CCINP Maths 2 PSI 2002

 

SESSION 2002 A PSIM207
concours comüuus rouncuuuours

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N * l'ensemble N privé de 
0, par Z
l'ensemble des entiers relatifs, par Q l'ensemble des nombres rationnels et par 
R l'ensemble des

nombres réels.

Etant donné un entier naturel n, on noté [[0, n]] l'ensemble des entiers 
naturels k tels que
0 5 k S n.

Cette épreuve comporte trois parties.

Dans la première partie, on étudie les solutions développables en série entière 
d'une équation
différentielle.

Dans la deuxième partie, qui est indépendante de la première partie, on étudie 
des suites numériques
définies par des relations de récurrence.

La troisième partie utilise les résultats des parties précédentes pour obtenir 
un encadrement de

1
---- par des nombres rationnels (th désignant la fonction tangente 
hyperbolique).

th(1)

Tournez la page S.V.P.

PARTIE I

Pour n e N , on considère les équations différentielles (En) x2y" + (n -- n2 -- 
x2) y = O , où x

désigne une variable réelle et y = y (x) une fonction deux fois dérivable.
On remarque que (E0) et (El) sont les mêmes équations.

1.1. On prend n = 0 et on étudie l'équation différentielle (EO ).
1.1.1. Déterminer les solutions de (E0) sur chacun des intervalles ]-- oo,O[ , 
]O,+oo[.

1.1.2. L'équation (EO) a--t--elle des solutions sur R ?

1.2. On prend n 2 2 et on suppose que l'équation différentielle (En) a une 
solution

- , +oo
développable en série entière y(x) : 2 u kxk , de rayon de convergence R > O.
k=O

1.2.1. Calculer uO et "1-
1.2.2. Pour k 2 2 , donner une relation entre "k et uk_2.
1.2.3. Calculer les Coefficients "k pour k EUR [[0, n ---- 11].

1.2.4. Pour p & N , calculer les coefficients un +2 p +1 .

1.2.5. Peut-on calculer un ? On justifiera la réponse.

1.2.6. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière.

2"(k + n) ! _ ' _
Pour k et n dans N , on note C k " : ------------- et on cons1dere les fonctmns
' k !(2k + 2n) ! -

+oo
ça,, définies pour x réel par (pn (x) = 2 Ck nx2k+" lorsque la série converge.
k=O

1.3.
1.3.1. Exprimer çaO (x) et çal(x) à l'aide des fonctions usuelles.

1.3.2. Montrer que les fonctions (pn sont indéfiniment dérivables sur R.

1.4.
1.4.1. Calculer le quotient Ck'"+l .
Ck,n
1.4.2. En déduire l'expression de Ck,n -- (2n + ]) Ck, ,, +1 en fonction de k 
et de
Ck,n+l'

2n+1

1.4.3. Pour x # 0 , exprimer (p,, (x) ---- (on +1(x) en fonction de çan+2(x).

JC

1.4.4. On admet que pour tout n & N , la fonction ça,, est solution sur R de

+00
l'équation (E n ). En reprenant la notation de 1.2, on écrit ça,, (x) : y(x) : 
z u kxk .
k=0

Quelle est la valeur de u n ?

1.5. Dans cette question on suppose x : 0 .

1.5.1. Montrer que pour tout n e N , on a ça,, (x) : 0.

cv.. (x)
(pn+l (x)

Pour n e N et x # 0 , ondéfinit y,, (x) = . Dans la suite de la question, on 
pourra

utiliser 1.4.3.

1.5.2. On suppose 0 < x 5 1 , montrer l'inégalité y,, (x) > ].

_ 2n + 1 1
1.5.3. Montrer la relatwn y,, (x) = + .
' x 7 n+1 (x )
PARTIE II

On note S l'ensemble des suites a : (an )neN vérifiant : a0 & Z et pour tout

n 2 1 , an EUR N*-

Etant donné une suite a = (a,, )neN de S , on définit les suites (pn )neN et 
(qn )nEN par:
Po =ao ,P1=aoa1+1a qo =1aql=a1

puis, pour n .>. 2, par :

pn : anpn--l + pn--2 et qn : anqn--l + qn--2'

Tournez la page S.V.P.

11.1. Montrer que pour tout n e N on a qn 2 n.

11.2. Relations entre les pn et les qn.
11.2.1. Pour n 2 1 , calculer ann--1 -- ann--1-

11.2.2. Pour n 2 2 , calculer ann--2 -- ann--2-
£n_
qn

Pour n G N , on définit xn :

11.3. Etude de la suite (xn )neN .

11.3.1. Pour n 21 , calculer xn -- xn_1 et pour n 2 2 , calculer x -- xn_2 en

n

fonction des a k et des qk .

