CCP Maths 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Étude de la série entière des restes d'une série entière convergente; calcul d'un déterminant d'ordre n
Principaux outils utilisés série numérique, série entière, théorème de convergence dominée, produit scalaire, intégration

Corrigé

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SESSION 2001 psmo4

A

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures
MMM--__--

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n° 99--186 du 16.11.99 -- BOEN n°42 du 25.11.99.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l'un de l'autre.

PROBLÈME 1

+00
Etant donné une série convergente Euk (x), on note R,, (x): Euk (x) son reste 
d'ordre n, pour
k

kZO =n+l
n E N et on se propose d'étudier la série ZR" (x).
nZO
PARTIE I
1.1. On suppose que u k (x) = (-- 1)k x" , où x EUR R.

k

1.1.1. Déterminer l'ensemble 1 des x EUR R tels que la série Z(-- 1)kx converge 
et préciser sa

, k20
+oo

somme 2 (-- 1)kxk pour x E I.
k=0 '

1.1.2. En supposant que x E I, expliciter R,,(x), montrer que la série 2Rn (x) 
converge et
nZO

+oo
calculer sa somme S (x) = 2 R,, (x).
n=O

Tournez la page S.V.P.

1.2. On conserve les notations du 1.1 :

uk (x) = (-- l)k x" , R.. (x) : Î(-- l)kx" pour n E N et on pose R--1 (x)= Î(-- 
l)kxk. On considère
k=n+l _ k=O

1)

(_ k+l . (_ 1)k+l
par ailleurs la série 2---- et on pose : r" = Î --------------- pour n E N. On 
se propose d'établir la

kZl k k=n+l k

convergence de la série 2 r,, et de calculer sa somme.
1120

.. ,. --1k" . .
1.2.1. Justifier la convergence de la senc 2( ) et par su1te l'ex1stence de r,, 
pour tout

k21 k
ne N.

1.2.2. Soit (mm) 5 N2 avec n.<.m et 10: [O, 1[.

1.2.2.1. En remarquant que Î(-- l)k x" = Rn--l (x)--- R... (x) , montrer que 
pour tout x EUR 10 on a
k=n

Z (-- 1)" x"

k=n

l'inégalité : S 2.

1.2.2.2. L'entier n étant fixé, déduire en particulier de 1.2.2.1 que :

l... lim (Ë("l)kxk]a= lim É JIO(_1)kxkdx

m--->+oo "="

et par suite que r,, : J 10 R,... (x) dx.

1.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de ra.

1.2.2.4. Montrer que pour tout couple (m, x) EUR N x 10 on a l'inégalité :

âR.-.(x)

SZ.

1.2.2.5. Déduire en particulier de 1.2.2.4 que la somme î [ 10 R... (x)dx admet 
une limite
=o

lorsque m tend vers + oo.

En déduire que la série 2 rn converge et calculer sa somme Î r,, .

nZO n=O

- PARTIE 11

Une égalité sur les restes ; quelques applications.

11.1. Egalité sur les restes.

+oo
Lorsque la série numérique 2uk converge, on note toujours R,, : Euk son reste 
d'ordre n.
kZl . k=n+l

Soit Euk une série convergente ; exprimer pour n E N la différence ËRk -- Ëkuk 
en fonction de
k21 k=O k=l
n et de R,. .

11.2. Application à une suite.

__1 +1
Montrer qu'il existe deux réels on et [3 tels que Ë(n--k)(--k----= a n + B + 
o(l) lorsque n tend
k=l

vers--+00.

11.3. Application à une série à termes positifs.

On suppose de plus que u k ?. 0 pour tout k & N*.

11.3.1. Montrer que la convergence de la série ZR}. entraîne la convergence de 
la série 2kuk .
k20 k21

11.3.2. On suppose que la série Ekuk est convergente. Quelle est la limite de 
la suite (n+l)Rn
k21
lorsque n tend vers + oo '?

