Centrale Maths 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'équations différentielles construites sur l'équation y'-xy=0
Principaux outils utilisés équations différentielles, variation de la constante, intégrales, récurrence, méthode de Newton, séries entières

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

_OEn_ e.........___... _ _ OEMDÛF<ÊwIF (l + x2) ex .
I.B - On considère l'équation différentielle :

(E) y'--xy : (1+x2) ex2/2.

I.B.1) Donner la solution générale de l'équation (E).
On désigne par f la solution de (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1 .

I.B.2) Donner l'expression de f. Montrer que f(x) s'annule pour une seule
valeur réelle de x, notée (1.

LES) On se propose de calculer une valeur approchée de a par la méthode
de Newton. '"

a) Déterminer préalablement un intervalle [a], a2] de longueur 0,1 contenant

on . Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut
l'appliquer à partir de l'intervalle [al, a2] .

b) Écrire un algorithme, mettant en oeuvre la méthode de Newton, permettant
de déterminer une valeur approchée de a à 10"6 près. On utilisera le langage de
programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.

0) Déterminer par l'algorithme mis en place une valeur approchée de a à 10"6
près.

-- Partie II -
II.A -
II.A.1) Calculer I1 .
II.A.2) Trouver une relation entre I p et I

ILB -

II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel le, il existe une constante kk et
un polynôme A k tels que :

p_2,pourpz2.

2
Vx & IR, 12k +1(x) : kk + e'x /2Ak(x) .
II.B.2) Déterminer kk et Ak.
II.C - '

II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel k, il existe une constante Mk et
un polynôme B k tels que :

2
Vx & IR, 12k(x) : ukIO(x) + e'x /sz(x) .
II.C.2) Déterminer "le et le degré de Bk.

ILD -

II.D.1) Si le degré de P est égal à n, que peut-on dire du degré du polynôme :
1 + P'(X) _ xP(X) ?

--x2/2

II.D.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P tel que Ïo(x) + P(x) e soit

une constante.

Partie III -

Soit 

o @ ? III.B.2) Résoudre l'équation différentielle : y" --2xy' + (x2-- 1)y : 0. 111.0 - On pose par convention " = 4>n_104> = 4>Od> III.C.1) Résoudre qf(f) : O. III.C.2) Résoudre $"(f) : O. n--l Partie IV - Soit % l'application linéaire de IR[X ] dans lui--même définie par : VPE ÏR[X], %(P) = 4>(P)- IV.A -' % est-elle injective ? surjective ? IV.B - _ IV.B.1) Montrer que pour tout n entier naturel, X 2" H E %(IR[X ]) . IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à q>O(IR[X ]) . IV.C - Pour tout q, entier strictement positif, on définit le polynôme Q q : Qq(X) = X2q--(2q-- 1)X2q_2. IV.C.1) Déterminer un polynôme P tel que QQ : q>O(P). On désigne par @ le sous-espace vectoriel de IR[X ] engendré par la famille {Qq | q E 1N*} -- IV.C.2) °Montrer que pour tout entier naturel non nul q, le polynôme X 2q -- u q est élément de @ . Qk(X) _ X2k X2k_2 "k Mk ."k--1 . On pourra remarquer que : IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels Vect(X , X 3 , ..., X 2"+ 1, ...) et 95 sont en somme directe. IV.C.4) Montrer que Im(%) : Vect(X,X3, ...,in+ 1, ...) ®ÿ. Partie V - On considère l'équation différentielle : 2 (1)y'--xy = (1+x2)ex et on définit la fonction H : IR --> IR par : 2 H(x) : fx(l+t2)et "dt. 0 . V.A - Donner la solution générale de l'équation (l) (l'expression de cette solu- tion utilise la fonction H ). V.B - Déterminer une fonction g, impaire, développable en série entière et solu-- tion de l'équation (1). Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière ? ' V.C - À l'aide des questions précédentes calculer : 2 fx(1 + t2)et / 2dt . 0 oo. FIN ooo