Centrale Maths 2 PSI 2001

Thme de l'preuve tude de trois mthodes de dcomposition de matrices et d'applications
Principaux outils utiliss matrices, polynmes caractristiques, dterminants, espaces vectoriels euclidiens, isomtries, symtries orthogonales, convergence d'une suite de matrices, programmation

Corrig

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 PSI 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Benot Chevalier (ENS Ulm) ; il a t relu par Yohann
Genzmer (ENS Cachan) et Olivier Bertrand (ENS Lyon).

Cette preuve propose diffrentes dcompositions pour certaines classes de 
matrices. Elle comporte quatre parties de longueur et de difficults ingales.
 La premire partie montre dans quelles conditions une matrice possde une
dcomposition comme produit d'une matrice triangulaire infrieure (avec des 1
sur la diagonale) et d'une matrice triangulaire suprieure, soit une 
dcomposition LU (Lower-Upper en anglais). Elle prsente ensuite une mthode 
assez
complexe pour dterminer L et U  partir de dterminants extraits de la matrice 
d'origine. Le sujet propose alors d'implmenter cette mthode dans un
langage de programmation au choix et de l'appliquer dans un cas particulier.
Malgr son intrt thorique intrinsque, cette mthode a t fortement 
critique par les candidats pour sa difficult et le fait qu'elle soit si peu 
intuitive.
De plus, dans les faits, les dcompositions LU sont utilises (notamment) pour
simplifier la rsolution de systmes linaires du type AX = Y o A est une
matrice carre de grande taille et X et Y des vecteurs colonnes. Ce qui signifie
que la dcomposition LU a un rel intrt et est utilise dans des algorithmes.
Proposer de la mettre en oeuvre en calculant de multiples dterminants, alors
que le calcul de dterminant est une opration algorithmiquement trs coteuse
en temps de calcul, est peu raliste, d'autant qu'il existe une faon simple de
trouver L et U  partir de A par rcurrence.
 La deuxime partie, plus courte, propose de montrer que l'on peut dcomposer
une matrice symtrique dfinie positive en M = t BB o B est une matrice
triangulaire suprieure. Il s'agit de la dcomposition de Cholesky, comme le
rappelle le sujet. La mthode propose s'appuie sur la partie prcdente et en
constitue une premire application intressante.
 La troisime partie prsente la dcomposition A = QR avec A une matrice
carre quelconque, Q une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire
suprieure. La mthode propose utilise une composition de symtries 
orthogonales (matrices de Householder) et permet de retrouver le procd 
d'orthonormalisation de Schmidt sous une forme originale.
 La quatrime partie, aprs des prliminaires sur les normes de matrices, 
utilise
les rsultats des parties prcdentes pour tudier une suite de matrices et sa
convergence. Cette partie, plus originale que les autres, est aussi la plus 
difficile.
Le problme dans son ensemble a t considr comme l'un des plus longs et
surtout des plus ardus des concours de cette anne. Cependant, comme il prsente
en mme temps des mthodes classiques et des applications pratiques, il mrite 
sans
aucun doute qu'on lui consacre du temps, en exceptant peut-tre les questions de
calcul de dterminants  la fin de la premire partie.

Indications

Partie I
I.A.1 Utiliser le thorme de Cayley-Hamilton pour montrer que toutes les 
puissances de A sont triangulaires.
I.B.4 La question I.B.3 montre comment on peut rduire  zro la dernire ligne
sous la diagonale de A. Appliquer la mme ide  HA, et ainsi de suite pour
rduire  zro les lignes une par une, en pensant  raisonner par blocs.
I.C.2.c Calculer les dterminants des Ak par blocs pour trouver une expression 
possible.
I.C.2.d Calculer le bloc (PA)j comme produit de (PL)j et de Uj , puis passer aux
dterminants.
I.C.2.e Mme mthode qu' la question prcdente en remplaant A par t A.
I.E.1.b Passer de l'quation LUX = AX = Y au systme UX = V et LV = Y.
I.E.2 Chercher des matrices 2  2 non inversibles.

Partie II
II.A.1 Montrer que tous les dterminants extraits principaux sont non nuls en 
utilisant la caractrisation introduite  la question II.A.
II.B.2 Se ramener  une dcomposition LU et utiliser le rsultat d'unicit de la
question I.B.1.