11.3.3. Déduire de ce qui précède que les deux séries ZR}. et Zkuk sont de même 
nature et
k20 k.>.l

lorsqu'elles convergent comparer alors leurs sommes É R,. et Îkuk .
k=0 k=1

11.4. Application àla série E--lx-- .
k21 k

On suppose maintenant que uk (x) = -----1-- pour k E N* et xe D = ] 1,+oo [.

kx
+oo
On note toujours Rn (x) = 2 7}; le reste d'ordre n et on pose {: (x) : î}%x_ 
pour x E D.
k=n+l k=1 '

Préciser l'ensemble D1 des x E D tels que la série 2Rn (x) soit convergente et 
exprimer,
nZO

pour x & D1, la somme É R,, (x) à l'aide de la fonction Ç .
n=O

Tournez la page S.V.P.

.*:v.w ....WW--w--mü--'umnùïäà -- ( 'N- " ""

11.5. Application à une série entière.

On suppose maintenant que uk (x)= ak x" , où (ak)ke... désigne une suite de 
nombres réels et où

x E R. On désigne par p le rayon de convergence de cette série entière, on 
suppose p > 0 et on note
+oo

f(x)=2akxk pour x E ]- p, p [.
k=l

Il.5.l. Soit x E ]-- p, p [ ; justifier la convergence de la série Ekakxk ; en 
déduire que la suite
k21

(n+l)R,,(x) admet une limite lorsque n ---> +00 (et préciser cette limite).

Il.5.2. En déduire que la série 2Rn (x) est convergente pour x EUR ]-- p, ,0 [ 
et exprimer sa somme
nZO
+00

2 R,! (x) à l'aide de x et de la fonction f.
n=0

Il.5.3. Exemple : on suppose que ak: sinQr--%) + 71c-- cos(k%) pour k & N*.

Il.5.3.1. Déterminer alors le rayon de convergence p de cette série entière.

Il.5.3.2. Expliciter la somme É R,, (x) pour x E ]-- p, p [ (en justifiant le 
résultat).
n=0

PROBLÈME 2

Notations :

- k! . .
Pour k E N, j EUR N et 0 5 j 5 k , on note C,{ : ---- le coefficient bmom1al 
(avec O! = 1).

j! (k -- j) !
Si 11 E N on note [[O,nH l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 5 k 5 n ; 
on désigne par

M...(R) l'anneau des matrices carrées d'ordre n + 1 à coefficients dans R.
Si M EUR M,...(R) on note M = (m...-) avec (i, j) EUR HO,nH2 ou mi,}. désigne 
l'élément de la lignei et
dela colonne j.

Pour n E N* on considère la matrice W,, = (w.--, j) EUR M...(R), (i, j) EUR 
[[O,n]]2 avec w;_ jdéfifliC par:
si i +j est pair: i +j : 2p alors wi,j=--2--lêp--Câp
si i + j est impair alors w,; ]" = 0

On se propose de calculer le déterminant de W,, noté det W,.

PARTIE 1

1.1. Expliciter la matrice W3.

1.2. Calculer det W3.

TZ

1.3. Pourm E N on note ] ... = [ cos'" t dt.
0

1.3.1. Calculer Jo et J1.

1.3.2. Etablir une relation entre J...2 et ]m pour m E N.

Quelle est la valeur de sz+1 pour p E N '?

1.3.3. Expliciter sz en fonction de p et du coefficient binomial C2",) pour p 6 
N.

1.3.4. Exprimer w...-- en fonction de J... , de i et de j pour tout couple (i, 
j ) & fi0,n]]2.

Tournez la page S.V.P.

PARTIE II

On considère l'espace vectoriel E : Ë([O, Tt], R) des fonctions continues sur 
l'intervalle [O, n] à
valeurs dans R. On considère sur E le produit scalaire <-/ '> défini par :

pour(f, g)e EZ:  : % [ f(t) g(t) dt.
0

On définit deux suites (ek )keN et (vk )keN d'éléments de E par:

pour tout te [O, %] eo(t) : v0(t) : 1 et pour k.>. 1 ek (t) : «/îcos(kt), vk 
(t)= cos" (l).

Pour m E N on note H...(e) le sous--espace vectoriel vect (eo, el, ..., e...) 
(sous--espace vectoriel de E
engendré par la famille (8j)jg[[Q ,... ).

