CCP Maths 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude des matrices unitaires (qui vérifient M-1=transposée(barre(M))) en dimension 2
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 PSIM207

A

CONCOURS (DMHUNS POlYÏECHNIOUES

\ EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI; '

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont-autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
' poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre. '

****

Le sujet comporte 6 pages.
Notations et objectifs

R désigne l'ensemble des nombres réels, CC désigne l'ensemble des nombres 
complexes. Pour '
À & C , on n0te ... le module de /1. ' ' '

cM»2 (©) désigne l'espace des matrices à deux lignes et à deux colonnes, à 
coefficients compleXcs.

M =(m,_j) étant une matrice à coefficients complexes, on note Ml: (Zi--,,) la 
matrice dont les

coefficients sont les conjugués des coefficients de M . La matrice transposée 
de M est notée
t
M .

Pour Me<:Mo'

2
1--10
2"01°

Le problème porte sur l'étude de sous-ensembles de matrices de ch»2 (C) et 
conduit à définir, par

(C) , on note det(M) le déterminant de M et tr(M ) la trace de M . On note

...des matrices de icM92 ((C) , des rotations d'un espace euclidien de 
dimension 3.

Dans la première partie, on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel 
complexe °
I'll.l.3. En déduire que U appartient à 30611 si et seulement si U : (Z _ ] avec
» a

|al2 +|br =1.

a--Ë
bâ

III.2.1. Déterminer le polynôme caractéristique 1(À) : det(U --ÀI,) de U. En 
déduire

1112. Soit U =( ) , avec |a|2 +|b|2 =] une matrice de Îf°U.

qu'il existe un réel 9 tel que les valeurs propres de U sont ei" et e"9.

Etant donné une matrice U & ÎYGU , on admet que" U est semblable à une matrice 
diagonale D,,

avec une matrice de passage Pe ÏGU , c'est à dire qu'il existe 0 e R et PeÎf°U 
tels que
U : PD,,P'1 . La démonstration de ce résultat fera l'objet de la question IV.7 .

III.2.2. Vérifier que la matrice T définie àla question 1.3 appartient à Îf°U . 
Déterminer un

réel 9 et une matrice P appartenant à Ï6U , tels que T : PDÛP".

PARTIE IV

Rappel : E étant un espace euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la base 
orthonorrnale
1 -- 0 O

directe (31,329 a, ) , 9 étant un réel, on note R,, = 0 cos9 --sin9 la matrice, 
relativement à
0 sin 9 cost?

cette base, de la rotation de E d'axe dirigé par le vecteur EUR, et dont une 
mesure de l'angle est le
réel 9. '

Onnote 6Û={AGJ"12(C) ; A:'Â et tr(A)=0}.

IV.1. Soit A: a C e°Û.
b d ,

a r +is

IV.1.1. Montrer que A eSt'de la forme A =( ) avec a, r, s réels. En déduire

r--ù --a

que GÜ est un espace ÿectoriel réel dont une base est formée par les matrices
1 0 0 1 0 i
E1 : , E2 : , E3 : .
0 --1 \ 1 0 ---i 0
1

IV.1.2. Montrer que l'application définie sur GÜX°Ü par : (A,B) +-->< A,B 
>=,--2--tr(AB)

définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel GÜ. En notant "A" = ,/< 
A,A > la

norme de A , exprimer "A"2 en fonction de det(A).

IV.1.3. Pour j et k appartenant à l'ensemble {l,2,3} , calculer les produits 
scalaires

< E j , E k >. Que peut--on en déduire '?

Dans la suite, on considère GU comme un espace euclidien, pour le produit 
scalaire défini

ci--dessus.

IV.2. Soit P e 50 GU . On note lP l'application définie sur 6Üpar : pour tout A 
& GÜ , lp (A) : PAP"1 .

IV.2.1. Montrer que l,, est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien 
CÜ (c'est-à-

dire un endomorphisme de OU qui conserve la norme).

IV.2.2. Soient P et Q dans ÔÛGU. Montrer que le produit PQ appartient à ÎYGU et

montrer que la composée [P 0 [Q vérifie le4 o [Q : [PQ.

