CCP Maths 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une famille de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, arithmétique, réduction des endomorphismes, déterminants

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 PSIM206

A

coucouas connus routecuuuouæs

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers naturels et
par @ l'ensemble des nombres rationnels. On note N l'ensemble N privé de O.

Etant donné un entier naturel non nul n , on note _[[l,n]] l'ensemble des 
entiers naturels k tels que
15k£n. »

Pour n entier naturel non nul, on note % ( R) (respectivement JÏ/(7nl( R)) 
l'espace vectoriel

n

des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices 
colonnes a n lignes)
à coefficients dans R. '

Etant donné une matrice/1 , la notation A = (a.... ) signifie que au est le 
coefficient de la ligne i . et

' de la colonne j de la matrice A. _ ,
On note In la matrice unité de z/l/Ln (R) c'est-à-dire, telle que In : (a...) 
avec :
POur tout i , al.,, =] et pour tout i # j , ai_j : 0.
On note ], la matrice carrée de % (IR) dont tous les coefficients sont égaux à 
1 et K" la matrice

colonne de c/flp

n,l

(R) dont tous les cOefficients sont égaux'à 1.

L'espace vectoriel R" est rapporté à la base canonique (e1 , e2 ,..., en ).

Objectifs :

Le problème porte sur l'étude de matrices vérifiant une propriété (.73 ) .

Dans la partie 1, on fait établir des résultats sur une matrice particulière 
vérifiant la propriété (? ) .

La partie II conduit, à travers l'étude des matrices vérifiant la propriété (f 
), à caractériser ces

matrices à l'aide de matrices semblables.

Dans la partie III, on construit, à l'aide de produits scalaires, une matrice 
vérifiant la propriété ( Ï3 ) .

Les trois parties sont indépendantes les unes des autres.

PARTIE 1

01010
10100 ]
SoitM_=01001eJÎ/LS(R).
10001
00110

1.1. Calculer la matrice M 2.

1.2. Exprimer la matrice M 2 +M en fonction des matrices J5 et 15 .
1.3. Exprimer 1a matrice J52 en fonction de la matrice J5 .

1.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annùlateur de M .
1.5. Quelles sont les valeurs pr0pres possibles de la matrice M ?_

1.6. Montrer que M possède une valeur propre entière (et une seule) ; 
déterminer cette valeur
propre entière ainsi que le sous--espace propre associé.

PARTIE II

Dans cette partie n et 5 s0nt des nombres entiers tels que 2 S 5 S n ----l .

On dit qu'une matrice M =(m...) & C/l/(7 (IR) vérifie la propriété (f ) 
lorsqu'elle vérifie les quatre

n

conditions suivantes :
( 1) M est symétrique

' (2) Pour tout i & [[l,n]], m.... = 0

(3) Chaque ligne de M comporte 5 coefficients égaux à 1 et
n ----- 5 coefficients égaux à O.

(4) Pour tout (i,_j)efll,n]] x [[l,n]] avec i # j, le coefficient mi,]. =O, si 
et
' seulement Si, il existe un entier k & [[l,n]] tel que ml.,k : mj,k :] .

L'entier k est alors unique.

On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété (? ) :

sr mi,]. : 1 , alors pour tout entrer k & [[l,n]] on a le produit mi,kmj_k =
"

Soit M = (m...) & J"; (R). On suppose que la matrice M vérifie la propriété (? )

11.1. Expression deM2. On note M 2 = (a...)

II.1.1. Pour i e [[l,n]] , calculer les coefficients a...; v

II.1.2. Pour (i, j) e[[l,h]] x [[l,n]] avec i# j, déterminerle coefficient 
al.,). selon la valeur
de m...... '

II.1.3. Montrer que M 2 : J" --M + dIn où d eSt un nombre entier que l'on 
déterminera.

Dans la suite, on ' note , f (respectivement @) l'endomorphisme de R" , de 
matrice
M (respectivement de matrice J,; ), relativement à la basecanonique 
(e1,e2,...,en) de R" . On note

id l'endomorphisme identité de IR" .
Soit 0 le vecteur de R" dontla matrice colonne des'coordonnées relativement à 
la base canonique

de R" est Kn ..

11.2. Relation entre "n et 5.
11.2.1. Déterminer Im(ça) , l'image de l'application linéaire ça.
1122. Soit u un vecteur du noyau de f -- 5 id.

