CCP Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Étude des itérés d'un endomorphisme en dimension finie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction d'endomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 20 10 PSIM206

A

concours communs Ponncamou:s

EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers

naturels et par N * l'ensemble N privé de O.
Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on 
note det(l) son

déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id 
l'endomorphisme

identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" .

On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans
K.--.--...----... lliäouC.

Objectifs

Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de 
dimension
finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par 
l'endomorphisme. Le
problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur 
de l'entier
r(l,u).

Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement 
élémentaire de l'espace
vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les 
coordonnées des itérés
d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de 
montrer
que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse.

Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les 
endomorphismes
étudiés.

Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

SESSION 20 10 PSIM206

A

concours communs Ponncamou:s

EPREUVE SPECIFIQÜE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et 
à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers

naturels et par N * l'ensemble N privé de O.
Etant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de dimension finie, on 
note det(l) son

déterminant, tr(l) sa trace et x, son polynôme caractéristique. En notant id 
l'endomorphisme

identité, on définit ]0 : id et, pour tout lc dans N , l... =-- l o l" .

On note K[X ] l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans
K.--.--...----... lliäouC.

Objectifs

Etant donné un vecteur non nul u et un endomorphisme ] d'un espace vectoriel de 
dimension
finie, on définit un entier r(l, u) a partir des itérés du vecteur par 
l'endomorphisme. Le
problème porte sur l'étude de propriétés de l'endomorphisme, liées à la valeur 
de l'entier
r(l,u).

Dans la première partie, on traite un exemple dans le cas relativement 
élémentaire de l'espace
vectoriel RZ . Une première structure euclidienne permet d'obtenir les 
coordonnées des itérés
d'un vecteur par l'endomorphisme ; une deuxième structure euclidienne permet de 
montrer
que des points du plan, déduits des vecteurs précédents, sont sur une ellipse.

Dans la deuxième partie, on fait établir des résultats généraux sur les 
endomorphismes
étudiés.

Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

PARTIE I

Soit 6 un nombre réel tel que 0 < 9 < 7r et 9 i Î--.

2

1.1. Dans cette question, on considère l'espace vectoriel euclidien orienté RZ 
rapporté à une
base orthonormale directe 8 = (51,52). Étant donné deux vecteurs u et v de R2 , 
on note

(u ! v) leur produit scalaire et "a" la norme du vecteur u.

On définit les vecteurs v1 :S, et v2 =cos(9)e,+sin(9)e2 et on considère la base
--1

0
V : (v,,v,) de R2 . Soit ! l'endomorphisme de R2 de matrice M =
1 2cos(9)

] relativement
à la base V.

1.1.1. Déterminer le polynôme caractéristique de l. En déduire les valeurs 
propres
réelles ou complexes de l .

1.1.2. Soit v : x,v1 +x,v2 un vecteur quelconque de R2. Calculer "v"2 et 
||l(v)ll2 . En

déduire que l est un automorphisme orthogonal de R2 .

1.1.3. Déterminer la matrice de passage Pde la base 5 à la base V ainsi que la

matrice inverse P"1 .
On note M ' la matrice de l'endomorphisme ! relativement à la baseEUR . Exprimer

M ' en fonction des matricesP , P"1 et M . Donner l'expression de M ' et 
caractériser
l'endomorphisme ! .

1.1.4. Le vecteur v,vérifie v2 : l(v,) . Pourk E N , k 2 3 , on définit les 
vecteurs vk par

vk : l(vk_l) . Pourk E N* , on note vk : a... +bkv2.

1.1.4.1. En calculant de deux façons "vk"2 , déduire de 1.1.2 une relation 
entre ak ,
bk et cos(6) .

1.1.4.2. Justifier que, pour k EUR N*, on a (v1 | vk) : cos((k--l)9) ; en 
déduire la

valeur de (v2 |vk).

1.1.4.3. En utilisant les produits scalaires (v1 } vk) et (v2 | Vk) , donner un 
système

linéaire de deux équations à deux inconnues a k et bk .

sin((k --2)9) et bk : sin((k -- l)9) .

Montrer que ak = -- _ .
s1n(9) sm(9)

1.2. Dans cette question, on prend la base précédente V = (v,,v,) comme base 
canonique de
l'espace vectoriel RZ . Étant donné deux vecteurs v : x,v1 + x,v2 et v' : x'1 
v1 + x'2 v2 , on
définit le produit scalaire canonique de R2 par : (v,v') E R2 >< RZ +--> xlx H" 
x,x'2 E R .

La base V est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire.

