CCP Maths 2 PSI 2003

Thème de l'épreuve Une méthode de calcul approché d'intégrales
Principaux outils utilisés espaces préhilbertiens, intégration
Mots clefs polynômes de Tchebychev, calcul approché d'intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 - A PSIM207

CONCOURS (OMMUNS POLYTEC_HNIOUES

' EPREUVE SPECIFIQUÈ - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. -

****

N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce-qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****

On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N* l'ensemble N privé de 
0 et par R
l'ensemble des nombres réels. '

Etant donné un entier naturel n , on note [[O,n]] l'ensemble des entiers 
naturels k tels que
OSkSn.

On note R[x] l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour k & N , on 
note Rk [x] le sous
espace de R[x] des polynômes de degré inférieur ou égal 'à k. On identifierale 
polynôme
P E R[x] avec la fonction polynôme associée.

On note EUR l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle [-- 1,1] 
et à valeurs dans R ,

on note il) l'espace des restrictions à [-- 1,1] des polynômes de R[x] et on 
note fik l'espace

des restrictions à [-- 1,1] des polynômes de Rk [x] . Par abus, on appellera 
polynôme une

fonction de Yl'

Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d'une famille 
d'intégrales.

Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie Il utilise une 
structure d'espace

préhilbertien réel de l'espace EUR, pour obtenir une formule de calcul exacte 
de certaines intégrales.

La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée.

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel, Pour tout entier ne N , on 
définit la fonction

tne EUR par: pour tout xe [-- 1,1] , tn(x)=cos(n Arc cos x).

PARTIE I

l. Simplifier les expressions de t... t,, t,, [3 et constater que ces fonctions 
ont des expressions
polynomiales, que l'on explicitera.

2. Tracer, sur un même dessin, les graphes de to, l',, t2 et l'3 . Préciser les 
racines et les extremums
de chaque fonction. ' '

2k+1
2n

Pour neN* et kEUR[[0,n--l]],on note EUR,, = 75 et xk =cos(6;J.

3. Pour ne N* , déterminer les racines dela fonction tn . Montrer que les 
racines de t,, sont

deux à deux opposées.

4. On suppose l'entier n _>. 2. Soit p EUR [[l,n --'-- 1]].

n--l
4.1 Calculer la somme Ee'""" .
k=0

n--l _ -
4.2 Montrer que El}, (xk ): 0 .
" k=0
Pour xe [-- 1,1] , le changement de variable bijectif 6'= Arc cosx , permet 
d'écrire t,, (x)= cos (119)
avec 06 [0,72].

5. Pour n 21, eXprimer t...(x)+ tn_1 (x) en fonction de x et de t,, (x).

6. En déduire que pour tout ne N , la fonction tn est la restriction à 
l'intervalle [-- 1,1] d'un
polynôme T,, de R[x]. Préciser le degré de Tn et le coefficient de son terme de 
plus haut
degré. ' ' '

7. Montrer que pour tout entier n 2 1 , le polynôme Tn n'a pas de racine 
complexe non réelle.

PARTIE II

1. Soit f une fonction de EUR Montrer que la fonction xt--> f(x)2 est 
intégrable sur ]--l,l[.
1---x

n

, 1 x
2. Pour nEURN ,onnote I :! dx.
" °'Vl--x2

2.1 Calculer I() et Il.

2.2 Pour n 2 2 , donner une relation entre I,, et In_2 (on pourra, entre autre 
méthode, utiliser

le changement de variable @: Arc cos x ).

2.3 En déduire les valeurs de 12 et 14. Quelle est la valeur de I2p+l pour p E 
N ?

3. Définition d'une structure préhilbertienne réelle sur EUR.

3.1 Montrer que l'application de ËX EUR dans R définie par ( f , g)l-->< f | g 
> = I_ll--[£ÎÏJ_)_--g--_(Ë--) dx
, -- x

définit un produit scalaire sur EUR .

3.2 Montrer que la famille de fonction tp, pour pe [[O,n]], est une base 
orthogonale de

l'espace vectoriel il) n .
Calculer la norme de chaque fonction t p .

3.3»Déduire de ce qui précède que, pour tout nZl et tout ke [[O,n--l]] , on a

J'l xktn(x) dx=O.

4. On veut montrer qu'il existe trois réels a...a,,a2 uniques, tels que pour 
tout polynôme

Pe .72'5 , on a
, (l) £1 % dx =- a°P{:È/ä) + a,P(O)+ a2P[l/Ë--].

' 4.1 On suppose que l'égalité (l) est satisfaite par tout Pe .7Ï 5 . En 
prenant successivement les

polynômes P définis par P(x)= 1, P(x)= x , P(x)= x2 , déterminer les réels 
a,,,a,,a2 .