En calculant ( f 0 f ) (u), montrer que u est colinéaire à fu.

11.2.3. Montrer que 5 est une valeur propre de f et déterminer le sous-espace 
propre
correspondant.

11.2.4. Déduire des questions précédentes l'égalité n = 5 2 + 1.

11.3. Valeurs propres de f .

' Dans la suite de cette question 11.3,  est une valeur propre de f avec  # 5 
et

n
u : Z x,e, un vecteur propre de f associé àla valeur propre /1 .
.=1 . .

II.3.1. _ . Justifier l'affirmation : il existe une base de R" formée de 
vecteurs propres de f . ,
11.3.2. Justifier l'égalitéin : 0. Que vaut (p (u) '?
_ i=l

11.3.3. Montrer que it est racine de l'équation (E) : x2 + x +1 -- 5 = 0 .

11.3.4. On note a et b les deux racines de l'équation (E). On suppose qu'une 
seule de ces

racines est valeur propre de f , par exemple a. En utilisant la trace de
l'endomorphisme f , exprimer a en fonction de 5 . En déduire une impossibilité. 
-

Les deux racines a et b de l'équation (E) sont donc des valeuOEpropres de f . 
Dans la suite,

on suppose a > b.

11.4. Relations portant sur r , s, a,_ _b et 5 .

On note r la dimension du noyau de f -- a id et s la dimension du noyau de f 
--b id.

11.4.1. Exprimer (a ----b)2 en foncti0n de 5 .

_ _ 1
II.4.2. Exprimer le produit matriciel (î Î] (; * J en fonction de 5 .

11.43. En déduire ( r -- s)(a --b) en fonction de 5 .

11.4.4. Pour quelle valeur de 5 a-t--ori r =_s '? Que Valent alors r' et s ?

Dans la suite,, on caractérise la matrice M par une matrice diagonale semblable 
à M..

11.5. Premier cas. On suppose que a --b 65 Q . '

11.5.1. Montrer que r = s. En déduire 5 et n.

"11.5.2. Déterminer a et b et donner une matfice'diagonäe semblable à M .

11.6. . Deuxième cas. On suppose que a --b & Q .

, . ' m * . .
11.6.1. On écr1t a --b =------ avec m et q dans N . Montrer que tout nombre 
premier qui

']
divise q divise m . En déduire que a --b G N .

11.6.2. - Montrer que a -- b est un entier impair supérieur ou égal à 3. En 
notant a ----. b = 2 p +1

avec p EUR N°", exprimer 5 en fonction de p . En déduire a et b en fonction de 
p.

11.6.3. On note c=a--b. Montrer que .c divise (cz+3)(cz--S). En déduire que
ce{3,5,15}.

_ 11.6.4. Pour les différentes valeurs dec , donner le tableau des valeurs de 
5, n,a,b, r et s .

PARTIE III

On considère l'espace vectoriel euclidien R5 rapporté à la base orthonormale 
ÎJ' : (e,, e2 , e,, e,, es) .

On note (u |w) le produit scalaire de deux vecteurs u et w de RS .

On considère tous les vecteurs u, obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts 
de ÏÎ :

u, =ea.+efl avec OL$B.

, III.1. Justifier que l'on définit ainsi 10 vecteurs u, .

On indexe les vecteurs u, de façon arbitraire : u,, i & [[l,10]].

III.2. Soit w un endomorphisme de R5 qui réalise une bijection de la base Î)' 
sur elle-même.

Montrer que pour tout (i,j) e[[l,lO]] x [1,10], on a (u,lu1) : (W("z)l'>"(%)) .

III.3. Calcul des produits scalaires (%l";)-

Ill.3.l. Pour ie [[l,10]], calculer (u, lu,).
Ill.3.2. . On suppose que u, : ea +efl et que u j : ea +e7 avec ,8 $ ;/ . 
Calculer (u, luj).

Ill.3.3. On suppose que u, : ea +efl et que u j = e, +6, avec les quatre 
indices_a , ,B , £;/,, & *

tous différents. Calculer(u, |uj) .

III.4. Soit A =(ai,.) avec a,]. =(u,luj).