On note, de même, H...(v) le sous--espace vectoriel vect (vo, vl, v...).

11.1. Calculer les produits scalaires < e,-- /ek > pour (i. k) EUR HO,mH2.

11.2. En déduire que pour tout m E N la famille (ej)jeug, ,... est une base de 
H... (EUR).

11.3. Soit m & N ; montrer que V... E H... (e), c'est--à--dire que V... = îÿi,m 
e,-- ; expliciter q..._... (on ne

i=0
cherchera pas à calculer q... pour 0 S i _<_ m-1).

11.4. Démontrer l'égalité H...(e) : H...(v) pour tout m E N.

11.5. Pour m 6 N on note d... la distance de vm+1 au sous--espace vectoriel 
H...(e) (pour la distance
associée au produit scalaire défini au début de la partie 11).
Déduire de ce qui précède la valeur de d... .

n
11.6. Soit n G N* ; pour (i, j) & [[O,n]]2 on note vj : eqj ei et on pose alors 
:
'--0

' Qn : (qi,j)e Mn+l (R)
avec (i, j)e [10,nIP.

11.6.]. Calculer det Q,, pour n E N*.
11.6.2. Calculer det W,2 pour n E N*.

Fin de l'énoncé.

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CCP Maths 1 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Desreux (ENS Ulm) et Nicolas Andraud
(Mines de Paris) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et David Lecomte
(ENS Cachan).

Cette épreuve, composée de deux problèmes indépendants, demande peu de 
connaissances techniques ; de surcroît, le travail est très bien guidé par des 
questions précises
et progressives.
En revanche, on a souvent besoin de faire appel aux résultats de questions déjà
traitées et il est essentiel de prendre un peu de recul vis-à-vis de l'énoncé 
pour comprendre où il nous mène. En outre, plusieurs questions exigent beaucoup 
de rigueur.
C'est donc un excellent entraînement aux épreuves écrites.
· Le premier problème propose l'étude de la série des restes d'une série 
convergente. Après une mise en jambe facile, on montre à la question II.1 une 
identité
que l'on utilise ensuite pour l'étude : d'une suite, des restes des séries à 
termes
positifs, des restes de la fonction  et enfin des restes d'une série entière.
· Le second problème propose de calculer le déterminant de la matrice de terme
général

 1 Cp si i + j est pair (i + j = 2p)
2p
wi,j = 22p

0
sinon
Z 
À cette fin, on exprime wi,j en fonction d'une intégrale de la forme
cosk t dt
0

(qui doit faire penser aux intégrales de Wallis), ce qui introduit une étude de
nature euclidienne au moyen du produit scalaire (usuel)
Z
1 
hf | gi =
f (t)g(t) dt
 0

Indications

Premier problème
I.1.1 La série est géométrique.
I.2.1 Utiliser le théorème des séries alternées.
I.2.2.2 Utiliser le théorème de convergence dominée.
I.2.2.5 Utiliser à nouveau le théorème de convergence dominée.
n
P
II.1 Remarquer que Rk = Rn +
up pour tout k  [[ 0 ; n ]] ou raisonner par
p=k+1

récurrence.

II.2 Poser uk = (-1)k+1 /k et utiliser la question précédente sous la forme -

n
P

k uk = . . .

k=1

II.3.1 Remarquer (à l'aide de la question II.1) que

n
P

k uk est compris entre 0 et

k=1

P

Rk .

k=0

II.3.2 Encadrer (n + 1)Rn en remarquant que
k > n + 1

(n + 1) uk 6 k uk

II.4 Utiliser la question II.3.3.
II.5.1 Une série entière est dérivable terme à terme sur son intervalle 
(ouvert) de
convergence.
II.5.3.1 Remarquer que (ak ) est bornée, ou trouver un équivalent.
II.5.3.2 Passer en complexes.
Deuxième problème
I.3.2 Intégrer Jm+2 par parties (m + 2 = 1 + (m + 1)).
I.3.3 Construire une formule empirique et la compléter en ajoutant les termes
pairs.
II.1 Linéariser le produit de cosinus.
II.2 La famille est orthonormale, donc. . .
II.3 Utiliser la formule d'Euler puis la formule du binôme.
II.4 Montrer que em peut s'écrire comme combinaison des vk , 0 6 k 6 m.
II.5 Utiliser le théorème de projection orthogonale et le fait que la famille 
(ei )
est une base orthonormale de Hm (e).
II.6.1 Remarquer que la matrice Qn est triangulaire.
II.6.2 Reconnaître une matrice de Gram.

