X/ENS Physique B PC 2017

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
FILIÈRE PC

CONCOURS D'ADMISSION 2017

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre 
significatif.

Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé
Ce problème est consacré à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques 
dans un plasma froid magnétisé. Il s'intéresse plus spécifiquement au phénomène 
de transparence électromagnétiquement induite selon lequel
la présence d'une onde intense, dite pompe, rend possible la propagation au 
sein du plasma d'une autre onde de
faible amplitude, dite sonde, dont la pulsation appartient pourtant à une bande 
interdite.
Dans tout ce problème, on utilise le signe "  " (plutôt que " = ") pour définir 
une grandeur. On note ~a ~b le
produit vectoriel des vecteurs ~a et ~b et ~a ·~b leur produit scalaire. Les 
symboles  et  désignent respectivement les
parties réelle et imaginaire d'une grandeur complexe et l'on définit 
l'imaginaire pur i par  (i) = 0 et  (i) = 1.
On rappelle que :
~ agit sur une fonction scalaire f des coordonnées cartésiennes (x, y, z) selon
-- l'opérateur gradient, noté grad,
~ f =  f ~ex +  f ~ey +  f ~ez , où (~ex ,~ey ,~ez ) désignent les vecteurs 
unitaires du repère orthonormé (Oxyz)
grad
x
y
z
considéré ;
-- l'opérateur divergence, noté div, agit sur une fonction vectorielle ~f des 
coordonnées cartésiennes (x, y, z) se fx  fy  fz
+
+
, où ( fx , fy , fz ) désignent les composantes respectives de la fonction 
vectorielle
lon div~f =
x
y
z
~f suivant les axes (Ox), (Oy) et (Oz) du repère orthonormé considéré, soit

fx
~f = fx ~ex + fy ~ey + fz ~ez =  fy  ;
fz
~
~
-- l'opérateur rotationnel,
noté
 rot,agit sur unefonction
 vectorielle f des coordonnées cartésiennes (x, y, z)

f

f

f

f

f

f
y
y
z
x
z
x
~ ~f =
~ex +
~ey +
~ez ;
-
-
-
selon rot
y
z
z
x
x
y
-- l'opérateur Laplacien, noté , agit sur une fonction f (scalaire ou 
vectorielle) des coordonnées cartésiennes
2 f 2 f 2 f
(x, y, z) selon  f = 2 + 2 + 2 .
x
y
z

~
~ ~f = grad
~ rot
div~f - ~f .
On rappelle en outre la formule suivante, valable pour une fonction vectorielle 
~f : rot
On rappelle également que, dans un gaz parfait
r à la température T , de coefficient adiabatique , composé de
kB T
.
particules de masse m, la vitesse du son est cs =
m
Pour les applications numériques, on prendra :
1

--
--
--
--
--
--

charge élémentaire e  2 × 10-19 C
masse de l'électron m  9 × 10-31 kg
constante de B OLTZMANN : kB  10-23 J.K-1
constante de P LANCK : h  7 × 10-34 J.s
constante diélectrique 0  9 × 10-12 F.m-1
vitesse de la lumière dans le vide c  3 × 108 m.s-1

-- coefficient adiabatique d'un gaz parfait monoatomique  

CP
1
CV

-- masse d'un atome d'argon M  7 × 10-26 kg

e2
1
-1
On utilisera en outre :
 2 × 10-28 J.m,   0, 6, 10  3 et 10 /3  0, 5.
40
3

1

Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé

Dans cette partie, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique plane 
dans un plasma à l'équilibre
thermique à la température T , constitué d'électrons et d'ions positifs Ar+ . 
Ce plasma est préparé au laboratoire en
imposant une décharge à un gaz neutre d'argon contenu dans une cellule 
cylindrique d'axe (Oz). En l'absence de
champ appliqué, le plasma est localement neutre, les densités volumiques 
électronique et ionique sont toutes deux
égales à n0 en tout point. Pour les applications numériques, vous prendrez T = 
104 K et n0  1016 m-3 . On suppose
en outre que le gaz est totalement ionisé, c'est-à-dire qu'il ne reste aucun 
atome d'argon non ionisé dans la cellule.

1.1

Hypothèses du modèle

Dans les questions 1 à 6, on commence par introduire et justifier les 
hypothèses simplificatrices du modèle de
plasma utilisé.
1) Justifiez que l'on puisse a priori négliger le mouvement des ions devant 
celui des électrons au sein du plasma.
2) Établissez l'expression de la longueur de L ANDAU, notée rL , définie comme 
la distance entre deux particules chargées du plasma pour laquelle leur énergie 
d'interaction électrostatique devient comparable à leur énergie
cinétique moyenne d'agitation thermique. Calculez l'ordre de grandeur de rL .
3) En comparant rL à la distance moyenne l entre charges au sein du plasma dont 
vous donnerez un ordre de
grandeur, expliquez qualitativement pourquoi l'on peut négliger l'effet des 
collisions entre particules chargées au
sein du plasma.
4) Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des électrons 
au sein du plasma, notée u. En
l'absence de champ appliqué, l'hypothèse non relativiste vous paraît-elle 
justifiée pour le mouvement électronique ?
5) Calculez un ordre de grandeur de la longueur d'onde de D E B ROGLIE des 
électrons. Justifiez l'utilisation du
cadre classique (plutôt que quantique) pour décrire leur mouvement.

