CCP Maths 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Étude d'une suite double
Principaux outils utilisés principe de récurrence, déterminants, changement de base, dénombrements

Corrigé

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SESSION 2004 _ . PSIM207

CONCOURS (OMMUNS POlYÏICHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

' MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concisian de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

****

Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes 
dans lesquels on retrouve
cette suite.

; On désigne par N l'ensemble des entiersnaturels, par N* l'ensemble N privé de 
0, par Z
l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres réels.

!

Pour n G N, on note [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k 5 
n .

On note CMo... (Z) l'anneau des matrices carrées d'ordre n+l à coefficients 
dans Z. Pour

M ecMon+l(Z). on note M =(mM) où mm est l'élément de la ligne p et de la

(M)EURl°fll2

m m
colonne q.Par exemple M ecMa2 (Z) sera noté M =( °'° OJ).
mm mm

Pour M HM"... (Z), on note det(M ) le déterminant de M et com(M ) la comatrice 
de M .

R[X ] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour ne N , R,, 
[X ] désigne le

sous--espace de R[X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles ; seule 
la suite étudiée dans la
' partie I apparaît dans une question de chacune de ces parties.

PARTIE I '

On définit la suite double de nombres réels (am) par :

(P-fl)eN2

(i) a..., =1

ii pourtout peN*, a :D
() .

Po
(iii) pourtout qèN*, ao,q=O
. (iv) pourtout (p,q)eN2, aP+WI=ap'q+(p+l)ap+l,q.

La considération d'un tableau, dans lequel les aM sont disposés avec p indice 
de ligne et q
indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine.

1.1. Pour qu, calculer a....
1.2. Calculer az,l et "2,2-

I.3. Pour q 2 2, exprimer a2 G en fonction de a2 q_,. En déduire la valeur de 
a2_q.

' \ °/ / O , n * n
1.4. Pour p EUR N, on cons1dere la propnete J p . pour tout q EUR N , on a um G 
N .

53 est vraie.

Montrer que pour tout p e N, la pmpnete p

1.5. Pour p>q, calculer aM.
1.6. Pour peN, calculer aw.

1.7. Pour neN, on désigne par A,, la matrice carrée d'ordre n+l (c'est--à--dire 
à n+l lignes
et à n+l colonnes), dont le terme de la ligne p et de la colonne q est am , 
pour tout

(M)ëll°fllY-
Expliciter les matrices A2, A3, A4 et A5-

PARTIE 11

Dans cette partie, n désigne un entier naturel.
11.1. Soit M =(mP'q)ec/qu... (z).

11.1.]. Montrer que det(M ) EUR Z.
> 11.1.2. Montrer que com (M ) & cM»_... (Z).

11.1.3. On rappelle qu'une matrice M est inversible dans cMæ... (Z) si et 
seulement si M "

existe et appartient à cMo... (Z) .Montrer que M est inversible dans CM»... (Z) 
si et seulement si
det (M) : il .

11.2. On définit la suite (Bp)pOEN de polynômes de R[X ] par : BO =1 et pour 
peN*,

p--l

BP=H(X--j).

J'=0

11.2.1. Montrer que (B...B,,...,B ) est une base de l'espace vectoriel Rn [X ] 
; on notera

(fi) cette base. "

On note (96) la base canonique (l,X,...,X") de R" [X]

On note Pn la matrice de passage de la base (96) à la base ($) et Q la matrice 
de passage

dela base (fi) àla base (96).

11.2.2. On prend n=4, expliciter les matrices & et Q.

11.2.3. Montrer que l; est une matrice triangulaire supérieure à coefficients 
dans Z.

11.2.4. Calculer det(R,).

[1.2.5 Montrer que Q" est une matrice triangulaire supérieure à coefficients 
dans Z.

']
On note Q" : (flM) . Pour tout q el[0,n]l , on a donc X" : Z,Bp,qu.
. =0

(P»Q)EURlO--flf

11.2.6. En donnant à X des valeurs particulières, déterminer les coefficients

fl0,q ' fll,q1 fl2,q p0ur q EUR [[0' ":" ' .
" 11.2.7. Montrer que Q" = A" où A" est la matrice définie au 1.7.

PARTIE III

oo
On note F l'espace vectoriel réel des applications de classe EUR définies sur 
]O,+oe[ et à

valeurs dans R. On définit l'application & de F dans F par:

fi(f)=g où g(x)=xf'(x).
Pour qu*,on note çô" =çfioçô"" ;ainsi «52 =çboq) (par convention: çfi° =id,, ).

III.1. Vérifier que à est un endomorphisme de F . Est--il surjectif ? Est-il 
injectif ? Préciser le
noyau de qi.

III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de çfi.

III.3. Pour f e F , expliciter dz (f). Déterminer le noyau de ç152 et en donner 
une base.

