CCINP Maths 1 PSI 2009

 

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SESSION 2009

A PSIM 102

CONCOURS COMMUNS POlYÎECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce', il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été
amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations :

Pour tout nombre réel x tel que l'intégrale généralisée J 0 00 l:chos_t e--xtdt 
converge, on note ço(x)

la valeur de cette intégrale.

(sint)m

+oo
Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale généralisée JO dt 
converge, on

deægne par Jm sa valeur.

Objectifs :

L'objet de ce problème est d'étudier l'existence et un procédé de calcul 
éventuel de Jm .

La partie I est consacrée à l'étude de la fonction @ pour obtenir un résultat 
qui concerne J1 .
L'étude de l'existence de Jm fait l'objet de la partie II.

La partie III voit la mise en oeuvre d'un procédé de calcul des intégrales Jm 
(lorsqu'elles

convergent).

1/5

PARTIE 1
Étude de la fonction ça

Rappel : Ç0(x)= Jo+oe 1_ÏCZOSÏ e--xtdt.

On désigne par ci (respectivement 5 ) la fonction définie sur [0 ;+oo[ par : d 
(t) =t--l+cost

£_

2 l+cost).

(respectivement 5 (t) :

I.1/ Étude des fonctions d et 5 .

1.1.1/ Étudier la fonction d; en déduire qu'il existe un nombre réel & tel que, 
pour tout

l--cost
!'

nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité :O S S a .

I.1.2/ Étudier la fonction 5 ; en déduire qu'il existe un nombre réel ,6 tel 
que, pour tout

l--cost
12 5,8.

nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité : O S

I.2/ Existence de la fonction ça sur[O ;+oo[ .

+°° l--cost
o t2

Établir la convergence de l'intégrale généralisée J dt . En déduire que ço(x) 
existe pour

tout x appartenant à [O ;+oo[ .

I.3/ Limite de la fonction çaen +oo.

1.3.1/ Préciser le signe de ç0(xl)--ça(x2) pourOSq£x2 . En déduire que la 
fonction ça

admet une limite finie À en +oo .

I.3.2/ Déterminer la valeur de À (on pourra utiliser 1.1.2).

I.4/ Caractère C k de la fonction ça.

I.4.1/ Montrer que la fonctionça est continue sur [0 ;+oo[ .

I.4.2/ Montrer que la fonctionça est de classe C1 sur ]0 ;+oo[ (on pourra 
utiliser 1.1.1).

1.4.3/ Montrer que la fonction (p' admet une limite finie (que l'on précisera) 
en +oo .
1.4.4/ Montrer que la fonctiomp est de classe C 2 sur ]0 ;+oo[ .

1.4.5/ Expliciter ça" (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[.
1.4.6/ Expliciter ço' (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[ . La fonctionço 
est--elle dérivable en 0 '?

2/5

I.5/ Expression explicite de fonction ça(x).

x2
x2+1

1.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction: xl-->ln(x2 +1) (on pourra 
utiliser une

I.5.1/ Déterminer la limite de xln( ) lorsque x tend vers +oo.

intégration par parties).
1.5.3/ Expliciter ça(x) pourx appartenant à ]O ;+oo[.

I.5.4/ Déterminer ça(O) .

PARTIE II

Étude de l'existence de Jm

. +°° (Sim)m +°° 1-- [
Rappel. Jm = JO t dt et ça(x)= JO ;" e--Xtdt .
11.1/ Étude de J % (S...) dt.

0 t

(sh1t)m
l

..., ikt
Pour tout entier relatif k tel que l'intégrale généralisée ! __e_ dt converge, 
on note Ik la valeur

% [

Justifier la convergence de l'intégrale généralisée JÎ dt pour tout entier 
naturel non nul m.

de cette intégrale.

11.2/ Étude de J1 .

Justifier l'existence de J1 et établir une relation entre J1 et ça(O) (on 
pourra utiliser une intégration

par parties, en remarquant que (1 -- cos) ' : sin) .

II.3/ Étude de l'existence de Ik .

Préciser la nature de l'intégrale généralisée Ik selon la valeur de l'entier 
relatif k (on pourra utiliser
une intégration par parties).

II.4/ Étude de la nature de Jm

Pour tout x appartenant à {ï;+oe{ et tout entier relatif k, on note : Ik (x)

2

Il
'------.

II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul m et pour tout nombre réel x 
appartenant à
x (SÏHÏ)m

%-- !

dt àl'aide des intégrales Ik (x).

{%;+oo{ , l'intégrale !

3/5

II.4.2/ En déduire l'existence de J 2 }... pour tout entier naturel p.

+00 (Slfi[)2p

0 [

Il.4.3/ Quelle est la nature de l'intégrale généralisée J-- dt pour p entier 
naturel

non nul?

PARTIE III
Calcul de J

2p+l
III.1/ Un développement de Fourier.

On désigne par x un nombre réel fixé, non multiple entier de 7z , par h)C la 
fonction définie surR , à

valeurs réelles, 27z -- périodique et vérifiant : hx (t) = cos(--£t) pour tout 
le ]--7Z';7ï] .
7r

III.].1/ Calculer les coefficients de Fourier réels an (hx) et bn (hx) de la 
fonction hx .

On rappelle que pour tout entier naturel n :

an(hx) =21; [; hx(t)cos(nt)dt et bn(hx) ='}1£ ffl hx(t)sin(nt)dt.

III.1.2/ Justifier la convergence de la série z (--1)" ----2ÏÊËX_ et déduire de 
Ill.l.l la valeur

2 2 2
"21 X--nîï

+oo

sinx n 2xsinx
de la somme: +Z(--l) 2------5---2--.
x n=l x --n 72.

III.2/ Étude d'un procédé de calcul.

On désigne par f une fonction définie et continue sur [--1 ; l] à valeurs 
réelles ; on suppose de

plus que f est impaire et dérivable en 0.
Pour tout entier naturel non nul n on pose :

,, 2t f (sint)

[2 _nzfl-2

)

. u l'application de |ïO;%--} dans R définie par un (t)=(--l)

III.2.1/ Déterminer la limite de 7" lorsque n tend vers +oo.

III.2.2/ Etablir (pour tout entier naturel non nul n) une relation entre yn et 
,un .

4/5

III.2.3/ Établir la convergence, pout tout ! appartenant à [O ; %} de la série 
Zun (t).
nZl

Désormais on note S (t) : Î un (t) pour tout t appartenant à {O ; %] .

n=l

III.2.4/ Montrer que la fonction S est continue sur {0 ; %] .

III.2.5/ Justifier la convergence de la série Z 7" et l'égalité JÎS(t) dt =Z yn 
.

1721 ":

dt et l'égalité

rm f (sint)

% t

III.2.6/ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée

III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées _[î

J-Ê- f(Slfiî) dt,

0 t

+oo . l -'5 . !
III.2.8/ Exprimer la différence J f(sm ) dt -- [â f(s1n ) dt àl'aide de 
l'intégrale d'une

0 [ sin!
fonction continue sur le segment [O ; %].

III.3/ Application au calcul de J2

p+l .

III.3.1/ En utilisant les résultats obtenus en 111.1 et 1112 retrouver la 
valeur de ]1 (déjà
obtenue en 11.2).

III.3.Z/ CalculerJ3 .

III.3.3/ Plus généralement expliciter J 2 pour tout entier naturel p.

p+l

Fin de l'énoncé

5/5