On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal YR = (O,v,,v,) où 0 
est un point
du plan. Pour tout k E N* , on note Ak les points du plan de coordonnées 
(ak,bk) dans le repère

ÏR , où ak et bk sont les réels donnés dans 1.1.4.

1.2.1. On note (x, y) les coordonnées d'un point du plan. Déterminer trois 
réels p, q, r
tels que la conique d'équation px2 + qu + 022 = 1 passe par les points A1 , A2 
et A3.

Montrer que tous les points Ak sont sur cette conique (on pourra utiliser 
1.1.4.1.).

1.2.2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice

Q=[ 1 cos(9)

. En déduire la nature de la conique.
cos(9) ]

7r , . , . . .
On prend 9 = --3-- . Donner une equation redurte de la conique et tracer cette 
conrque

dans le plan euclidien muni du repère ÊR .

PARTIE 11

Dans cette partie, E est un espace vectoriel de dimension n sur le corps K, 
avec n 2 2 et l est
un endomorphisme de E.

11.1. Soit u un vecteur non nul de E.

11.1.]. Montrer qu'il existe un entier kEUR N*tel que la famille de vecteurs
(u,!(u),...,l"(u)) soit liée. Justifier qu'il existe un plus petit entier k E 
N* tel que la

famille de k+l vecteurs (u,!(u),...,l" (a)) soit liée. On note r(l,u) ce plus 
petit entier.
11.1.2. Justifier l'encadrement 1 _<_ r(l,u) _<_ n.

11.1.3. Montrer que r(l,u) : l , si et seulement si u est un vecteur propre de 
l . Montrer

que r(l,u) : n , si et seulement si la famille (u,! (u),...,l""1 (a)) est une 
base de E.

11.2. Un exemple.

Dans cette question, on suppose n = 4 et on note 88 : (el,ez,e3,e4) une base de 
E.

1 2 0 --1
. \ . , , _ 1 --2 1 1
On cons1dere l'endomorph1sme f de E represente par la matrice Mat.B (f) = 1 6 4 
1
1 --8 3 3

relativement à la base % . Calculer det(f ) et tr( f ).
Montrer que la famille (el, f (el), f 2(61 )) est libre. Déterminer trois réels 
x, y, 2 tels que

f'(el) : xf2(el)+yf(el)+ze1 . En déduire r(f,el) .

On reprend le cas général où E est un espace vectoriel de dimension n 2 2 et l 
un
endomorphisme de E. Soit u un vecteur non nul de E.

11.3. On suppose r(l,u) : n . D'après II.1.3., la famille OE(u) : 
(u,!(u),...,l"_l(u)) est une base
n--l

de E. On note l"(u) = Zaklk(u) .
k=0

11.3.1. Déterminer la matrice Matoew(l) de l'endomorphisme ! relativement à la 
base
%(u) . Calculer det(l) et tr(l).

11.3.2. Déterminer X,(À) : det(l -- Aid) , le polynôme caractéristique de
l'endomorphisme ! (on pourra calculer ce déterminant en ajoutant à la première 
ligne,
une combinaison linéaire des autres lignes; opération codée L1 <---- L1 +ZÀ'"LÎ 
où

i=2

L; est la ligne d'indice i).

11.4. On note I(l,u) l'ensemble des polynômes PEK[X ] tels que l'endomorphisme 
P(l)
vérifie P(l)(u) : 0 .

II.4.1. Montrer que l'ensemble I(l,u) est un idéal de K [X ]. En déduire qu'il 
existe
un unique polynôme unitaire, noté G(l,u), tel que I(l,u) est formé de tous les
polynômes produit du polynôme G(l, u) par un polynôme quelconque de K [X ] .

II.4.2. Justifier que le polynôme G(l,u) divise le polynôme X;- Montrer que le
polynôme G(l, u) est de degré r(l, u) .

11.4.3. On reprend l'exemple 11.2. Déterminer le polynôme G( f ,el). En déduire 
le

polynôme caractéristique de f puis les valeurs propres de f. Dans la question 
11.2. on
montre que la famille (el, f (el), f 2(e1 )) est libre ; en utilisant ce 
résultat et le spectre

def, en déduire que l'endomorphisme f n'est pas diagonalisable.

II.4.4. On suppose que l'endomorphisme ! et le vecteur u vérifient les 
hypothèses de la
n--l

question 11.3. : r(l,u)=n et l"(u) : Zaklk (u).
k=0

Déterminer le polynôme G(l,u) et retrouver ainsi l'expression du polynôme
caractéristique de l'endomorphisme [.

ILS. Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier p E N* tel que l'" 
= 0 .

II.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de !.

II.5.2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Il existe un vecteur non nul u tel que r(l,u) : n
(2) l""1 x 0 .