III.4. Soit n e N *. Montrer qu'il existe des entiers dM tels que, pour tout q 
e[[l,n]] et tout
_ q _
f e F, on ait la relation : pour tout x dans ]O,+oe[ , ç$" (f)(x)= de_qx"f(p) 
(x) où f... est
p=l

la dérivée p-ième de f .
On admet que cette décomposition est unique.

1115. On convient que d0,0 =1 et que, pour p eN* et q eN*, dP_0 : do,q :O et 
dp_q =O si

P>CI--

2 \ , . .
Montrer que pour tout ( p,q) & [[l,n]] , on a dM : a ou les a p_ q sont les 
termes defims dans la

PJ! '

partie I.

PARTIE IV

IV.1 Soit @ la fonction définie sur R par w(t)=exp((expt)--l), où exp est la 
fonction

exponentielle.

[VI.]. Déterminer le développement limité de ça à l'ordre 4 en t= O.

-IV1.2. Pour n variant de 1 à 4, en déduire la valeur de la dérivée n-ième de 
ça en O.

Soit E un ensemble de cardinal n , n EUR N. On appelle partition de E , tout 
ensemble de parties
non vides de ' E , deux à deux disjointes, dont la réunion est E. Chaque partie 
de la partition
s'appelle une classe.

IV.2. Pour tout entier j EUR N* , on note Pj le nombre de partitions de E en j 
classes.
Par convention, on note 12,0 =1 et, pour tout n EUR N * et jEUR N* , R,° : PJ : 
O.
IV.2.1. Pour j> n, calculer Pnj .

IV.2.2. Calculer P,: et Pn" pour nEURN*.

IV.2.3. On suppose j 2 2 et n 21. Soit a EUR E .
En distinguant parmi les partitions de E en j classes, celles pour lesquelles 
le singleton {a}

est une classe de la partition, justifier l'égalité Pn} : Pn{'l' + ij_,.

IV.2.4. En déduire que pour tout . ( j,n) EUR N2 , on a R} = a les a M étant 
les termes

le '

définis dans la partie I.

IV.3. On note Pn le nombre de partitions de E . Par convention P0 =1.

IV.3.1. Pour n variant de 1à4, calculer Pn et comparer R. à ça(")(0) où ça est 
la
fonction définie en IV.l.

IV.3.2. Exprimer Pn à l'aide des P,]. Dans la suite, on admettra la formule _

(1) R... : ZCÀ'Iî où les C]: sont les coefficients du binôme.
k=0

IV.3.3 Montrer que pour tout n EUR N on a Pn s n!

+")
P , .
IV.4 Pour x EUR R , on note s(x) : ---"'x" lorsque la ser1e converge.
n. "
n=0

IV.4.1. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est 
supérieur ou égal à l.

IV.4.2. Montrer à l'aide de (1) que pour |x| < 1, on a s'(x) : s(x) expx (on 
pourra
développer en série entière exp x et utiliser le produit de Cauchy de deux 
séries entières).

IV.4.3. En déduire s(x).

IV.4.4. Montrer que pour tout n EUR N , on a R, : ça... (0).
Fin de l'énoncé.

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CCP Maths 2 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Tristan
Poullaouec (Professeur agrégé) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce problème tourne autour d'une suite double vérifiant la relation de récurrence
(p, q)  N2

ap+1,q+1 = ap,q + (p + 1)ap+1,q

Après une étude élémentaire de cette suite, on en montre des exemples 
d'application.
· Dans la première partie, on calcule certains termes de la suite et on en 
démontre
quelques propriétés. Les trois parties suivantes sont indépendantes les unes des
autres mais dépendent toutes de la première.
· Dans la deuxième partie, on montre que les termes de la suite double peuvent
être vus comme les coefficients des matrices de changement de base entre deux
suites de bases de l'espace R[X].
· Dans la troisième partie, on montre que la suite double (ap,q )p,qN peut 
servir
à exprimer simplement les itérés d'un opérateur différentiel.
· Enfin, dans la quatrième partie, on établit que la suite (ap,q )p,qN compte
le nombre de partitions en p classes d'un ensemble à q éléments. Une technique 
de série génératrice exponentielle permet de conclure sur le nombre de
partitions d'un ensemble.
Bien que certaines questions portent sur les séries entières, la plupart des 
points
abordés relèvent plutôt du programme de première année : suites récurrentes, 
équations différentielles, développements limités. N'oubliez pas que les 
concours portent
sur les deux années de la préparation !

Indications
Partie I
I.3 Reconnaître une suite arithmético-géométrique
I.4 Il est plus simple de montrer que Pq : « pour tout p dans N, ap,q est 
entier »
est vraie par récurrence sur q.
I.5 Raisonner par récurrence sur q.
Partie II
II.1.1 Utiliser la formule générale de développement du déterminant.
II.2.5 Utiliser la question II.1.3.
II.2.7 Montrer que les coefficients p,q vérifient la même relation de 
récurrence que
les ap,q .
Partie III
III.1 Montrer que  est surjectif et que le noyau de  est l'ensemble des 
fonctions
constantes.
III.5 Montrer que les réels dp,q vérifient la même relation de récurrence que 
les ap,q .
Partie IV
IV.1.1 Composer les développements limités.
IV.2.4 Montrer que les coefficients Pqp vérifient la même relation de 
récurrence que
les ap,q .
IV.3.3 Raisonner par récurrence forte sur n.

