Centrale Maths 1 PSI 2011

Thème de l'épreuve Identités d'Euler pour la fonction Gamma
Principaux outils utilisés intégration sur un intervalle quelconque, intégrales à paramètre, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, '» Mathématiques 1

"a «
_/ PSI

EDNEDlIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Le but de ce problème est d7établir partie Vune identité relative à la fonction 
Gamma, due a Euler, puis d7en
présenter partie VI une application a la distribution de Bolzmann dans un gaz 
de particules.

I La fonction Gamma
On définit la fonction F d7Euler, pour tout réel x > 0, par :

+oo
Î(æ) =/ efttæfl dt
0

fttæfl

I.A * Montrer que la fonction t % EUR est intégrable sur l0, +ool si, et 
seulement si, x > 0.

I.B * Justifier que la fonction F est de classe C1 et strictement positive sur 
l0, +ool.

I. C' * Exprimer Î(æ + 1) en fonction de x et de Î(æ).

I.D * Calculer Î(n) pour tout entier naturel 71, n 2 1.

II Formule de Stirling

Pour tout entier k 2 2, on pose :

k
uk=lnk--/ lntdt
k

_1

II.A * À l7aide de deux intégrations par parties, montrer que :
1 1 k (t--k+l)(kft)
= -- l k * l k * 1 f -- _ dt
II.B * Pour tout entier k 2 2, on note :

11%:

1 k (tfk+l)(kft)
/H_dt

5 t2

Justifier la convergence de la série E wk.
k>2
En déduire qu7il existe un nombre réel @ tel que :

lnnl=nlnn--n+älnn+a+vn

+oo
où Un: E wk.

k:n+1
II. C' * En utilisant encore une intégration par parties, montrer que :
1 k dt < 1 /k dt
w _ _ _ _ _
k 12 ,... 752 \ 6 ,... 153
II.D * En déduire que
l l
Un 7 _ \
12n 12n2

puis que :
l l l
lnn!-nlnn n } îlnn } a } OE } O<Ë)
Dans la suite on admettra que a = %ln(27r) et on pourra utiliser la formule de 
Stirling :

l l l l
lnn!=nlnn--n+älnn+äln(2w)+--+O <--)

12n n2

19 avril 2011 15:44 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

III L'identité d'Euler

Dans cette partie, nous allons établir Fidentité d7Euler suivante :

n!noe
V 0 F = i. _ III.I

On désigne par (fn)n>1 la suite de fonctions définies sur ]0, +oo{ par :

t 71
<1-- --) L'OEil si t EUR}0, nf

TL

fn(t) :

0 sit2n

et on définit pour tout réel x > 0 les suites (I,, ($))n21 et (J,, ($))n20 par :

1,,(æ)=/Ûn <1=%)ntældt

J,,(æ) = /01(1 = t)"t"1 dt

III.A * Montrer que pour tout entier n, n 2 1, la fonction fn est continue et 
intégrable sur ]0, +oo{.
III.B * Montrer que, pour tout x > O,
"En?OO I,,(æ) = Î(æ)
III. C' * Montrer que, pour tout entier n, n 2 O,
W > 0, J,...(æ) = "î1Jn(æ 1)
III.B * En déduire que, pour tout x > O,
W) = "'

III.E * Établir Fidentité d7Euler (III.1).

IV Une intégrale à paramètre

Dans toute la suite, on définit une fonction h sur R par

hZR%R
u%>u--{u]--I/2

où la notation {u} désigne la partie entière de u.

I V.A * Dessiner soigneusement le graphe de Papplication h sur Fintervalle 
{--1, I].

I V.B * Montrer que la fonction H définie sur R par :

est continue, de classe C1 par morceaux et périodique de période 1.

I V.C * À Faide d7une intégration par parties, justifier, pour x > 0, la 
convergence de Pintégrale suivante :

+00 Il
/ (u) du
0 u + x

h
I V.D * Dappiication u %> ÎL) est--elle intégrable sur R+ ?

