CCP Maths 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve Convergence au sens de Césaro des itérés d'un endomorphisme
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, espaces euclidiens

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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'

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 7 pages.

Notations :

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers naturels et
par N'" l'ensemble N privé de 0.
Pour n entier naturel non nul, on note c/l'Ln (IR) l'espace vectoriel réel des 
matrices carrées à n lignes

et àcoefficients dans R .
Pour A dans dan (IR) , on note det(A) le déterminant de la matrice A.

Étant donné un espace vectoriel E , on note id l'endomorphisme identité défini 
par :
Pourtout x de E, id(x)=x.

On note lm(l ) l'image d'un endomorphisme ! de E et ker (] ) son noyau.

Pour k & N , on note [" l'endemorphîsme de E défini par l ° : id si k = 0 et 
par l" : lol "" sinon.
Étant donné une base ÎJ' de E , on note Mat fi (] ) la matrice de 
l'end0morphisme ] relativement à

la base %) . '
Étant donné un sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel de dimension 
finie, on note dim (F)

la dimension de F . On désigne par Vect (u,v) (respectivement Vect(u,F )) le 
sous-espace

vectoriel engendré par les vecteurs u et v {respectivement engendré par le 
vecteur u et les vecteurs
de F ).

Lorsque E sera un espace vectoriel normé, on notera "u" la norme d'un vecteur u 
.
Lorsque E sera un espace euclidien, on notera (ulv) le produit scalaire des 
vecteurs u et v ; on

. note O(E ) le groupe orthogonal de E (c'est-à--dire l'ensemble des 
automorphismes orthogonaux de

E), F i désigne l'orthogonal du sous-espace vectoriel F et l* désigne l'adjoint 
de

l'endomorphisme ! .

Objectifs :
Étant donné un endomorphisme ] d'un espace vectoriel E , pour tout x de E et 
pour n de N'", on

n-l
définit Ln (x) : 3-ZI" (x). En prenant différentes hypothèses pour E et pour l, 
on étudie la limite
n k=0

de la suite (Ln (x))neN. de E lorsque n tend vers +oo.

Dans la première partie, on étudie cette limite dans trois exemples. Dans la 
deuxième partie, on

obtient la limite de la suite L x . lors ue n tend vers +oo dans un cadre lus 
énéral ; cette
n Cl P g

neN

limite est obtenue à l'aide d'une propriété d'algèbre linéaire que l'on fait 
établir dans trois contextes

généraux différents.
Dans la troisième partie, cette propriété algébrique permet d'obtenir un 
résultat concernant une

décomposition des automorphismes orthogonaux d'un espace euclidien.

PARTIE I : EXEMPLES

La partie 1 permet d'illustrer les résultats établis dans la partie 11. Elle 
doit être traitée sans utiliser
les résultats de la partie II. Les exemples LA, LE, I.C sont indépendants les 
uns des autres.

Dans cette partie, E est un espace euclidien de dimension 4, rapporté à une 
base orthonormale
%> = (el,e2,e3,e4) .

_l 0 _2_ _2_
3 3 3
. --% ---î-- %--
I.A Soit 5 l'endomorphisme de E défini par sa matrice Mat %, (s) = S = 2 2 1 .
-- ---- -- 0
3 3 3
?. _2_ 0 _1_
3 3 3

I.A.1 Réduction de l'endomorphisme s.

I.A.1.1 Justifier l'affirmation: l'endomorphisme s est diagonalisable. Calculer 
la
matrice S 2.

I.A.1.2 En déduire que s est un automorphisme orthogonal de E et que 1 et --1
sont ses valeurs propres.

On note E1 et E_1 les sous--espaces propres de s respectivement associés aux 
valeurs

propres 1 et --1. Il résulte des questions précédentes que E1 et E_1 sont des 
sous-
espaces supplémentaires de E .

I.A.1.3 Calculer la trace de s . En déduire les dimensions de E1 et de E_1.

I.A.2 On considère les trois vecteurs suivants de E : u1 : 61 +63 +e4 , u2 : e1 
+e2 +2e4 et

u3 =--e1 +e2 +e3.

I.A.2.l Déterminer les vecteurs s(ul)_ et s(u2). En déduire que (u1,u2) est une

base de E1 . Déterminer une base orthonorrnale de E1 .

