CCP Maths 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Étude du spectre de matrices stochastiques
Principaux outils utilisés réduction, nombres complexes

Corrigé

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SESSION 2012

PSIM206

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
____________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Tournez la page S.V.P.

R
n  2
Mn,1 (K)

C
C
n

K = R

K
n

ai,j
A
Mn (K)

j

A

(A)

A

  SpC (A)
AX = X
In

A
X  Mn,1 (C)
[[1, n]]

A = (ai,j )  Mn (R)

(2)

(A)
E (A)

A
Mn (K)
1kn

k
z

|z|

z

(1)

K
A = (ai,j )
t
A

K
i

A
pC (A)

Mn (K)

ST > 0

(i, j)  [[1, n]] × [[1, n]], ai,j > 0,
n
X
i  [[1, n]],
ai,j = 1.
j=1

ST > 0

Mn (R)
ST > 0

ST > 0

n=3
z = x + iy
T
O
|z| < 1

z
(x, y)
P (1), Q(j), R(j 2 )
D

M (z)
j=e
M (z)

2i
3

T

D

x

y
P QR

(P Q), (QR) (RP )
T
x y

2x + 1 > 0, x - 3y - 1 < 0, x + 3y - 1 < 0 .

M (x + iy)

ST > 0

A = (ai,j )  M3 (R)

A

(A)

(A2 )

tr(A)

< 3tr(A2 )
u = (a1,1 , a2,2 , a3,3 )

0 < || < 1
a

R3

v = (1, 1, 1)

2a + 1 > 0

(a -

3b - 1)(a +

3b - 1) > 0 .

M ()
D

=

T
P QR

 = rei
M ()

b

(A2 ) > a21,1 + a22,2 + a23,3

(A) > 0
2

A
 = a + ib

0 0
A

=

0 1 0

J = 0 0 1
1 0 0

J2

J3

J

Tournez la page S.V.P.

A
P

2

J2

I3 , J
A = P(J)

A

A = (ai,j )

ST > 0

Mn (R)

1
 
U =    Mn,1 (R)
1

AU

A

C

B = (bi,j )  Mn (C)

X=

x1
xn

  Mn,1 (C) X 6= 0

(B) = 0

BX = 0

|bk,k | 

X

k  [[1, n]]

|xk | = max |xi |
i[[1,n]]

|bk,j | .

j6=k

  SpC (A)
|ak,k - |  1 - ak,k

B = A - In
||  1

k

  SpC (A)
|ak,k - ei |  1 - ak,k

|| = 1

 = ei
cos() = 1

R

1
t
1  SpC (A)
t
E1 (A) E1 (A)
 
v1
 
V =    Mn,1 (C), V 6= 0

|vi | 

vn
X

j[[1,n]]

aj,i |vj |

A - In

t
AV
=V

X

i[[1,n]]

|vi |

t
A
- In

i  [[1, n]]

|V | = 

V

|v1 |

|vn |
t
A|V
| = |V |

x1
y1

X=  Y = 
xn

i  [[1, n]]

|vi | > 0

Mn,1 (C)

yn

x1
X- Y
y
1 
1
 
= 

t

E1 (A)

t
E1 (A)

t
E1 (A)

n

i  [[1, n]]

n
X

i > 0

i = 1

i=1

n
X

i  [[1, n]]

aj,i j = i

j=1

t

A

 = 

1
n

t
A

N : Mn,1 (C)  R

X = 

x1
xn

X

i |xi | .
  Mn,1 (C), N (X) =
i[[1,n]]

Mn,1 (C)

N
N (AX)  N (X)

  SpC (A)

=

1
n

X = 

x1
xn

X  Mn,1 (C)
||  1

 : Mn,1 (C)  C

n

X

i xi .
  Mn,1 (C), (X) =
i=1

Tournez la page S.V.P.