u m
IV.E * Soit 

0 par : +oo h(U) = d @(OE) / ,, + , u En reprenant Fintégration par parties de la question IV.C, démontrer que Papplication 4,0 est de classe C1 sur Rï et que pour tout x > 0, +00 11 oe/<æ> = = / & du 0 ( 19 avril 2011 15:44 Page 2/4 @°_ V Une autre identité due à Euler Nous allons maintenant établir une autre formule importante due a Euler, valable pour tout x > 0 : lnÎ(æ+l)=<æ+â)lnææ+lnÆ / +oo h(u )du æ+u où h est l7application définie à la partie IV. On fixe donc x > 0 et pour tout entier naturel n, on définit E, (x) par : F 1 nlnoe+1 "($) _ "<(æ+1)(æ+2)...(æ+n+i)) V.A * Montrer que pour tout entier naturel i : lntdt=ln(æ+z)-- --du æ+i i U+æ V.B * En déduire que : n+1 h Fn(æ) : G,,(æ) -- / (u) du 0 u+æ où 3 l GMæ)=lnnl--l--(æ+l)lnn-- æ+n+î ln(æ+n+l)+n+l+ æ+ä lnæ V.C = V.C.l) En utilisant la formule de Stirling, montrer que : l lim Gn(æ) = <æ--l-- --) lnæ--æ--l--an27r n-->+oo 2 V.C.2) En déduire que : inr(æ+1)=<æ+â)lnææ+lnx/Ï / +OOh(u du u+Îï V.D * Montrer que pour tout réel æ strictement positif, F/(æ+1)_lnæ+L+/+oe(hîu))2 d r(æ+1) 2æ " VI Distribution de Bolzmann VI .A * Soient 81, 82, 83, 84 quatre nombres réels strictement positifs deux a deux distincts et deux nombres réels strictement positifs E et N . Soit 9 la partie, supposée non vide, formée des quadruplets x = (xl, 112, æ3, &) de Rî vérifiant : $1+$2+1'3+1'4=N EUR11'1 + EUR21'2 + EUR31'3 + EUR41'4 : E VI.A.1) Soit f une fonction de classe C1 sur Rî. Montrer que f admet un maximum sur Q. On note alors a = (al, (12, (13, (14) EUR 9 un point en lequel ce maximum est atteint. VI.A.2) Montrer que si (æ1,æ2, 1'3, &) EUR 9 alors æ3 et æ4 peuvent s7écrire sous la forme æ3=uæ1+væ2+w æ4 = du + 1/æ2 + u/ où l7on donnera explicitement u, 1], M, U' en fonction de 81, 82, 83, 84. VI.A.3) En supposant qu7aucun des nombres a1, (12, (13, (14 n7est nul, déduire que Ôf Ôf , Ôf Ôl'1

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Centrale Maths 1 PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Le sujet se compose de six parties dont les quatre premières sont largement 
indépendantes. Il vous permettra de vérifier votre connaissance du cours 
d'intégration
sur un intervalle quelconque, notamment le chapitre sur le théorème de 
convergence
dominée et les intégrales à paramètre.
· La première partie, très classique, est consacrée à l'étude de la fonction
Z +
 : x 7
e -t tx-1 dt
0

On y montre notamment, grâce au théorème de dérivation sous le signe somme,
que c'est une fonction de classe C 1 qui interpole la suite des nombres 
factoriels.
· La deuxième partie démontre le développement asymptotique suivant, plus 
précis que l'équivalent de n ! fourni par la formule de Stirling :

1
1
1
ln(n !) = n ln n - n + ln n + ln 2  +
+O
2
12n
n2
Pour cela, on fait appel à une représentation intégrale de ln k, que l'on 
parvient
à encadrer finement au moyen de trois intégrations par parties successives.
· La troisième partie utilise le théorème de convergence dominée pour montrer
l'identité suivante, due à Euler :
x > 0

(x) = lim

n+

nx n !
x (x + 1) · · · (x + n)

· La quatrième partie définit une fonction  par une intégrale impropre 
convergente dépendant d'un paramètre. La méthode proposée pour étudier  consiste
à intégrer par parties pour se ramener à des fonctions intégrables, avant 
d'appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme.
· La cinquième partie combine la formule de Stirling de la deuxième partie avec
l'étude de fonction de la quatrième partie pour établir une nouvelle identité
d'Euler, à savoir
Z +
 (x + 1)
1
h(u)
x > 0
= ln x +
+
du
(x + 1)
2x
(u
+ x)2
0
· La sixième et dernière partie étudie une fonction F de plusieurs variables sur
un compact  de R4 . Les résultats de la partie V et la condition nécessaire
d'existence d'un extrémum local sur un ouvert montrent alors que le maximum (N1 
, N2 , N3 , N4 ) de F sur  satisfait la formule
i  {1, 2, 3, 4}

Ni = K e µi e -(Ni ) avec lim (x) = 0
x+

où les i sont des constantes définissant . On retrouve alors le fait qu'à 
énergie
totale fixée et dans la limite thermodynamique, la distribution de Boltzmann
maximise l'entropie du système.

Indications
Première partie
I.A Déterminer un équivalent simple en 0 et une comparaison en +.

I.B Montrer que la fonction  est de classe C 1 sur tout intervalle de la forme 
[, A],
avec 0 <  < 1 < A, en dérivant sous le signe somme (théorème de Leibniz).
On pourra considérer la fonction de domination suivante

|ln t| t-1
si t 6 1
(t) =
e -t |ln t| tA-1 si t > 1

I.C Intégrer par parties.
Deuxième partie
II.B Trouver un encadrement de (t - k + 1) (k - t) sur [k - 1, k].
II.C Écrire

1
wk -
12

Z

k

k-1

dt
1
=
t2
12

Z

k

P2 (t)
dt
2
k-1 t

où P2 est un polynôme de degré 2. Intégrer alors cette nouvelle intégrale
par parties en primitivant P2 . On pourra choisir la primitive P3 s'annulant
en k - 1 et majorer |P3 (t)| sur [ k - 1 ; k ] pour conclure.

