Centrale Maths 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Endomorphismes normaux réels
Principaux outils utilisés réduction, polynômes d'endomorphismes
Mots clefs endomorphisme normal

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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_oen_ e......___... _ __ m...:QËËEË ää...

m.ËN oOEmQ:OE - OEËÈOEU mËQË©U

Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .

On considère un espace euclidien E de dimension n. On note (xl y) le produit
scalaire de deux vecteurs x et y et x I----> Hxll la norme associée.

Pour u & L(E) , on note u* son adjoint, x,, son polynôme caractéristique et S 
p(u)
l'ensemble de ses valeurs propres. On note n,, le générateur de l'idéal des
polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1.
n,, est appelé polynôme minimal de u.

L'endomorphisme u de E est dit antisymétrique lorsque u* = --u.

On note, S(E), A(E)' et O(E) les sous--ensembles de L(E) formés respectivement
des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux.

Si F est un sous-espace de E stable par u , on note u| F l'endomorphisme de F
induit par u .

On note 95 (E) l'ensemble des endomorphismes u de E tels que u* soit un

polynôme en u et // E) l'ensemble des endomorphismes u de E qui commutent
avec leur adjoint, donc:

ÿ(E) : {ue L(E) / u*e lR[u]}, ./V(E) : {ue L(E) / (u*ou=uou*)}.

Le but du problème est d'étudier et comparer les deux ensembles ÿ(E) et % E)

On note %, (IR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille n et S,, ,A,, 
et

O,, les sous- -ensembles de %,,( (IR) formés respectivement des matrices 
symétri--
ques, antisymétriques, orthogonales.

Pour A & %,,(IR) , on note XA son polynôme caractéristique et 71: A son polynôme
minimal, c'est-à--dire le polynôme minimal de l'endomorphisme de IR" canoni-
quement associé à A . On note 'A la transposée de A.

Deux matrices A et B sont dites orthogonalement semblables lorsqu'il existe
Pe O,, telque B: P AP.

On note @, l'ensemble des matrices A de %,,( IR() telles que A peut s' expri-
mer comme un polynôme en A , donc .

ÿ,, : {A & %,,(IR) / 1'A e IR[A]} , et de manière analogue :
%, = {A & %,,(1'R) / 'AA = A'A}

Les parties 1 et Il sont indépendantes.

Partie I - Généralités sur ÿ(E) et fin

I.A -

I.A.1) Soient A et B les deux matrices d'un même endomorphisme de E rap-
porté à deux bases orthonormales. Montrer que A et B sont orthogonalement
semblables.

LA 2) Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice sur %, une base
orthonormale de E. Établir un rapport entre l'appartenance de u à 95 E()
(resp. % E et l'appartenance deA à fin (resp. // ).

Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à cer--
taines questions.

I.A.3) Montrer que ÿ(E)c //(E) et que flanc %.

I.B -

I.B.1) Vérifier que S(E) <: 9%") et A(E) c ÿ(E). ,

I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent
à fin ? '

En déduire que si n 2 2 , on a ÿ(E) # L(E) .

I.B.3) Soit u & L(E) admettant, sur une certaine base % deE , une matrice
triangulaire supérieure. Montrer qu'il existe une base orthonormale Æ' de E ,
telle que les matrices de passage de % à Æ' et de Ê' à % soient trian-
gulaires supérieures.

Montrer que la matrice de u dans Æ' est triangulaire supérieure.
En déduire les éléments u eÿ(E) qui sont trigonalisables.

I.B.4) On suppose que u est un automorphisme de E ; montrer que u admet
un polynôme annulateur P tel que P(O) #0. En déduire que u"1 peut s'écrire
comme un polynôme en u .

En déduire que O(E) c ÿ(E) .

I.C -

I.C.l) Montrer que si A EUR fin et A ;: 0 , alors il existe un unique polynôme
réel que l'on note P A , tel que degré (P A) < degré(nA) et P A(A) :

Si A est la matrice nulle, on convient que P A est le polynôme nul.

