CCP Maths 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Longueur d'une courbe
Principaux outils utilisés calcul intégral, suites et séries de fonctions, normes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PSIM102

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations, définitions et rappels

Pour toute fonction f : [a, 19] --> R de classe C1, on note :

L (f) = / b\/1 + (f' >2dt

une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative de f .

Partie I

Quelques exemples de calculs de longueurs

I.1 Vérifier la formule donnant L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) = 
75.

I.2 Calculer L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) : ch (t) .

1/5

1.3 Un exemple de calcul de longueur d'un arc de courbe

1
1.3.1 Calculer L ( f ) pour f définie sur {D, Ëi par f (t) = \/ 1 -- t2.

1.3.2 Retrouver le résultat de la question 1.3.1 sans calcul, par des 
considérations géométriques.

1.4 Soit f définie sur [D, 1] par f (t) = 752.

Calculer L ( f), en utilisant une intégration par parties ou en s'inspirant de 
la question 1.2.

Partie II

Un calcul approché de longueur

L'objectif de cette partie est d'effectuer un calcul approché de la longueur 
d'un arc d'hyperbole.

1 1
On considère, pour ce faire, la fonction f définie sur {? 1} par f (t) = ;.

11.1 Expression intégrale de L (f)
11.1.1 Donner une expression intégrale de L ( f ) .

11.1.2 Montrer que L ( f ) est aussi la longueur de l'arc d'hyperbole 
correspondant à la res-

triction de f a l'intervalle [1, 2] .
11.2 Expression de L (f) sous forme de série numérique

11.2.1 Soit 04 E R \ N . Rappeler le développement en série entière de la 
fonction

u v--> (1 + u)", en précisant son domaine de validité.

11.2.2 Montrer que, pour tout t E ]O, 1[, on a :

+00
V 1 + É4 : 1 + Z (_1)n--1 (Zn)! t4n--2

t2 ? (Zn -- 1) 22" (n!)2

(Zn)!

(Zn -- 1) 2% (n!)2
(a...)nEURN* est décroissante et donner un équivalent de on quand n tend vers 
l'infini.

11.2.3 On note, pour tout entier n 2 1, an : . Montrer que la suite

1124 En déduire une expression de L ( f ) comme somme d'une série numérique (on 
vérifiera

avec soin les hypothèses du théorème utilisé).

2/5

II.2.S Donner une valeur approchée de L ( f ) en utilisant les 5 premiers 
termes de la série

obtenue àla question précédente et donner une majoration de l'erreur commise.

Partie III

Longueur du graphe des fonctions puissances

On s'intéresse ici, pour tout entier n 2 1, aux fonctions puissances p,, 
définies sur [O, 1] par :
Vt EUR [0,1] , p,, (t) = t".

On désigne par ()...) la suite définie par :

nEURN*

1
Vn E N*, )... = L (p,,) = / \/l + n2t2n_2dt.
0
111.1 Conjecture sur la limite éventuelle de (Àn)nEURN*

III.1.1 Déterminer À1 et À2.

III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques 
fonctions
p,, avec n de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite 
(Àn)nEURN* ainsi que la

valeur de sa limite éventuelle.

III.2 Convergence et limite de la suite (Àn)nEURN*

III.2.1 Montrer que, pour tout entier n E N *, on a :

1
)... -- n/ tn_1dt : ,un
0

/1 dt
Un : _ _ -
0 ,/1 +_712t2n 2 +_7ltn 1

III.2.2 Montrer que )... < 2 pour tout n E N *.

III.2.3 Déterminer la limite de la suite ( ,un)nEURN, (on citera avec précision 
le théorème uti-

lisé).

III.2.4 En déduire la convergence de la suite ()...) ainsi que la valeur de sa 
limite.

nEURN*'

III.3 Plus généralement, montrer que si f : [O, 1] --> R est une fonction de 
classe C1, croissante
et telle que f (0) = 0 et f (1) = l, on a alors L (f) < 2.

3/5

Partie IV

Un résultat inattendu

1 .
t
IV.1 Etude de l'intégrale généralisée / smt( )dt
0

n (t)

, - / / / - / 1 Si
IV.1.1 Montrer que l 1ntegrale generahsee / --dt est convergente.
0

IV.1.2 Montrer que, pour tout a: Z 1, on a :

/1OESint(t)dt = COS (1) -- M -- /ÏCOS (t)dt.

a: t2

sin (t)

+00
En déduire que l'intégrale généralisée / dt est convergente.
1

cos (Qt)

+oo
IV.1.3 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est convergente.
1

+00 sin2 (t)

IV.1.4 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est divergente. En déduire la 
di-

1
+OO ' t
vergence de l'intégrale généralisée / ]SmtÀdt.
1
, . . , . 1 . 1 .
IV.2 On des1gne par g la fonct1on defin1e sur ]0, 1] par Q (t) = % sm % et par 
f la fonct1on

1
définie sur le même intervalle par f (a:) = / g (t) dt.

IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0. On notera 
encore f ce

prolongement.
IV.2.2 Montrer que f est continue sur ]0, 1] et indéfiniment dérivable sur ]0, 
1] .

IV.2.3 Montrer que :
1
nm/flfi...fi=+oe.

oe-->O+
IV.3 Pour tout réel 3: EUR ]0, 1] , on désigne par A (a:) la longueur de la 
courbe représentative de la
restriction de la fonction f au segment ]a:, 1] .
Donner une expression intégrale de A (a:) , pour tout a: E ]O, 1] , puis 
montrer que

lim+ A (a:) : +oo. Donner une interprétation de ce résultat.
oe-->O

4/5

Partie V

Continuité de la fonction longueur

On rappelle que l'application :

:fF+HÏWOED==SUP]f(Ü]

te[0,1]

définit une norme sur l'espace E = C0 (]O, 1] ,R) des fonctions continues de 
]O, 1] dans R.
On note El : C1 (]O, 1] ,R) l'espace des fonctions continûment dérivables de 
]O, 1] dans R et pour

toute fonction f E El, on note :

]VH=VOEW+]NQ-
V.1 Comparaison des normes ]]-]] et ]]-]]00

V.1.1 Montrer que l'application f v--> ]] f ]] définit une norme sur l'espace 
El.

V.1.2 Montrer que :
VfEUREb]floeîHfl-

V.1.3 Les normes ]] - ]] et ]] - ]]OO sont-elles équivalentes sur El '?

V.2 On désigne par ( fn)nEURN* la suite de fonctions définie sur ]0, 1] par :

sin (nat)

VnEURN*, Vte]0,1], fn(t)= \/ñ

V.2.1 Montrer que la suite ( fn)nEURN* converge uniformément vers la fonction 
nulle sur ]0, 1] .

V.2.2 On désigne, pour tout entier n E N*, par In : L ( fn) la longueur de la 
courbe

représentative de fn. Montrer que :

Vn E N", In 2 fig.
V.2.3 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, ]]]]oe) '?

V.2.4 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, HH) '?

Fin de l'énoncé

5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sylvain De Moor (ENS Cachan) ; il a été relu par
Clément Mifsud (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Le problème s'intéresse à la longueur de courbes représentatives de fonctions de
la variable réelle à valeurs réelles. Si f est une fonction de classe C 1 
définie sur un
segment [ a ; b ] et à valeurs dans R, la longueur de sa courbe représentative 
peut être
écrite sous la forme intégrale
Z bq
2
1 + (f  (t)) dt
L(f ) =
a

Le problème propose d'étudier quelques résultats sur cette application longueur 
L
dans cinq parties indépendantes.
· La première partie consiste à calculer la longueur de courbes représentatives 
de
fonctions f données en utilisant les techniques classiques du calcul d'intégrale
sur un segment, comme l'intégration par parties ou le changement de variable.
À deux reprises, il est demandé de vérifier par des considérations géométriques
les résultats obtenus de façon analytique.
· La seconde partie s'intéresse à la longueur de l'arc d'hyperbole défini par la
fonction t 7 1/t sur le segment [ 1/2 ; 1 ]. Il s'agit d'exprimer cette longueur
comme la somme d'une série numérique, ce qui permet ensuite d'en calculer une
valeur approchée et de donner une majoration de l'erreur commise. Pour cela,
on fait appel à la notion de série entière.
· La troisième partie propose d'étudier le comportement asymptotique de la suite
des longueurs des graphes des fonctions puissances (t 7 tn )nN restreintes au
segment [ 0 ; 1 ].
· Le but de la quatrième partie est de construire un exemple de cas pathologique
d'une fonction continue sur un segment dont la courbe est de longueur infinie.
Cette partie mobilise les connaissances sur les intégrales généralisées.
· Enfin, dans la cinquième et dernière partie, on étudie la continuité de 
l'application L sur l'espace des fonctions continûment dérivables de [ 0 ; 1 ] 
dans R,
que l'on munit de deux normes différentes.
Ce sujet clair et bien guidé est de difficulté croissante, progressant de 
calculs
simples dans la première partie à des questions techniques nécessitant une 
rédaction
soignée. Comme il aborde en outre un large spectre du programme d'analyse, c'est
une bonne occasion de réviser tout en s'entraînant aux écrits.

Indications
Partie I
I.3.2 Montrer que la courbe représentative de f est un arc du cercle de centre 
(0, 0)
et rayon 1 dans R2 . Se rappeler que la longueur d'un arc d'angle  d'un cercle
de rayon R est donnée par R.

