectoriel supplémentaire stable par A.

III.A - Dans cette section III.A, on montre que (i) => (ii).

III.A.1) Montrer que si (01,3) EUR IR x IR* , le polynôme (X -- a)2 + [32 ne 
possède que
des racines simples complexes non réelles.

III.A.2) En déduire que (i) =>(ii).

III.B - Dans cette section III.B,on montre que (ii) => (iii).

On suppose donc que A vérifie (ii). Soit E un sous-espace vectoriel de IR" de
dimension 2 et stable par A. Soit ( f 1, f 2) une base E que l'on complète en 
une
base (f,,fz,..., fn ) de IR".

III.B.1) Montrer que dans la base ( f 1, f 2, f n) de IR" , l'endomorphisme 
cano-
niquement associé à A a une matrice s'écrivant par blocs :

'B avec A'E/Ë2.
0 -C

III.B.2) Vérifier que A' ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire
que A' est semblable à une matrice du type M (a, B) avec (01,5) EUR IR x IR* .

III.B.3) Montrer que E est inclus dans Ker((A -- aIn)2 + 621,1) .

III.B.4) Montrer que Ker((A -- (un)2 + 621 n) possède un sous-espace vectoriel
supplémentaire stable par A dans IR" .
III. B. 5) En utilisant une technique analogue a celle vue dans les parties II. 
A. 3

et II. A. 4, montrer que E possède un supplémentaire stable par A dans
Ker((A-- 011 "Z) + B 2I n), puis conclure que iii) est réalisé.

III.C - En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) = (i).

III.D - Exemple :
Soit
--1 ----2 4 0
A = 1 --3 0 4

'--205--2°
0--213

En admettant que A annule (X 2 + 1)(X2 -- 4X + 5) , déterminer une matrice 
inver--
sible M de % 4 et des réels a , B , a' et 6' tels que

A=M|:M(a'fi) 0 :lM_l.
0 M(G',B') '

coo(FlN ...

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Centrale Maths 2 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sattisvar Tandabany (ENS Lyon) ; il a été relu par
Arnaud Durand (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème a pour objet l'étude des matrices de Mn (R) ne possédant pas de
valeur propre réelle. Il fait intervenir la réduction des endomorphismes, les 
polynômes, mais aussi un peu d'arithmétique. L'énoncé se compose de trois 
parties (qui
dépendent les unes des autres) précédées d'un ensemble de résultats 
préliminaires :
· Les quelques résultats préliminaires sont une bonne mise en jambe pas très
difficile ; ils sont très utiles par la suite.
· La première partie aborde le cas particulier de la dimension 2. La plupart des
résultats sont spécifiques à ce cas particulier mais constituent néanmoins des
idées intéressantes pour le cas général. Cette partie permet également 
d'apprivoiser le comportement des matrices de similitudes (notées M(, ) dans le
sujet), qui prennent de l'importance dans la suite du problème.
· La deuxième partie revient au cas général de la dimension n, mais traite de
matrices possédant des polynômes annulateurs particuliers.
· La troisième partie se place dans le cas le plus général. Elle fait appel 
pour une
large part aux résultats des deux parties précédentes, mais n'en nécessite pas
moins d'astuce pour autant.
Le problème n'est pas très long, mais il contient quelques passages assez 
calculatoires. Il permet de bien progresser en algèbre linéaire.

Indications
Partie I
I.A.1.b Si l'on cherche s2 une symétrie telle que u = s2  s1 alors il suffit 
d'écrire
u  s1 = s2  s1  s1 = s2 .
I.A.2.b Utiliser la décomposition en symétrie de M(0, 1).
I.A.3 Reconnaître la matrice d'une rotation.
I.A.4 Se ramener à la question précédente.
I.A.5.c Deux matrices semblables ont même déterminant.
I.A.5.d Utiliser la décomposition de M(, ).
I.B.1 Utiliser la définition de l'énoncé pour les symétries.
I.B.2 S'inspirer de la matrice A des questions précédentes.
I.B.5.a Voir A comme une matrice par blocs.

Partie II
II.A.2 Interpréter E comme une matrice de changement de base.
II.A.3.a Raisonner par contraposée.
II.A.5 Procéder par récurrence.
II.B.1 Utiliser le lien entre les racines d'un polynôme annulateur et le 
spectre.