()

X  Mn,1 (C)

(AX) = (X)

Mn,1 (C) = E1 (A)  Ker()
X  E (A)

 6= 1

A

X  Ker()

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CCP Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Samuel Baumard (ENS Ulm) ; il a été relu par Jules
Svartz (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Cette épreuve traite de quelques propriétés spectrales des matrices dites 
stochastiques, c'est-à-dire des matrices carrées à coefficients positifs dont 
la somme des
coefficients sur chaque ligne vaut 1. Une matrice stochastique regroupe des 
probabilités de changement d'état d'un système (automatique, physique, 
biologique, etc.)
au cours de chaque intervalle d'une suite d'instants : son coefficient (i, j) 
désigne la
probabilité de passer de l'état i vers l'état j entre deux instants. Un tel 
processus
probabiliste est appelé chaîne de Markov. Le sujet se concentre sur le cas où 
tous les
coefficients sont non nuls.
· Dans la première partie, on s'intéresse au cas des matrices de taille 3. On 
montre
l'équivalence suivante : pour tout nombre complexe  tel que || < 1 et Im  > 0,
 est l'affixe d'un point appartenant à un triangle particulier du plan si, et 
seulement si, il existe une matrice stochastique ayant  comme valeur propre.
· Dans la seconde partie, on prouve des résultats généraux sur le spectre d'une
matrice stochastique A de taille quelconque : confinement du spectre au disque
unité, puis construction d'un vecteur privilégié  du sous-espace propre de tA
associé à la valeur propre 1. On se sert de ce vecteur  pour redémontrer le
résultat de confinement, et pour finalement prouver que 1 est valeur propre de
multiplicité un.
Les auteurs de sujets de concours affectionnent particulièrement les matrices
stochastiques ; il faut avoir traité ce type de sujet au moins une fois avant 
les concours !

Indications
Partie I
I.1 Voir le triangle ouvert comme l'intersection de trois demi-plans ouverts.
I.2.2 La trace d'une matrice est aussi la somme de ses valeurs propres comptées 
avec
multiplicités.
I.2.4 Réécrire en fonction de a et b l'inégalité précédente, puis développer et 
factoriser en faisant apparaître une différence de carrés.
I.2.5 Dessiner les régions déterminées par les inégalités de la question 
précédente.
I.3.2 Pour prouver la positivité des coefficients, exploiter le fait que M() 
est supposé
appartenir à T.
I.3.4 Commencer par montrer que A est diagonalisable.
Partie II
II.2.3 On pourra se servir de l'identité |z1 - z2 |2 = |z1 |2 - 2 Re(z1 z2 ) + 
|z2 |2 .

II.3.3 Ou bien tous les coefficients de X - (x1 /y1 )Y sont nuls, ou bien aucun 
ne l'est.

II.5.4 Penser à utiliser le fait que dans la décomposition de la question 
II.5.2, les sousespaces en présence sont stables par A.

Partie I
I.1 Le triangle T est un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité (cf. 
figure ci-contre). Donnons à présent les équations des trois droites 
définissant le triangle PQR,en commençant par (PQ).
2
Comme j = e i 3 = (-1+i 3)/2,
 le point Q a pour coordonnées cartésiennes (-1/2, 3/2). Un point M(x + iy)
appartient donc à (PQ) si et seulement si les deux droites
(MP) et (PQ) sont confondues, ce que l'on traduit par
l'annulation du déterminant correspondant ; par conséquent, une équation 
cartésienne de la droite (PQ) est

3
3
1-x 
-3/2
0=
=
(1 - x) - y
-y
2
2

soit
(PQ) : x + 3 y - 1 = 0

y
Q
D
T

O

P
x

R

On procède de même pour les deux autres droites : pour (PR),

3
3
1-x 
-3/2
(1 - x) + y
0=
=
y
2
2

soit
(PR) : x - 3 y - 1 = 0
et (QR) est orthogonale à l'axe des abscisses et passe par le point (-1/2, 0), 
donc
(QR) :

