Centrale Maths 1 PSI 2002

Thme de l'preuve Mouvement admissible d'un mobile
Principaux outils utiliss sries de Fourier, orthogonalit, endomorphismes auto-adjoints
Mots clefs autoadjoint

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2002:B0n  tirer:PSl Math ] 7.11.01-2 version du 26 mars 2002 16:46

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MA Sujets 20022Bon  tirer.PSl Math I 7.11.01--2 version du 28 mars 2002 14:03

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 PSI 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par Sbastien Gadat (ENS Cachan) ; il a t relu par Jean
Starynkvitch (ENS Cachan) et Thomas Chomette (ENS Ulm).

Ce sujet traite  la fois d'analyse classique sur les sries de Fourier et 
d'algbre
linaire des endomorphismes auto-adjoints. C'est donc l'occasion pour le 
candidat de
prouver sa capacit  manier diffrents types de raisonnements dans un problme.
Les questions du sujet sont d'une difficult relativement gale et leur 
progression vers le but recherch est agrablement quilibre. La plupart des 
questions sont
accessibles  l'lve connaissant sur le bout des doigts les thormes 
importants de
son cours d'analyse et d'algbre linaire. Nanmoins, la longueur de l'nonc 
ne permet pas de traiter l'intgralit du sujet dans le temps imparti, comme 
souvent aux
preuves de concours.
L'nonc dfinit tout d'abord ce qu'est une trajectoire admissible et le but du
problme est de dmontrer une majoration de la vitesse en moyenne quadratique
pour ces trajectoires.
 Le sujet dbute par une partie prliminaire o l'on redmontre trs 
prcisment
certains points du cours sur les projections orthogonales.
 La premire partie utilise les thormes gnraux sur les sries de Fourier 
pour
dmontrer des convergences ponctuelles ou au sens L2 de sries de fonctions.
Elle introduit une quantit servant  obtenir la majoration recherche.
 La seconde partie interprte alors tous les rsultats de convergence en
norme L2 obtenus dans la premire partie en termes de projections orthogonales
sur des hyperplans. On manipule galement dans cette partie des oprateurs
et des endomorphismes auto-adjoints, permettant d'aboutir  la majoration
finale :
  A

h  |  i 6

1  
h | i
2

Indications

Partie I
I.B.1 Faire un dessin du graphe de f .
I.B.2 Utiliser les symtries de la question I.B.1 pour viter des calculs 
inutiles.
I.B.3 noncer prcisment les thormes et hypothses du cours utiliss.
I.B.4 Attention aux hypothses pour l'application de ce thorme.
I.B.5 Utiliser la question I.B.4.
I.B.6 Utiliser la question I.B.5.
I.C.1 Appliquer le thorme des valeurs intermdiaires en tudiant le 
comportement
de n aux bornes de ses intervalles de dfinition.
2
I.C.3 Majorer indpendamment de  le terme :
.
k 2 ( 2 - k 2 )
Partie II
II.A.1 Intgrer par parties.
II.A.2 Penser au thorme de Fubini.
II.B.1 Raisonner par double inclusion. Que reprsente Hn gomtriquement ?
II.B.2 Utiliser la question II.B.1.
II.B.4 Dmontrer et utiliser le fait que hz|Tn (z)i = hz|T(z)i.
II.C.1 Se servir des questions I.B.3 et II.A.3.
II.D Appliquer les rsultats prcdents    qui est dans H .

Rsultats prliminaires
A
L'nonc dbute par des questions de cours et le correcteur attend de l'lve
qu'il nonce trs prcisment les thormes du cours, quitte  utiliser un style
un peu trop formel. On exige par ailleurs la dmonstration du rsultat du

cours : Vect (h)
= Vect h et mme si une dmonstration correcte ne
rapporte gure de points, il y a fort  parier qu'une dmonstration incorrecte
en fait perdre beaucoup. . .
Voici l'nonc prcis du thorme qui permet de conclure directement.
Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel E
prhilbertien, alors F est un supplmentaire orthogonal de F :
F  F = E
De plus

et

codim F = dim F

F

=F

Vrifions tout d'abord que le cadre particulier de l'nonc rentre bien dans les
hypothses du thorme. C est bien un espace prhilbertien rel muni du produit
scalaire h|i. L'espace vectoriel engendr par h est de dimension finie. On 
obtient
donc, en prenant pour F l'espace engendr par h :

C = Vect h  (Vect h)

(1)

Dmontrons, comme le demande l'nonc, le thorme prcdent dans le cas 
particulier o F = Vect (h).
Tout d'abord, les espaces Vect (h) et Vect (h) sont bien d'intersection rduite 

0E car si x est un lment commun  ces deux espaces, on trouve :
hx|xi = kxk2 2 = 0
c'est--dire
Donc

x=0

Vect (h)  Vect (h) = 0E

Ensuite, dmontrons que la somme de tout x de E se dcompose en la somme

d'un lment de Vect (h) et d'un lment de Vect (h) .
hf |hi
Notons 1h l'application dfinie par 1h (f ) = f -
h. On peut crire
khk2 2

f  E
f = f - 1h (f ) + 1h (f )

Le terme f - 1h (f ) appartient  Vect (h) et 1h (f ) est orthogonal par 
construction
 h, c'est--dire que 1h (f ) appartient  Vect (h) . On en conclut donc le 
premier
rsultat annonc :
C = Vect h  (Vect h)

Prouvons que

F

=F

Effectuons un raisonnement par double inclusion. Donnons-nous un x dans F, alors

pour tout h de F , on a hx|hi = 0. Ainsi x est dans F
et on a F  F .

Rciproquement, prenons y dans F , alors y se dcompose dans la somme
directe de C et :
yF  F yF  F

y = y F + y F

Dmontrons que kyF k2 = 0.
2

On obtient

hy|yF i = hyF |yF i + kyF k2

On sait que y est dans F , on en conclut que hy|yF i = 0. On a de mme
hyF |yF i = 0

En conclusion, on a kyF k2 = 0 et y est dans F ; ce qui achve la dmonstration.
F

=F

Il est bon de connatre un contre-exemple classique  ce rsultat lorsque
l'espace vectoriel considr n'est plus de dimension finie. Plaons-nous dans
l'espace vectoriel E = R[X] tel que la base canonique soit une base 
orthonormale. Prenons

n
n
P
P
F= P=
ak Xk
ak = 0
k=0

k=0

L'inclusion F  F

de dmontrer que F
entendu fausse !

est toujours vrifie. Mais il n'est pas trs difficile

= {0E }, et l'galit prcdente F
= F est bien

Il faut donc faire trs attention lorsqu'on manipule ces objets, surtout en
dbut de sujet. . .
Dmontrons enfin le dernier rsultat :
f  C

h (f ) = 1h (f ) = f -

hf |hi
khk2

2h

Prenons un vecteur f dans Vect (h), alors la projection de f sur Vect (h)
nulle et on a h (f ) = 0 = 1h (f ) d'aprs la dfinition de h.

est

Fixons alors un vecteur f dans Vect (h) , ce vecteur est son propre projet or
thogonal sur Vect (h) et on a h (f ) = f . De plus 1h (f ) = f .
On en conclut que les applications linaires 1h et h concident sur deux 
sousespaces supplmentaires et donc qu'elles sont gales.
f  C

h (f ) = f -

hf |hi
khk2

2h

(2)

B Notons D2 :  7-   l'application qui  un lment  de A associe sa drive
seconde. Commenons par dmontrer que D2 (A)  H .
Prenons un lment  de A et calculons le produit scalaire hD2 ()|ui :