CCP Maths 1 PSI 2007

Thème de l'épreuve Étude de l'entier naturel le plus proche de n!/e
Principaux outils utilisés séries, groupe symétrique, théorèmes d'intégration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2007 PSIMIO2

CONCOURS COMMUN!» POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****

Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On note :
' N : l'ensemble des entiers naturels,
* R : l'ensemble des nombres réels,
* e : le nombre réel dont le logarithme népérien est égal à l.

Pour x appartenant à R , on note |xl la valeur absolue de x.

Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n avec la convention 
0! m 1 .

Si j et n sont deux entiers naturels fixes tels que 0.<. j Sn , on note :

* [[j,n]] l'ensemble des entiers naturels k vérifiant j.<...k.<.n,

* le nombre de parties ayant ] elements d'un ensemble de n elements.

j

. . , , n n!
On rappelle que pour tout entier naturel ] element de [[O,n]] on a : m

j j%n--jfl°

Si f est une fonction k fois dérivable sur un intervalle I (avec kZl) on note f 
' (resp. f (k))
sa fonction dérivée (resp. sa fonction dérivée k -ième).

Si u est une application de N dans R , donc une suite réelle, on utilise la 
notation

usuelle : u(n)mun pour tout n appartenant à N .

Scit x un nombre reel, on rappelle que S'il ex1ste un nombre entier p qui 
verifie [ p ------ xl < ------ alors

2
p est l'entier le plus proche de x .

Objectifs :

L'objet du problème est d'une part d'établir, pour tout entier naturel non nul, 
un lien entre
l'entier naturel fin le plus proche de e--1n! et le nombre 7" d'éléments sans 
point fixe du

groupe symétrique f et d'autre part, d'étudier l'écart @ == e'1nl-- fin.

n

Dans la partie 1 on étudie fin et on le caractérise grâce à une récurrence, 
dans la partie II on étudie

% et on établit un lien avec ,Bn . La partie III est consacrée à une estimation 
de 5" puis à une étude

des deux séries 25" et z 5" .

nZO n=1 "

PARTIE I

Les suites a et ,8

On définit la suite a par ao ==1 et la relation de récurrence :

n+l

pour tout n de N : an+l=(n+l)an +(---1)

n +00 n

, , . x x x . .
On rappelle que pour tout x reel, la serre Z-------;-- est convergente, et que 
"T m e ; en particulier
nZO "' n=0 "'
+°° ("l)n --1
pour x==-----l : m e
% "!
k k
" -------1) +°° <----1>
' m ' ( =
Pour n eN, on note. ,Bn ii./ë k! et ,on [@an k! .

I.1/ Étude de la suite a .

1.1.1/ Expliciter ak pour k dans [I0,4]].

1.1.2/ Montrer que an est un entier naturel pour tout n de N .

I.2/ Étude de la suite ,5' .

I.2.1/ Expliciter ,Bk pour k dans [IO,4]].
I.2.2/ Montrer que fin est un entier relatif pour tout n de N .

I.2.3/ Expliciter fln+1--(n+l)fln en fonction de n , pour tout n de N .

I.2.4/ Comparer les deux suites & et ,5' .

1.3/ Étude de p, .
I.3.1/ Préciser le signe de ,on en fonction de l'entier naturel n .

1

g...

n+l

1.3.2/ Etablir, pour tout entier naturel n , l'inégalité suivante : n! ,un

L'inégalité est--elle stricte ?

1.3.3/ Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n 21, fin est 
l'entier naturel le

plus proche de e--1n!.

I.4/ Étude d'une fonction.

On désigne par f la fonction définie et de classe C1 (au moins) sur 
l'intervalle ]------l ; l[ à valeurs

réelles, vérifiant les deux conditions :

f(0)ml et pour tout x de]----l ; l[: (l--x)f'(x)«x f(x)zO.

1.4.1/ Justifier l'existence et l'unicité de la fonction f . Expliciter f (x) 
pour tout x de

]--1 ; l[.
1.4.2/ Justifierl'affirmation : « f est de classe C°° sur ]----1 ; l[ ».

1.4.3/ Expliciter (l...--x) f (x) , puis exprimer pour tout entier naturel n :
(l--x)f(fl+l)(x)--(n+l)f(")(x) en fonction de n et de x.

1.4.4/ En déduire une relation, valable pour tout entier naturel n , entre fin 
et f (,,) (O) .

PARTIE II

La suite 7

Dans cette partie, on désigne par n un entier naturel.
Pour n...>...l on note:

' fn l'ensemble des permutations de [[l,n]],

° ;/n le nombre d'éléments de f sans point fixe (? appartenant à f est sans 
point fixe

n n

si pour tout k de [11,11], on a T(k)$k).

Pour n =O on adopte la convention : 70 ==l .

II.1/ Calculer 71 et 72.

11.2/ Classer les éléments de f3 selon leur nombre de points fixes et calculer 
7/3 .

