CCP Maths PSI 2015

Thème de l'épreuve Étude d'un système différentiel linéaire homogène
Principaux outils utilisés équations différentielles, séries entières, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2015 PSIMA02

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

1/7

Notations

K désigne l'ensemble des réels et K+ désigne l'intervalle [O, +oo[.

-- Si ] est un intervalle réel non réduit à un point, on note C1 (I ) l'espace 
vectoriel des fonc-
tions de classe C1 définies sur I à valeurs dans K.

-- Soit K l'ensemble R ou (C. Pour tout entier naturel non nul, Mn (K) désigne 
le K-espace
vectoriel des matrices à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K.

-- Un vecteur de K" est noté :

-- Une matrice A de Mn (K) est notée :

A : ((aj,k))1gj,kgn

où aj,k est le coefficient de A situé en ligne j et colonne k.
-- On dit qu'une application :
M : I --> Mn (K)
t %> M (15) = ((%--,x: (t)))1gj,kgn

est de classe C1 sur I , si our tout cou le j, k la fonction 75 v--> & - k t 
est de classe C1 sur
P P J,

] et dans ce cas, on note M' (t) la matrice ((%),EUR (t)))l Mn ((C) une 
fonction continue.

Dans ce problème, on s'intéresse au système différentiel :

où X : I --> (C" est une application de classe C1.

A l'exception de la question I.2 utilisée tout au long du sujet, les trois 
parties sont indépendantes.

2/7

Partie I

Quelques exemples d'étude d'un système différentiel

I.1 Qu'affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant a la structure de 
l'ensemble

des solutions de (E) '?

I.2 Vecteurs propres communs
On suppose qu'il existe un vecteur non nul V EUR CC" et une fonction continue À 
: I --> (C tels
que pour tout t E ] on ait :
A (t) V = A (t) V.
Montrer que la fonction :
X : I --> C"
t |--> 04 (t) V
est solution de (E) si, et seulement si, la fonction 04 est solution d'une 
équation différentielle
linéaire du premier ordre que l'on précisera et pour laquelle on donnera une 
expression des

solutions.

1.3 Un premier exemple
On suppose pour cette question que n = 2. Soient & et 19 deux complexes tels 
que a-- 1 --b # 0.

On suppose que, pour toutt EUR I = R, on a :

A(î ::).

Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (E).

1.4 Un deuxième exemple
On suppose également pour cette question que n = 2. Soient ,a une constante 
complexe et
a, b des fonctions continues de I dans (C, la fonction 19 ne s'annulant jamais 
sur I . On suppose

que pour tout réel t E [, on a :

...: a ub(t)
b a(t)+(M--1)b(t) '

1.4.1 Traiter le cas particulier où ,a = 1.

1.4.2 Montrer qu'il existe deux vecteurs non nuls V1 et V2 dans (C2 et deux 
fonctions conti-

nues À1 et À2 de I dans (C tels que pour toutt EUR ] on ait :

A(t)V1=À1(t)VletA(t)l/Q=Àg(t)V2

3/7

1.4.3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur ,a pour que 
l'on ait :
Vt EUR ], À1(t) 7£À2(t).

On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante.

1.4.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (E).

Partie II

Développement en série entière des solutions pour A constante

II.1 Norme matricielle induite

On se donne une norme vectorielle X v--> HX H sur (C" et on lui associe la 
fonction N définie
sur Mn ((C) par :

AX
VAEMn(C), N(A)= sup H--H.
XEURCH\{O} HX...

II.1.1 Montrer que l'application N définit une norme sur Mn ((C) .

II.1.2 Montrer que, pour toutes matrices A et B dans Mn (C) , on a :

N(AB) g N(A)N(B).
II.2 Développement en série entière des solutions

II.2.1 On suppose pour cette question, que I = R et que la fonction A est 
constante.
Montrer que si X est solution de (E) , elle est alors de classe COO sur I et 
que pour tout

entier naturel k, on a :
X (t) = A""X (t)

(avec la convention que X (0) = X et A0 = n).

II.2.2 On note X 0 = X (0). Montrer que pour tout entier naturel p et tout réel 
t E I , on a :

X(t) = < p tkA"") X0+ /tOEAPHX(U)dU.

!
k=0 p.

II.2.3 Montrer que :

. p #" k
X(t)= 11m --A XO
p-->+oo k=0 k!

et en déduire que les coordonnées de X sont développables en série entière sur 
R.

4/7

II.3 Un exemple
On suppose pour cette question, que n = 4, que I = R et que la fonction 75 v--> 
A (t) est

constante et égale à :

1 0 --1 1
0 1 1 0
A: eM4( e_ 2 est convergente 
sur R+.