Dans la suite du problème, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques 
en supposant le plasma
« froid ». Cette hypothèse consiste à supposer que la vitesse de phase v des 
ondes est bien supérieure à la vitesse quadratique moyenne des électrons, de 
sorte que le mouvement d'agitation thermique des électrons peut être
négligé à l'échelle de temps des phénomènes étudiés.
Un champ électromagnétique variable peut a priori engendrer une perturbation de 
la densité électronique au
sein du plasma, et donc une perturbation locale de pression qui peut elle-même 
donner naissance à des ondes
sonores au sein du gaz d'électrons.
6) Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse du son cs dans le gaz d'électrons 
que vous comparerez à la vitesse
quadratique moyenne u. Expliquez qualitativement pourquoi, dans l'hypothèse de 
plasma froid, il est légitime de
négliger les ondes acoustiques engendrées au sein du plasma.

2

1.2

Réponse d'un plasma froid magnétisé à une onde électromagnétique

Dans les questions 7 à 16, on étudie le mouvement des électrons au sein du 
plasma décrit ci-dessus que l'on
soumet à une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se 
propageant selon l'axe (Oz), dont le
champ électrique s'écrit dans le repère (Oxyz)

1

~E (z,t) =  E0  -i  exp [i (t - kz)]
(1)

0

Vous supposerez E0 > 0. Pour les applications numériques, vous considérerez que 
l'onde modélise un faisceau
LASER de section 1 cm2 , de pulsation de l'ordre de 1011 rad · s-1 et de 
puissance 3 kW.
7) Exprimez le champ magnétique ~B (z,t) de l'onde, associé au champ électrique 
(1).
8) Quelle est la polarisation de l'onde (1) ? Vous justifierez soigneusement 
votre réponse en vous aidant d'un
schéma, sur lequel vous indiquerez clairement les axes du repère (Oxyz).
9) A priori, la propagation d'une onde de type (1) au sein du plasma 
serait-elle différente (en termes d'absorption et de dispersion) si la 
composante (-iE0 ) de son amplitude complexe suivant (Oy) était changée en iE0 
? (La
réponse à cette question ne nécessite aucun calcul.)

À partir de maintenant, on suppose en outre que le plasma est « magnétisé » par 
l'application d'un champ
magnétique supplémentaire, constant et uniforme, noté ~B1 = B1~ez , dirigé 
suivant l'axe de propagation de l'onde
(avec B1 > 0). Pour les applications numériques, vous prendrez B1 = 1 T.
10) La réponse à la question précédente est-elle différente dans ces nouvelles 
conditions ? Si oui, pourquoi ?
11) En vous plaçant dans le cadre des hypothèses explicitées aux questions 
précédentes, montrez que le mouvement, supposé non relativiste, des électrons 
est correctement décrit par l'équation
i

e h~
~v  ~ 
(2)
E +~v  ~B + ~B1
+ ~v · grad ~v = -
t
m
où ~v (~r,t) désigne la vitesse du fluide électronique au point M de vecteur 
position ~r et à la date t. Vous justifierez
notamment que l'on puisse décrire les électrons comme un fluide et expliquerez 
l'absence de terme de pression
dans l'équation (2).

Dans toute la suite, on suppose que la vitesse ~v et la densité volumique 
d'électrons, notée n, ne dépendent que
de la coordonnée spatiale z et du temps t. On rappelle que n0 désigne la valeur 
(constante) de n (z,t) en l'absence
de champ LASER appliqué.
On s'intéresse au mouvement
forcé du fluide
n
o électronique en présence de l'onde électromagnétique (1), décrit
par la vitesse ~v (z,t) =  ~V exp [i (t - kz)] .