11.6. On suppose que l'endomorphisme ! est diagonalisable. Soit W= (WI, w2,..., 
W") une base

de vecteurs propres de E avec pour tout k EUR [[1, n]] , l(wk) : Àkwk .

II.6.1. On suppose qu'il existe un vecteur non nul u de E tel que r(l,u) : n et 
on
considère la base de E: OE(u) : (u,!(u),...,1""'(u)). On note u : Zkak . Ecrire 
la
k=l

matrice de passage de la base Wà la base OE(u). En déduire que les valeurs 
propres de
I sont toutes distinctes. '

II.6.2. On suppose que les valeurs propres Àk de 1 sont toutes distinctes.

1 Al /\l"--1

1 ,\ À""' &"
II.6.2.1. On considère la matrice A = _ _2 2_ et on note C =

1 ,\ ,\"--1 a""'

une matrice colonne telle que le produit AC : 0. Montrer que le polynôme
n--l

P(X)=Zaka est le polynôme nul. En déduire que la matrice A est
k=O

inversible.

II.6.2.2. Montrer qu'il existe un vecteur u de E, non nul, tel que r(l,u) = n .

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Sophie
Rainero (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (ENS Cachan).

Cette épreuve, composée de deux parties indépendantes, porte sur l'étude des
itérés d'un endomorphisme  d'un espace vectoriel de dimension finie n. Elle 
s'intéresse plus précisément à un entier noté r(, u) qui désigne le cardinal de 
la plus petite
famille liée des premiers itérés du vecteur u par l'endomorphisme .
· La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple simple dans le cas
où r(, u) = 2 et n = 2. On commence par introduire un changement de base
qui permet de reconnaître la nature exacte de l'endomorphisme . En exprimant
les coordonnées des itérés d'un vecteur dans une certaine base, on peut montrer
que ces points sont situés sur une même conique.
· La seconde partie porte sur l'étude plus générale des liens entre certaines
propriétés de  et les valeurs de r(, u), en particulier lorsque r(, u) = n.
On commence par montrer des résultats simples sur  dans les cas où r(, u) = 1
et r(, u) = n. Après avoir étudié un exemple, qui sera repris par la suite,
on s'intéresse à l'idéal I(, u) des polynômes P  K[X] tels que P()(u) = 0.
Cet idéal est principal, engendré par un polynôme de degré r(, u). Enfin,
on montre une équivalence entre le fait que les valeurs propres sont distinctes
et l'égalité r(, u) = n.
Ce sujet aborde de manière assez large l'algèbre linéaire de première et 
deuxième
années. Il demande en outre d'être à l'aise avec les changements de bases, qui 
sont
nombreux dans la seconde partie.

Indications
Partie I
I.1.2 Penser aux formules d'addition du cosinus et du sinus.
I.1.4.1 Utiliser le fait que  est un automorphisme orthogonal.
I.1.4.2 Se servir de la question I.1.3.
I.1.4.3 Calculer les produits scalaires de deux manières différentes.
I.2.1 Poser un système de trois équations à trois inconnues puis suivre 
l'indication
de l'énoncé.
I.2.2 Regarder le signe des valeurs propres et en déduire la nature de la 
conique.
Partie II
II.1.2 Utiliser un argument de dimension.
II.2 Pour montrer la liberté de la famille, calculer f 2 (e1 ). Pour déterminer 
la
combinaison linéaire demandée, calculer f 3 (e1 ) et poser un système linéaire.
Enfin, utiliser la définition de r(f, e1 ).
II.3.2 Appliquer successivement l'indication de l'énoncé pour chaque ligne, puis
développer par rapport à la première ligne.
II.4.2 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
II.4.3 Après avoir déterminé G(f, e1 ) et f , raisonner par l'absurde.
II.4.4 Utiliser la question II.4.2.
II.6.1 Penser au fait que la base W est composée de vecteurs propres de .
II.6.2.1 Déterminer le nombre de racines du polynôme P ; le résultat démontré 
est
alors un résultat d'injectivité.
II.6.2.2 Reconnaître dans les colonnes de A les coordonnées des itérés d'un 
certain
vecteur et utiliser la question II.1.3.

Les conseils du jury
Ce sujet est relativement abordable, avec, d'après le rapport du jury, beaucoup 
de « questions simples, résultats classiques ou questions de cours, destinées à 
valider les acquis des deux années de classes préparatoires ». Ainsi,
il « a pu être entièrement traité par les meilleurs candidats ». Le rapport
du jury souligne aussi que les candidats sont nombreux à ne pas justifier
entièrement leurs résultats (questions I.2.2, II.4, II.6) ou à ne traiter que
partiellement certaines questions (questions I.1.3, II.1) et il leur recommande
« une rédaction soignée dans les questions de raisonnement ».

