CCP Maths 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme de C0(R,R)
Principaux outils utilisés intégration, dérivation, suites et séries de fonctions, valeurs propres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 PSIMIO4

A

CONCOURS 'COIIUNS POlYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FlLOERE PSI

MATHEMATIQUES 1 __

Durée : 4 heures

Les calculatrices s0nt autorisées.

_;****

NB. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****\
Notation et Objectifs :
On note :
. " N , l'ensemble des nombres entiers naturels,
* IR : l'ensemble des nombres réels,
' C : l'enSeiane des nombres complexes,
' EUR" : le IR . --y espace vectoriel des fonctions continues de IR dans IR , , 
_» _
' @Ï : le sous--espace vectoriel de @" des fonctions f 1--périodique 
_(c'est-à--dire

, telles que f(x+1) =_f(x) , pour tout 26 EUR R)f

Dans tout ce problème, on désigne par 0 l'application de (60 dans @»,définie 
par ;

» ' x 1' ° "
pour tout f EUREUR°, 9( f )=F où F est la fonction de IR dans IR qui à x, 
associe [ + f (t)dt.

On admet que 0 est un endomorphisme de EUR" , '

L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés de la fonction F et 
de l'endomorphisme 9 .

I.l/

1.2/

1.3!

PARTIE 1
Quelques proprietes de F 50( f )

Exemples. , .
LL 1/ Expl1citer F ( ), si f est définie sur R par f (t)=l.

' 1.1.2! Expliciter F (x), si f est définie sur R par f (t)=t." (où k est fixé 
dans N ").

Variation de F : 9(f ) .

On désigne maintenant par f une fonction arbitraire de EUR" .

1.2.1/ Montrer que la fonction F est de classe @ sur R . Expliciter F '(x) en 
fonction
de f et de x.

1.2.2/ Montrer que si la fonCtion' f Y eSt croissante (respectivement 
décroissante) sur un
intervalle .],0 = (x,, +oe[ , alors la fonction F , est croissante 
(respectivement

décroissante) sur J "o .

1.2 .3I Montrer que la fonction F: 9( f ) est constante sur) IR si et seulement 
si f
appartient à EUR". *

1.2.4/ Expliciter F (x ), si f est définie sur R P" f() =|sin( '")|

On suppose de nouveau que f désigne une fonction arbitraire de EUR" .

1.2. 5/ On suppose que la fonction f adma une limite finie L en +00.

Montrer que la fonction F admet une limite L2' (que l'on explicitera) en +00; on
pourra étudier d'abord le cas où L,-- --- 0 .

Propriétés du graphe de F .
Soient f &" .. F = 9( f).

On considère la fonction w définie sur R par V(u)= F (u-- â)-- -- _ _( "% f 
(t)dt

1.3.1/ (Comparer w(---u) et w (u) , si la fonction f est impaire 
(respectivement paire).

1.3.2/ Quelle propriété géométrique de la représentation graphique de la 
fonction F peut--on
déduire des résultats obtenus en 1.3.1, si la fonction f est impaire 
(respectivement
paire) ? *

I.4/ Étude d'un exemple.

_. _ _ - +oo, "'--"kt2' : , ' '
' Soit f (t) 2 62 ,pour t réel.
k=1 k +1

1.4. 1/ Montrer que la fonction f est définie et continue Sur IR.

. 1.4.2/ La fonction f est-elle de classe @; sur "R ?"

1.4.3/ La fonction f admet--elle une limite en +oo ? Si oui, laquelle ?;..._

I.4.4/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction f (on ne 
cherchera

pas à préCiser f (O)).

1.4.5/ La fonction f est--elle intégrable sur ' lR '? ' v

I.4.6/ SOit F=a( f). 4 * _, . , . ._
I.4.6.1/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction F .

1.4. 6. 2/ La fonction F est--elle integrable sur R ?
(on pourra comparer F (x ) et f (x ) pour x appartenant à ]R )

PARTIE II

L'endomorphisme EUR

11.1/ L'endomorphisme 6 est-il surjectif '?

II.2/ Sur le noyau de 0 .

On note désormais Ker0 le noyau de l'endomorphisme 93 ...

11.2.1/ Montrer que feKer0c>[ fè@Î et ];f(t)dt=0 ]
11.2.2/ Soit ( f,g)e('EUR3)2. On note l

II.3/ Sur le'spectre de 0 . , ,
' On note Sp (EUR) l'ensemble des Valeurs propres réelles de l'endomorphisme 0 .