~ ~v et
12) À quelle condition sur ~V et la vitesse de phase v de l'onde peut-on 
négliger les termes ~v · grad
e  ~
-
~v  B dans l'équation (2) ? Vous supposerez cette condition vérifiée dans la 
suite de cette partie.
m
13) En projetant l'équation (2) simplifiée sur les axes (Ox) et (Oy), 
déterminez les amplitudes Vx et Vy . Dans
eB1
les expressions trouvées, vous ferez apparaître la pulsation cyclotron 
électronique, définie par   -
< 0 ainsi m eE0 que le paramètre a . m 14) Calculez les ordres de grandeur de  et a. 15) Les électrons sont-ils animés d'un mouvement longitudinal, c'est-à-dire suivant l'axe (Oz) ? Montrez que la densité n reste constante, égale à n0 . 16) Qu'observe-t-on lorsque  s'approche de || ? Pourquoi le mouvement électronique n'est-il plus correctement décrit par l'équation (2) si la pulsation  est trop proche de || ? Déterminez un ordre de grandeur de la plus petite valeur admissible de | + | pour que le traitement précédent reste valable. 3 1.3 Relation de dispersion et bande interdite Dans les questions 17 à 22, on étudie l'effet du plasma sur la propagation de l'onde électromagnétique (1). 17) Montrez que le champ électrique dans le plasma vérifie la relation ~v 1  2 ~E ~E = -n0 eµ0 + 2 2 t c t 18) Déduisez la relation de dispersion k ( ) entre le vecteur d'onde k et la pulsation  de l'onde (1) que vous mettrez sous la forme adimensionnée suivante k2 =  2 - . - 2 Vous exprimerez la pulsation réduite  en fonction de la pulsation  et de la « pulsation plasma électronique » s 2 n0 e pe . Vous expliciterez de même la relation entre le vecteur d'onde réduit k et le vecteur d'onde k, et m0 préciserez l'expression du paramètre  . 19) Calculez un ordre de grandeur de  pe que vous comparerez à ||, puis de  . 2000 1000 31,8 32 32,2 32,4 -1000 F IGURE 1 ­ Fonction g (x) = x2 - x représentée pour  = 16. x - 2 20) En vous aidant de la figure 1, justifiez l'existence d'une bande de pulsations « interdites » dans laquelle la propagation de l'onde (1) est impossible. Calculez analytiquement les bornes inférieure et supérieure de cette bande, dont vous donnerez les formes réduites notées respectivement inf et sup . Quel résultat connu de la physique des plasmas retrouve-t-on à la limite B1  0 ? On revient au cas B1 6= 0. 21) Sans faire aucun calcul, précisez les phénomènes observés de part et d'autre de l'interface vide/plasma lorsque l'on envoie sur la cellule contenant le plasma une onde de type (1) de pulsation interdite. Vous introduirez notamment une longueur caractéristique du processus physique à l'intérieur du plasma dont vous donnerez l'expression. Quel autre système présente le même type de comportement ? 22) Déterminez la valeur de la vitesse de phase de l'onde v lorsque  tend vers inf par valeurs inférieures. Quelle(s) hypothèse(s) de notre modèle devien(nen)t alors incorrecte(s) ? 2 Transparence électromagnétiquement induite Le but de cette partie est l'étude du phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel une onde de faible amplitude et de pulsation « interdite » (au sens de la première partie) peut se propager au sein 4 du plasma froid magnétisé (par le champ ~B1 , introduit dans la première partie) en présence d'une onde intense de pulsation permise. Pour étudier ce processus, on considérera : -- l'onde intense dite pompe dont le champ électrique s'écrit sous la forme 1 ~EP (z,t) =  EP  -i  exp [i (Pt - kP z)] (3) 0 où EP > 0, P = - ( +  pe ) (on rappelle que  < 0) et kP désigne le vecteur d'onde pompe ; -- l'onde dite sonde dont le champ électrique s'écrit sous la forme 1 ~ES (z,t) =  ES  -i  exp [i (St - kS z)] 0 (4) où ES > 0 est supposé faible devant EP , S est proche de || et kS désigne le 
vecteur d'onde sonde.
On introduit les notations suivantes
  S - P
k  kS - kP
   S +  = S - ||
Vous supposerez que l'onde pompe se propage dans le plasma magnétisé comme si 
elle était seule, c'est-à-dire
qu'elle n'est nullement perturbée par la présence de l'onde sonde. Pour les 
applications numériques, vous supposerez que les ondes pompe et sonde 
modélisent des faisceaux LASER de même section 1 cm2 et de puissances
respectives 3 kW et 0, 3 W.
Comme dans la partie précédente, on commence par étudier la réponse du plasma à 
l'excitation électromagnétique pour ensuite déterminer l'effet du plasma sur la 
propagation de l'onde sonde.

2.1

Réponse du plasma

Dans la suite, on décompose n et ~v en deux contributions : une contribution, 
notée nP pour la densité et ~vP (z,t)
pour la vitesse, engendrée par l'onde pompe seule (toujours en présence du 
champ magnétique ~B1 ), et une petite
composante, notée nS (z,t) pour la densité et ~vS (z,t) pour la vitesse, causée 
par l'ajout de l'onde sonde, soit
n = nP + nS
~v =~vP +~vS
avec |nS |  nP et k~vS k  k~vP k.
On s'intéresse tout d'abord au mouvement électronique « d'ordre 0 », engendré 
par l'onde pompe seule.
23) En vous servant de la partie précédente, montrez que nP = n0 et que

sin (Pt - kP z)
aP 
- cos (Pt - kP z) 
~vP =
 pe
0
où l'on a introduit le paramètre aP 

eEP
. On rappelle que  + P = - pe .
m

On passe maintenant à la description des effets « d'ordre 1 », engendrés par 
l'ajout de l'onde sonde.