Dans la suite, pour U & îf°U , on étudie les automorphisrhes [U de GU.

IV.3. Caractérisation de lDe'

IV.3.1. Pour j=1,2,3, exprimer lDa (Ej) dans labase (E1,EZ,E3).
IV.3.2. En déduire que ng est une_rotation de l'espace euclidien GU , dont on 
donnera un

vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle.

IV.4. Soit U eÎYGU. En utilisant le résultat admis dans III.2., déterminer une 
base orthonoimale
de l'espace euclidien %, relativement à laquelle la matrice de [U est une 
matrice de rotation.

Préciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure del'angle de cette rotation.

a--Ï5

IV.5. Soit U =(
b a

]eÎGU Ennotant a=p+iq, (p,q)eR2, onécrit U=p],+iH avec

HECN\92(C).

IV.5.1. Montrer que H appartient à GÜ.
IV.5.2. Déterminer lU (H).

IV.5.3. En notant b = r +is, (r,s) EUR RZ, déterminerparSes composantes 
relativement à la

base (E1 , E2 , E3 ) , un vecteur de l'axe de la rotation lU .

IV.6. On considère la rotation [T de CU, définie par la matrice de T -- de la 
question I.3 ; donner

un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.

IV.7 . Soit U e 30 Cu . Démonstration du résultat admis dans III.2.

IV.7.1 On suppose que U a une valeur propre double ; quelles sont les matrices U
possibles ?

IV.7.2 Dans le cas où U a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous 
espaces
pr0pres correspondants sont orthogonaux dans C2 . En déduire le résultat admis 
dans 1112.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Olivier
Dudas (ENS Ulm) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce problème propose une étude des matrices de Pauli, qui sont les matrices 
complexes (2, 2) égales à la transposée de leur conjuguée et de trace nulle. 
Tout le problème est construit en progression pour aboutir, dans la partie IV, 
à la mise en
oeuvre de tous les moyens exposés dans les parties précédentes et, en 
particulier, à la
généralisation des résultats sur les matrices orthogonales au cas complexe.
· La première partie, très facile, traite de résultats classiques sur les 
vecteurs
complexes et le produit scalaire canonique. Elle introduit à la question I.3 une
matrice T qui servira d'exemple tout au long du problème.
· La deuxième partie étudie le groupe unitaire, équivalent complexe du groupe
orthogonal, et montre les résultats qui seront utilisés par la suite.
· La troisième partie s'intéresse au cas particulier des matrices de 
déterminant 1,
qui constituent le groupe spécial unitaire.
· Enfin, la quatrième partie étudie l'algèbre des matrices de Pauli et certains 
de
ses endomorphismes.
Ce problème progressif est remarquablement guidé : tous les outils dont on a
besoin sont introduits petit à petit. Il propose une étude intéressante mais 
requiert
peu de connaissances et n'utilise pas beaucoup de théorèmes. Il demande surtout
de savoir prendre du recul par rapport au programme et d'être à l'aise avec les
raisonnements abstraits. C'est une excellente occasion de réviser l'algèbre 
bilinéaire.

Indications
Partie I
I.2.1 La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si elle est libre.
I.3.1 Calculer le polynôme caractéristique de T pour déterminer ses valeurs 
propres,
puis résoudre les deux systèmes TX = X.
I.3.2 Montrer que la famille de vecteurs propres obtenue est orthogonale, puis 
diviser les vecteurs par leur norme.
Partie II
II.1 Utiliser la question précédente.
t