Premier problème

L'énoncé a choisi d'utiliser une notation qui peut prêter à confusion :
P
une série est notée
un (x)
n>0

tandis que sa somme est notée

P

un (x)

n=0

Afin de faciliter votre lecture, nous avons choisi de conserver la notation de
l'énoncé. Toutefois, le jour du concours, vous pourriez sans problème utiliser
P
la notation (standard)
un (x) pour une série dans votre copie.

Partie I

I.1.1.1 La série de terme général (-x)k est géométrique de raison -x ; elle 
converge
si et seulement si | - x|  [ 0 ; 1 [ , et dans ce cas sa somme est 1/(1 - (-x)) 
.
P

(-1)k xk converge sur I = ] -1 ; 1 [

k>0

et

P

x  I

(-1)k xk =

k=0

1
1+x
+

I.1.1.2 La convergence sur I de la série

P

(-x)k assure l'existence du reste

k>0

pour tout x  I et tout n  N.
Rn (x) =

P

P

(-x)k

k=n+1

(-x)k

k=n+1

= (-x)n+1

P

(-x)k

k=0

Rn (x) =
La série

P

(-x)n+1
1+x

Rn (x) est donc géométrique, de premier terme -x/(1 + x) et de rai-

n>0

son -x ; elle converge si et seulement si | - x|  [ 0 ; 1 [, c'est-à-dire x  I, 
et sa somme
est
S(x) =

-x
(1 + x)2

I.2.1 La suite (1/k)kN est positive, décroissante et de limite nulle, donc la 
série
P
alternée
(-1)k+1 /k est convergente, ce qui justifie l'existence de ses restes pour
k>1

tout n  N .

I.2.2.1 Commençons par vérifier l'identité proposée (l'existence des restes a 
été
justifiée à la question I.1.2) :
m
P

(-x)k =

k=n

P

(-x)k -

k=n

P

(-x)k = Rn-1 (x) - Rm (x)

k=m+1

Chacun des termes du membre de droite peut être majoré par 1 :
x  [ 0 ; 1 [ p  N

|Rp (x)| =

xp+1
1
6
61
1+x
1+x

L'inégalité triangulaire fournit donc le résultat :
m
P

m, n > m x  I0

(-x)k 6 |Rn-1 (x)| + |Rm (x)| 6 2

k=n

On peut en fait obtenir une majoration plus fine sans effort particulier :
x  [ 0 ; 1 [

m
P

(-x)k 6

k=n

m
P

|xk | 6

k=n

P

xk =

k=0

1
61
1+x

I.2.2.2
La question précédente semble un peu parachutée et, de surcroît, son résultat
n'est guère passionnant : on peut donc se douter qu'il ne s'agit que d'une étape
dans un enchaînement plus vaste, en l'occurrence l'hypothèse essentielle du
théorème de convergence dominée.
Appliquons le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fm )m>n 
(n
est fixé) définies par :

 I0 - R
m
fm :
P

(-1)k xk
 x 7-
k=n

· Chaque fonction fm est continue (comme somme finie de fonctions qui le sont)
sur I0 ;
· la suite (fm ) converge simplement vers Rn-1 sur I0 ;
· Rn-1 est continue sur I0 ;
· chaque fm est majorée sur I0 par la fonction constante à la valeur 2 d'après 
la
question précédente ;
· la fonction constante à la valeur 2 est continue et intégrable sur I0 .

D'après le théorème de convergence dominée, la fonction Rn-1 est intégrable sur 
I0
(ce que l'on pouvait prouver de manière plus élémentaire avec la question 
I.1.2) et
(surtout)
Z
Z
lim fm (x) dx = lim
fm (x) dx
+
I0 m 

m+

I0

ce qui se réécrit