Partie III
2

III.A.2 Penser au produit de polynômes du type (X - ) +  2 .
III.B.2 La matrice A annule aussi P.
III.B.4 Factoriser P et utiliser le lemme des noyaux.

Résultats préliminaires
1.a Soit P un élément de GLn (C) tel que A = PBP-1 . En particulier, en 
définissant
les matrices P et Q par :
Ri,j = Re Pi,j

i, j  N

et Ji,j = Im Pi,j

on obtient directement P :
P = R + iJ
1.b L'énoncé donne la relation suivante entre A, B et P :
A = PBP-1 
AP = PB
 A(R + iJ) = (R + iJ)B
 AR + iAJ = RB + iJB
En se rappelant que les matrices A, B, R et J sont dans Mn (R) on peut séparer
la partie réelle de la partie imaginaire.
AR = RB

d'où

et AJ = JB

t  C

A(R + tJ) = AR + tAJ
= RB + tJB
= (R + tJ)B

t  C

A(R + tJ) = (R + tJ)B

1.c Considérons det (R + XJ) comme un polynôme à coefficients réels. Il n'est 
pas
nul car il ne s'annule pas en i puisque det (R + iJ) = det P 6= 0. Il n'y a 
donc qu'un
nombre fini de racines et on peut choisir t0 dans R qui n'est pas racine. Donc 
il existe
t0  R tel que det (R + t0 J) 6= 0.
1.d Fixons un t0 comme défini dans la question précédente. Ainsi R + t0 J est
inversible car de déterminant non nul et d'après la question 1.b, on en déduit 
que A
et B sont semblables dans Mn (R) :
-1

A = (R + t0 J) B (R + t0 J)

avec

(R + t0 J)  GLn (R)

2.a Soient n un entier et P un polynôme à coefficients réels de degré 2n + 1. 
Regardons les limites en + et - de la fonction qui à x associe P(x) (en 
supposant
que le coefficient dominant de P, c'est-à-dire le coefficient de son terme de 
plus haut
degré, est positif) :
lim P(x) = -

x-

car P est de degré impair

lim P(x) = +

x+

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut conclure que P admet une
racine réelle. Dans le cas ou le coefficient dominant de P est négatif, les 
limites sont
inversées mais le résultat en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires 
est le
même.

2.b On rappelle ici que le spectre d'une matrice A est l'ensemble des racines 
de son
polynôme caractéristique A = det (A - XI) dont le degré est n.
S'il existe une matrice A de Mn qui ne possède pas de valeur propre réelle alors
son polynôme caractéristique ne possède pas de racine réelle. Ainsi, en vertu 
de la
question précédente, le degré du polynôme ne peut être impair.

Partie I
I.A.1.a Dans la base canonique, la matrice de s1 , symétrie par rapport à la 
droite
Re1 parallèlement à la droite Re2 , est

1 0
S1 =
0 -1
I.A.1.b La matrice de l'application u  s1 vaut

0 -1
1 0
0 1
M(0, 1) × S1 =
=
1 0
0 -1
1 0
Faisons appel à notre intuition. L'action de l'application u  s1 sur e1 se lit 
sur la
première colonne de la matrice, tandis que l'action de l'application sur e2 se 
lit sur
la deuxième colonne de la matrice. L'application u  s1 échange donc les 
vecteurs e1
et e2 . Cela ressemble à la symétrie par rapport à la première bissectrice R 
(e1 + e2 ).
Vérifions :

0 1
1
1
=
1 0
1
1

0 1
1
-1
=
1 0
-1
1
u  s1 est bien la symétrie par rapport à R (e1 + e2 ) parallèlement à R (e1 - 
e2 ).
Notons-la s2 = u  s1 . Il vient alors
u  s1  s1 = u  id = u
donc

u = s2  s1

I.A.2.a En dimension 2, le polynôme caractéristique d'une matrice A est
A (X) = X2 - Tr (A) X + det (A)
De plus, deux matrices possédant le même polynôme caractéristique possèdent
les mêmes valeurs propres. Si le polynôme caractéristique a des racines 
distinctes
alors les deux matrices sont semblables dans M2 (C) et, par conséquent, d'après 
les
résultats préliminaires 1.d, le sont aussi dans M2 .
det M (0, 1) = 0 × 0 - (-1) × 1 = 1
det A = 2 × (-2) - (-5) × (-2) = 1