I.A.2.2 Déterminer un vecteur non nul u 4 : ae1 +be2 + ce3 + de 4 orthogonal 
aux trois

vecteurs ul,u2 et u3 . En déduire que (u3, u 4 ) forme une base orthogonale de 
E_1 .

' n--1
I.A.3 Pour tout x de E et toutn de N", on note Sn (x)=123k (x).

n k=0

I.A.3.l Pour er fixé, on note x=y+z avecÿeE1 et zeE_l. Soit keN,

déterminer un réel ak tel que sk (x) = y + ak z . En déduire, pour n EUR N* , 
un réel fln

tel que Sn(x)=y+fln z.

I.A.3.2 Déduire de ce qui précède que la suite (Sn (x))neN_ de E a une limite

, lorsque n tend vers +oo. Exprimer cette limite en fonction de x et de s(x).
à 0 l 0
4 4 ,
0 % 0 -1--
LE Soit ] l'endomorphisme de E défini par sa matrice Mat$ (! ) = L = 4 .
0 0

© Alf-'
o 4>--lw

_,>_|...
4>--|w

I.B.1 Une propriété concernant les normes.

I.B.l.l . Pour tout vecteur u : ae1 +be2 +ce3 +de4 de E , calculer "u"2 --"l 
(u)H2 .

Prouver l'inégalité "] (a)" 5 Hull .

I.B.1.2 En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur u
vérifie l'égalité "! (u)" = Hu" . Montrer que 1 est une valeur propre de l et 
que le sous--

espace propre associé est de dimension 2.

I.C

I.B.2 Réduction de l'endomorphisme ] .
I.B.2.l Déterminer le polynôme caractéristique de [.

I.B.2.2 Montrer que] possède une autre valeur propre  il que l'on déterminera.
Justifier que les deux sous-espacés propres G1 et G1 de ] associés aux valeurs

propres 1 et À sont supplémentaires dans E.

n-l
I.B.3 Pour tout x de E et tout n de N" , on note Ln (x)=_1.21k (x).

Soit er.Onnote x=y+z avec yeG1 et 256,1.

I.B.3.l Pour k & N , exprimer [" (x) en fonction de y, z et k .

I.B.3.2 Pour tout n EUR N* , exprimer Ln (x) en fonction de y, z et n.

En déduire que la suite (Ln (x))neN. de E a une limite lorsque n tend vers +00 
et

déterminer cette limite.

Soit :* l'endomorphisme de E défini par sa matrice

_1_ 0 _1_ _1_
Jî @ «/5
o' _1_ ___L __1_
...fi(,)=T: 1 {a f @.
------- --- -- 0
\5 3 J3
1 1 1
__ __ 0 __
3 3 @

I.C.l Montrer que T est une matrice orthogonale.

I.C.2 On considère les deux vecteurs suivants de E: 81=--\/1--î(e3 +24) et

82 =--\Ë(e3 --e4).

I.C.2.l On note F-1 =Vect(el,gl). Déterminer les vecteurs t(el) et t(81). En

déduire que F1 est un sous--espace vectoriel de E de dimension 2, stable par t.

I.C.2.2 Soit F2 = FIl l'orthogonal du sous--espace FI. Montrer que F2 est stable

par t. Montrer que (e2,52) est une base de F2 .

La famille de vecteurs Ï)° ' =(e1,81, e2, 82) est donc une base de E .

I.C.3 On note T' = Matfi. (t). _

I.C.3.1 Justifier que la matrice T ' est orthogonale. Expliciter T '.

I.C.3.2 Soit 9 = Arc sin(J--î--). Exprimer la matrice T ' en fonction de 9. On

oriente le plan E par la base (el,gl) {respectivement on oriente le plan F2 par 
la

base (eZ, 82 ) ). Préciser la nature géométrique de l'endomorphisme de F1

(respectivement de F2) induit par t.

I.C.3.3 Pour k & N , exprimer en foncti0n de 9 et k la matrice de tk 
relativement à
la base Î)' ' .

n-1
I.C.4 Soient a; e R et n & N' . On note Çn (w) : Ze"'"' . Expliciter Çn (co) 
selon les
k=0

valeurs de a) . En déduire les réels a) pour lesquels la suite complexe (Çn 
(w))neN. est

bornée.

