CCP Maths 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Étude de plusieurs intégrales à paramètre
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, intégrales curvilignes, théorème de Fubini, développements en série entière
Mots clefs intégrales doubles, intégrale de Gauss, intégrale de Wallis

Corrigé

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SESSION 2013 PSIM102

.î- CONCOURS COMMUNS

-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

On note :
. N l'ensemble des entiers naturels.
. R l'ensemble des réels et R+ l'intervalle [O, +oo[.

Pour tout entier naturel n on note n! la factorielle de n avec la convention O! 
= 1.

Objectifs :

L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée rl) 
définie par une intégrale.
Dans la partie 1, on étudie une fonction f et l'on propose un procédé de calcul 
de la limite de f en
+00. La partie II est consacrée à l'étude de deux fonctions (notées h et go) 
qui seront utilisées dans

la partie 111.

1/4

Partie I

Etude d'une fonction et de sa limite

1.1 Etude de la fonction f

On note f la fonction définie sur R par :
f(a:) : / exp(--t2) dt : / e_t2 dt.
0 0
1.1.1 Montrer que f est une fonction impaire dérivable sur R.

1.1.2 Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R. Pour tout entier n E N *, 
on note f(")
la dérivée n-ième de f . Montrer qu'il existe une fonction polynôme p... dont 
on précisera le

degré, telle que pour tout a: E R :
f(n)(âî) : pn(a:) exp(--a:2) .
1.1.3 Que peut-on dire de la parité de pn'?

1.1.4 Démontrer que f admet une limite finie en +oo (on ne demande pas de 
calculer cette

limite). Dans toute la suite du problème, on note A cette limite.

1.2 Développement en série de f

+00 2n--l--l
33
1.2.1 Montrer que pour tout a: E R, on a f(æ) : (--l)"--.
nî=:0 n!(2n + 1)

1.2.2 Expliciter pn (0).

1.3 Calcul de A

Pour tout entier n, on note :
7r/2
Wn : / cos" a: da:.
0
1.3.1 Montrer que pour tout réel u, on a e" 2 l + u.

1.3.2 Soit n un entier naturel non nul. Montrer que :

{(l--u)"îe_nu si u --1

2/4

1.3.3 Démontrer que pour tout entier 72 non nul, on a :

1 n +00 2 +00 dâÎ
/ (l -- 232) da: £ / e_""' da: £ / _2n.
0 0 0 (1 +33 )

1.3.4 En déduire que pour tout 72 E N* :
A
Wn < _ < Wn_ .
2 +1 _ \/ñ _ 2 2

TF
En admettant que Wn +f:Ô . /--n, calculer A.

Partie II

Etude de deux fonctions

II.1 Etude de la fonction h

II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel (9, de l'intégrale :
+oo
h(b) : / cos(2bt) exp(--t2) dt.
0
On note au la forme différentielle définie sur R2 par :
w(a:, y) : e_(oe2_92) (cos(2oey)dæ + sin(2æy)dy) .
II.1.2 La forme différentielle w est-elle exacte sur R2 '?

II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs & et b, on note P le pavé 
de R2 défini
par : 0 S a: S a et 0 5 y 5 b. On note v le bord de P orienté dans le sens 
trigonométrique.

Quelle est la valeur de l'intégrale curviligne / w '?
v

II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de au le long des segments qui 
forment v, déterminer
h(b) en fonction de b et A.

11.2 Etude de la fonction 90

II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction 90 paire et continue sur R en 
posant :

+00 332
g0(a:) : / exp <--t2 -- t_2) dt.
0

II.2.2 Montrer que 90 est de classe C1 sur ]0, +oo[.

3/4

II.2.3 Déterminer une constante oz telle que pour tout a: EUR]O, +oo[ on ait :

@'(ff) = W(æ).
II.2.4 Expliciter gp(a:) pour a: EUR]O, +oo[, puis pour a: E R.

Partie III

Calcul d'une intégrale

III.1 Etude de la fonction @

III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction tb, continue sur R, paire en 
posant :

@@") : /Û+OO cos(2æt) dt.

1+fi

III.1.2 Calculer @ (0).

111.2 Soit p E N * et jp la fonction définie sur R par :

jp(a:) : /Ûpyexp (-- (l + 332) f) dy.

Montrer que ( jp) pEURN est une suite de fonctions continues qui converge 
simplement sur R.

Expliciter sa limite.

III.3 Désormais, & désigne un réel. Soit n E N * et kn fonction définie sur R+ 
par :

kn(y) : /Û yexp (--y2æ2) cos(2aæ) da:.

Montrer que (kn)nEURN* est une suite de fonctions continues qui converge 
simplement sur R+.

Expliciter sa limite.
III.4 Soit un,p : / jp(a:) cos(2aæ) da: avec 71 E N* etp E N*.
0

III.4.1 Justifier l'existence de lim un,p et l'expliciter sous forme d'une 
intégrale.
p-->--l--oo

p
III.4.2 Montrer que un,p : / kn(y) exp (--y2) dy.
0
111.5 Justifier l'intégrabilité sur [D, +oo[ de la fonction y v--> kn(y) exp 
(--y2).