Énoncer le résultat correspondant pour u e ÿ(E) .

I.C.2) Déterminer les matrices A de fin pour lesquelles P A est un
polynôme constant.

I.C.3) Déterminer les matrices A de 95" pour lesquelles P A est du premier -
degré. On rappelle que toute matrice carrée s'écrit comme somme d'une matrice
symétrique et d'une matrice antisymétrique.

I.C.4) Soient A et B deux matrices orthogonalement semblables.
Montrer que si A & ÿn alors B EUR 95,1 et PA : PB.

I.D - Décrire les éléments A de 952 et calculer les P A correspondants.
I.E - Soit

A O
A: 1 aveCA16ÿnl,Azeÿnz.
0 A2

I.E.1) On suppose que 7tA1 et nA2 sont premiers entre eux. Montrer l'exis-
tence de deux polynômes U et V tels que :

PAI--(PAl--PAZ)U 11:A1 : PA2+(PAl--PAZ)V1£AZ.
Calculer Am pour m entier positif quelconque, puis P(A) pour
* P : PAI--(PAl--PAZ)U7:AI.
En déduire que A & ?... +n2.

I.E.2) Expliciter nA en fonction de % A1 et nA2.

Comment trouver P A connaissant 1t A1 , nA2 , et le polynôme P défini par :
P=PA--(PA--PA)U7ÏA ? v
1 1 2 l

I.F-Soit
100 0
A: 010 0 _
0004
0010

Vérifier que A e ÿ4 et calculer P A avec la méthode précédente.

Partie II - Étude de /V(E) et %

II.A - Montrer que si u & ,Â/(E) et P & IR[X ] , alors P(u) & .Â/(E) .

II.B - Soient u e ÆE) et x e E. Montrer que llu(x)ll2 : Hu*(x)H2. En déduire que
u et u* ont le même noyau.

II.C - Soit m un entier, m > 0. On suppose donné un endomorphisme f antisy-
métrique inversible de l'espace IR'" muni de son produit scalaire canonique.

II.C.1) Comparer les déterminants de f et f * . En déduire que m est pair.
II.C.2) On considère les applications n et g définies sur mm par n(x) : "xl!2
et g(x) : ||f(x)ll2 et l'application
2
q : U : E'" \{0} n--a IR définie par q(x) : "f(x)2" .
llxll

Montrer que n et g sont de classe C1 sur mm et que leurs différentielles en x
fixé sont les formes linéaires

h |--> 2(x|h) et h +-> 2(f(x)|f(h)) .

Montrer que l'application q est de classe C1 sur [Km \{0} et déterminer sa dif-
férentielle en x , en calculant dq(x)(h) au moyen de produits scalaires et de 
nor--
mes.

On note S : {xe U/llxll : 1}.

Montrer que l'ensemble des valeurs prises par q sur 8 coïncide avec l'ensemble
des valeurs prises par q sur U . Montrerque la fonction q admet un maximum
sur 1Rm \{O} et que ce maximumest atteint en un point x0 e S .

Montrer que, pour tout h , on a (f (x0)| f (h)) : "f(x0)"2 (x0|@) . En déduire 
que
H : Vect(x0, f (xo)) est un plan stable par f.

Donner une base orthonormale de II et exprimer la matrice de f |H relative à
cette base.

II.C.3) Montrer qu'il existe une base orthonormale % de IR"z telle que :

*cl 0 0
, 0 12 ... S 0 _b_ . m
%Æ(f)= . ._ ._ 0 avec "Ci: ' et bi=t0 pourz= 1,...,--.
. . . bi () 2

0 . 0 Tm

?

II.D - Soit u e fiE) et E1 c_E un sous-espace stable par u et u* . On note E2 le
supplémentaire orthogonal de E1 .

II.D.1) Montrer que E2 est stable par u et u* .

II.D.2) Montrer que (u|E * : u*|E .

II.D.3) Montrer que si, en outre, u & ./V(E) , alors u|E & //(E1) et u|E & 
//(E2) .
l \ 2

Jusqu'à la fin de la partie II, u désigne un élément de .Â/(E) .

