CCP Maths 2 PSI 2014

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme, des racines d'un polynôme et d'une matrice associée
Principaux outils utilisés polynômes, produit scalaire, diagonalisation
Mots clefs valeurs propres, déterminant, maximum, minimum

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PSIM206

.::=_ CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 4 pages.

Notations :

0 N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels. Pour 
tout entier n E N,

on note [[0, n]] l'ensemble {p E N; 0 S p 5 n}.
0 On note R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
. Pour tout entier n, R,, {X] est l'espace vectoriel des polynômes de degré 
inférieur ou égal à n.
. M,, (IR) désigne l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels.

Pour tout polynôme P E R[X], on note encore P la fonction polynomiale associée 
définie sur R. On
rappelle qu'un polynôme P est dit unitaire si le coefficient du terme de plus 
haut degré est égal à 1.

Objectifs : on se propose d'étudier une famille de polynômes et leurs racines. 
Dans une première
partie, on introduit une famille de polynômes (Pn) vecteurs propres d'un 
endomorphisme de R,,[X].
L'objet de la seconde partie est l'étude, dans un cas particulier, d'une 
famille de polynômes orthogo-
naux. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les valeurs propres d'une 
matrice pour démontrer une

propriété des racines de ces polynômes.

1/4

Partie I

Etude d'un endomorphisme

Dans cette partie, on pose :

A(X) = X2 -- 1 , B(X) = 2X.

1.1 Une application linéaire

On considère l'application  : R]X ] --> R]X ] définie par :

c1>(P) : AP" + BP'.

1.1.1 Montrer que, pour tout entier n, la restriction, notée (I)" de (I) à Rn 
]X ], définit un

endomorphisme de Rn ]X ]

1.1.2 Montrer brièvement que :
1
(RQ%+OEÆWî/POEQOEfi

--1

définit un produit scalaire sur R]X ] Vérifier que {XP, Q) = {P, X Q).
1.2 Une base de vecteurs propres

1.2.1 Soient P et Q deux polynômes. Déterminer deux polynômes U et V tels que :
1
@fiäQ%äR®@fi=/ÏM@U@+AfiWfififi-

--1

En déduire que pour tout entier n, l'endomorphisme (I)" est auto-adj oint.

1.2.2 Ecrire la matrice de Cl)" : Rn ]X ] --> Rn ]X ] dans la base canonique 
{1,X, - - - , X "} et

en déduire les valeurs propres de ©...

1.2.3 Montrer qu'il existe une base (PO, - - - , Pn) de Rn ]X ] formée de 
vecteurs propres de

(I)" unitaires tels que deg Pk : [EUR pour tout k EUR ]]0, n]].

1.2.4 Montrer que si z' # k alors {P.--, P,.) = 0. En déduire que Pn est dans 
l'orthogonal de
Rn_1]X ]

1.2.5 Expliciter les polynômes P0, P1, P2 et P3, puis déterminer leurs racines.

2/4

Partie II

Etude des racines de ces polynômes

II.1 Une relation de récurrence Soit n 2 2 un entier.

Justifier l'existence d'un réel )... tel que :

Pn _ XPn_1 + ÀnPn--1 : Sn EUR Rn_2]X].

II.2 Dans cette question, on suppose n 2 3
En calculant  0, tels que 
:
Pn : (X _ Àn)Pn--1 _ NnPn--2-

Calculer de façon directe À2, ,u2, À3 et ,LL3.

II.4 Montrer que pour tout entier k E N *, on a :
1
/ P,,(t)dt : o.
--1

En déduire que P,, admet au moins une racine d'ordre impair dans ] -- 1, 1].

11.5 Soient 331, - - - ,a:;,, les racines distinctes d'ordre impair de F,, dans 
] -- 1, 1] et soit Q le

polynôme HÎ(X -- $,). En considérant Q - P... montrer que P,, a n racines 
simples dans ] -- 1, 1]

1
(on pourra raisonner par l'absurde et calculer / Q(t)Pn(t) dt en supposant [EUR 
< n).
--1

Partie III

Etude d'une matrice

III.1 Etude d'un déterminant

Pour tout entier n > 0, on considère la matrice :

{ @ Æ () () () \

Æ & Æ 0 0
)\

Mn-- 0 Æ 3 0 0 GM,,(R).

3/4

III.1.1 On pose QO(X) : l et, pour tout entier n > O, Qn(X) : det(Xln -- Mn). 
Calculer
Q1(X). Exprimer Qn(X) en fonction de Qn_1(X) et de Qn_2(X) pour n = 2 et pour n 
= 3.

III.1.2 Déterminer, pour tout entier n 2 3, une relation entre Qn (X ), Qn_1 (X 
) et Qn_2 (X).

III.1.3 En déduire que toutes les racines de Pn sont réelles (résultat déjà 
démontré en 11.5).