I.4 [HP] Intégrer par parties enintégrant t 7 1 et en dérivant t 7 1 + 4t2 .
Une primitive de t 7- 1/ 1 + t2 sur R est notée Argsh (cette fonction
est hors-programme à compter de la rentrée 2014 : c'est la réciproque de la
fonction sh ).
Partie II
II.1.2 Penser au changement de variable u = 1/t.

II.2.2 Développer en série entière t 7 1 + t4 grâce à la question II.2.1.
II.2.3 Pour la monotonie de la suite, étudier la rapport an+1 /an . En ce qui 
concerne
son comportement asymptotique, utiliser la formule de Stirling.
II.2.4 Combiner les questions II.1.1 et II.2.2. Justifier ensuite l'échange du 
signe
intégral et de la somme en prouvant que la série de fonctions en question
converge normalement.
II.2.5 Utiliser le théorème spécial des séries alternées pour obtenir une 
majoration
de l'erreur.

III.2.1
III.2.2

III.2.3
III.3

Partie III

Observer que 1 + n2 t2n-2 - ntn-1 = 1 + n2 t2n-2 - n2 t2n-2 pour n  N
et t  [ 0 ; 1 ].

Remarquer que, pour tout u > 0, 1 + u < 1 + u. Pour conserver cette
majoration stricte en intégrant cette inégalité, utiliser un résultat classique
sur les intégrales de fonctions continues positives.
Utiliser le théorème de convergence dominée.
Procéder de façon analogue à la question III.2.2. Remarquer de plus que f 
est positive.
Partie IV

IV.1.1 Montrer que la fonction t 7 sin(t)/t se prolonge en une fonction 
continue sur
le segment [ 0 ; 1 ].
IV.1.2 Intégrer par parties en intégrant t 7 sin(t) et en dérivant t 7 1/t. 
Montrer
ensuite que
Z x
cos(x)
cos(t)
x 7 cos(1) -
dt
-
x
t2
1
admet une limite finie lorsque x tend vers +.
IV.1.3 Procéder de façon analogue à la question IV.1.2 en intégrant par parties.
IV.1.4 Utiliser la formule de trigonométrie 2 sin2 (t) = 1 - cos(2t). Remarquer 
que
| sin(t)| > sin2 (t).
IV.2.1 Effectuer le changement de variable u = 1/t dans l'intégrale définissant 
f (x).
IV.2.3 Réaliser le changement de variable u = 1/t.

IV.3 Utiliser la minoration 1 + u > u valable pour tout réel u > 0.

Partie V
V.1.2 Utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
V.1.3 Raisonner par l'absurde et exhiber une suite de fonctions bien choisie 
pour
aboutir à une contradiction.
V.2.1 Pour n  N , majorer fn (t) par une quantité indépendante de t  [ 0 ; 1 ] 
qui
tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

V.2.2 Utiliser les minorations 1 + u > u et | cos(t)| > cos2 (t) valables pour 
tous
réels u > 0 et t.
V.2.3 [HP] Dans cette question et la suivante, la continuité des applications 
d'un
espace vectoriel de dimension infinie dans un autre ne sont plus au programme.
Cependant, les définitions sont identiques au cas de la dimension finie.
Raisonner par l'absurde et utiliser la suite (fn )nN .
V.2.4 Montrer que l'application L est continue en utilisant la caractérisation 
séquentielle de la continuité.

I. Quelques exemples de calculs de longueurs
I.1 La fonction f est de classe C 1 sur le segment [ 0 ; 1 ] car c'est une 
fonction
polynomiale et sa dérivée est donnée par
f  (t) = 1

t  [ 0 ; 1 ]

La longueur de la courbe représentative de f est donc
Z 1
Z 1

2
L(f ) =
1 + 1 dt =
2 dt = 2
0

0

Définissons les points A(0, 0), B(1, 0) et C(1, 1) du plan R2 . Le calcul 
précédent
redonne bien la longueur du segment [ A ; C ] obtenue en appliquant le théorème 
de
Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B.
C (1, 1)

1

f

t
A (0, 0)
En conclusion,

B (1, 0)
L(f ) =

2

I.2 La fonction f est de classe C 1 sur le segment [ 0 ; 1 ] d'après le cours 
sur les
fonctions usuelles et sa dérivée est donnée par
t  [ 0 ; 1 ]

f  (t) = sh (t)

Rappelons que pour tout réel t on a ch 2 (t) - sh 2 (t) = 1 et que la fonction 
ch est
positive sur R de sorte que
q
t  R
1 + sh 2 (t) = | ch (t)| = ch (t)
Par conséquent, la longueur de la courbe représentative de f est
Z 1q
Z 1
1
L(f ) =
1 + sh 2 (t) dt =
ch (t) dt = [sh (t)]0 = sh (1)
0

d'où

0

L(f ) = sh (1)