11.3.2. En déduire que les suites (x2n )neN et (x2n+1)neN sont adjacentes.

11.3.3. On note a la limite de la suite (xn )neN° On se propose de démontrer par

l'absurde que a est un nombre irrationnel.

*

c
En supposant que a = -- & Q , avec d & N , et en utilisant l'encadrement
d

d

0 < a -- x2n < x2n+1 --- x2n , déterminer un entier k En " vérifiant 0 < kn < . q2n+l déduire que a n'est pas rationnel. * Soit À & N un entier naturel non nul fixé ; on considère la fonction f définie pour tout t réel par f(t)=t2 --Àt--l. 11.4. Etude de la fonction f 11.4.1. Tracer le graphe de la fonction f sur l'intervalle [-- 1, /1 + 1]. 11.4.2. On note r, et r; , avec r, < r; , les deux racines de f Déterminer le signe et la partie entière de chacune des racines. 11.5. Pour tout n e N , on prend an :  et on considère la suite a : (an )neN' 11.5.] pour i EUR [[0,3]] , calculer p,--, et q,--. 11.5.2. Pour n 2 1 , exprimer q,, en fonction des Pk pour k & N. En déduire une expression de xn en fonction des qk pour k & N. 11.5.3. Exprimer q,, en fonction de r, , r; et n. II.5.4. Déduire des questions précédentes une expression de x,, en fonction de r, , U et n. 1155. En déduire la valeur de la limite a de la suite (xn )neN en fonction de r, et r;. 11.5.6. On prend  : 3. Calculer q,, pour n & [[0,6]]. En déduire deux nombres rationnels qui encadrent a à 10'4 près. PARTIE III Etant donné une suite de nombres réels (bn )neN , telle que pour tout n 2 1 on ait bn > O , on

définit la suite dont le terme général d'indice n est noté [bO, bl, , bn] par :

1 l
[b0]=b0,[bo,bl]=bo+--,puispournZl, lîbo,...,bn,bn+l :l={b0""'bn--l'bn +------ .
bl bn+l

1
En particulier { bo, b1» b2 } = {b... bl + --}.
52

III.]. Soit a : (an )neN un élément de S . On lui associe les suites (pn )neN , 
(qn )neN et
(xn )neN définies dans Il.

III.1.1 Ecrire [ao , al] et [ao , al , az] sous forme de fractions en fonction 
des ai.

III.1.2 On suppose que, pour un entier n 2 2 fixé, on a [a... , an] : £--"--.

q n
Quel nombre rationnel obtient-on en remplaçant dans [a0, , an_1, an] , le terme 
an par
1
an + ?
an+l

III.1.3 Montrer que pour tout n e N on a [a... , a ]= x

1
III.1.4 Pour n EUR N°" , montrer [a0,...,an]= "O + ----------

[a1,...,an] .

n .

Dans 11.3, on a montré que la suite (xn )neN converge vers un nombre 
irrationnel a. On note

a = [a... al, ...] et on note F l'application de S dans l'ensemble des nombres 
irrationnels
définie par: F (a) = a = [a... al, ...] . On admet que F est surjective.

Tournez la page S.V.P.

111.2. Soit a un nombre irrationnel et soit a e S une suite telle que a = F (a) 
: [a0, al, ....]

Ill.2.l Comparer x0, xl et a. En déduire que ao est la partie entière de a.

III.2.2 Pour k 5 N, on note ak : [ak, ak+1, ...] Montrer l'égalité a : ao : ao 
+ --.

Donner une relation entre a k , a k +1 et a k .

III.2.3 Décrire un algorithme qui donne la suite (an )neN° En' déduire que F est

bij ective.

III.2.4 On prend a : J3-- et on note a = (an )neN e S la suite vérifiant

F (a): 5 . Calculer a0,a1,a2,a3 et exprimer a1,a2, et 053 en fonction de «5 .

Détermmer la suite a : (an )neN°

III.3 Soit ,u e N*. On note th la fonction tangente hyperbolique.

III.3.1 _ Déduire des parties précédentes qu'il existe une suite a E S telle que
1

la]

III.3.2 On choisit ,u = l. Pour n EUR [[0,4]] donner le tableau des entiers an, 
pn , qn.

l
En déduire deux nombres rationnels qui donnent un encadrement de ---- à 10"4 
près.

th(l)

F (a) = et expliciter les termes de cette suite (on pourra utiliser les 
résultats du 1).

Fin de l'énoncé.