2x + 1 = 0

L'équation de (PR) se déduit de celle de (PQ), et inversement, en remarquant
que chacune est la symétrique de l'autre par rapport à l'axe des abscisses, et
donc que leurs équations ne diffèrent que par le signe du coefficient devant y.
Pour décrire les côtés du triangle T, il suffit d'ajouter la condition x2 + y 2 
6 1 à
chacune de ces équations cartésiennes, puisque les côtés de T sont les 
intersections
des droites (PQ), (QR) et (PR) avec le disque unité fermé défini par x2 + y 2 6 
1.
Passons aux conditions d'appartenance d'un point M(x + iy) à T. Par définition, 
le triangle ouvert T est l'intersection de trois demi-plans ouverts délimités 
par
chacun de ses côtés, et contenant chacun l'origine. Lorsqu'une droite admet une 
équation cartésienne de la forme ax + by = c avec c 6= 0, elle détermine deux 
demi-plans
ouverts, définis par les inéquations ax + by - c < 0 et ax + by - c > 0. Il 
suffit alors de
remplacer (x, y) par (0, 0) pour déterminer lequel de ces deux demi-plans 
contient
l'origine. Dans le cas du côté PQ, par exemple, le demi-plan
 qui contient (0, 0), et donc
dans lequel est inclus T, est déterminé par l'équation x+ 3 y -1 < 0. On 
conclut que

x + 3 y - 1 < 0
M(x + i y)  T 
2 x + 1 > 0

x - 3y - 1 < 0
I.2.1 Il suffit d'utiliser la condition (2) de la propriété (ST > 0) : si l'on 
considère le
vecteur U = t (1 1 1), on a pour tout i  [[1; 3]] l'égalité (AU)i = ai,1 + ai,2 
+ ai,3 = 1,
soit AU = U. Comme U est non nul, on en déduit que
1 est valeur propre de A.

I.2.2 Comme A possède par hypothèse trois valeurs propres distinctes, elle est
diagonalisable ; on peut par conséquent écrire A = P P-1 où P est une matrice
inversible et  = diag(1, , ). Par suite, A2 = P 2 P-1 avec 2 = diag(1, 2 , 2 ) 
et,
comme deux matrices semblables ont la même trace, on trouve

Calculons

Tr(A2 ) = 1 + 2 + 2

et

Tr(A) = 1 +  + 

Tr(A) = 1 + 2 Re()
= 1 + 2 Re(a + b i)
Tr(A) = 1 + 2 a

et

Tr(A2 ) = 1 + 2 Re(2 )

= 1 + 2 Re (a + b i)2
Tr(A2 ) = 1 + 2 (a2 - b2 )

I.2.3 Par la condition (1) de la propriété (ST > 0), on a
Tr(A) =

3
P

ai,i > 0

i=1

Par ailleurs,

Tr(A2 ) =

3
P

(A2 )i,i =

i=1

3 P
3
P

ai,j aj,i

i=1j=1

ce qui, puisque ai,j aj,i > 0 pour i 6= j, donne bien la minoration
Tr(A2 ) >

3
P

2
ai,i

()

i=1

Appliquons comme indiqué l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs u et v, 
pour le
produit scalaire canonique sur R3 ; elle s'écrit
soit
et par ()

(u | v)2 6 kuk2 kvk2
2
2
2
(a1,1 + a2,2 + a3,3 )2 6 3 (a1,1
+ a2,2
+ a3,3
)
Tr(A)2 < 3 Tr(A2 )

I.2.4 Grâce à la question I.2.2 et à la minoration de Tr A, on a directement
2a+1 > 0
De plus, la dernière inégalité de la question précédente se réécrit

3 1 + 2 (a2 - b2 ) > (1 + 2 a)2
que l'on développe
3 + 6 a2 - 6 b 2 > 1 + 4 a + 4 a2
d'où
2 - 4 a + 2 a2 > 6 b 2
puis en divisant par 2
1 - 2 a + a2 > 3 b 2
où l'on reconnaît un carré
(a - 1)2 > 3 b2
soit
(a - 1)2 - 3 b2 > 0

qui se factorise
(a - 3 b - 1)(a + 3 b - 1) > 0

comme voulu.