Centrale Maths 1 PSI 2007

Thme de l'preuve Solutions maximales de l'quation diffrentielle x'' + f'(x) = 0
Principaux outils utiliss quations diffrentielles (linaires et non linaires), thorme de Cauchy-Lipschitz, sries entires

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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... mOEDO
			

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 PSI 2007 -- Corrig
Ce corrig est propos par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a t relu par
Philippe Bouafia (ENS Ulm) et Vincent Perrier (ENS Cachan).

Ce sujet traite des solutions de l'quation diffrentielle autonome du second 
ordre
x + f  (x) = 0
o f est une fonction  potentiel  paire de classe C 2 dfinie sur R. Un point 
de vue
physique est vite adopt, favorisant la considration du systme diffrentiel 
d'ordre 2
canoniquement associ :
 
x =y
(S)
y  = -f  (x)
et la rsolution dans le  plan de phase  R2 .
L'tude est mene en quatre parties :
 La premire partie est consacre  l'tude de deux exemples de familles de 
solutions obtenues pour deux fonctions  potentiel  distinctes. On obtient 
notamment des familles de trajectoires dans le plan de phase composes dans un 
cas
d'ellipses concentriques (oscillateur harmonique) et dans l'autre, de branches
d'hyperboles. Cette partie permet de se familiariser avec les objets qui seront
manipuls de manire plus abstraite dans les parties suivantes.
 La deuxime partie consiste en l'tude de quelques proprits gnrales des 
trajectoires pour une fonction f  quelconque . On rsout notamment localement
le systme (S) dans le demi-plan suprieur et l'on distingue trois comportements
qualitatifs significatifs des solutions, que l'on utilisera par la suite.
 La troisime partie est consacre  l'tude du systme (S) linaris au 
voisinage
d'un point d'quilibre. On y introduit notamment une notion de stabilit des
points d'quilibre. Enfin, on dmontre un rsultat qualitatif pour les solutions
au voisinage d'un point d'quilibre stable.
 La dernire partie tudie deux exemples non linaires (o la fonction f n'est
pas quadratique) : d'une part le pendule non linaire classique, d'autre part 
une
forme de pendule non linaire perturb. On s'intresse notamment aux points
d'quilibre de ces systmes.
Cette preuve, plutt longue pour quatre heures de composition, prsente 
l'intrt d'tre motive par des problmes physiques et de faire ainsi appel  
l'intuition.
En revanche, elle prsente l'inconvnient de comporter plusieurs erreurs 
d'nonc que
nous pointerons dans ce corrig. En outre, un certain nombre de notions sont 
dfinies
de manire imprcise et peuvent conduire  des confusions ; par exemple, la 
dfinition du mot  trajectoire  utilise des solutions de l'quation, alors 
qu'elle devrait
uniquement faire intervenir des solutions maximales de l'quation.
En conclusion, cette preuve est une excellente occasion de se frotter  la 
ralit
des preuves de concours, qui ne sauraient tre toujours parfaites.

Indications
2 Introduire la fonction E(t) = (y(t))2 /2 + f (x(t)). Montrer qu'elle est 
drivable sur l'intervalle sur lequel est dfinie la solution. Calculer sa 
drive sur
cet intervalle.
I.A.1 Dterminer les solutions sur R de l'quation x +  2 x = 0 d'nergie h > 0.
I.A.2 Dterminer la trajectoire associe  une solution de (S) d'nergie h > 0
dfinie sur R.
I.A.3 Utiliser le rsultat de la question prliminaire 2.
I.B.1 crire et rsoudre l'quation diffrentielle linaire homogne  
coefficients
constants vrifie par la fonction x.
I.B.3 Utiliser la question I.B.1.
II.A.3 Exprimer ( -1 ) en fonction de  -1 sur l'intervalle J(x0 ). Utiliser 
ensuite le
thorme de Cauchy-Lipschitz rappel dans l'nonc.
II.B Justifier que  est de classe C 2 sur J(x0 ) et y calculer sa drive.
II.C.1 Si  < u ou v < , montrer que J1 n'est pas maximal.
II.E.1.a Utiliser la continuit de f en a et b, puis le fait qu'elle admet un 
dveloppement limit d'ordre 1 en a et b. Enfin, chercher un quivalent de la 
fonction
sous le signe intgral dfinissant  .
II.E.1.b Que vaut F((t)) sur ]  ;  [ ? Utiliser ensuite le thorme  de 
prolongement
d'une drive .
II.E.1.c Utiliser la question II.E.1.b.
II.E.2 Donner un quivalent de la fonction u 7 (h - f (u))-1/2 pour u proche de 
a.

III.B Se ramener  la rsolution d'une quation diffrentielle linaire homogne
d'ordre 2  coefficients constants.
III.C Utiliser le rsultat de la question prcdente.
III.D.1 Utiliser le fait que f est de classe C 2 sur R avec f (e) = f  (e) = 0 
et
f  (e) > 0.
III.D.2 Attention  l'erreur d'nonc : la limite commune de x+ (h) et x- (h) 
quand
h tend vers 0+ est e et non 0. Montrer que H = min f (c), f (d) convient.
III.D.3 Montrer que pour R > 0 suffisamment petit, toute solution de donne 
initiale
X0  B(E, R)  P+ est de type II.E.1.
III.E.1 L'nonc comporte une erreur : ne pas tenir compte du v.
III.E.2 Utiliser  la fois l'expression de hn montre  la question prcdente 
et le
dveloppement limit de f en e.
III.E.3 A l'aide de la question prcdente et de la question III.D.3, se 
ramener 
appliquer le thorme de convergence domine  une famille d'intgrales.
Pour cela, utiliser deux fois la formule de Taylor avec reste intgral afin de
-1/2
majorer sur ] 0 ; 1 [ la suite de fonctions v 7 (1 - v 2 )f  (e) + n (v)
par
une fonction intgrable sur ] 0 ; 1 [ indpendamment de n. Cette question est
de loin la plus technique du sujet.
IV.B
IV.C
IV.D.1
IV.D.3