II.3/ On suppose dans cette question que n = 4 .

II.3.I/ Quel est le nombre d'éléments r appartenant à f4 ayant deux points 
fixes '?

II.3.2/ Quel est le nombre d'éléments r appartenant à f4 ayant un point fixe ?

II.3.3/ Calculer y4 .

II.4/ Relation entre les yk .
II.4.1/ Rappeler sans justification le nombre d'éléments de f " .

II.4.2/ Si 05k.<...n , combien d'éléments de fn ont exactement k points fixes '?

II.4.3/ Etablir pour tout entier naturel n la relation : Z£Zï 7k : n !.
k=0

+oo
II.5/ On considère la série entière Z"--; x" et l'on pose g(x) : Z--"--; x" 
lorsque la série converge.
nZO " ' n=0 " '

II.5.1/ Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est 
supérieur ou égal à l.

II.5.2/ Pour tout x de ]--l ; l[, on pose h(x) =g(x)e".
Justifier l'existence du développement en série entière de la fonction h sur 
]----l ; l[ et

expliciter ce développement.

II.5.3/ Expliciter g(x) pour tout nombre réel x de ]----l ; l[. En déduire la 
valeur du rayon

de convergence de la série 2%-- x" .
nZO " '

II.5.4/ Comparer les deux suites ,5' et 7.
II.5.5/ La fonction g est-elle définie en l ?

II.5.6/ La fonction g est-elle définie en -------l '?

II.5.7/ Calculer ;/8 .

PARTIE 111
Sur 5" === e'ln!«-- ,Bn

Pour tout entier naturel n on note :
' 5" = e"1n!--,Ûn.

' Jn m [;x"exdx.
. v m(----1)"+1J .

n n

III.1/ La série Zvn .

1120

III.1.1/ Quelle est la limite de J " lorsque n tend vers +oo ?

III.1.Z/ Établir la convergence de la série z vn .

nZO

III.Z/ Estimation intégrale de 5" .

III.2.1/ Justifier, pour tout nombre réel x et pour tout entier naturel n , 
l'égalité :

8 ...z% ("x t) e'dt (1).

n.

III.2.2/ Déduire de (l) l'expression de 5" en fonction de vn.

III.3/ Sur la série Zân .

nZO

Justifier la convergence de la série z 5" ; la convergence est-elle absolue ?

nZO

n21 "

l
III.4.2/ On pose A :: ------JO ex ln(l -- x) dx.

III.4.2.I/ Justifier la convergence de l'intégrale impropre A .

III.4.3/ Justifier la convergence de la série z

et expliciter la somme
1120 " !(ïl + 1)

Î (----1)"

n=Oïl!(ïl+1)n=l "

III.4.4/ Expliciter un nombre rationnel £-- vérifiant
']

+00
ZJËL...
n=l "

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan) ; il a été relu 
par
David Lecomte (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

L'épreuve se découpe en trois parties dont les deux dernières dépendent de la
première. Son but est d'étudier l'entier naturel le plus proche de e-1 n !. Le 
sujet
met en oeuvre différents types de séries étudiés en cours (séries alternées, 
séries de
fonctions, séries entières...) et permet de manipuler les grands résultats du 
cours qui
leur sont afférents. Il n'y a pas de difficultés majeures et ce problème précis 
et directif
constitue un excellent entraînement pour vérifier ses connaissances de cours.
· La première partie se consacre à l'identification de l'entier naturel le plus 
proche
de e-1 n !, noté n , et à sa caractérisation par une relation de récurrence. 
Elle est
l'occasion de se remémorer les subtilités du critère spécial des séries 
alternées
et se conclut par l'étude d'une fonction solution d'une équation différentielle.
· La seconde partie est dédiée au nombre n de bijections de [[ 1 ; n ]] n'ayant
P n n
aucun point fixe. Par l'étude de la série entière
x , on relie n à n .
n!
Cette partie commence par du dénombrement et la classification des bijections
de [[ 1 ; n ]] en fonction du nombre de leurs points fixes, pour finir par 
l'utilisation
de fonctions développables en série entière.
· La dernière partie propose une estimation de l'écart n = e-1 n! - n à l'aide
Z 1
de l'intégrale
xn ex dx pour se consacrer par la suite à l'étude de deux séries
0

P
P n
. Voilà une bonne occasion de vérifier sa dextérité
particulières n et
n
en matière de relations entre séries et intégrales ; la question III.4.3 
demandera
une attention toute particulière.

Indications
I.

Les suites  et 

I.1.2 Remarquer que pour tout n > 2, n > 1.
I.2.1 Utiliser l'expression de la somme définissant .
I.2.2 Montrer que si k 6 n, k ! divise n !.
I.2.3 Utiliser la définition de .
I.2.4 Montrer que  et  vérifient la même relation de récurrence.
I.3.1 Relier n à une série alternée.
I.3.2 Exprimer |n | en fonction de n puis mettre en évidence les trois premiers
termes de la somme définissant n .
I.3.3 Relier n à n! e-1 et n et utiliser la question I.3.2.
I.4.2 Montrer que f est produit de fonctions C  sur ] - 1; 1[.
I.4.3 Dériver n fois la fonction g de deux manières différentes.