111.2 Valeurs propres de Mn On considère Mn comme la matrice d'un endomorphisme 
u
de R", muni du produit scalaire usuel (noté (a:, y) v--> (a: \ y)), dans la 
base canonique. On
note 041 S 042 £ - - - £ ozn_1 5 04... les valeurs propres de Mn et (61,62, - - 
- ,en_1, en) une

base orthonormée de vecteurs propres de M... tels que u(ei) : aie).

III.2.1 Soit E- le sous-espace vectoriel de R" engendré par (61,62, - - - ,ei). 
Montrer que

sur la sphère unité de E, l'application a: v-->  
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege
(ENS Cachan).

Ce sujet est composé d'un unique problème, qui se propose d'étudier une famille
de polynômes ainsi que leurs racines. Il est divisé en trois parties, 
construites dans le
prolongement les unes des autres.
· Dans une première partie, ces polynômes sont introduits en tant que vecteurs
propres d'un endomorphisme de Rn [X]. Elle permet également de démontrer
quelques propriétés bien utiles dans la suite du problème, entre autres 
l'orthogonalité de ces polynômes pour un produit scalaire défini dans cette 
partie.
· Dans une deuxième partie, on montre une relation de récurrence entre ces
polynômes, qui permet de conclure qu'ils sont scindés à racines simples.
· Enfin, une troisième partie définit une suite de matrices avec les 
coefficients
apparaissant dans la relation de récurrence de la partie 2, et l'on montre que
leurs polynômes caractéristiques sont égaux aux polynômes considérés jusqu'ici.
Une étude approfondie des valeurs propres de ces matrices permet alors 
d'aboutir à un résultat final sur l'emplacement des racines de ces polynômes.
Ce sujet alterne entre des questions triviales et d'autres demandant un peu plus
de réflexion. C'est un bon sujet de révision sur les polynômes et la 
diagonalisation,
avec quelques points de vue originaux, comme l'expression des valeurs propres 
dans
la troisième partie.

Indications
Partie I
I.2.1 [HP] Remarquer que A (X) = B(X), puis V (X) = U(X). Un endomorphisme
est dit auto-adjoint s'il est symétrique.
I.2.3 Raisonner par récurrence sur k 6 n en remarquant que k est la restriction
de k+1 à Rk [X].
I.2.4 Utiliser le caractère symétrique de n démontré à la question I.2.1 , puis
exploiter le fait que Pi et Pk sont des vecteurs propres.
I.2.5 Expliciter la matrice M3 et chercher ses vecteurs propres.
Partie II
II.1 Considérer les degrés et coefficients dominants des différents polynômes.
II.2 Exploiter les questions I.1.2 et I.2.4 .
II.3 Montrer que Sn et Pn-2 appartiennent tous deux à Rn-2 [X] et à l'orthogonal
de Rn-3 [X] : ils sont donc colinéaires. Pour obtenir l'inégalité µn > 0, 
prendre
le produit scalaire de l'égalité donnée avec Pn-2 et utiliser les questions 
I.1.2
et I.2.4 .
II.4 Utiliser tout d'abord le fait que Pk et P0 sont orthogonaux, puis montrer 
par
l'absurde que Pk serait de signe constant, puis nul sur l'intervalle ] -1 ; 1 [.
II.5 Si Pn possède moins de n racines dans ] -1 ; 1 [, alors Q est de degré au
plus n - 1. Conclure comme à la question précédente.
Partie III
III.1.2 Développer le déterminant Qn (X) par rapport à la dernière ligne pour 
faire
apparaître Qn-1 (X), puis développer le déterminant obtenu à nouveau par
rapport à la dernière colonne.
III.1.3 Remarquer que les polynômes Pk et Qk coïncident, puis que Qn est égal au
polynôme caractéristique de Mn .
III.2.1 Exprimer x dans la famille (e1 , . . . , ei ) puis calculer le produit 
scalaire hu(x)|xi
en exploitant les propriétés de cette famille (ce sont des vecteurs propres et
ils sont normés). Majorer ensuite la valeur obtenue en utilisant l'inégalité sur
les k et montrer que la borne obtenue est réalisée pour un certain vecteur
bien choisi de la sphère unité de Fi .
III.2.2 Raisonner comme à la question précédente.
III.3 Utiliser la formule de Grassmann. Après avoir trouvé l'inégalité hu(x)|xi 
> i ,
passer au maximum sur les vecteurs x puis à la borne inférieure sur les espaces 
F. Considérer ensuite le cas F = Fi .
III.4.1 Noter que si x = (y, 0)  Rn-1 ×{0}, alors hu(x), xiRn = hv(y), yiRn-1 
où v est
l'endomorphisme de Rn-1 associé à la matrice Mn-1 .
III.4.2 Enchaîner les inégalités données par la question précédente.
III.4.3 Exploiter les questions III.1.3 et III.4.2 avec les notations des 
questions III.2
et III.4.1 .