II.D Sommer l'encadrement de la question II.C pour k  [[ n + 1 ; p ]] et 
prendre la
limite p  +.
Troisième partie
III.B Échanger limite et intégrale grâce au théorème de convergence dominée.
III.C Intégrer par parties.
III.D Procéder par récurrence en utilisant la question III.B.
III.E Montrer que In (x) = nx Jn (x) puis utiliser les questions III.B et III.D.
Quatrième partie
IV.B Utiliser la périodicité de h pour en déduire celle de H.
IV.D Minorer l'intégrale sur [ n ; n + 1 ]. Conclure en rappelant que
Z
P n+1
f est intégrable sur R+  la série
|f (t)| dt est convergente
n

IV.E Appliquer le théorème de dérivation sous le signe. On pourra utiliser la 
doH(u)
mination de la fonction (x, u) =
suivante
(x + u)2
(x, u)  [  ; A ] × ] 0 ; + [

1
(x, u) 6 2 kHk ×
x
(u + )3

Cinquième partie
V.B Calculer Fn (x) grâce à la propriété de morphisme de ln et exprimer les
termes ln(x + i) au moyen de la question V.A. Remarquer enfin qu'on peut
calculer explicitement h sur ] i ; i + 1 [.
V.C.1 Justifier le développement
ln(x + n + 1) = ln n +

x+1
+O
n

1
n2

puis appliquer la formule de Stirling.
V.C.2 Appliquer l'identité d'Euler (III.1). Conclure grâce à V.B et V.C.1.
Sixième partie
VI.A.1 Montrer que  est une partie fermée et bornée de R4 .
VI.A.2 Écrire un système de deux équations à deux inconnues satisfait par x3 et 
x4 .
VI.A.3 Remarquer que (a1 , a2 ) est un extremum local de la fonction g où
g : (x, y) 7 f (x, y, u x + v y + w, u x + v  y + w )
VI.A.4 Montrer l'orthogonalité des vecteurs en reprenant les expressions de u, 
u , v, v 
de la question VI.A.2. Conclure en calculant le rang des familles et la 
dimension de l'orthogonal.
--
VI.A.5 Interpréter VI.A.3 comme une condition d'orthogonalité sur grad f (a).
VI.B Combiner les questions V.D et VI.A.5.
VI.C.1 Majorer le terme intégral de (Ni ) par

1
.
2 Ni

I. La fonction Gamma
I.A Fixons x  R et étudions la fonction x : t 7 e -t tx-1 .
· Pour tout x  R, la fonction x est continue sur ] 0 ; + [ par les théorèmes 
généraux.
· Au voisinage de +, e -t/2 tx-1 tend vers 0 par croissances comparées, d'où
la domination x (t) = o e -t/2 . Ainsi, par comparaison, la fonction x est
intégrable sur [ 1 ; + [, et ce pour tout x  R.
· Au voisinage de 0+ , on a l'équivalent x (t)  tx-1 . Le critère de Riemann
t0+

assure alors que x est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x > 0.

En conclusion,
La fonction x est intégrable sur ] 0 ; + [ si et seulement si x > 0.
Il est indispensable de mentionner la continuité de la fonction intégrée.
C'est un argument fréquemment oublié et certainement sanctionné par les
examinateurs.

I.B Comme la fonction x est continue, à valeurs positives et non identiquement
nulle, on a bien
x  ] 0 ; + [

(x) > 0

Remarquons que
(x) =

Z

0

+

(x, t) dt

où  : (x, t) 7 e -t tx-1 .

Pour montrer le caractère C 1 , appliquons le théorème de dérivabilité des 
intégrales
à paramètre (théorème de Leibniz). Pour tout t  ] 0 ; + [, la fonction x 7 (x, 
t)
admet une dérivée partielle par rapport à x sur ] 0 ; + [ × ] 0 ; + [ et l'on a

(x, t) = e -t (ln t) tx-1
x
· Pour tout x  ] 0 ; + [, la fonction t 7 (x, t) est continue par morceaux
sur ] 0 ; + [ et intégrable sur ] 0 ; + [ d'après la question I.A.

(x, t) est continue par morceaux et
x
+
intégrable sur ] 0 ;  [. En effet, grâce aux croissances comparées, on a

x
e -t (ln t) tx-1 = o t 2 -1
lorsque t  0

· Pour tout x  ] 0 ; + [, la fonction t 7

et

e -t (ln t) tx-1 = o e -t/2

d'où l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et [ 1 ; + [ respectivement.

lorsque t  +