I..C5 Pourtout x de E ettout neN ,onnote T( x)=--ïît"(x)

I.C.5.l Justifier que le sous-espace E est stable par T n.

n

I.C.5.2 Soit y = (xe1 +,B£1 & F1 . On note tk (y)= ykel + 5k51, T (y) : Ànel + 
pn51.

I.C.5.2.1 Déterminer la matrice Vk & c/l'L2 (R) telle que (? ) : Vk (2).
k

. . i ' fin a
En dédu1re la matrice U n & JVL2 (IR) telle que ( )= U n ( ) .
#. 5

On exprimera Vk en fonction de 6 et k et U n en fonction de 9 et n.

I.C.5.2.2 Montrer que la suite (T n ( y)) . de E a une limite lorsque n tend

neN

vers +00 et déterminer cette limite.

I.C.5.3 Soit x e E . En écrivant x = y + 2 avec y & F1 et z & F2 , montrer que 
la suite

(T (x))neN. de E a une limite lorsque n tend vers +00 et déterminer cette 
limite.

n

PARTIE 11

Dans cette partie, E est un espace vectoriel réel. Étant donné un endomorphisme 
! de E , pour tout

n-1
x de Eet tout ne N', on note Ln (x)=--1--21k (x).

" k=0

II.A Dans cette partie [LA, on suppose que E est un espace euclidien et que ! 
EUR 0 (E).

II.A.1 Montrer que les sous--espaces vectoriels ker(l -- id) et lm(l -- id) 
sont orthogonaux.

En déduire qu'ils sont supplémentaires dans E .

Soit x e E . D'après le résultat précédent, il existe y & ker (! -- id) et 2 E 
E tels que

x=y+l(z)--z.

II.A.2 Pour k & N , exprimer [" (x) en fonction de y, z et k . En déduire 
l'expression de

Ln (x) en fonction de y, z et n ._

II.A.3 Montrer que la suite (Ln (x)) _ de E a une limite que l'on déterminera 
lorsque

neN

n tend vers +oo.

Dans la suite de la partie 11, étant donné un espace vectoriel normé E , on 
notera B(E ) l'ensemble

h(Xll| --<- HX"-

II.B Dans cette partie II.B, on suppose que E est un espace euclidien. Soit f & 
B(E ) On note '
f'l'adjoint de f.

des endomorphismes h de E qui vérifient : pour tout x de E ,

II.B.1 Montrer que f * appartient à B(E )

f* (x) --xH2 S 0. Montrer l'égalité

II.B.2 Montrer que si xe E vérifie f (x)=x, alors |

ker(f--id)=ker(f*--id).

II.B.3 En déduire que ker( f --id ) et lm( f --id ) sont des sous-espaces 
vectoriels de E

supplémentaires dans E (on pourra utiliser l'égalité: pour ça l'endomorphisme 
de E ,

ker(ço' ) = (lmço)" ).

II.C Dans cette partie II.C, on suppose que E est un espace vectoriel normé de 
dimension finie.
Soit 1 EUR B(E ) . Pour tout x de E et tout n E N* , on reprend la notation Ln 
(x) définie au

début de la partie Il.

II.C.1 On suppose que x appartient à l'intersection ker (! --id )n Im (] ---id 
) Soit y & E tel
que x = [(y)--y. Pour n E N* , exprimer [" (y) en fonction de x,y et n . En 
déduire que

ker (! -- id) et Im(l -- id) sont des sous--espaces vectoriels supplémentaires 
dans E .

II.C.2 Soit x e E . Montrer que la suite (Ln (x)) . de E a une limite lorsque n 
tend

neN

vers +00 et déterminer cette limite.

PARTIE III

Dans cette partie, E est un espace euclidien et ] EUR O(E ) Soit e un vecteur 
non nul de E . Pour

(3616)
W

III.1 Calculer ae(e). Pour x orthogonal à e, calculer ae(x). Montrer que a est 
un

e

touter,onnote ae(x)=x--2 e.

automorphisme orthogonal de E .
Je est donc la réflexion par rapport à l'hyperplan (Vect (e))l .
III.2 On note W = ker (! --id ) et on suppose que W est différent de E . Soit u 
un vecteur fixé de

E tel que u 55 W . Dans la suite, on prend e = l(u) --u.