' Si a est un nombre réel fixé, en note ha la fonction définie sur R par ha (t) 
= e'".
II.3.1/ Montrer que'chaque ' ha est un vecteur propre de l'endomorphisme 9 .

e --1 pour uen".

11.3.2/ Étudier les variations de la fonction u H
. . . . u

"11.3.3/ Expliciter l'ensemble [Sp(0)](le+ .

PARTIE 111

Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme 9 '
' Soit A une valeur propre de l'endomorphisme 0 .
On note E A le sous--espace propre associé à la valeur propre it qui est fixée 
dans toute cette
partie. *
On suppose A > O.

III--.Il Soit k EUR N' . On note Ik l'intervalle ]2k75,(2k + 1) 7r[ .

On pose, pour tout t de l'intervalle Ik : g(t) == t(£$£î--)+ ln(%%£) , où ln 
désigne la fonction
. , sm
. logarithme népérien. *

Ill.l.llSoit p la fonction définie sur Ik , par : p(t) == tsin(2t)--t2 ---sin2 
t. _

Étudier la fonction p sur Ik et préciser son signe.
III.1.2/ Montrer que g définit une bijection de Ik sur un intervalle de R à 
préciser.

On se propose de montrer l'existence, dans E A , d'une suite (non» triviale) ( 
fk )keN. de fonctions

propres. '

un! soit * y = a +ib, où (a,b) EUR Rx_]0,+oe[ .
' V . « x+l
111.2.1/ Soit xelR. Calculer , [ e"dt.
, III.2.2/ À quelle condition nécessaire et Suffisante la fonction il de R dans 
R définie

par h(t) : e"' cos(bt) est--elle un vecteur propre de l'endomorphisme , 9 
associé
à la valeur propre il '? '

III.3/ En déduire une suite ( fk ) k eN. de fonctions propres de 
l'endomorphisme 0 .

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par Paul
Pichaureau (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford).

Dans ce problème, on propose d'étudier l'endomorphisme de C 0 défini par

Z x+1
0
 : f  C 7- F : x 7
f (t) dt
x

Peu d'outils d'algèbre linéaire sont nécessaires pour la résolution de ce 
problème.
En effet, l'endomorphisme  est défini sur un espace vectoriel de dimension 
infinie,
alors que la plupart des théorèmes au programme portent sur la dimension finie.
En revanche, il nécessite une bonne connaissance des principaux théorèmes 
d'analyse.
L'épreuve se compose de trois parties.
· Dans la première partie, on étudie des propriétés de F = (f ), plus 
particulièrement sa monotonie, sa régularité, sa limite éventuelle en l'infini, 
ainsi que
quelques propriétés de son graphe. Cette partie se termine par un exemple
faisant intervenir une série de fonctions.
· Dans la deuxième partie, on étudie les éléments du noyau de . On montre
également que tous les réels positifs sont valeurs propres de l'endomorphisme.
· Enfin, dans la troisième partie, on construit une suite de fonctions qui sont 
des
vecteurs propres de  associés à une même valeur propre .
La première partie ne pose pas de difficulté technique particulière, mais elle 
est
relativement longue et demande de la rigueur dans la rédaction. L'étude de 
l'exemple,
en particulier, demande des applications directes des théorèmes de régularité 
des
suites de fonctions, et du théorème de convergence dominée, théorèmes qu'il est 
indispensable de maîtriser. Savoir traiter cette première partie en entier et 
correctement
devrait être l'objectif à atteindre pour les élèves moyens. Les parties II et 
III sont
plus difficiles et demandent davantage d'initiative. La question III.2.2, en 
particulier,
demande de la dextérité dans les calculs impliquant des nombres complexes.

Indications
I.

Quelques propriétés de F = (f )

I.2.4 Montrer que F est constante et calculer F(0).
I.2.5 Montrer que F admet la même limite que f en +.
I.4.1 Montrer que la série définissant f est normalement convergente sur R.
2

I.4.2 Calculer la valeur maximale de t 7 te -kt pour montrer la convergence 
normale de la série dérivée.
I.4.3 Montrer que lim f (t) = 0.
t+

I.4.5 Utiliser le théorème de convergence dominée.
I.4.6.2 Majorer F par f sur R+ .
II.