III.1.2 Montrer que les fonctions F et G définies sur R+ par :

a: _t2 2 1 6--oe2(t2+1)
VOEER+,F(æ)----l--oo æ-->--l--oo

al à

111.15 En déduire que :
2

+00
/ e_t2dt : &.
0

111.2 Les fonctions u et "U

III.2.1 Montrer que les fonctions :

...) --/Û+oewdæew(t) --/Û+oe$dæ

sont bien définies et de classe C1 sur R.

III.2.2 Montrer que la fonction w = u + iv est solution d'une équation 
différentielle, puis

u(t)
X :
 (...))

est solution d'un système différentiel du premier ordre

en déduire que :

X' (t) = A (t) X (75) (El)
où la fonction matricielle A : R --> M2 ((C) est à déterminer.

6/7

III.2.3 Déterminer, pour tout réel 75, les valeurs propres complexes et les 
sous--espaces propres
de A (t).

III.2.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions sur (C du 
système (E1) et en

déduire la solution générale de (El).

III.2.S Calculer u (0) , "U (0) et en déduire l'expression réelle de u et de "U.

Fin de l'énoncé

7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths PSI 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pauline Tan (ENS Cachan) ; il a été relu par Mathilde
Perrin (Docteur en mathématiques) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'étude d'un système différentiel linéaire homogène de 
taille
n  N défini sur un intervalle I par
t  I

X (t) = A(t) X(t)

(E)

avec X : I  C dérivable et A : I  Mn (C) une fonction continue.
n

· Dans la première partie, on commence par établir deux résultats qui 
permettront de trouver des bases de solutions de l'équation (E). Ensuite, pour 
n = 2,
on étudie l'équation (E) dans le cas où A est diagonalisable, d'abord 
lorsqu'elle
est constante puis dans le cas général.

· La deuxième partie aborde le cas où A est constante, mais de taille n 
quelconque
(puis égale à 4). Cette restriction permet de développer les solutions en séries
entières dont les sommes s'écrivent en fonction des Ak . On montre alors que
ces puissances de A sont combinaisons linéaires de A et de A(A - In ), ce qui
fournit une formule explicite pour les solutions X.
· Enfin, la troisième partie considère les fonctions u et v définies sur R par
Z + -x
Z + -x
e cos(tx)
e sin(tx)

u : t 7-
dx et v : t 7-
dx
x
x
0
0
dont on montre qu'elles sont solutions d'une équation de la forme (E). Résoudre
cette équation permet de donner une formule explicite pour u et v.
Mis à part une question hors-programme dans la deuxième partie, ce sujet est
relativement facile. Il couvre l'essentiel du programme sur les équations 
différentielles
linéaires homogènes et permet également de travailler la diagonalisation. Les 
trois
parties du sujet sont pratiquement indépendantes, seules les questions I.1 et 
I.2 étant
utiles dans les autres parties.

Indications
Partie I
I.3 Calculer le polynôme caractéristique de A pour déterminer ses valeurs 
propres,
puis trouver une base de vecteurs propres.
 
x
I.4.1 Si X =
, montrer que x+y et x-y sont solutions d'équations différentielles
y
linéaires d'ordre 1.
I.4.2 Fixer t et déterminer valeurs propres et vecteurs propres de A(t).
I.4.4 Utiliser la question I.2 avec les couples (1 , V1 ) et (2 , V2 ) 
déterminés à la
question I.4.2.
Partie II
II.1.1 Commencer par montrer que N(A) est bien définie pour toute matrice A, 
puis
établir les trois propriétés qui caractérisent les normes.
II.2.1 Raisonner par récurrence.
II.2.2 Appliquer la formule de Taylor avec reste intégrale à chacune des 
coordonnées
de X.
II.2.3 Cette question est hors-programme. Admettre que, pour t  I, tel que t > 
0,
Z t
Z t
(t - u)p p+1
(t - u)p p+1
A X(u) du 6
A X(u) du
p!
p!
0
0

II.3.2

II.3.3
II.3.5
II.3.6

puis utiliser la question II.2.2 pour majorer kAp+1 X(u)k. Enfin, les 
croissances
comparées permettent de prouver que le membre de droite dans l'inégalité 
cidessus tend vers 0 quand p tend vers +.
Écrire la division euclidienne, en exprimant le reste dans la base proposée,
puis évaluer en 0 et 1. Penser également à simplifier par X(X - 1) et à dériver,
avant d'évaluer à nouveau en 1.
Penser à utiliser le théorème de Cayley-Hamilton.
Commencer par travailler avec les sommes partielles.
Utiliser les questions II.2.3, II.3.3, II.3.4 et II.3.5.
Partie III

III.1.2 Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour F et le théorème de 
dérivation des intégrales à paramètre pour G.
III.1.3 Effectuer le changement de variable u = x t dans l'une des intégrales, 
puis
calculer F(0) + G(0).
III.1.4 Commencer par prouver que G(x) tend vers 0 quand x tend vers +.
III.2.1 Utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre.
III.2.2 Calculer w et w en les écrivant en fonction de u, v, u et v  pour 
déterminer l'équation différentielle demandée. Ensuite, identifier les parties 
réelle et
imaginaire.
III.2.4 Appliquer les questions I.2 et I.1 pour trouver une base de solutions, 
que l'on
calcule explicitement.
III.2.5 Établir l'expression générale de u et de v grâce à la question III.2.4, 
puis
calculer de deux manières différentes u(0) et v(0).