ILE - Soient x & IR et x e E ;montrer que llu(x) --kxll2 : llu*(x) -- 7wcll2 . 
En déduire
que u et u* ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux--ci sont en somme
directe orthogonale.

Si X est une valeur propre de u , on note Eu(k) le sous--espace propre associé. 
Soit
F le supplémentaire orthogonal du sous-espace :

@ Eu(7b) , où la somme porte sur l'ensemble des valeurs propres de u .
%

Montrer que F est stable par u et u* . En considérant la restriction de u à F ,
montrer que la dimension de F ne peut être impaire. On notera dimF : 2 p .

II.F - On suppose que p est non nul. Soit v e //(F) . On pose

v+v* v--v*
eta= .
2 2

II.F.1) Justifier que le polynôme caraCtéristique de s est scindé.On le note :

S:

k
xs(X) = H (k,--X)".

i=1
II.F.2) Montrer que soa : aos etsov : vos.

Montrer qu'il existe une base orthonormale Æ' de F telle que la matrice de U
dans % ' soit diagonale par blocs :

_ M1 0 ()
%Æ'(U) : 0 M2
: °. °. 0
o () Mk

avec, pour i = 1, k , Mi de la forme Ài1n_ + Ai où Ai est antisymétrique.

ILES) On suppose en outre que 0 n'admet aucune valeur propre réelle. Mon-
trer que les Ai sont inversibles.

II.G - Montrer qu'il existe une base orthonormale 93 de E telle que :

D O 0
0 Il . . ai --bi
%Æ(u) : _ _ _ avec D matr1ce d1agonale, ri : et bi:t0
: '. '. O bi ai
0 0 TP

pouri :_ 1, p.
II.H - Donner une caractérisation des matrices A & /Vn .

II.I - Préciser la matrice obtenue dans II.G quand u e O(E) .

Partie III - Relation entre fin et JV,,

HLA - Soit P e IR[X ] .
III.A.1) Soit

M1 0 0
0 M2 0 . , .
A = une matrice reelle diagonale par blocs.
Z '. 0
0 () Mk

Montrer que P(A) : tA si et seulement P(Mi) : tMi , pour i = 1, k.

III.A.2) Donner les expressions de P A , XA et "A pour une matrice
A = {a "b} où b$0.
b a

Montrer que P(A) : tA si et seulement si P(a + ib) : a --ib et P(a --iô) : a + 
ib .

Dans les questions qui suivent, on fixe A 5 ///n . D'après 11H, A est 
orthogona--'
lement semblable à une matrice B telle que celle représentée dans II.G.

III.A.3) Montrer que P(A) : tA si etseulement si :

PO») : X pour toute valeur propre réelle %. de A
P(z) : 2 pour toute racine complexe non réelle 2 de XA '

III.A.4) Montrer qu'il existe P & C[X ] , de degré minimal, vérifiant les condi-
tions ci-dessus (sur P(A) et P(z)) et que ce polynôme est, en fait, à 
coefficients
réels.

En déduire que %, : ÿ,, .

III.B - Montrer que le polynôme P trouvé dans III.A.4 est, en fait, P A .
Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme P A de la question I.F.

III.C - Dans cette question, on suppose n 2 3 et on note
C(oc0, ou,, un _ 1) e %,,(IR) la matrice circulante

% a1a2 ocn_1
ocn_1 % °'1 .
C(oc0, oc1, ...,an_1) : 5 oc2 et J : C(O, 1,0, ...,O).
% oc0 eq

eq oc2 ocn_1 %

III.C.1) Montrer que J eÿn .
En déduire que toute matrice circulante appartient à fin .

III.C.2) À toute matrice circulante non nulle A : C(oc0, un _ 1) , on associe 
les
polynômes

n 1 nl
P(X)= Eai'x etQ(X)--oco+ 201an
i=0 i=l

Donner l'expression de 11: J . Comparer Q et le reste de la division 
euclidienne de
P A 0 P par TC J .