Montrer que toute trajectoire d'nergie h  ] 0 ; 1 [ est du type II.E.1.
Montrer que a = - et b = + et que ces points sont de type II.E.3.
Montrer que a = - et b =  alors que  = - et  = +.
On pourra montrer que F-1 ({1}) spare le plan en deux parties : F-1 ([ 0 ; 1 [)
et F-1 (] 1 ; + [).

Questions prliminaires
1 Si t 7 (t) est une trajectoire du systme (S) dfinie sur un intervalle I 
contenant t0 , alors la fonction  est drivable sur I et l'on a
t  I

  (t) = ((t))

Puisque la fonction f est de classe C 2 sur R, le champ  est de classe C 1 sur 
R2 .
En particulier, le champ  est continu sur R2 . Par consquent, l'application   
est
continue sur I. Par suite,  est de classe C 1 sur I.
Soit t  I tel que ((t)) 6= 0. Il vient que   (t) 6= 0. On en dduit que la
trajectoire  admet une tangente en (t) et que cette tangente est dirige par le
vecteur   (t). Finalement,
En tout point (t) tel que ((t)) 6= 0, la trajectoire 
admet une tangente dirige par le vecteur ((t)).
2 Considrons t 7 X(t) une solution de (S) dfinie sur un intervalle I 
contenant t0 .
La fonction X est drivable sur I et l'on a
 
x (t) = y(t)
t  I
y  (t) = -f  (x(t))

En particulier, les fonctions x et y sont drivables sur l'intervalle I.
Considrons la fonction dfinie sur I par

y 2 (t)
+ f (x(t))
2
et remarquons que la fonction E est elle aussi drivable sur l'intervalle I. En 
outre,
E(t) = F(X(t)) =

t  I

E (t) = y  (t)y(t) + x (t)f  (x(t)) = y  (t)x (t) + x (t)(-y  (t)) = 0

car t 7 X(t) est une solution de (S) sur I. Par suite,
La fonction d'nergie F est constante le long des solutions de (S).

I. Premiers exemples
I.A.1 La fonction f est de classe C  sur R. En outre, pour tout rel x, f  (x) 
=  2 x.
L'quation x + f  (x) = 0 s'crit donc
x +  2 x = 0
Il s'agit d'une quation diffrentielle linaire d'ordre 2  coefficients 
constants. D'aprs
le cours, cette quation admet des solutions sur R. En outre, pour toute 
solution sur R
de cette quation, il existe deux constantes relles A et  telles que
t  R

x(t) = A cos(t + )

L'quation diffrentielle linaire d'ordre 2  coefficients constants
x +  2 x = 0
admet, d'aprs le cours, des solutions sur tout intervalle de R. On ne considre
ici que les solutions dfinies sur R tout entier.

Il est important par ailleurs de bien connatre le cours (y compris les
formules du cours de premire anne) afin de se distinguer positivement
des autres candidats. Le rapport du jury relatif  cette preuve indique par
exemple :  Dans un certain nombre de copies, les candidats proposent des
formules fausses pour la solution gnrale de l'quation x = kx. .
Soit x une fonction dfinie sur R solution de cette quation diffrentielle et 
d'nergie h > 0. On peut crire, pour tout t  R,

(x (t))2
2 2
1
2
2
+
x (t) =
(-A sin(t + )) +  2 (A cos(t + ))
2
2
2
1
= A2  2
2
2 2
(x (t))2
+
x (t) = h
2
2

2h
Ceci implique
|A|=

Par suite (quitte  changer  en  + ), la fonction x est de la forme

2h
t 7
cos(t + )

On vrifie, rciproquement, que pour h > 0, la fonction dfinie sur R par

2h
t  R
x(t) =
cos(t + )

est une solution d'nergie h de l'quation x +  2 x = 0 sur l'intervalle R. 
Ainsi,
Les solutions de l'quation x +  2 x = 0 d'nergie h > 0 dfinies sur R sont les
fonctions de la forme

2h
t 7
cos(t + )

2
Elles sont toutes priodiques de priode
.

I.A.2.a Soit x une solution sur R de l'quation x +  2 x = 0 d'nergie h > 0.
La question prcdente assure l'existence d'un rel  tel que

2h
t  R
x(t) =
cos(t + )

Par consquent
t  R
y(t) = x (t) = - 2h sin(t + )
On en dduit que cette solution d'nergie h > 0 dcrit l'intgralit de 
l'ellipse
 de
centre l'origine Odu plan P, d'axes les axes de coordonnes, et de demi-axes 2h/
suivant (Ox) et 2h suivant (Oy). En conclusion,
Toute solution d'nergie h > 0 dfinie sur R dcrit dans P l'ellipse h decentre
l'origine, d'axes les axes de coordonnes, et de demi axes respectifs 2h/
suivant (Ox) et 2h suivant (Oy). Une quation cartsienne de h est
x2
y2

2 +  2 = 1
( 2h)
2h/