Partie I
I.1 Afin de déterminer les coefficients a1,q , essayons d'obtenir, à l'aide de 
la relation
de récurrence définissant la suite double (ap,q )(p,q)N2 , une relation de 
récurrence sur
la suite (a1,q )qN2 . On obtient
q > 1

a1,q+1 = a0,q + a1,q = a1,q

La suite (a1,q )qN est donc constante, égale à son premier terme a1,1 . 
Calculons
celui-ci :
a1,1 = a0,0 + a1,0 = 1
car par hypothèse, a0,0 = 1 et a1,0 = 0. Ainsi
et

a1,0 = 0
I.2 On a immédiatement

q  N

a1,q = 1

a2,1 = a1,0 + 2a2,0

soit

a2,1 = 0

et

a2,2 = a1,1 + 2a2,1
= a1,1

d'où

a2,2 = 1

I.3 Établissons, de manière analogue à la question I.1, une relation de 
récurrence
sur la suite (a2,q )qN .
a2,q+1 = a1,q + 2a2,q
Or, d'après la question I.1, si q > 1, alors a1,q = 1, donc
q > 1

a2,q+1 = 1 + 2a2,q

Il s'agit ainsi d'une suite arithmético-géométrique, de point fixe  qui vérifie
 = 2 + 1
d'où

 = -1

La suite de terme général a2,q + 1 vérifie alors
q > 1

a2,q+1 + 1 = 2 (a2,q + 1)

Il s'agit d'une suite géométrique de raison 2, et telle que a2,1 + 1 = 1, d'où 
l'on déduit
que a2,q + 1 = 2q-1 . Par conséquent,
a2,0 = 0

et

q  N

a2,q = 2q-1 - 1

Rappel : on appelle suite arithmético-géométrique une suite (un )nN vérifiant
 (a, b)  R2

n  N

un+1 = aun + b

Si a 6= 1, celles-ci s'étudient de la manière suivante : on en cherche le point
fixe , et on peut alors montrer que la suite de terme général vn = un -  est
une suite géométrique de raison a. Si a = 1, il s'agit d'une suite arithmétique.

On aurait aussi pu calculer les premiers termes de la suite (a2,q )qN et deviner
la forme générale des termes de cette suite. Ceci aurait cependant demandé
en plus la rédaction d'une récurrence.
I.4

Il y a vraisemblablement une erreur d'énoncé. Le but de cette question est de
montrer que pour tout couple d'entiers (p, q), ap,q est entier. Ici, la relation
de récurrence vérifiée par ap,q relie ap+1,q+1 à ap+1,q et ap,q . Il apparaît 
donc
naturel de faire une récurrence sur q. Une récurrence sur p semble impossible
à mener.

Soit Pq la propriété « pour tout p dans N, ap,q est entier ».
· P0 : a0,0 = 1 et pour tout p > 0, ap,0 = 0, donc pour tout entier p , ap,0 est
entier et on en déduit que P0 est vraie.
· Pq = Pq+1 : pour tout p dans N , on a
ap,q+1 = ap-1,q + p ap,q
Or, par hypothèse de récurrence, ap-1,q et ap,q sont entiers, donc ap,q+1 est
entier.
· Conclusion : pour tout q, Pq est vraie donc
 (p, q)  N2

ap,q  N

I.5 Montrons par récurrence sur q la propriété suivante :
Pq : p > q

ap,q = 0

· P0 : pour tout p > 0, ap,0 = 0 ; on en déduit que P0 est vraie.
· Pq = Pq+1 : pour tout p entier, on a
ap+1,q+1 = ap,q + (p + 1) ap+1,q
Si p > q, alors par hypothèse de récurrence, ap,q = 0 et ap+1,q = 0 car p+ 1 > 
q,
donc ap+1,q+1 est nul.
· Conclusion : pour tout q, Pq est vraie donc
p > q

ap,q = 0

I.6 D'après la relation de récurrence vérifiée par la suite ap,q ,
ap+1,p+1 = ap,p + (p + 1) ap+1,p
= ap,p

(grâce à la question I.5)

On en déduit que la suite (ap,p )pN est constante, égale à son premier terme 
a0,0 , d'où
p  N
I.7

ap,p = 1

Il a été choisi dans l'énoncé de numéroter les lignes et les colonnes en 
commençant par 0. Dans la suite, on désignera donc par « première ligne » la
ligne 0, et par « (p + 1)e ligne » la ligne p.