CCP Maths 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Intégrales Jm=0+∞sinm ttdt
Principaux outils utilisés séries de Fourier, intégration sur un intervalle quelconque, fonctions de la variable réelle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2009

A PSIM 102

CONCOURS COMMUNS POlYÎECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énonce', il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été
amené à prendre.

****

Le sujet comporte 5 pages.

Notations :

Pour tout nombre réel x tel que l'intégrale généralisée J 0 00 l:chos_t e--xtdt 
converge, on note ço(x)

la valeur de cette intégrale.

(sint)m

+oo
Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale généralisée JO dt 
converge, on

deægne par Jm sa valeur.

Objectifs :

L'objet de ce problème est d'étudier l'existence et un procédé de calcul 
éventuel de Jm .

La partie I est consacrée à l'étude de la fonction @ pour obtenir un résultat 
qui concerne J1 .
L'étude de l'existence de Jm fait l'objet de la partie II.

La partie III voit la mise en oeuvre d'un procédé de calcul des intégrales Jm 
(lorsqu'elles

convergent).

1/5

PARTIE 1
Étude de la fonction ça

Rappel : Ç0(x)= Jo+oe 1_ÏCZOSÏ e--xtdt.

On désigne par ci (respectivement 5 ) la fonction définie sur [0 ;+oo[ par : d 
(t) =t--l+cost

£_

2 l+cost).

(respectivement 5 (t) :

I.1/ Étude des fonctions d et 5 .

1.1.1/ Étudier la fonction d; en déduire qu'il existe un nombre réel & tel que, 
pour tout

l--cost
!'

nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité :O S S a .

I.1.2/ Étudier la fonction 5 ; en déduire qu'il existe un nombre réel ,6 tel 
que, pour tout

l--cost
12 5,8.

nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité : O S

I.2/ Existence de la fonction ça sur[O ;+oo[ .

+°° l--cost
o t2

Établir la convergence de l'intégrale généralisée J dt . En déduire que ço(x) 
existe pour

tout x appartenant à [O ;+oo[ .

I.3/ Limite de la fonction çaen +oo.

1.3.1/ Préciser le signe de ç0(xl)--ça(x2) pourOSq£x2 . En déduire que la 
fonction ça

admet une limite finie À en +oo .

I.3.2/ Déterminer la valeur de À (on pourra utiliser 1.1.2).

I.4/ Caractère C k de la fonction ça.

I.4.1/ Montrer que la fonctionça est continue sur [0 ;+oo[ .

I.4.2/ Montrer que la fonctionça est de classe C1 sur ]0 ;+oo[ (on pourra 
utiliser 1.1.1).

1.4.3/ Montrer que la fonction (p' admet une limite finie (que l'on précisera) 
en +oo .
1.4.4/ Montrer que la fonctiomp est de classe C 2 sur ]0 ;+oo[ .

1.4.5/ Expliciter ça" (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[.
1.4.6/ Expliciter ço' (x) pour x appartenant à ]O ;+oo[ . La fonctionço 
est--elle dérivable en 0 '?

2/5

I.5/ Expression explicite de fonction ça(x).

x2
x2+1

1.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction: xl-->ln(x2 +1) (on pourra 
utiliser une

I.5.1/ Déterminer la limite de xln( ) lorsque x tend vers +oo.

intégration par parties).
1.5.3/ Expliciter ça(x) pourx appartenant à ]O ;+oo[.

I.5.4/ Déterminer ça(O) .

PARTIE II

Étude de l'existence de Jm

. +°° (Sim)m +°° 1-- [
Rappel. Jm = JO t dt et ça(x)= JO ;" e--Xtdt .
11.1/ Étude de J % (S...) dt.

0 t

(sh1t)m
l

..., ikt
Pour tout entier relatif k tel que l'intégrale généralisée ! __e_ dt converge, 
on note Ik la valeur

% [

Justifier la convergence de l'intégrale généralisée JÎ dt pour tout entier 
naturel non nul m.

de cette intégrale.

11.2/ Étude de J1 .

Justifier l'existence de J1 et établir une relation entre J1 et ça(O) (on 
pourra utiliser une intégration

par parties, en remarquant que (1 -- cos) ' : sin) .

II.3/ Étude de l'existence de Ik .

Préciser la nature de l'intégrale généralisée Ik selon la valeur de l'entier 
relatif k (on pourra utiliser
une intégration par parties).

II.4/ Étude de la nature de Jm

Pour tout x appartenant à {ï;+oe{ et tout entier relatif k, on note : Ik (x)

2

Il
'------.

II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul m et pour tout nombre réel x 
appartenant à
x (SÏHÏ)m

%-- !

dt àl'aide des intégrales Ik (x).

{%;+oo{ , l'intégrale !

3/5

II.4.2/ En déduire l'existence de J 2 }... pour tout entier naturel p.

+00 (Slfi[)2p

0 [

Il.4.3/ Quelle est la nature de l'intégrale généralisée J-- dt pour p entier 
naturel

non nul?

PARTIE III
Calcul de J

2p+l
III.1/ Un développement de Fourier.