4.2 Montrer que le triplet (ao,al,a2) trouvé convient pour les polynômes P 
définis par
P(x)= x4 puis P(x)= x5 . '

En déduire que l'égalité (l) est vérifiée pour tout polynôme P & fis .

5. calcul d'une intégrale.

4
x

5.1 Montrer que la fonction x |--> Î--=Î est intégrable sur ]),l[.
xl--x

4

. l x .
5.2 Calculer l'1ntégrale ] = I----------- dx , à l'aide du changement de 
variable t= 2x ---1 et
° ,/xll -- x ) ,, \

de la formule (1).

PARTIE III

Soit ne N *. Etant donné des réels ao,al,...,an_1 et Une fonction fe EUR , on 
note

sn où x. =cos(2k"n].

2n

On se propose de montrer qu'il existe des réels ao,al,...,an_l uniques, tels 
que pour tout polynôme

PdeÎ2>

n---l '

on ait :

"(2) fi P(x) dx=s,(p).

\/l--x2

1. On suppose que l'égalité (2) est satisfaite pour tout Pe %.... En prenant 
successivement \

n--l

pour polynômes P les monômes l,x,...,x , montrer que les réels ao,al,...,an_1 
sont les

solutions d'un système de n équations linéaires à n inconnues, dont le 
déterminant est non nul
(on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second 
membre du

système).

2. On suppose qu'il existe des réels a_...a,,...,an_1 tels que, pour tout pEUR 
[[O,n --1]], la relation

(2) soit vérifiée par les fonctions tp.

2.1 Montrer qu'alors la relation (2) est vérifiée pour tout polynôme Pe .fi...

2.2 En utilisant ce qui précède, en particulier 1.4 et 11.3, montrer que les ak 
sont tous égaux et
calculer leur valeur. \

2. 3 On suppose que les ak ont la valeur trouvée en 2. 2. Soit P un polynôme de 
.72)2n_1. En
ecr1vant la division euclidienne de P par t (sur [--1,1]), montrer que P 
vérifie (2).

Etant donné une fonction ge EUR, on note D (g)=I_1 «fig--(Ji dx-- S (g) et on 
note
x

"glloo-- -- xfËlpl}g g.(x]
3. Soit fe EUR .

3.1 Soit Pe %. Montrer qu 'il existe un entier no > 0, qui dépend de P, tel que 
pour tout

l< 2fillf PM..

n.>.n... ona

3.2 En déduire l_i)m S (f ) £1\/'__f (x )

. 4. Pour xe [--l,l], on prend f (x)= EUR*. Soit m un entier de N*.

4.1 Montrer que la série Z---- converge et que îkl! ----- < ----1-----.
k>0 k! ' k=m+1k m° m!
4.2 Déterminer un polynôme P de degré m tel que " f .--- P"æ .<. -----1--'.
/ m. m.

x

e dx à 10"3

4.3 Justifier que S,,(f ) fournit une valeur approchée de l'intégrale _[ 11 2
_ ' \ 1--x

près.

4.4 Calculer cette valeur approchée.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Le but de ce problème est de proposer une méthode de calcul approché des 
intégrales du type
Z 1
f (x)

dx
2
-1 1 - x

où f est une fonction continue sur [ -1 ; 1 ].
La première partie étudie les racines des polynômes de Tchebychev et établit
quelques résultats généraux à leur propos.
La deuxième partie définit une structure pré-hilbertienne réelle sur l'espace C
et donne une méthode de calcul exact de la famille d'intégrales précédente sur
l'ensemble R5 .
Dans la troisième partie, la méthode de la deuxième partie est généralisée à Rn 
.
On montre ensuite qu'elle donne une approximation d'intégrales sur C . Le 
problème
se conclut par un exemple d'application.
Vu d'une part les objets manipulés (polynômes de Tchebychev), les techniques
employées (structure préhilbertienne réelle) et d'autre part son objet (calcul 
approché
d'intégrales), on peut dire que ce problème, un peu calculatoire, est très 
classique.
C'est donc un excellent problème de révision.

Indications
Partie I

I.1 Exprimer cos(2 ) et cos(3 ) en fonction de cos3 , cos2  et cos  avec les
formules d'addition du cosinus.
I.3 Comparer tk et tn-(k+1) .
I.4.1 Reconnaître une suite géométrique.
I.6 Considérer le résultat de la question I.5 comme une relation de récurrence.
I.7 Compter le nombre de racines de tn trouvées à la question I.3.
Partie II

II.2.3 Pour le calcul de I2p+1 , penser à la parité.
II.3.2 Faire le changement de variable  = Arccos x. Puis calculer
pour n  Z.