III.2.1 Montrer que e est orthogonal à W (on pourra utiliser le résultat de 
II.A.1).
III.2.2 Calculer ae (l(u)--u) et de (] (u)+ u). En déduire de (l(u)) et de (u).
III.2.3 Montrer l'égalité Vect (u, W) : ker (O'eOl --- id) .

III.2.4 En déduire que 1 peut se décomposer en la composée de p réflexions et 
exprimer ])

en fonction de k = dim(W) et de n = dim(E) .

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) ; il a été
relu par Denis Conduché (ENS Ulm) et Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA).

Le sujet traite de la convergence de la suite définie pour tout n  N par
Ln (x) =

P k
1 n-1
 (x)
n k=0

où  est un endomorphisme d'un espace vectoriel E normé de dimension finie et x 
un
élément de E.
Sous certaines hypothèses sur  et E, on peut montrer que la suite (Ln (x))n>1
converge vers le projeté de x sur Ker ( - id ) parallèlement à Im ( - id ). On 
montre
au préalable que dans ces cas E = Ker ( - id )  Im ( - id ).
Les parties sont toutes indépendantes même si elles constituent des variations
autour du même thème.
· Chaque sous-partie de la première partie traite d'un exemple concret : 
automorphisme orthogonal symétrique, endomorphisme continu de norme inférieure 
à 1,
automorphisme orthogonal sans point fixe.
· La deuxième partie montre la convergence de (Ln (x))n>1 de façon plus générale
dans le cas des automorphismes orthogonaux, puis des endomorphismes continus de 
norme inférieure à 1. Le cas des automorphisme orthogonaux est un
cas particulier du théorème de Von Neumann, qui reste vrai quand E est un
espace de Hilbert (c'est-à-dire un espace préhilbertien dans lequel toute suite
de Cauchy est convergente).
· Enfin, la troisième partie utilise les techniques employées auparavant pour
démontrer que le groupe orthogonal O(E) d'un espace vectoriel euclidien E
est engendré par les réflexions.
Le traitement du sujet est répétitif, ce qui est inévitable puisque l'on étudie 
à
chaque fois le même phénomène dans des contextes proches. Les techniques 
employées
sont cependant variées d'une partie à l'autre : réduction des endomorphismes, 
orthonormalisation de Gram-Schmidt, identification d'isométrie, adjoint d'un 
endomorphisme, automorphismes orthogonaux.

Indications
Partie I
I.A.1.3 Que vaut la trace d'un endomorphisme diagonalisable ?
I.A.2.1 Méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
I.A.2.2 Les espaces E1 et E-1 sont supplémentaires orthogonaux dans E.
I.A.3.1 Utiliser s(x) = y - z.

I.A.3.2 La suite (n )n tend vers 0.
I.B.2.1 Le polynôme caractéristique de  est divisible par (1 - X)2 .
I.B.3.1 Utiliser (x) = y + z.

I.C.3.2 Se rappeler de cos(Arcsin (x)).
I.C.4 Somme des termes d'une suite géométrique.
I.C.5.2 La matrice T est une matrice par blocs.
I.C.5.3 Appliquer à F2 la démarche de I.C.5.1 et I.C.5.2.
Partie II
II.A.1 Utiliser l'orthogonalité de .
II.A.2 Utiliser x = y + (z) - z.

II.A.3 Majorer kn (z) - zk.

II.B.2 Utiliser (x | f  (x)) = (f (x) | x).

II.B.3 Si f , g et h  L(E) et f = g + h, alors f  = g  + h .

II.C.1 Utiliser (y) = x + y.
II.C.2 Majorer kn (t) - tk.

Partie III
III.1 Calcul direct.
III.2 Le point essentiel est de vérifier que (u) + u est orthogonal à e.

I. Exemples
I.A.1.1 La matrice de l'endomorphisme s dans la base B est symétrique et à
coefficients réels, donc diagonalisable. Par suite
L'endomorphisme s est diagonalisable.