]

III.4.1. Écrire une combinaison linéaire M de A, 110 et J10 susceptible de 
vérifier la

propriété ( ?) définie dans la partie II. _
III.4.2. Justifier que cette matrice .M vérifie la propriété ( Î )

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (ENS Cachan) ; il a été relu par Hicham
Qasmi (ENS Lyon) et Vincent Perrier (ENS Cachan).

Le sujet se compose d'un unique problème. Il propose d'étudier les matrices
M = (mi,j )i,j[[ 1 ; n ]] dont les coefficients appartiennent à {0, 1}, 
satisfaisant les conditions suivantes :
· M est symétrique.

· chaque ligne de la matrice contient un nombre  fixé de coefficients égaux à 1.
· Pour tous entiers i, j appartenant à [[ 1 ; n ]],
mi,j = 0

(!k

mi,k = mj,k = 1)

Le problème comporte trois parties.
· La première introduit une matrice carrée de dimension 5 vérifiant les 
conditions voulues. Il s'agit ensuite, grâce à des calculs effectués sur cette 
matrice,
de dégager quelques propriétés de telles matrices. On calculera par exemple le
carré de cette matrice, un de ses polynômes annulateurs et l'une de ses valeurs
propres ainsi que l'espace propre associé.
· Une étude générale de ces matrices en dimension n est menée dans la deuxième
partie, en commençant par une étude spectrale approfondie. Les dernières 
questions visent à montrer, en introduisant des outils arithmétiques, que ces 
matrices n'existent que dans un nombre restreint de dimensions.
· La dernière partie guide le candidat pour trouver une deuxième matrice 
vérifiant
les propriétés. Pour cela, on introduit une matrice intermédiaire définie grâce
à des produits scalaires sur un espace de dimension 5. Il faut ensuite trouver
une combinaison judicieuse faisant intervenir cette matrice et d'autres matrices
classiques, et qui vérifie toutes les conditions énoncées. La recherche est 
guidée
par les résultats de la partie précédente.
Cet énoncé n'est pas très long et aucune question ne nécessite beaucoup de
rédaction. Il requiert cependant une bonne maîtrise du calcul matriciel, une 
connaissance approfondie de la théorie de la réduction des endomorphismes, 
ainsi que certains
outils d'arithmétique. Il n'est donc pas très difficile et il contient des 
notions que tout
candidat se doit absolument de maîtriser.

Indications
Partie I
I.1 Simplifier les calculs à l'aide de la symétrie de M.
I.4 Utiliser le résultat de la question I.2 pour isoler J5 puis utiliser cette 
égalité
et celle de la question I.3 .
I.5 Penser au lien entre valeurs propres et polynôme annulateur.
I.6 Poser et résoudre les systèmes possibles reliant les valeurs propres et 
leurs
vecteurs propres.
Partie II
II.2.1 Calculer l'image d'une base de Rn .
II.2.2 Utiliser le résultat de la question II.1.3 pour calculer f f d'une 
seconde façon.
II.2.4 Calculer f  f (v).

II.3.2 Commencer par expliciter le système vérifié par les xi , puis combiner 
linéairement ces équations.
II.3.3 Calculer f  f (u).

II.3.4 Écrire la matrice de f dans une base de vecteurs propres.
II.4.2 Se rappeler des relations racines-coefficients pour un polynôme.
II.4.2 L'espace vectoriel Rn se décompose en une somme directe de sous-espaces
propres de f .
II.5.1 Utiliser le résultat de la question II.4.3 et raisonner par l'absurde.
II.6.1 Utiliser le résultat de la question II.4.1.
II.6.3 Commencer par exprimer (c2 + 3) et (c2 - 5) en fonction de p.
Partie III
III.4.1 Pour choisir M, regarder le tableau de la question II.6.4 pour 
déterminer le
nombre de 1 et de 0 par ligne.