I.4.4 Montrer que les suites f (n) (0) nN et (n )nN vérifient la même relation
de récurrence.

II.

La suite 

II.1 Décrire les éléments de S1 et S2 et déterminer ceux qui n'ont pas de
points fixes.
II.2 Décrire les éléments de S3 et les classer en fonction de leur nombre de
points fixes.
II.3.1 Relier le nombre d'éléments de S4 ayant exactement deux points fixes au
nombre de paires possibles d'éléments de {1; 2; 3; 4}.
II.3.2 Chercher une expression du nombre de permutations de S4 ayant exactement 
un point fixe en fonction de 3 .
II.3.3 Trouver une partition de S4 adaptée au problème.
II.4.2 S'inspirer de la question II.3.2.
II.4.3 S'inspirer de la question II.3.3.
II.5.1 Utiliser le fait que l'ensemble des éléments de Sn n'ayant aucun point 
fixe
est une partie de Sn .
II.5.2 Écrire h comme produit de séries entières sur un intervalle à définir.
II.5.3 Reconnaître le développement en série entière d'une fonction classique.
II.5.4 Utiliser la question I.4.4 et relier les coefficients de la série 
entière aux dérivées successives de f .
P n
II.5.5 Étudier le comportement du terme général de la série
.
n!
II.5.6 Même idée qu'à la question II.5.5.
II.5.7 Utiliser la question II.5.4.

III.

Sur  = e-1 n! - n

III.1.1 Appliquer le théorème de convergence dominée.
III.1.2 Utiliser le critère des séries alternées.
III.2.1 Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral.
III.2.2 Évaluer l'expression obtenue à la question III.2.1 en -1 puis effectuer 
un
changement de variable.
P
III.3 Étudier la convergence de la série Jn : supposer par l'absurde que cette
série converge et utiliser le théorème de sommation terme à terme.
III.4.1 Utiliser la question I.3.2 pour majorer |n |.
III.4.2.1 Montrer que e ln(1 - x) est négligeable devant une fonction 
intégrable en 1.
|n |
à Jn pour utiliser le théorème de sommation terme à terme.
III.4.2.2 Relier
n
P xn+1
III.4.3 Introduire la série entière
. L'exprimer sous forme d'une inn ! (n + 1)2
tégrale. Évaluer l'égalité obtenue en -1 puis modifier l'intégrale pour faire
apparaître A à l'aide d'une intégration par partie et de changements de
variables.
P |n |
III.4.4 Relier
à une série alternée. Utiliser le critère des séries alternées.
n

I. Les suites  et 
I.1.1 Il s'agit ici de calculer les premiers termes de la suite  en utilisant 
la relation
de récurrence qui la définit. Par définition
0 = 1
1 = 1 × 0 + (-1)1

Comme

et 2 = 2 × 1 + (-1)2

il vient

1 = 0 et 2 = 1

et de la même manière

3 = 2

et 4 = 9

I.1.2 D'après la question I.1.1, 0 = 1 et 1 = 0 sont dans N. Montrons que la
propriété P(n) est vraie pour tout n > 2 avec
P(n) :

n  N

· P(2) est vraie d'après la question I.1.1 : 2 = 1.
· P(n) = P(n + 1) : Par définition,
n+1 = (n + 1) n + (-1)n+1
Comme n est entier selon P(n), n+1  Z. De plus, n > 1 d'après l'hypothèse de 
récurrence et donc
n+1 > n + 1 - 1 > 1
Ainsi, n+1  N .
· Conclusion :
En résumé

n > 2

n  N

n  N

n  N

Ici, la propriété montrée est plus précise que celle que demande l'énoncé.
Montrer par récurrence la proposition « n  N » n'est pas impossible mais
délicat. En effet, si on sait uniquement que n  N, le raisonnement utilisé
dans le corps de la récurrence ci-dessus conduit à n+1 > -1. Pour s'en sortir,
la parité de n doit être prise en compte. De façon plus précise, il faudrait
montrer la propriété « 2n et 2n+1 sont des entiers naturels ». Il est facile
de montrer que 2n  N, mais il est nécessaire de savoir que 2n > 1 pour
conclure que 2n+1 > 0. Cela demande de prendre plus de précautions dans
la rédaction de la récurrence.
I.2.1 Par définition de la suite ,
0 = 0 !

0 (-1)k
P
(-1)0
= 0!
0!
k=0 k !

1 = 1 !
0 = 1

De même

2 = 1

1 (-1)k
P
= 1!
k=0 k !

(-1)0
(-1)1
+
0!
1!

1 = 0

3 = 2

4 = 9