On désigne par x un nombre réel fixé, non multiple entier de 7z , par h)C la 
fonction définie surR , à

valeurs réelles, 27z -- périodique et vérifiant : hx (t) = cos(--£t) pour tout 
le ]--7Z';7ï] .
7r

III.].1/ Calculer les coefficients de Fourier réels an (hx) et bn (hx) de la 
fonction hx .

On rappelle que pour tout entier naturel n :

an(hx) =21; [; hx(t)cos(nt)dt et bn(hx) ='}1£ ffl hx(t)sin(nt)dt.

III.1.2/ Justifier la convergence de la série z (--1)" ----2ÏÊËX_ et déduire de 
Ill.l.l la valeur

2 2 2
"21 X--nîï

+oo

sinx n 2xsinx
de la somme: +Z(--l) 2------5---2--.
x n=l x --n 72.

III.2/ Étude d'un procédé de calcul.

On désigne par f une fonction définie et continue sur [--1 ; l] à valeurs 
réelles ; on suppose de

plus que f est impaire et dérivable en 0.
Pour tout entier naturel non nul n on pose :

,, 2t f (sint)

[2 _nzfl-2

)

. u l'application de |ïO;%--} dans R définie par un (t)=(--l)

III.2.1/ Déterminer la limite de 7" lorsque n tend vers +oo.

III.2.2/ Etablir (pour tout entier naturel non nul n) une relation entre yn et 
,un .

4/5

III.2.3/ Établir la convergence, pout tout ! appartenant à [O ; %} de la série 
Zun (t).
nZl

Désormais on note S (t) : Î un (t) pour tout t appartenant à {O ; %] .

n=l

III.2.4/ Montrer que la fonction S est continue sur {0 ; %] .

III.2.5/ Justifier la convergence de la série Z 7" et l'égalité JÎS(t) dt =Z yn 
.

1721 ":

dt et l'égalité

rm f (sint)

% t

III.2.6/ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée

III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées _[î

J-Ê- f(Slfiî) dt,

0 t

+oo . l -'5 . !
III.2.8/ Exprimer la différence J f(sm ) dt -- [â f(s1n ) dt àl'aide de 
l'intégrale d'une

0 [ sin!
fonction continue sur le segment [O ; %].

III.3/ Application au calcul de J2

p+l .

III.3.1/ En utilisant les résultats obtenus en 111.1 et 1112 retrouver la 
valeur de ]1 (déjà
obtenue en 11.2).

III.3.Z/ CalculerJ3 .

III.3.3/ Plus généralement expliciter J 2 pour tout entier naturel p.

p+l

Fin de l'énoncé

5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) ; il a été 
relu
par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Cette épreuve est consacrée à l'étude des intégrales généralisées de la forme
Z +
(sin t)m
Jm =
dt
t
0
· La première partie du sujet est dédiée à l'étude de la fonction
Z +
1 - cos t -xt
x 7 (x) =
e
dt
t2
0
et en particulier de sa valeur en 0. On y utilise les propriétés des intégrales
généralisées et des intégrales dépendant d'un paramètre.
· En début de deuxième partie, la valeur (0) est reliée au calcul de J1 .
On détermine ensuite pour quelles valeurs de l'entier naturel m la quantité
Jm existe. Pour cela, on ramène le calcul de Jm à celui d'une somme finie
d'intégrales généralisées.
· Enfin, la troisième partie est consacrée au calcul de Jm pour un entier 
naturel m impair, à l'aide de l'étude d'un développement de Fourier et de séries
de fonctions. Un lien avec les intégrales de Wallis émerge finalement.
Le sujet utilise un à un de nombreux points du programme d'analyse et permet
ainsi à chacun de faire le point sur ce qui est déjà acquis et ce qui le sera 
bientôt. En
particulier, la première partie est aisément abordable et met en jeu quelques 
notions
d'analyse de sup.

Indications
Partie I
I.2 Se placer sur [ y1 ; y2 ] avec 0 < y1 < y2 avant de passer à la limite en 0.
Utiliser le critère de domination en +.
I.3.1 Montrer que la fonction  est positive.
I.4.1 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale.
I.4.2 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Se placer 
d'abord
sur [ y ; + [ avec y > 0.
1 - cos t
I.4.3 Majorer
par .
t

I.4.5 Exploiter la relation 1 - cos t = Re 1 - e it .
I.4.6 Appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction  sur 
l'intervalle [ 0 ; x ].
I.5.1

1
x2
=1-
1 + x2
1 + x2

I.5.3 Utiliser la question I.3.2.
Partie II
II.1 Appliquer l'égalité (sin t) = sin t × (sin t)m-1 .
h i

II.2 Se placer sur
; a avec a > puis utiliser la question II.1.
2
2
II.4.1 Penser aux formules d'Euler.
m

II.4.2 Remarquer que 2p + 1 - 2k est impair.
Partie III
III.1.1 Étudier la parité de la fonction hx .
III.1.2 Étudier la régularité de la fonction hx .
III.2.1 La fonction f est bornée.
III.2.2 Décomposer en éléments simples.
III.2.3 La fonction f est bornée.
III.2.4 La somme d'une série de fonctions continues qui converge uniformément 
sur
un intervalle est continue sur cet intervalle.
III.2.5 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions
continues.
k
P
III.2.6 Calculer
n .
n=1

f (t)
au voisinage de 0.
t
III.2.8 Combiner les résultats des questions III.2.6 et III.2.7.
III.2.7 Étudier le quotient

III.3.1 Penser à la fonction identité.