Partie I
I.1 Soit N le carré de M et soit ni,j ses coefficients. Alors, d'après la 
définition du
produit de matrices, on a la relation suivante entre les coefficients de N et 
ceux de M
5
P

ni,j =

mi,k mk,j

k=1

Comme M est symétrique, N l'est aussi car
t

t

t

N = M M = MM = N

Il suffit donc de calculer les coefficients au-dessus de la diagonale de N et 
d'en déduire
les autres par symétrie :

n1,1 = 2, n1,2 = 0, n1,3 = 1, n1,4 = 0, n1,5 = 1

 n2,2 = 2, n2,3 = 0, n2,4 = 1, n2,5 = 1

n3,3 = 2, n3,4 = 1, n3,5 = 0

n4,4 = 2, n4,5 = 0

n5,5 = 2

Finalement,

M2 = 

I.2 D'après le résultat de la

2 0 1 0
 0 2 0 1

M2 + M = 
 1 0 2 1
 0 1 1 2
1 1 0 0

2
0
1
0
1

0
2
0
1
1

1
0
2
1
0

0
1
1
2
0

1
1
0
0
2

question précédente, on a
 
1
0 1 0 1 0
 1 0 1 0 0
1 

0 
+ 0 1 0 0 1
0   1 0 0 0 1
2
0 0 1 1 0

=

2
1
1
1
1

1
2
1
1
1

1
1
2
1
1

1
1
1
2
1

1
1
1
1
2

Il faut maintenant exprimer ce résultat en fonction de J5 et I5 . La structure 
simple
et ordonnée de la matrice M2 + M dont les coefficients ne sont que des 1 ou des 
2
montre que M2 + M est la somme de J5 et de la matrice identité, donc
M2 + M = J5 + I5
I.3 Soit A = J5 2 = (ai,j ) et J5 = (bi,j ). Alors
(i, j)  [[ 1 ; 5 ]]

2

ai,j =

5
P

bi,k bk,j

k=1

Or, tous les coefficients de J5 valent 1, donc
ai,j =

5
P

1=5

k=1

Par suite,

J5 2 = 5J5

I.4 D'après le résultat de la question I.2, on peut écrire que
J5 = M2 + M - I5

L'égalité obtenue à la question précédente se réécrit
soit
puis

(M2 + M - I5 )2 = 5(M2 + M - I5 )
M4 + M2 + I5 + 2M3 - 2M2 - 2M = 5M2 + 5M - 5I5
M4 + 2M3 - 6M2 - 7M + 6I5 = 0

Ainsi, un polynôme annulateur de M est

P(X) = X4 + 2X3 - 6X2 - 7X + 6
I.5 Puisque P est un polynôme annulateur de M, les valeurs propres de M sont
racines de P. Comme -3 et 2 sont deux racines évidentes de P, on peut 
factoriser P
par (X - 2)(X + 3) pour trouver les deux dernières racines. Cette factorisation 
de P
s'écrit sous la forme
P(X) = (X - 2)(X + 3)(aX2 + bX + c)

où a, b et c sont trois réels que l'on va déterminer. Le terme dominant de P 
est X4 ,
et le terme dominant de la forme factorisée de P est aX4 , d'où a = 1. Le 
polynôme P
prend la valeur 6 en 0, et sa forme factorisée prend la valeur -6c en 0. On en 
déduit
que c = -1. Enfin, en évaluant P en 1, on obtient la valeur -4, tandis que la 
forme
factorisée de P prend la valeur -4b. Il vient donc b = 1. Ainsi, le polynôme P 
se
factorise sous la forme
P(X) = (X - 2)(X + 3)(X2 + X - 1)
On a utilisé ici le résultat suivant. Si P est un polynôme annulateur de M et
si  est une valeur propre de M, alors P() = 0. Ce résultat se démontre de
la manière suivante : si  est une valeur propre, alors il existe un vecteur non
nul V tel que MV = V. En itérant cette égalité, on obtient
k  N

Mk V = k V

et on en déduit par combinaison linéaire que P(M)V = P()V = 0. Comme V
est non nul, il vient P() = 0.

Les deux 
autres racines de P sont les racines du trinôme X2 + X - 1 soit (-1 + 5)/2
et (-1 - 5)/2. Les 4 valeurs propres possibles de M sont donc
2, -3,

1
1
(-1 + 5), (-1 - 5)
2
2

I.6 D'après le résultat de la question précédente, les deux seules valeurs 
propres
entières possibles pour M sont 2 et -3. Cherchons un vecteur propre X pour la 
valeur
propre 2, de coordonnées (x1 , . . . , x5 ). X vérifie l'équation

ce qui se traduit par le système

MX = 2X

x2 + x4 = 2x1

 x1 + x3 = 2x2
x2 + x5 = 2x3

x

1 + x5 = 2x4

x3 + x4 = 2x5