III.6 Calculer @ (33).

Fin de l'énoncé

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE -- 131169 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Benoît Chevalier 
(ENS
Ulm).

Ce sujet en trois parties a pour but d'étudier une fonction définie par une 
intégrale
dépendant d'un paramètre. Hormis la définition de la constante , la première 
partie
n'a pas d'influence sur les deux autres ; la troisième en revanche dépend des 
résultats
obtenus dans la deuxième.
· Dans la première partie, on calcule l'intégrale de Gauss  définie par
Z +

=
exp -t2 dt
0

Pour cela, on étudie une primitive de t 7 exp -t2 afin d'encadrer sa limite
en + au moyen d'intégrales de Wallis (Wn )nN . La valeur de  s'obtient alors
en admettant un équivalent de Wn fourni par l'énoncé.

· Dans la seconde partie, on étudie deux nouvelles fonctions définies par des
intégrales à paramètre,

Z +
Z +
x2
2
cos(2bt)e-t dt et  : x 7
exp -t2 - 2 dt
h : b 7
t
0
0
En calculant l'intégrale curviligne d'une forme différentielle particulière sur
des rectangles de longueur arbitrairement grande, on parvient à expliciter h.
L'étude de la fonction  est plus classique : grâce au théorème de dérivation
sous le signe intégrale, on s'aperçoit que  satisfait une équation 
différentielle
linéaire d'ordre 1, que l'on résout pour exprimer  à l'aide de fonctions 
usuelles.
· La troisième partie se consacre à l'étude, plutôt technique, de l'intégrale à
paramètre
Z +
cos(2xt)
dt
(x) =
1 + t2
0
Grâce au théorème de convergence dominée, la quantité (x) peut s'interpréter
comme une intégrale double sur un rectangle arbitrairement grand ; une 
interversion de l'ordre d'intégration montre alors qu'elle s'exprime en 
fonction de 
et de la fonction  de la deuxième partie.
La résolution de ce problème requiert de maîtriser des théorèmes de régularité
des intégrales à paramètre ainsi que le théorème de convergence dominée pour les
suites de fonctions ; par ailleurs, on y voit apparaître les intégrales de 
Gauss et de
Wallis qui font souvent l'objet de questions aux concours. L'originalité de ce 
sujet,
et peut-être l'une de ses difficultés, réside dans la combinaison de ces 
classiques avec
des points du programme plus rarement abordés, comme les intégrales doubles et 
les
intégrales curvilignes de formes différentielles.

Indications
Partie I
I.1.1
I.1.2
I.1.3
I.1.4
I.2.1
I.2.2
I.3.1
I.3.2
I.3.3
I.3.4

Voir f comme une primitive.
Raisonner par récurrence en montrant que deg pn = n - 1.
Déterminer la parité de f (n) en utilisant le résultat de la question I.1.1.

Comparer t 7 exp -t2 avec la fonction t 7 exp(-t) intégrable sur R+ .
Appliquer le développement en série entière de z 7 exp(z) en z = -t2 , puis
intégrer terme à terme.
Utiliser la relation entre les coefficients du développement en série entière 
de f
et les f (n) (0). On pourra distinguer les cas selon que n est pair ou impair.
Utiliser la convexité de l'exponentielle ou étudier la fonction x 7 ex - (x + 
1).
Appliquer le résultat de la question I.3.1 à -u pour établir la première des
deux inégalités.
Appliquer les inégalités de la question I.3.2 à u = x2 avant de les intégrer.
Exprimer W2n+1 et W2n-2 en fonction des intégrales de la question I.3.3
à l'aide des changements de variables u = sin x et u = tan x respectivement.
Partie II

II.1.1 Comparer cos(2bt) exp -t et exp -t2 .
II.1.2 Montrer que  est une forme différentielle fermée sur R2 , puis utiliser 
le théorème de Poincaré.
II.1.3 Utiliser le résultat de la question II.1.2 et le fait que  est une 
courbe fermée.
II.1.4 Après avoir calculé l'intégrale sur chaque segment du rectangle, 
utiliser la
réponse à la question II.1.3 puis faire tendre a vers l'infini.
II.2.1 Appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
II.2.2 Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale 
que 
est de classe C 1 sur tout segment de la forme [  ; A ] où 0 <  < A.
II.2.3 Exprimer  (x) comme une intégrale puis la reformuler en effectuant le 
changement de variable u = x/t.
II.2.4 Résoudre l'équation différentielle établie à la question II.2.3. 
Utiliser la parité
et la continuité de  pour étendre le résultat sur R.
2

Partie III
III.1.1 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale.
III.2 Calculer explicitement jp (x) au moyen d'une primitive.
III.3 Appliquer le théorème de continuité sous le signe intégrale à la fonction
Z n

n : y 7
exp -x2 y 2 cos(2ax) dx
0

III.4.1 Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions 
(fp )p
où fp : x 7 jp (x) cos(2ax).
III.4.2 Réécrire un,p comme une intégrale double puis utiliser le théorème de 
Fubini.
III.5 Montrer que |kn (y)| 6  pour tout n  N et tout y  R+ .
III.6 Appliquer le théorème de convergence
dominée à la suite de fonctions (qn )n

où qn : y 7 kn (y) exp -y 2 .