I. Quelques exemples d'étude
d'un système différentiel
I.1 Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire assure que
L'ensemble des solutions de l'équation (E) forme
un C-espace vectoriel de dimension n.
I.2 La fonction X : t 7 (t) V est solution de l'équation (E) si et seulement si 
elle
est de classe C 1 et vérifie
X (t) = A(t) X(t)

t  I

Or, la fonction X est de classe C 1 si et seulement si la fonction  est 
elle-même de
classe C 1 , avec dans ce cas
X (t) =  (t) V

t  I

On en déduit que X est solution de (E) si et seulement si  est C 1 et

t  I
 (t) V = A(t) (t) V = (t) A(t) V

((t)  C)

Par hypothèse, on a A(t) V = (t) V pour tout t  I. Il s'ensuit que la fonction 
X est
solution de (E) si et seulement si  est C 1 et
t  I

 (t) V = (t) (t) V

soit, puisque V est supposé non nul, si et seulement si
t  I

 (t) = (t) (t)

Par conséquent,
La fonction X : t 7- (t) V est solution de (E) si et seulement si la fonction 
est C 1 et  est solution de l'équation différentielle  (t) = (t) (t). Pour tout
t0  I fixé, les solutions de cette équation différentielle sont données par
Z t

t 7- C exp
(u) du
avec C  C.
t0

I.3 L'équation différentielle étudiée correspond à un système différentiel 
linéaire à
coefficients constants. Il faut donc commencer par calculer les valeurs propres 
de la
matrice A. Pour cela, considérons son polynôme caractéristique :
PA (X) = det(X I2 - A) =

X-a
-b

-1 + a
= X2 - (a - b + 1) X + a - b
X-1+b

Déterminons les racines de ce polynôme : son discriminant vaut

 = (a - b + 1)2 - 4 (a - b) = (a - b)2 + 2 (a - b) + 1 - 4 (a - b) = (a - b - 
1)2
D'après les hypothèses sur a et b qui assurent que a - b - 1 est non nul, le 
discriminant  est également non nul. Par conséquent, la matrice A est 
diagonalisable,
de valeurs propres distinctes
1 =
et

(a - b + 1) + (a - b - 1)
=a-b
2

2 =

(a - b + 1) - (a - b - 1)
=1
2

Déterminons à présent les sous-espaces propres associés à ces deux valeurs 
propres.
 
x
Commençons par le sous-espace propre E1 (A) associé à 1 . Le vecteur V =
y
appartient à E1 (A) si et seulement s'il vérifie
(
a x + (1 - a) y = (a - b) x
A V = 1 V
soit
b x + (1 - b) y = (a - b) y
En simplifiant, on obtient
(
(1 - a) y = -b x
bx+ y = ay

b x + (1 - a) y = 0

En particulier,on en déduit
que le sous-espace propre E1 (A) est généré par le vecteur

a-1
non nul V1 =
. En résolvant ensuite le système
b
(
a x + (1 - a) y = x
A V = 2 V
soit
b x + (1 - b) y = y
on démontre de la même façon que le sous-espacepropre
E2 (A) associé à la valeur

1
propre 2 est généré par le vecteur non nul V2 =
. L'ensemble des solutions est
1
de dimension 2 et les deux fonctions t 7 e 1 t V1 et t 7 e 2 t V2 sont 
linéairement
indépendantes. Ainsi, les solutions de l'équation (E) sont de la forme
avec (C1 , C2 )  C2 .

t 7 C1 e 1 t V1 + C2 e 2 t V2
Les fonctions
t 7- e

(a-b)t

a-1
b

1
et t 7- e
1
t

forment une base des solutions de l'équation (E).

a(t)
A(t) =
b(t)

b(t)
a(t)

I.4.1 Si µ = 1, alors
t  I
 
x
Soit X =
avec x et y deux fonctions C 1 de I dans C. La fonction X est solution
y
de l'équation (E) si et seulement si
( 
x (t) = a(t) x(t) + b(t) y(t)
t  I
y  (t) = b(t) x(t) + a(t) y(t)
En considérant la somme puis la différence des deux équations de ce système 
linéaire,
on en déduit qu'il est équivalent au système
( 

x (t) + y  (t) = a(t) + b(t) x(t) + y(t)
t  I

x (t) - y  (t) = a(t) - b(t) x(t) - y(t)
soit, en posant z = x + y et v = x - y,
( 

z (t) = a(t) + b(t) z(t)
t  I

v  (t) = a(t) - b(t) v(t)