CCINP Maths PSI 2017

SESSION 2017

PSIMA02

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!
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MATHEMATIQUES
Mardi 2 mai : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : un d'algèbre et un 
d'analyse.
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1/6

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PROBLÈME 1
Présentation générale
On se propose ici d'étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques 
réelles. Après avoir
étudié un exemple en dimension 2, on utilise les matrices antisymétriques pour 
paramétrer un sousensemble des matrices orthogonales.
Notations
­ R désigne l'ensemble des réels et, pour tout entier n > 0, Mn (R) désigne 
l'ensemble des matrices
n × n à coefficients réels. On note In la matrice identité de Mn (R).
­ Pour tout entier n > 0, on désigne par An (R) l'ensemble des matrices n × n 
antisymétriques à
coefficients réels et par On (R) celui des matrices n × n orthogonales à 
coefficients réels. Le groupe
spécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant 1.

Partie I - Un exemple en dimension 2

0 t
. Déterminer les valeurs propres complexes de A.
-t 0

Q1.

Soit t un réel et soit A =

Q2.

Calculer R = (I2 + A)(I2 - A)-1 et montrer que R est une matrice du groupe 
spécial orthogonal.

cos  - sin 
. Calculer M = (I2 + R )-1 (I2 - R ).
Pour tout réel   R \ Z, on note R =
sin  cos 

Q3.

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales
Dans ce qui suit, n désigne un entier strictement positif.
Q4. Soient B et C deux matrices de Mn (R). Montrer que si C est inversible et 
BC = CB, alors
BC -1 = C -1 B.
Q5. Soit A  Mn (R) une matrice antisymétrique. Soit  une valeur propre complexe 
de A et
X  Cn \ {0} un vecteur propre associé. En calculant de deux façons
t

(AX) X,

montrer que  est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).
Q6.
et :

Déduire de la question précédente que si A est antisymétrique réelle, alors In 
+ A est inversible
(In - A)(In + A)-1 = (In + A)-1 (In - A).

Montrer que R = (In + A)-1 (In - A) est une matrice orthogonale.
Q7.

Calculer le déterminant de R.

Q8. Soit R une matrice orthogonale telle que In + R soit inversible. Démontrer 
que la matrice
A = (In + R)-1 (In - R) est antisymétrique.
2/6

Q9. On suppose ici que n = 3 et que R3 est muni de sa structure usuelle 
d'espace euclidien orienté
par la base canonique. Soit r une rotation d'angle  ] - , [ autour d'un axe 
orienté par un vecteur
u de norme 1 et soit R  O3 (R) sa matrice dans la base canonique.
Montrer qu'il existe une matrice antisymétrique A  M3 (R) telle que :
R = (I3 + A)-1 (I3 - A).

PROBLÈME 2
Présentation générale
L'objet de ce problème est l'étude du phénomène de Gibbs. Dans la première 
partie, on démontre
des lemmes de Riemann-Lebesgue. Dans la deuxième, on calcule l'intégrale de 
Dirichlet. Enfin, dans
la troisième partie, on met en évidence le phénomène de Gibbs.
Notations
­ R désigne l'ensemble des réels, R+ désigne l'intervalle [0, +[ et C désigne 
l'ensemble des nombres
complexes.

Partie I - Résultats préliminaires
Dans ce qui suit,  : R  C désigne une fonction continue 2-périodique telle que :
 2
 (t) dt = 0.
0

Q10.

Si f : [0, 2]  C est une fonction de classe C1 , montrer que :
 2
lim
f (t) cos (nt) dt = 0.
n+

Q11.

0

Montrer que la primitive de  s'annulant en 0 est 2-périodique et bornée sur R.

Soient a et b deux réels tels que a < b, déduire de ce qui précède que pour toute fonction f de classe C1 sur [a, b] et à valeurs dans C on a : b lim f (t)  (nt) dt = 0. n+ a Q12. Soient  et  deux réels tels que  <  et h : ,   C une fonction continue. Soient  un réel strictement positif et g une fonction de classe C1 sur [, ] telle que sup |h - g|  , montrer qu'il [,] existe une constante M ne dépendant que de  telle que : h (t)  (nt) dt  M | - |  + g (t)  (nt) dt . 3/6 En déduire que pour tout intervalle [a, b] de R et toute fonction f : [a, b]  C continue par morceaux : b lim f (t)  (nt) dt = 0. n+ a On pourra admettre et utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que pour tout segment ,  avec <  et toute fonction continue f : ,   C, il existe une suite ( fn )nN de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f sur ,  . Q13. Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b]  C une fonction continue par morceaux. Déduire de ce qui précède que : b 1 b 2 lim f (t) sin (nt) dt = f (t) dt. n+ a 2 a Partie II - L'intégrale de Dirichlet + Soit f : R  C une fonction continue telle que la fonction F : x x + f (t) dt soit bornée. 0 Q14. Montrer que, pour tout réel a > 0, les intégrales généralisées

a

sont convergentes et que :

+

F (t)
dt puis
t2

+
a

f (t)
dt
t

+

F (t)
F (a)
.
dt -
2
t
a
a
a
 + 2
 +
sin (t)
sin (t)
dt sont convergentes et
dt et
Q15. Montrer que les intégrales généralisées
t
t2
0
0
que :
 +
 + 2
sin (t)
sin (t)
dt.
dt =
t
t2
0
0
 +
+
Dans ce qui suit, on considère une fonction continue f : R  C telle que
f (t) dt soit absoluf (t)
dt =
t

0

ment convergente.
Q16.