I. Étude d'une fonction et de sa limite
I.1

Étude de la fonction f

I.1.1 En tant que composée de la fonction exponentielle et d'une fonction 
polyno2
miale, toutes deux continues sur R, l'application g : t 7 e-t est continue sur 
R.
De plus, par construction, f est la primitive de g sur R qui s'annule en 0. 
Ainsi,
f est dérivable sur R.
Enfin, en utilisant la relation de Chasles puis le fait que g est paire
Z -x
Z 0
Z x
x  R f (-x) =
g(t) dt = -
g(t) dt = - g(t) dt = -f (x)
0

Autrement dit,

-x

0

f est impaire.

Notons que toute primitive d'une fonction impaire est paire, mais que parmi
les primitives d'une fonction paire, la primitive qui s'annule en 0 est la seule
qui soit impaire. On retrouve donc dans la question ci-dessus que la fonction f 
est impaire en tant que primitive s'annulant en 0 d'une fonction paire.
Réciproquement, la dérivée d'une fonction paire (respectivement impaire) est
toujours impaire (respectivement paire).
I.1.2 D'après le raisonnement effectué à la question précédente, on sait que f 
est
dérivable et que

x  R f  (x) = exp -x2

Ainsi f  = g est la composée d'une fonction polynomiale et de l'exponentielle, 
ce qui
entraîne que f  est de classe C  sur R. Pour le dire autrement,
f est indéfiniment dérivable sur R.
Montrons maintenant par récurrence sur n  N la propriété
(
deg pn = n - 1
P(n) :
pn  R[X] tel que

x  R f (n) (x) = pn (x) exp -x2

· P(1) : Prenons p1 le polynôme constant égal à 1. Alors p1 est de degré 0 et

x  R f  (x) = exp -x2 = p1 (x) exp -x2

ce qui démontre P(1).
· P(n) = P(n + 1) : soit n > 1 fixé et supposons que P(n) soit vraie. Cette
propriété exprime f (n) comme un produit de deux fonctions dérivables ; grâce
à la formule de dérivation d'un produit, il vient que pour tout x  R,

f (n+1) (x) = f (n) (x)

= pn (x) exp -x2 + pn (x)(-2x) exp -x2

f (n+1) (x) = [pn (x) - 2xpn (x)] exp -x2

Comme pn est un polynôme de degré n - 1, sa dérivée pn est polynomiale de
degré n - 2, et l'application x 7 -2xpn (x) est polynomiale de degré n. De ceci,
il vient que pn+1 : x 7 pn (x) - 2xpn (x) est bien une fonction polynomiale de
degré n et on a vu que

x  R f (n+1) (x) = pn+1 (x) exp -x2

ce qui montre que P(n + 1) est vraie.
· Conclusion :

Pour tout n  N il existe un polynôme pn de degré n-1 tel

que l'on ait, pour tout x  R, f (n) (x) = pn (x) exp -x2 .

I.1.3 D'après le résultat de la question I.1.1, f est impaire, donc f (n) est 
une fonction impaire (respectivement paire) lorsque n est un entier pair 
(respectivement un
entier impair). De plus, par définition de pn et grâce à la propriété de 
l'exponentielle,
pn (x) = f (n) (x) exp(x2 )

x  R

Ainsi, pn apparaît comme le produit de f (n) par la fonction paire x 7 exp x2 . 
Mais
alors pn et f (n) ont même parité et par conséquent,
La fonction pn est une fonction paire si n est impair et impaire si n est pair.

I.1.4 Comme t 7 exp -t2 est à valeurs positives, f est croissante. De plus, pour
tout x dans [ 1 ; + [ on peut appliquer la relation de Chasles pour obtenir :
Z x
Z 1

f (x) =
exp -t2 dt +
exp -t2 dt
1

0

Par ailleurs, la croissance de l'exponentielle impose que

t > 1,
t2 > t = exp -t2 6 exp(-t)
Z 1
Z x

2
d'où
f (x) 6
exp -t dt +
exp (-t) dt
0
|1
{z
}
exp(-1)-exp(-x)
Z 1

6
exp -t2 dt + exp(-1)
0

Le majorant obtenu étant indépendant de x, ceci montre que f est majorée sur
l'intervalle [ 1 ; + [. Puisque f est
f admet alors une limite en +, ce qui
Z croissante,
+

signifie que l'intégrale impropre
exp -t2 dt est convergente et que
0

lim f (x) =  =

x+

Z

0

+

exp -t2 dt

Incidemment, ceci montre que la fonction g : t 7 exp -t2 à valeurs positives est
intégrable sur [ 0 ; + [. C'est un fait qui sera utile pour la résolution de 
plusieurs
questions à venir.
+
On rappelle
Z +ici qu'une fonction g est dite intégrable sur [ 0 ;  [ lorsque
Z + l'intégrale
|g(t)| dt est convergente ; on dit alors que l'intégrale
g(t) dt

0

0

est absolument convergente. Un résultat du cours assure qu'en cas d'absolue