II.3.1 Montrer que U = U-1 .
t

II.3.2 Utiliser l'égalité U = U-1 .
II.4 Partir de l'égalité UX = X, la conjuguer et la transposer, puis faire appat
raître une égalité avec la norme de X en utilisant U U = I2 .
Partie III
III.1.1 Utiliser la question I.4 .
III.1.2 Effectuer des combinaisons linéaires sur le système obtenu à la 
question précédente.
III.1.3 Utiliser la question précédente pour le sens direct et vérifier la 
réciproque par
le calcul.
Partie IV
IV.1.1 Montrer que V est un sous-espace vectoriel réel de M2 (C).
IV.1.2 Montrer que l'application h· , ·i est une forme bilinéaire symétrique 
définie
positive.
IV.4 Calculer lU (PEj P-1 ) pour j = 1, 2, 3.
IV.5.1 Calculer explicitement H en fonction de b et q.
IV.5.2 Montrer que U et H commutent.
IV.7.1 Utiliser la question III.2.1 pour déterminer les valeurs propres de U. 
Conclure
à l'aide de la trace et du déterminant.
IV.7.2 Utiliser la question III.2.1 puis la relation
2

 (X | Y) = (X | Y)
avec X (resp. Y) vecteur propre associé à  (resp. ). Conclure à l'aide de la
question II.1 .

Partie I
I.1 Vérifions que (· | ·) possède bien les propriétés d'un produit scalaire.
Si l'on se fie aveuglément à l'énoncé, il n'y a strictement rien à faire
dans cette question. Celui-ci dit que c'est un produit scalaire, donc on peut
directement rappeler les résultats du cours.
Cependant, on ne peut pas exclure l'hypothèse d'une formulation maladroite : 
peut-être l'énoncé demande-t-il de vérifier par le calcul que c'est
effectivement un produit scalaire.
Sachant que le calcul est trivial, il serait dommage de passer bêtement
à côté de points faciles. Nous vous conseillons donc d'effectuer explicitement
les vérifications.
t

On a

(y | x) = Y X
t

= (t X Y)
t

t

= ( X Y)
t

= (x | y)
(y | x) = (x | y)
t

De la même manière,

(x | y) = X Y
t

=  XY
(x | y) = (x | y)
t

Enfin,

(x | µy) = X µY
(x | µy) = µ(x | y)

I.2.1 La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si c'est une famille 
libre
de C2 , ce qui revient à dire que la matrice (X Y) est inversible, c'est-à-dire 
que
detB (x, y) 6= 0. Or,
detB (x, y) =

a
-1 + 5i
= a(3 - 2i) - (1 + 3i)(-1 + 5i)
1 + 3i
3 - 2i

ce qui montre que la condition nécessaire et suffisante cherchée est :
a 6=
c'est-à-dire, après calculs,

(1 + 3i)(-1 + 5i)
3 - 2i
a 6= -4 - 2i

La famille (x, y) est une base de C2 si et seulement si a 6= -4 - 2i.

I.2.2 La base (x, y) est orthogonale si et seulement si (x | y) = 0, ce qui 
s'écrit
t

On en déduit

X Y = a(-1 + 5i) + (1 + 3i)(3 - 2i) = 0
(1 - 3i)(3 - 2i)
1 - 5i
(-3 - 11i)(1 + 5i)
=
12 + 52
52 - 26i
=
26
a = 2-i
a=

Dans ces conditions, kxk2 = |2 + i|2 + |1 + 3i|2 = 5 + 10 = 15.
La famille (x, y) est une base orthogonalesi et
seulement si a = 2 + i. On a alors kxk = 15.
I.3.1 Déterminons le polynôme caractéristique T () = det(T - I2 ) de T.
Pour tout   C,

3
i
 !  !

-
i
i
3
3
2
2
=
-
- - - -
= 2 + 1

2
2
2
2
3
i
-
- -
2
2
Dans le cas particulier de la dimension 2, on peut toujours utiliser 
directement la formule T () = 2 - (tr T) + det T. Elle permet de déterminer le
polynôme caractéristique de T plus facilement.
 !  !
  
i
-i
- 3
3
2
2
T () =  - (tr T) + det T =  +
-
= 2 + 1
2
2
2
2
On en déduit que les valeurs propres de T sont i et -i. Cherchons les vecteurs 
propres
associés.
· Le vecteur propre X = (a, b) associé à la valeur propre i vérifie TX = iX :

3
i

a+
b = ia

2
2

 - 3 a - i b = ib
2
2
soit

puis

 3b = ia
- 3a = 3ib
ia =

3b

Ainsi, le vecteur ( 3, i) convient.