Montrer que la fonction
+

L ( f ) : x  R 

+

f (t) e-xt dt

0

est bien définie et continue sur R+ .
Q17. On suppose de plus que la fonction f est bornée. Montrer que la fonction L 
( f ) est de classe
C sur ]0, +[ et que L ( f ) (x) tend vers 0 quand x tend vers +.
1
.
Q18. Soit f : t  R+ 
1 + t2
1 . Montrer que la fonction L ( f ) est solution de l'équation différentielle
y + y =

1
x

sur ]0, +[.
4/6

(E)

2 . On cherche une solution particulière de (E) de la forme x  (x) cos(x) + (x) 
sin(x) où les
fonctions  et  sont de classe C2 et vérifient :
x ]0, +[  (x) cos(x) +  (x) sin(x) = 0.
 +
 +
Montrer que l'on peut prendre (x) =
f1 (t) dt et (x) =
f2 (t) dt où f1 et f2 sont des
x

x

fonctions que l'on déterminera.
 +
sin(t)
dt est une solution de l'équation (E) sur ]0, +[.
3 . En déduire que
x+t
0
4 . Montrer qu'il existe (a, b)  R2 tel que :
 +
sin(t)
dt.
x ]0, +[ L( f )(x) = a cos x + b sin x +
x+t
0
 +
sin(t)
Q19. Montrer que
dt tend vers 0 quand x tend vers + et en déduire que pour tout
x+t
0
x > 0 on a :
 +
sin(t)
dt.
L ( f ) (x) =
x+t
0

 + 
sin(t) sin(t)
Q20. Montrer que
dt tend vers 0 quand x tend vers 0+ . En déduire que :
-
x
+
t
t
1
 +
 +
sin(t)
sin(t)
lim+
dt =
dt.
x0
x+t
t
0
0
Q21.

Déduire des questions précédentes que

+

0

sin (t)
dt = .
t
2

Partie III - Phénomène de Gibbs
Soit f : R  R la fonction 2-périodique et impaire définie par :

1 si
x  ]0, [
.
f (x) =
0 si x = 0 ou x = 

(E.1)

On désigne par (S n )nN la suite de fonctions définie par :
n

4  sin ((2k + 1) x)
.
n  N, x  R, S n (x) =
 k=0
2k + 1
Q22.

En calculant la dérivée de S n , montrer que :
2
n  N, x  [0, ] , S n (x) =

Q23.

x

0

sin (2 (n + 1) t)
dt.
sin (t)

Montrer que, pour tout entier n  N, on a :
n

  (-1)k
-
= (-1)n+1
4 k=0 2k + 1
5/6

0

1

t2n+2
dt.
1 + t2

+

(-1)k
.
En déduire la valeur de
2k + 1
k=0

Q24. En déduire que S n
tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
2
Q25. Calculer S n ( - x) en fonction de S n (x). En utilisant le résultat de la 
question Q12, montrer
que, pour tout x ]0, /2], on a :
lim S n (x) = 1.
n

Q26. Déduire de ce qui précède que la suite (S n )nN converge simplement vers 
la fonction f définie
par (E.1) sur R.
Q27.

Montrer que la suite de fonctions (n )n1 définie sur [0, ] par

1 sin (x)

  si x  ]0, ]

 2n sin 2nx
n (x) = 

1
si x = 0

converge simplement sur [0, ] vers la fonction  définie sur [0, ] par :

sin (x)

si x  ]0, ]

x
 (x) = 
.

1
si x = 0
Q28.

Montrer que  est continue sur [0, /2] et en déduire que

2  sin (x)

lim S n
=
dx
n+
2(n + 1)
 0
x

puis que :
 
lim f

n+

Q29.

2 + sin (x)
dx.
- Sn
=
2 (n + 1)
2 (n + 1)
 
x

Montrer que

0

+

sin (x)
2n+1
n
(-1)
dx =
(2n + 1) (2n + 1)!
x
n=0

puis que :
 
lim S n

n+

Q30.

+

2n
(-1)n
- 1.
-f
=2
(2n + 1) (2n + 1)!
2 (n + 1)
2 (n + 1)
n=0

Comparer
+

n=0

(-1)n

2n
(2n + 1) (2n + 1)!

et

3

n=0

(-1)n

2n
,
(2n + 1) (2n + 1)!

et montrer que :
 
lim S n

n+

-f
> 0.17 .
2 (n + 1)
2 (n + 1)

En déduire que la suite de fonctions (S n )nN ne converge pas uniformément vers 
f sur ]0, /2[.

FIN
6/6