I. Étude d'un endomorphisme
I.1.1 Soient n  N et P un polynôme de Rn [X]. Le polynôme P est de degré au
plus n - 1 et le polynôme P au plus n - 2. Par suite, comme le polynôme A est de
degré 2 et le polynôme B de degré 1, le polynôme (P) = AP + BP est de degré
au plus n. En outre, il est à coefficients réels, donc il appartient bien à Rn 
[X].
Soient P et Q deux polynômes de Rn [X] et   R. On a
(P + Q) = A(P + Q) + B(P + Q)
= AP + AQ + BP + BQ
(P + Q) = (P) + (Q)
par linéarité de la dérivation des fonctions polynomiales. Ainsi,  est une 
application
linéaire de Rn [X] dans Rn [X], si bien que
 est un endomorphisme de Rn [X].
Remarquons l'égalité B = A , ce qui permet d'écrire que (P) = (AP ) .
I.1.2 Soient P, Q et R trois polynômes de R[X] et   R.
· Tout d'abord,
hP, Qi =

1

Z

P(t)Q(t) dt =

-1

Z

1

Q(t)P(t) dt = hQ, Pi
-1

ce qui signifie que l'application donnée est symétrique.
· Ensuite,
Z
Z 1
Z 1
hP + Q, Ri =
(P(t) + Q(t))R(t) dt =
P(t)R(t) dt + 
-1

-1

1

Q(t)R(t) dt
-1

par linéarité de l'intégrale, d'où
hP + Q, Ri = hP, Ri + hQ, Ri
L'application est donc linéaire à gauche, c'est-à-dire bilinéaire par symétrie.
Z 1
· De plus, hP, Pi =
P2 (t) dt > 0 donc l'application est positive.
-1

· Enfin, si hP, Pi = 0, alors P2 (t) = 0 pour tout t  [ -1 ; 1 ] puisque P2 est 
une
fonction continue, positive et d'intégrale nulle. On en déduit que P2 admet une
infinité de racines, puis que c'est le polynôme nul. Ainsi, P = 0.
Finalement, l'application donnée est bilinéaire, symétrique et définie positive 
d'où
Z 1
L'application (P, Q) 7
P(t)Q(t) dt est un produit scalaire sur R[X].
-1

En outre,

hXP, Qi =

Z

1

-1

tP(t)Q(t) dt =

Z

1

P(t)tQ(t) dt = hP, XQi

-1

Plus généralement, on peut montrer que hP, QRi = hPR, Qi pour tous polynômes P, 
Q et R.

I.2.1 Remarquons comme à la question I.1.1 que A (X) = B(X). Soient P et Q deux
polynômes de R[X]. On a alors
Z 1

h(P), Qi - hP, (Q)i =
(P)(t)Q(t) - P(t)(Q)(t) dt
=

-1
1

Z

-1

h(P), Qi - hP, (Q)i =

Z

1

-1

Par suite,

A(t)P (t)Q(t) + A (t)P (t)Q(t)

-P(t)A(t)Q (t) - P(t)A (t)Q (t) dt
A(t)(P (t)Q(t) - P(t)Q (t))

+A (t)(P (t)Q(t) - P(t)Q (t))] dt
Z 1
h(P), Qi - hP, (Q)i =
(A(t)U(t) + A (t)V(t)) dt
-1

en posant

U = P Q - PQ

et

V = P Q - PQ

Remarquons désormais que U = V . En effet,
V = (P Q - PQ ) = P Q + P Q - P Q - PQ = U
Z 1

d'où h(P), Qi - hP, (Q)i =
A(t)V (t) + A (t)V(t) dt = [A(t)V(t)]1-1 = 0
-1

puisque A(-1) = A(1) = 0. On en déduit que l'endomorphisme  est symétrique.
Comme n est la restriction de  à un sous-espace stable par , on en déduit que
Pour tout n, l'endomorphisme n est symétrique.
I.2.2 On a n (1) = 0 et n (X) = B = 2X. Soit k  {2, . . . , n}. On a
n (Xk ) = Ak(k - 1)Xk-2 + BkXk-1
= k(k - 1)Xk - k(k - 1)Xk-2 + 2kXk
n (Xk ) = k(k + 1)Xk - k(k - 1)Xk-2
On en déduit que la matrice de

0 0 -2 · 1
0

0 2
0
-3 · 2

0 0
2·3
0

0 0
0
3·4

. .
.
..
..
..
 ..
.

. .
.
.
..
..
..
 ..

. .
..
..
..
 ..
.
.
0 ...
...
...

n dans cette base s'écrit de la façon suivante :

...
...
...
0
..

..
..
..

.
.
.
.

..

..
..
..

.
.
.
.

.
..
..
..
..

.
.
.

..
..
..

.
.
.
0

..
. (n - 2)(n - 1)
0
-n(n - 1)

..

.
0
(n - 1)n
0
...
0
0
n(n + 1)

Cette matrice étant triangulaire supérieure, on peut directement lire ses 
valeurs
propres sur sa diagonale :
Sp(n ) = {k(k + 1) | k  {0, . . . , n}}