I. Étude de la fonction 
I.1

Étude des fonctions d et 

I.1.1 La fonction d est de classe C  comme somme de fonctions indéfiniment
dérivables. Elle s'annule en 0 (car d(0) = 0 - 1 + cos(0) = 0), et est 
croissante sur
son domaine (puisque d (t) = 1 - sin t > 0), donc est à valeurs positives sur [ 
0 ; + [.
La fonction d tend vers + en l'infini, et est donc non bornée.
La croissance de la fonction d est même stricte car sa dérivée d ne s'annule 
qu'en

les valeurs isolées de la forme + 2n pour n entier naturel. Pour synthétiser,
2
La fonction d est une bijection croissante de classe C  de R+ sur lui-même.
Pour la suite de cette question, on va montrer que  = 1 convient. Soit donc t
un réel strictement positif. On a d(t) > 0, puis 1 - cos t 6 t, donc
1 - cos t
61
t
Il existe un réel  tel que 0 6

1 - cos t
6  pour tout réel t strictement positif.
t

I.1.2 On procède comme à la question précédente. La fonction  est de classe C 
comme somme de fonctions indéfiniment dérivables. Sa dérivée   : t 7 t - sin t 
est
positive car   (0) = 0 - sin 0 = 0 et   (t) = 1 - cos t > 0. On en déduit que  
est
croissante sur son domaine.
02
Comme de plus  s'annule en 0 (en effet (0) =
- 1 + cos(0) = 0) et qu'elle
2
tend vers + en l'infini, on obtient que la fonction  est positive et non 
majorée.
Enfin, la croissance de la fonction  est stricte car sa dérivée   ne s'annule 
qu'en 0.
Pour résumer,
La fonction  est une bijection croissante de classe C  de R+ sur lui-même.
Pour la suite de cette question, on va montrer que  = 1/2 convient. Soit donc t
un réel strictement positif. On a (t) > 0, puis 1 - cos t 6 t2 /2, donc
1 - cos t
1
6
t2
2
Il existe un réel  tel que 0 6

1 - cos t
6  pour tout réel t strictement positif.
t2

I.2

Existence de la fonction  sur [ 0 ; + [

I.2 Soient deux réels y1 et y2 vérifiant 0 < y1 < y2 . En utilisant le résultat 
de la
question précédente, on obtient l'encadrement
Z y2
1 - cos t
06
dt 6 (y2 - y1 ) 6 y2
t2
y1
car les réels , y1 et y2 sont positifs. Par positivité de la fonction t 7 (1 - 
cos t)/t2 ,
l'application
Z y2
1 - cos t
y1 7
dt
t2
y1
définie sur l'intervalle ] 0 ; y2 [ est décroissante. Elle admet donc une 
limite à droite
en 0, qui est finie d'aprèsZ l'encadrement précédent, ce qui démontre la 
convergence
y2
1 - cos t
de l'intégrale généralisée
dt.
t2
0
La fonction t 7 (1 - cos t)/t2 est prolongeable par continuité en 0 par 1/2,
ce qui constitue un autre moyen de prouver son intégrabilité sur [ 0 ; y2 ].

1/t2
Z +
1 - cos t
ce qui assure la convergence de l'intégrale généralisée
dt. On déduit de
t2
y2
ce qui précède que
Z +
1 - cos t
L'intégrale généralisée
dt converge.
t2
0
Par ailleurs, on a

(1 - cos t)/t2 =

O

t+

Pour tous réels positifs ou nuls x et t, on a 0 < e -xt 6 1 . Il s'ensuit 
l'encadrement
Z y2
Z y2
1 - cos t -xt
1 - cos t
06
e
dt 6
dt
2
t
t2
y1
y1
qui, par passage à la limite
la convergence des
Z y2en 0 puis en +, montre
Z successivement
+
1 - cos t -xt
1 - cos t -xt
intégrales généralisées
e
dt puis
e
dt. Finalement,
t2
t2
y2
0
Le nombre (x) existe pour tout x appartenant à l'intervalle [ 0 ; + [.
Une autre solution consiste à dire que pour tout réel positif x, la fonction
t 7 e -xt (1 - cos t)/t2 est intégrable sur R+ car elle est positive, et dominée
par la fonction t 7 (1 - cos t)/t2 intégrable sur R+ .

I.3

Limite de la fonction  en +

I.3.1 Soient deux réels x1 et x2 vérifiant 0 6 x1 6 x2 . On a
Z +
Z +
1 - cos t -x1 t
1 - cos t -x2 t
(x1 ) - (x2 ) =
e
dt
-
e
dt
2
t
t2
0
0
Z +
1 - cos t -x1 t
=
(e
- e -x2 t ) dt
t2
0