Partie I
I.1.1 Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme  est donné par le calcul de
 () = det( -  id ) = det(M -  I2 ) pour   C.
 () =

-
-1
= 2 - 2 cos()  + 1
1 2 cos() - 

Les valeurs propres de  sont les racines de  . Ce dernier a pour discriminant
 = 4 cos2 () - 4 = -4 sin2 () < 0
Par conséquent, les racines de  sont cos() + i sin() et cos() - i sin(), qui 
sont
distinctes car   ] 0 ;  [.
Les valeurs propres de  sont e i  et e -i  .
I.1.2 Pour calculer kvk2 et k(v)k2 , il faut se placer dans la base orthonormale
directe E. On doit donc écrire les vecteurs v1 et v2 en fonction des vecteurs 1 
et 2
de la base E :

v = x1 v1 +x2 v2 = x1 1 +x2 cos() 1 +sin() 2 = x1 +x2 cos() 1 +x2 sin() 2
ce qui donne

2
2
kvk2 = x1 + x2 cos() + x2 sin() = x1 2 + 2 x1 x2 cos() + x2 2

Calculons maintenant (v) dans la base V :

x1
0
-1
x1
-x2
M
=
=
x2
1 2 cos()
x2
x1 + 2x2 cos()
et décomposons-le dans la base E :

(v) = -x2 v1 + x1 + 2 x2 cos() v2

= -x2 1 + x1 + 2 x2 cos() cos() 1 + sin() 2

= x1 cos() + x2 (2 cos2 () - 1) 1 + x1 + 2 x2 cos() sin() 2

(v) = x1 cos() + x2 cos(2 ) 1 + x1 sin() + x2 sin(2 ) 2

en simplifiant grâce aux formules d'addition du sinus et du cosinus. On en 
déduit
2
2
k(v)k2 = x1 cos() + x2 cos(2 ) + x1 sin() + x2 sin(2 )
= x1 2 cos2 () + 2 x1 x2 cos() cos(2 ) + x2 2 cos2 (2 )

+ x1 2 sin2 () + 2 x1 x2 sin() sin(2 ) + x2 2 sin2 (2 )
k(v)k2 = x1 2 + 2 x1 x2 cos() + x2 2
en utilisant à nouveau la formule d'addition et la parité du cosinus. 
Finalement, pour
tout v  R2 , k(v)k2 = kvk2 .
 est un automorphisme orthogonal de R2 .
I.1.3 Par définition, la matrice de passage P de la base E à la base V est la 
matrice
de l'identité de E dans V. Puisque v1 = 1 et v2 = cos() 1 + sin() 2 , on obtient

1 cos()
P=
0 sin()

Il s'agit d'une matrice de taille 2 × 2 de déterminant det P = sin() 6= 0, qui 
est donc
inversible et que l'on sait inverser.

1
sin() - cos()
P-1 =
0
1
sin()

a b
On rappelle que si M =
est une matrice 2 × 2 de déterminant
c d
det(M) = a d - b c non nul, alors M est inversible et d'inverse

1
d -b
M-1 =
det(M) -c a
Si M est la matrice de l'endomorphisme  relativement à la base E, la formule de
changement de bases donne

Par suite,

Finalement,

M = PMP-1

1
1 cos()
0
-1
sin()
M =
1 2 cos()
0
sin() 0 sin()
1
=
sin()

1 cos()
0
0 sin()
sin()

1
=
sin()

sin() cos()
sin2 ()

cos2 () - 1
sin() cos()

1
sin() cos()
=
sin2 ()
sin()

cos() - sin()
M =
sin() cos()

- sin2 ()
sin() cos()

-1
cos()

- cos()
1

 est la rotation d'angle .

Attention à traiter correctement le problème du changement de base :
le rapport du jury signale que les candidats confondent souvent les matrices
de passage P et P-1 , ou écrivent les matrices de passage avec les composantes
des vecteurs en lignes au lieu d'être en colonnes.
I.1.4.1 Soit k  N . Ainsi que le propose l'énoncé, calculons kvk k2 de deux 
manières
différentes. Le calcul effectué à la question I.1.2 donne, avec x1 = ak et x2 = 
bk :
kvk k2 = ak 2 + 2 ak bk cos() + bk 2
tandis que la définition de vk et le caractère orthogonal de  assurent que
kvk k2 = k(vk-1 )k2 = kvk-1 k2
Ainsi, la suite (kvk k2 )kN est constante, égale à son premier terme kv1 k2 = 
1. On en
déduit la relation
k  N

ak 2 + 2 ak bk cos() + bk 2 = 1