Partie III
III.B.1 Raisonner par rcurrence ; chaque matrice H annule une colonne sous la 
diagonale de A.
III.B.3 Supposer l'existence de deux dcompositions et en dduire une matrice  
la
fois triangulaire et orthogonale.
III.C Il s'agit du procd d'orthonormalisation de Schmidt.

Partie IV
IV.E  diffrentes occasions, utiliser le fait que des fonctions polynomiales, 
des
ingalits larges, des identits, passent  la limite d'une suite convergente et
que si l'on a le rsultat pour tous les termes d'une suite  partir d'un certain
rang, on l'obtient immdiatement pour la limite de cette suite.
IV.F Cette question est l'une des plus difficiles de l'preuve. Les deux faons 
dont
on demande d'exprimer Ak sont
Ak = Q1    Qk Rk    R1

et

e kR
e k RDk U
Ak = QQ

 partir de l, il faut identifier ces deux dcompositions QR pour montrer en 
utilisant le passage  la limite que Q1    Qk tend vers Q et que
Rk    R1 U-1 D-k R-1 tend vers In , lorsque k tend vers l'infini. L'tape 
suivante consiste  montrer que Ak U-1 D-k converge et que Ak converge vers
RDR-1 .

Partie I
I.A.1 Soit A une matrice triangulaire inversible ; pour fixer les ides, 
supposonsla triangulaire suprieure et nous verrons in fine comment rcuprer 
les matrices
triangulaires infrieures.
n
P
Soit P(X) =
ai Xi le polynme caractristique de A. On sait que a0 = P(0) =
i=0

det(A) 6= 0 par hypothse. On sait aussi que P(A) = 0n d'aprs le thorme de
Cayley-Hamilton.
 n

n
P
P
Puisque
P(A) = 0 =
ai Ai = a0 In + A
ai Ai-1
i=0

on a

A

1
-a0

i=1

n
P

i=1

ai Ai-1

= In

On a donc exprim l'inverse de A comme une combinaison linaire de puissances
de A. Il reste  prouver que le produit de deux matrices triangulaires 
suprieures est
une matrice triangulaire suprieure. Si les coefficients des deux matrices sont 
nots
n
P
ai,j et bi,j , les coefficients du produit sont les ci,j =
ai,k bk,j ; mais ai,k = 0 ds
k=1

que k < i et bk,j = 0 ds que j < k. Si j < i, le produit ai,k bk,j est donc 
nul pour
tout k  [[ 1 ; n ]] :
j < i

ci,j = 0

Par consquent, si A est triangulaire suprieure, alors toute puissance de A 
est triangulaire suprieure et toute combinaison linaire de puissances de A 
est triangulaire
suprieure.
Le cas d'une matrice triangulaire infrieure se dduit du prcdent grce  la
t
t
t
relation (AB) = B A.
En conclusion, l'inverse d'une matrice triangulaire suprieure inversible est 
triangulaire suprieure. L'inverse d'une matrice triangulaire infrieure 
inversible est
triangulaire infrieure.
I.A.2 On montre que (Ln , ) est un groupe et, plus prcisment, un sous-groupe 
de
(GLn , ).
 L'identit appartient  Ln ,
 Il faut aussi tablir que Ln est stable par produit et par passage  
l'inverse, mais
ces deux proprits ont t vrifies  la question prcdente pour les matrices
triangulaires infrieures. Pour vrifier que ces oprations stabilisent Ln , il 
suffit
 prsent de vrifier que le produit et l'inverse prservent la proprit 
d'avoir
des 1 sur la diagonale.
 Pour le produit, on reprend le calcul ci-dessus et, si i = j, le seul terme 
non
nul de la somme qui dfinit ci,i apparat pour i = k, donc ci,i = ai,i bi,i =
1  1 = 1.
 Pour l'inverse, on considre le fait que si A et B sont inverses l'une de
l'autre, alors AB = In et on se ramne au cas du produit : on sait que les
ai,i sont tous gaux  1 par hypothse, et on veut montrer que les bi,i le
sont aussi. Mais les coefficients diagonaux de In valant 1, on se retrouve,
au vu du calcul prcdent, avec n quations 1 = ai,i bi,i = 1  bi,i d'o l'on
dduit immdiatement que tous les termes diagonaux de B sont gaux  1,
donc que B  Ln .