1
0
2

S = 
0
0

On a

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0

0
1

I.A.1.2 Comme la matrice S est symétrique, t S S = S2 . Mais S2 = I d'après la
question I.A.1.1 où I désigne la matrice Identité. Ainsi,
L'endomorphisme s est un automorphisme orthogonal.
Puisque s est diagonalisable, les valeurs propres de s2 sont les carrés des 
valeurs
propres de s. Or s2 = id , avec pour unique valeur propre 1. Les valeurs 
propres de s
appartiennent donc à {+
- 1}. Si 1 (resp. -1) était unique valeur propre de s, on aurait
s = id (resp. s = - id ), ce qui n'est pas le cas, d'où
Les valeurs propres de s sont 1 et -1.
I.A.1.3 Soit M une matrice carrée diagonalisable. Elle est donc semblable à la
matrice diag (1 , 2 , . . . , n ).
Q
Le polynôme caractéristique de M est ni=1 (i - X). Lorsqu'on développe le 
produit précédent, on trouve son coefficient en degré n - 1 égal à
n
P
(-1)n-1 i = (-1)n-1 Tr M
i=1

Or par un calcul direct

Tr s = Tr S = 0

D'où l'équation

(dim E1 ).1 + (dim E-1 ).(-1) = 0

Par ailleurs, comme s est diagonalisable, l'espace vectoriel E est somme 
directe des
sous-espaces propres associés aux valeurs propres de s, d'où l'équation
dim E1 + dim E-1 = dim E = 4

Le système

a pour unique solution

(dim E1 ).1 + (dim E-1 ).(-1) = 0
dim E1 +
dim E-1
=4
dim E1 = dim E-1 = 2

I.A.2.1 Calculons

1
1
0 0
  
S
1 = 1
1
1

et

1
1
1 1
  
S
0 = 0
2
2

s(u1 ) = u1

et

s(u2 ) = u2

On en déduit que

Ainsi les vecteurs u1 et u2 appartiennent à E1 (qui est un espace de dimension 2
d'après la question I.A.1.3) et forment une famille libre. Aussi
(u1 , u2 ) est une base de E1 .
Utilisons le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt :

· le vecteur
u1 = u1 / 3 = (e1 + e3 + e4 )/ 3
est de norme 1 (la base B est orthonormale) ;

ku2 - (u1 | u2 )u1 k = ku2 - u1 k = ke2 - e3 + e4 k = 3

· le vecteur u2 = (u2 - (u1 | u2 )u1 )/ 3 = (e2 - e3 + e4 )/ 3
· on a

est de norme 1.

La base (e1 + e3 + e4 )/ 3, (e2 - e3 + e4 )/ 3 de E1 est orthonormale.
Soit une base (e1 , · · · , en ) d'un espace vectoriel euclidien E de dimension 
n.
Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt fonctionne comme suit :
· on commence par normaliser e1 : f1 = e1 /ke1k ;

· on construit ensuite un vecteur e2 , orthogonal à f1 : e2 = e2 -(e2 |f1 )f1 ;
· on normalise le vecteur e2 : f2 = e2 /ke2 k ;

· on construit ainsi pour tout k  {2, . . . , n} un vecteur de norme 1
fk  Vect (e1 , . . . , ek ) orthogonal à f1 , . . . , fk-1 .
I.A.2.2 Il s'agit de résoudre le système

 (u4 | u1 ) = 0
 a+c+ d = 0
(u4 | u2 ) = 0
a + b + 2d = 0

(u4 | u3 ) = 0
-a + b + c = 0

a = b = -d
c=0

Avec a = 1 par exemple

Le vecteur u4 = e1 + e2 - e4 est orthogonal aux vecteurs u1 , u2 et u3 .
Calculons

-1
1
 1  -1
  
S
 1  = -1
0
0

et

1
-1
 1  -1
  
S
 0 = 0 
-1
1

On en déduit que s(u3 ) = -u3 et s(u4 ) = -u4 , d'où u3 , u4  E-1 . Comme u4 est
orthogonal à u3 , et comme ces vecteurs sont non nuls, il forment une famille 
libre au
sein de E-1 . Or on a montré à la question I.A.1.3 que le sous-espace propre 
E-1 est
de dimension 2. Aussi,
(u3 , u4 ) forme une base orthogonale de E-1 .