Centrale Maths 1 PSI 2001

Thme de l'preuve Suites orthonormales de fonctions lipschitziennes
Principaux outils utiliss espace prhilbertien rel, analyse relle, sries

Corrig

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 PSI 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Yohann Genzmer (ENS Cachan) ; il a t relu par
Nicolas Andraud (Mines de Paris) et David Lecomte (ENS Cachan).

Le sujet se compose de quatre parties consacres aux suites orthonormales de
fonctions et aux fonctions lipschitziennes.
 La premire partie commence par l'tude de quelques proprits gnrales des
suites orthonormales dans l'espace prhilbertien des fonctions continues sur
[ 0 ; 1 ]. On munit cet espace du produit scalaire
Z 1
(f |g) =
f (t) g(t) dt
0

On s'intresse ensuite plus particulirement  l'exemple

1
si n = 0
Cn (x) = 
2 cos(nx) si n > 0
 La deuxime partie tudie, dans un premier moment, les fonctions 
lipschitziennes dans leur gnralit pour, dans un second moment, faire le lien 
avec
la premire partie en introduisant la notion de constante de Lipschitz d'une
fonction lipschitzienne.
 La troisime partie aboutit  une minoration explicite des constantes de 
Lipschitz d'une suite orthonormale.
 Enfin, on tudie, dans la quatrime partie, un exemple polynomial de suite
orthonormale.

Indications

Partie I
I.A Calculer

Z

1

Cn (x) Cm (x) dx et

0

Z

1

0

Sn (x) Sm (x) dx pour n, m  N.

I.B.1 Penser au thorme de Pythagore.
I.B.2 Utiliser la question I.B.1 pour obtenir un majorant vident puis montrer 
que
celui-ci est atteint.
n
Yn
X
I.B.3 crire
(f ) =
i i puis calculer i en fonction de (f |i ). Pour l'in

i=0

galit sur la srie, utiliser conjointement le rsultat de la question I.B.1 et
le thorme de Pythagore.

N
I.C.1.a Remarquer qu'il existe un entier N tel que fk  V
.

I.C.2 Pour (i) = (ii), utiliser le rsultat de la question I.C.2.b.
w2
wYn
w
w
I.C.3 Se rappeler que (dn (f ))2 = w
(f ) - f w .

I.D.1 Commencer par construire fe par parit sur [ -1 ; -1 ] puis par 
priodicit sur
R tout entier.
Yn
e = (Cn )n>1 .
I.D.3 S'intresser, par exemple, 
(1) pour n  N avec C
e
C

Partie II
II.A.1 Pour savoir si le produit de deux fonctions lipschitziennes est une 
fonction
lipschitzienne, s'intresser  la fonction identit sur R.
II.A.2 Remarquer que pour deux fonctions f et g quelconques,
f (x)g(x) - f (y)g(y) = (f (x) - f (y)) g(x) + (g(x) - g(y)) f (y)
II.B Utiliser l'ingalit des accroissements finis.
II.C Montrer que |f (x) - f (y)| 6 sup{k (fn ) |n  N}|x - y|.

II.D.1 S'intresser  la fonction

 R - R

g(0) si x 6 0

g:
b

x 7- g(x) si x  [ 0 ; 1 ]

g(1) si x > 1

II.D.2 Pour la convergence uniforme, majorer |gn (x) - g (x)|.
II.E.1 Effectuer une intgration par parties.
II.E.2 Utiliser les questions II.E.1 et I.B.3.
II.F.1 Appliquer les rsultats des questions II.E et II.D 

f
.
k (f )

2

II.F.2 Utiliser l'expression de (dn (f )) obtenue  la question I.C.3.

Partie III
III.A Utiliser le rsultat de la question I.B.1.
III.B.2 Raisonner par l'absurde en utilisant la minoration de la question 
prcdente.
III.B.3 Penser aux suites extraites.
III.B.4 Utiliser la question II.B.

Partie IV
IV.B.2 Utiliser les questions I.C.1 et I.C.2.
IV.B.3 Remarquer que la famille (Qn )n6m constitue une base de Rm [X].
IV.C Penser  la formule de Leibniz.
IV.D.1 Ne pas hsiter  dvelopper.
IV.E.1 Utiliser la question IV.E.1 aprs avoir crit Ln+1  comme la drive ne 
d'une
somme de trois termes.
IV.F tablir une rcurrence sur k (Qn ) en combinant les rsultats des questions
II.B, IV.D.2 et IV.E.2.

I.

Gnralits sur les suites orthonormales

I.A Pour tout entier n, Cn et Sn sont des fonctions continues sur [ 0 ; 1 ], 
donc elles
sont dans E.
Z 1
Z 1
2
C0 (x) dx = 1 et pour n > 1
C0 (x) Cn (x) dx = 0
0

0

Pour n > 1 et m > 1 :
Z

1

Cm (x) Cn (x) dx =

0

Z

1

cos ((n + m)x) dx +

0

Z

1

0

Z

= 0+

cos ((n - m)x) dx

1

0

cos ((n - m)x) dx

1
1

sin
(n
-
m)
x

 (n - m) 
0
= Z
 1

1 dx

si n - m 6= 0
sinon

0

=
Z

(

0
1

si n - m 6= 0

sinon

1

Cm (x) Cn (x) dx = mn

0

Le calcul pour la suite (Sn ) se fait de faon analogue.
Ainsi, C et S sont des suites orthonormales de E.
I.B.1 Soient f dans E et n un entier. On considre le sous-espace de E
F = Vect(1 , . . . , n , f )
On peut munir F d'une structure d'espace euclidien, en lui donnant celle 
hrite de
E. Dans ce cas, on sait que
w
Yn w
w
w
(f )w = (dn (f ))
wf -

F
Yn
Yn
De plus f -
(f ) est othogonal 
(f ). D'aprs le thorme de Pythagore,

w
w
w 2
w
Yn
Yn w
Yn w
w 2 wYn
w
w
w 2 w
(f )w
(f ) +
(f )w = wf -
(f )w + w
wf -

F

F

F

Dans un espace prhilbertien rel, si a et b sont orthogonaux, alors ka+bk2 =
kak2 + kbk2 . Plus gnralement, si (an )n6m est une famille de vecteurs deux
wm
w
m
w P w2
w = P kak k2 .
 deux orthogonaux alors w
a
k
w
w
k=0

k=0

Mais, comme la structure euclidienne de F est celle induite par E, les normes 
k.kF et
k.k concident, d'o :