En déduire les étapes d'une méthode de calcul de P A. Détailler le calcul pour
A : C(l, 1,0) .
III.--D Soit P(X) = a0+a X+a 2X' avec a2$0.

Montrer qu 'il existe un2 entier n > 3 et une matrice A 6 fin telle que P: P A 
si
et seulement si (al-- 1)2 --4aOar,2 e [O, 4[.

Indication. montrer que, si n et A existent, XA admet au moins une racine
réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l'une de l'autre.

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PSI -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Malick (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce problème est consacré à l'étude de propriétés d'endomorphismes particuliers
d'un espace euclidien, que l'on appelle « endomorphismes normaux ». Cette étude
permet de manipuler tous les thèmes importants de l'algèbre linéaire et 
bilinéaire :
réduction des endomorphismes, polynômes d'endomorphismes, endomorphismes 
symétriques, etc. Résoudre ce problème permet de faire le point sur toutes ces 
notions.
Notamment, on y rencontre :
· des méthodes importantes : évoquons une récurrence sur la dimension de 
l'espace, ou l'utilisation de la partie symétrique d'un endomorphisme ;
· des résultats tellement classiques qu'ils sont souvent considérés comme 
faisant
partie du cours : citons l'écriture de u-1 comme un polynôme en u (inversible),
ou le fait que le polynôme minimal d'une matrice diagonale par blocs est le
produit des polynômes minimaux des blocs diagonaux, quand ils sont premiers
entre eux deux à deux.
L'un des intérêts de ce problème réside dans ce qu'il offre de réutilisable.
Le sujet est long, mais l'énoncé est bien contruit : on est bien guidé à 
travers les
trois parties, qui de plus sont quasiment indépendantes. La première est 
consacrée
à l'étude des endomorphismes u dont l'adjoint s'écrit comme un polynôme en u. La
deuxième traite des endomorphismes normaux réels, l'objectif étant d'aboutir à 
un
théorème de réduction. Enfin, la troisième partie montre l'identité entre ces 
deux
ensembles. Ajoutons que plusieurs méthodes pour calculer le polynôme qui permet
d'exprimer u en fonction de u sont développées au cours du sujet.

Indications
Partie I

I.B.2 Une matrice à la fois triangulaire supérieure et inférieure est diagonale.
I.B.3 Penser à l'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
I.C.1 Faire la division euclidienne par A .
I.D Chercher d'abord les PA admissibles.
I.E.1 Le bon réflexe est d'utiliser l'égalité de Bézout.
I.C.1 Commencer par montrer que A = A1 A2 , en utilisant un corollaire du lemme
de Gauss.
Partie II

II.C.2 Ne pas oublier que f est antisymétrique. Utiliser la non-dégénérescence 
du produit scalaire.
II.C.3 Raisonner par récurrence sur la dimension.
II.E Le polynôme u

est de degré égal à la dimension de F.
F

II.F.2 Les espaces propres de s sont stables par a.
II.G Utiliser les questions II.C.3, II.D.2, II.E, II.F.2 et II.F.3.
Partie III

III.A.4 Penser à l'existence et à l'unicité du polynôme interpolateur de 
Lagrange.
III.C.1 On peut utiliser la question III.A.4.
t

III.C.2 Constater simplement que A = Q(J).

I.

Généralités sur P(E) et Pn

Notation. Comme le suggère l'énoncé, on adoptera dans ce corrigé la notation 
suivante : si B est une base de E, la matrice d'un endomorphisme u de E dans la 
base
B sera notée MB (u).
I.A.1 Les matrices A et B représentent le même endomorphisme dans deux bases de
E ­ appelons-les respectivement B et B  . Notons P la matrice de passage de B  
à B,
on a alors
A = P-1 BP
Or, les deux bases sont orthonormales, donc P est une matrice orthogonale. 
Ainsi,
A et B sont orthogonalement semblables.
I.A.2 La base B est orthonormale ; on peut donc écrire que

t
MB (u ) = MB (u)

(1)