Z

cos n x dx,

0

II.3.3 Remarquer que xk  Vect (t0 , t1 , . . . , tn-1 ).

II.4.2 Introduire une forme linéaire judicieuse, et montrer qu'elle est nulle.
Partie III

III.2.2 Deviner la valeur des réels a0 , a1 , . . . , an-1 , puis vérifier 
qu'avec cette valeur
la propriété est vraie avec les fonctions t0 , t1 , . . . , tn-1 .
III.3.1 Montrer que |Dn (f )| 6 2kf k , puis remarquer que Dn (f ) = Dn (f - P),
si n > deg(P).
III.3.2 Utiliser le théorème de Weierstrass.
m 1
P
1
+
, et montrer que (Vn )nN est décroissante
III.4.1 Définir la suite Vn =
n n! k=0 k!
+
P 1
et tend vers
.
k=0 k!

Partie I
I.1 Soit x  [ -1 ; 1 ]. On a successivement :
· t0 (x) = 1 ;

· t1 (x) = cos(Arccos x) = x ;

· t2 (x) = cos(2 Arccos x) = 2 cos2 (Arccos x) - 1 = 2x2 - 1.

Avant de donner t3 , exprimons cos(3) en fonction de cos , cos2 , etc. :
cos 3  = cos(2  + )
= cos 2  cos  - sin 2  sin 

= (2 cos2  - 1) cos  - 2 cos  sin  sin 
= 2 cos3  - cos  - 2 cos (1 - cos2 )

cos 3  = 4 cos3  - 3 cos 

On en déduit donc que

t3 (x) = 4 cos3 (Arccos x) - 3 cos(Arccos x) = 4x3 - 3x
x  [ -1 ; 1 ]

t0 (x) = 1

t1 (x) = x t2 (x) = 2x2 - 1 et t3 (x) = 4 x3 - 3x

Rappelons que la fonction cosinus définit une bijection de [ 0 ;  ] sur [ -1 ; 
1 ].
Sa bijection réciproque est appelée « arc cosinus » et notée Arccos . On a donc
très simplement, pour x  [ -1 ; 1 ], cos(Arccos x) = x et Arccos x  [ 0 ;  ].
I.2 La fonction t0 est constante, égale à 1. Elle n'a pas de racine et ses 
extremums
sont tous les points de [ -1 ; 1 ].
La fonction t1 n'admet que 0 comme racine. Son maximum, qui vaut 1, est atteint
en 1. Son minimum est atteint en -1 et vaut -1.
Établissons le tableau de variations de t2 , avec t2 (x) = 4 x pour x  [ -1 ; 1 
].
x
t2 (x)

-1
1

t2 (x)

-

0
0

+1
+
1

-1

Le maximum de t2 vaut 1 et il est atteint p
en -1 et en
p1. Son minimum vaut -1 et
il est atteint en 0. Les racines de t2 sont - 1/2 et + 1/2.
De même, établissons le tableau de variations de t3 , avec t3 (x) = 12 x2 - 3 
pour
x  [ -1 ; 1 ]. Les racines du polynôme P défini par P(x) = 12 x2 - 3 sont -1/2 
et 1/2.
x
t3 (x)

-1

t3 (x)
-1

+

-1/2
0
1

-

0

1

+
1

-1

Le maximum de t3 vaut 1 et il est atteint en -1/2 et en
minimum vaut -1 et
 1. Son 
il est atteint en -1 et 1/2. Les racines de t3 sont 0, - 3/2 et 3/2.
1
1
x
2 x2 - 1
4 x3 - 3 x
0
-1

1

-1
I.3 Soit n  N . Le réel x est racine de tn si et seulement si cos(n Arccos x) = 
0,
c'est-à-dire si et seulement si
cos(n Arccos x) = 0

n Arccos x = + k
2
Arccos x =

k
+
2n
n

(avec k  Z)
(avec k  Z)

Mais Arccos x doit appartenir à l'intervalle [ 0 ;  ], ce qui donne une 
limitation
sur les valeurs de k :

k
06
+
6
2n
n

k

6
6-
2n
n
2n
1
1
- 6k 6n-
2
2
Le réel x est racine de tn si et seulement si
-

k
+
avec
k  [[ 0 ; n - 1 ]]
2n
n
On trouve donc exactement n valeurs distinctes de Arccos x, toutes comprises 
entre 0
et , et qui sont exactement les réels k définis dans l'énoncé. Or, la fonction 
cosinus
établissant une bijection de [ 0 ;  ] dans [ -1 ; 1 ], on trouve exactement n 
racines
pour tn .
Arccos x =

Les racines de tn sont xk = cos (k ) pour k  [[ 0 ; n - 1 ]].
On verra à la question I.7 tout l'intérêt de déterminer précisément le nombre
de racines.