L'endomorphisme 

II.1 Utiliser la question I.2.1.
Z n+1
P
n (t)
dt et en déduire que Wn est absolument
II.2.3.2 Remarquer que Wn =
2
t
n
convergente.
P
II.2.3.3 P
Montrer que la série Wn a le même comportement que la série harmonique
1/n.
III.

Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme 

III.1.2 Pour étudier g aux bornes de Ik , poser u = t - 2k et v = (2k + 1) - t.
Z

III.2.2 Calculer h(t) dt en remarquant que Re e (a+ib)t = e at cos (bt). 
Expliciter

ensuite une condition sur K  C pour que t 7 e at Re Ke ibt soit proportionnelle 
à h. Faire ensuite apparaître g dans les deux expressions trouvées.
III.3 Manipuler les équations trouvées à la question précédente afin de faire 
apparaître une équation sur g(b). Utiliser ensuite la question III.1.2 pour 
trouver
une infinité de ak et bk tels que les t 7 e ak t cos (bk t) soient des vecteurs
propres de l'endomorphisme  associés à une même valeur propre .

I. Quelques propriétés de F = (f )
Certaines questions de cette partie peuvent sembler être très simples.
Cependant, il faut bien faire attention à en rédiger les réponses correctement.
Par exemple, avant de calculer la dérivée d'une fonction, on doit 
systématiquement préciser que f est bien dérivable.
Il est également très mal vu, par exemple, de confondre la fonction f
avec l'image d'un élément f (t) par cette même fonction.
I.1.1 Si la fonction f est définie sur R par f (t) = 1, alors
Z x+1
x+1
x  R
F(x) =
1 dt = [t]x = x + 1 - x = 1
x

d'où

x  R

F(x) = 1

I.1.2 Si la fonction f est définie sur R par f (t) = tk , alors
 k+1 x+1
Z x+1
t
k
x  R
F(x) =
t dt =
k
+1 x
x

d'où

x  R

F(x) =

(x + 1)k+1 - xk
k+1

I.2.1 Notons  une primitive de f . Comme f est continue,  est C 1 . De plus,
on peut écrire
x  R

F(x) = (x + 1) - (x)

Par composition et addition de fonctions C 1 , F est C 1 . En outre, on a
x  R
d'où

F (x) =  (x + 1) -  (x)
F (x) = f (x + 1) - f (x)

x  R

I.2.2 Supposons que f soit croissante sur un intervalle [ x0 ; + [. Alors
x > x0
d'où

x > x0

f (x + 1) > f (x)

F (x) = f (x + 1) - f (x) > 0

donc F est croissante sur [ x0 ; + [. On en déduit
f croissante sur [ x0 ; + [

=

F croissante sur [ x0 ; + [

=

F décroissante sur [ x0 ; + [

On montre de même que
f décroissante sur [ x0 ; + [

I.2.3 La fonction F étant C 1 , on a
F constante

d'où

F (x) = 0
f (x + 1) = f (x)

x  R
x  R

F constante

f  C10

I.2.4 Si f est définie sur R par f (t) = |sin (t)|, alors
t  R

f (t + 1) = |sin ((t + 1))|
= |sin (t + )|
= |- sin (t)|
= |sin (t)|
f (t + 1) = f (t)

On en déduit que f appartient à C10 , donc que F est constante d'après la 
question
I.2.3. Par ailleurs,
Z 1
F(0) =
|sin (t)| dt
0

Z

=

1

sin (t) dt

0

car t 7 sin (t) est positive sur [ 0 ; 1 ] ; d'où

1
- cos (t)
2
F(0) =
=

0
F étant constante, on en déduit
t  R

F(t) =

2

Les valeurs absolues posent souvent des problèmes à de nombreux étudiants. Bien 
souvent, la seule chose à connaître sur la valeur absolue est sa
définition :
· si v > 0 alors |v| = v
· et si v < 0 alors |v| = -v
Ensuite, pour manipuler |v|, on est bien souvent amené à étudier deux cas,
selon que v > 0, ou que v 6 0. Par exemple, pour calculer l'intégrale de |f |
sur un intervalle I, on commence par déterminer les sous-intervalles Ik de I
sur lesquels
t  Ik

f (t) > 0

et on note A = Ik . On peut ensuite écrire
Z
Z
Z
|f | =
|f | +
|f |
I

A

=

Z

A

IrA

f-

Z

f

IrA