Il est important que B soit orthonormale. Attention à l'erreur classique :
l'égalité (1), vraie dans une base orthonormale, n'est pas vraie pas dans
toute base ! Vérifions-le. Soit B  = (e1 , . . . , en ) une base (quelconque) 
de E.
Notons
A = MB (u)
et
B = MB (u )
Introduisons S = (ei | ej )i,j la matrice du produit scalaire dans la base B  .
On écrit alors :
(u (ei ) | ej ) = (ei | u(ej ))
t
t

t

Bei S ej = ei SA ej
t

t

ei B S ej = ei SA ej
t

B S = SA
On obtient donc B = SAS , qui devient (1) quand S est la matrice identité,
c'est-à-dire quand B  est orthonormale.
t

-1

Munis de (1), on peut facilement montrer que u appartient à N (E) 
(respectivement
à P(E)) si et seulement si A = MB (u) appartient à Nn (respectivement à Pn ).
Étudions le cas de N (E) et Nn : soit un endomorphisme u de P(E), on écrit
MB (u  u ) = MB (u  u)
ce qui revient à
c'est-à-dire

MB (u)MB (u ) = MB (u )MB (u)
MB (u) = A  Nn

De même pour P(E) et Pn : soit un endomorphisme u de P(E) et un polynôme
P tel que u = P(u), on écrit que

t
MB (u) = MB (u ) = MB (P(u)) = P MB (u)
et on obtient ainsi que A  Pn . Conclusion :
Si B est orthonormale, alors
u  N (E)

A = MB (u)  Nn
u  P(E)

A = MB (u)  Pn

(2)

I.A.3 Il suffit de montrer que P(E)  N (E), puisque l'on pourra en déduire, 
grâce
à (2), que Pn  Nn .
Soit u un endomorphisme de E, alors, pour tout n  N, on a un  u = u  un .
Puis, en prenant des combinaisons linéaires des un , il vient P(u)  u = u  
P(u), pour
tout P  R[X].
En poursuivant le raisonnement, on montre que
P(u)  Q(u) = Q(u)  P(u)
pour tout P et Q de R[X]. Ceci se résume par la propriété : deux polynômes
en u commutent.
Soit maintenant un endomorphisme u dans P(E), et soit P un polynôme tel que
u = P(u). Comme P(u) et u commutent, u appartient à N (E).
Finalement,

P(E)  N (E)

I.B.1 Si u  S(E), u est son propre adjoint : en posant P = X, on a u = P(u). De
façon similaire, si u  A(E), on a u = P(u) avec P = -X. On a bien
S(E)  P(E) et A(E)  P(E)
I.B.2 Montrons que les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à Pn
sont en fait les matrices diagonales. Considérons une matrice triangulaire 
supérieure
t
A  Pn , et notons P un polynôme tel que A = P(A). On montre par une récurrence
immédiate, que toutes les puissances itérées An sont aussi triangulaires 
supérieures
puis, en prenant des combinaisons linéaires de ces An , qu'il en est de même de 
P(A).
En outre, P(A) = tA est aussi triangulaire inférieure. Une matrice qui est à la 
fois
t
triangulaire supérieure et inférieure est diagonale : A est diagonale et donc A 
est
diagonale.
Attention, pour répondre entièrement à la question il faut aussi écrire que
les matrices diagonales sont dans Pn .
Réciproquement, une matrice diagonale est symétrique : c'est donc bien un 
élément de Pn , d'après la question I.B.1.
Les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent
à Pn sont exactement les matrices diagonales.
Il reste à exhiber un endomorphisme de L(E) qui ne soit pas dans P(E). L'énoncé
suggère d'utiliser les matrices triangulaires. Fixons donc B une base 
orthonormale
quelconque de E (de dimension n > 2). Soit A une matrice triangulaire supérieure
non diagonale ; elle n'appartient donc pas à Pn . Ainsi, d'après (2), 
l'endomorphisme
u, dont A est la matrice (dans B), n'appartient pas à P(E). En conclusion,
P(E) 6= L(E)
I.B.3 On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base
B = (1 , . . . , n ). Le procédé assure