Centrale Maths 2 PSI 2002

Thme de l'preuve Interpolation de fonctions par des splines cubiques et par des polynmes de Lagrange
Principaux outils utiliss systmes linaires tridiagonaux, suites dfinies par rcurrence, recollement de fonctions C2, espaces vectoriels, algbre euclidienne, orthogonalit, polynmes de Lagrange
Mots clefs interpolation par splines cubiques, interpolation, matrices tridiagonales

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2002:Bon  tirer:PSl Math Il 26.9.01-4 version du 19 mars 2002 14:59

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MA Sujets 2002:B0n  tirer:PSl Math Il 26.9.0l--4 version du l9 mars 2002 14159

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 PSI 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par ric Ricard (agrg de mathmatiques) ; il a t relu
par Thomas Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkvitch (ENS Cachan).

Ce sujet a pour thme gnral l'approximation des fonctions C 1  l'aide de 
polynmes, soit par la mthode des splines cubiques, soit par celle de 
Lagrange-Sylvester.
 Dans la premire partie, on s'intresse  la rsolution de systmes linaires
tridiagonaux. Elle repose essentiellement sur des calculs du cours de 
Mathmatiques Suprieures qui doivent tre matriss. Seule la dernire 
question est un
peu plus thorique.
 La seconde partie est beaucoup plus algbrique et introduit la mthode des
splines cubiques. On montre qu'elle revient  rsoudre l'un des systmes de la
premire partie. Les raisonnements mis en jeu mlent algbre linaire et analyse
des fonctions relles (recollement essentiellement). La dernire question 
compare cette technique d'approximation avec celle de Lagrange-Sylvester. Cette
partie est conceptuellement la plus complique.
 La troisime partie, indpendante des deux autres, prsente une structure 
euclidienne sur Rn [X], admettant les polynmes interpolateurs de Lagrange comme
base orthonorme. On y fait quelques calculs de projections avant d'tudier un
endomorphisme diagonal dans cette base. Cette partie est globalement assez
simple car proche des cours sur les polynmes de Lagrange et l'algbre 
euclidienne.
Ce sujet est assez long et propose des calculs peu agrables. Les parties I et 
III
sont abordables par la majorit des candidats. La seconde est plus dlicate, 
mais
traite des splines cubiques, sujet trs  la mode ces dernires annes qui 
mrite donc
d'tre regard.

Indications

Partie I
1
I.A.2.c Introduire f (x) = 4 - . Montrer que
x

x  I = [2 - 3, 2 + 3]

f (x) > x

et que f laisse I stable. En dduire que la suite (un )nN est croissante et
converge.
I.B.1 Dvelopper Cn par rapport  la premire ligne, puis par rapport  la 
premire
colonne, pour trouver une relation de rcurrence linaire d'ordre 2 satisfaite
par la suite (cn )nN .
Faire de mme avec Bn , pour exprimer bn en fonction de cn et cn-1 , puis
recommencer avec An .
I.B.4.a Montrer que Ker (M -  Id ) = {0}. Pour cela, prendre x = (xk ) dans
Ker (M -  Id ) et montrer que x est le vecteur nul, en considrant |xi | tel
que |xi | = max |xk | ainsi que l'galit provenant de la ie ligne du systme
(M -  Id )x = 0.
Partie II
II.A Construire par rcurrence la fonction g sur [0, xk ]. Remarquer au 
pralable
que pour a et b rels, tant donn quatre rels (pi ), il existe un unique
polynme P de degr au plus 3 tel que
P(a) = p1

P (a) = p2

P (a) = p3

et

P(3) (b) = p4

Faire attention au recollement des fonctions.
II.B.1.a Procder comme dans la question prcdente en remarquant cette fois que
pour a et b deux rels distincts, tant donn quatre rels (pi ), il existe un
unique polynme P de degr au plus 3 tel que
P(a) = p1

P(b) = p2

P (a) = p3

et

P (b) = p4

II.B.2 Penser au fait que g doit tre C 1 et crire les conditions de 
recollement aux
points xk .
II.B.4 Considrer l'application
T: S - Rn+3
g 7- ((g(xi ))06i6n , g  (0), g  (1))
Montrer que T est un isomorphisme. Pour la surjectivit, on peut montrer
que l'extension de T aux fonctions de classe C 1 est surjective.

II.C.1 Montrer que l'application T ci-dessus dfinie sur Rn+2 [x] est un 
isomorphisme. Pour l'injectivit, utiliser le thorme de Rolle pour produire n 
+ 2
zros pour chaque lment du noyau.

Partie III
III.A.2 Les Li sont les polynmes de Lagrange : regarder leurs racines.
III.A.3 Montrer que H admet une base de la forme (ci Li - Ln )06i6n-1 et 
exprimer
l'orthogonalit de N dans cette nouvelle base.
Penser au thorme de Pythagore afin de trouver une formule pour la distance
 H.
III.B.2 Montrer que Li divise (Li ) et en dduire qu'ils sont proportionnels.
III.B.4 crire les produits scalaires dans la base (Li ).

I.

Matrices tridiagonales

I.A.1 La mthode du pivot de Gauss consiste  effectuer des oprations 
lmentaires
sur les lignes d'un systme linaire (ajouter  une ligne une combinaison 
linaire des
autres car on ne peut changer les lignes) pour aboutir  un systme 
triangulaire.
Notons (S2 ) sous forme matricielle. On commence par choisir le 2 en premire 
position
comme pivot ; l'toile indique le pivot choisi.

2 1
0
1
2 1 0 1

1

2 - L1 

1
 1 4 1 2  L2 L
- 2  0 7

1
-

+

1
2

2
2
0 1 2 3
0 1
2
3

L3 L3 - 72 L2

-

7
L3
L2 L2 - 12

-

7
L3  12
L3

-

1

0

0

7
2

1

0

12 
7

1

0

0

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7
2

0

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12
7

2

1

0

0

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7
2

0

0

1

L2  27 L2

-

L1 L1 -L2

d'o

0

2

1

2

2 0

0 1

0 0

0
0
1

1
- 1 + 2 

2

1
2
1 - 2 + 3
7
7
1

-

7
1 +
12
1
1 -
7

7
7 
2 - 3 
6
12 

2
2 + 3
7

1

7
7
7 
1 + 2 - 3 
12
6
12 

1
1
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1 - 2 + 3
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7
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1
1
7
1 - 2 + 3
12
6
12

7
1
1

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1 - 2 + 3

12
6
12

1
1
1
x2 = - 1 + 2 - 3

6
3
6

x = 1  - 1  + 7 
3
1
2
3
12
6
12

I.A.2.a On gnralise la mthode de la question prcdente en utilisant les 
termes
de la diagonale de haut en bas pour supprimer les 1 sous la diagonale. On 
aboutit