5

24) En linéarisant l'équation locale de conservation du nombre d'électrons, 
montrez qu'un petit mouvement
longitudinal ­ c'est-à-dire suivant (Oz) ­ des électrons (créé par exemple 
ici parl'ajout de l'onde sonde)
 engendre

 vS,z
 nS
à la dérivée spatiale
de
nécessairement un petit excédent de densité électronique nS (z,t) et reliez
t
z
la vitesse de ce mouvement.
25) Montrez qu'un (petit) excédent local de
 densité
 électronique nS (z,t) engendre un champ longitudinal addi EL
tionnel EL (z,t)~ez et reliez la dérivée spatiale
de ce champ à nS .
z
26) En vous servant des deux questions précédentes, montrez que
 EL n0 e
=
vS,z
t
0

On donne l'équation d'E ULER, écrite au « premier ordre » en champ sonde

 e

e
e ~
~vS
~vP
ES + EL~ez
+ vS,z
= - ~vS  ~B1 + ~BP - ~vP  ~BS -
t
z
m
m
m

(5)

où ~BP et ~BS désignent les champs magnétiques respectifs des ondes pompe et 
sonde et où l'on a introduit le champ
longitudinal additionnel EL , conformément aux conclusions de la question 25, 
pour tenir compte de l'existence
éventuelle d'un excédent local de densité électronique créé par l'ajout de 
l'onde sonde.
En dérivant par rapport au temps la projection de l'équation (5) sur l'axe (Oz) 
on obtient alors l'équation du
mouvement longitudinal
 2 vS,z
kS aP aS 
1 kP aP 
2
{v+ exp [-i (Pt - kP z)] + v- exp [i (Pt - kP z)]} (6)
vS,z =
+  pe
cos (t - kz) -
t 2
S  pe
2 P t
où l'on a introduit les variables
v+  vS,x + ivS,y
v-  vS,x - ivS,y = v+
eES
.
ainsi que le paramètre aS 
m
27) De quel système modèle pouvez-vous rapprocher l'équation (6) à laquelle 
satisfait vS,z ? Quel rôle joue la
pulsation  pe dans ce modèle ?
28) En utilisant les résultats des questions 24 à 26, expliquez qualitativement 
le processus physique à l'origine
2 v .
du terme de rappel  pe
S,z
29) Identifiez, dans le membre de droite de l'équation (6), un terme de 
forçage, induit par le battement entre
ondes pompe et sonde, et un terme de couplage avec le mouvement transverse. 
Calculez l'ordre de grandeur de aS .

En projetant l'équation (5) sur les axes (Ox) et (Oy) on obtient l'équation du 
mouvement transverse (que vous
ne chercherez pas à démontrer)
kP aP 
 v+
+ iv+ = -aS exp [i (St - kS z)] -
exp [i (Pt - kP z)] vS,z
t
P  pe
30) En vous inspirant de la question 29, discutez les deux termes du membre de 
droite de l'équation (7).

6

(7)

a)

120
100
80
60
40
20

31,90

b)

31,95

32

32,05

32,10

120
100
80
60
40
31,99

32

32,01

32,02

32,03

32,04

F IGURE 2 ­ a) En trait gras : relation de dispersion (8) représentée à l'aide 
des variables
S et kS

 adimensionnées
analogues aux variables  et k introduites à la première partie, dans 
l'intervalle S  inf , sup , pour  = 16 et
de représentation sont matérialisées par les lignes verticales S = inf
aP = 10-2  pe c. Les bornes de l'intervalle
r
S
pour  = 16 . En trait tireté : fonction kS = S . b) Relation
et S = sup . En trait fin : fonction S2 -
S - 2

de dispersion (8) représentée à l'aide des variables adimensionnées S et kS 
dans l'intervalle S  inf , sup pour
aP
 = 16 et pour différentes valeurs de
= 10-2 ; 1, 2 × 10-2 ; 1, 4 × 10-2 ; 1, 6 × 10-2 ; 1, 8 × 10-2 (les valeurs
 pe c
sont placées à droite des courbes correspondantes).

7

2.2

Relation de dispersion et transparence électromagnétiquement induite

P kS  
 1, on établit, par une étude analogue à
S kP  pe
celle de la partie 1.3, la relation de dispersion suivante pour l'onde sonde
(
)
  +  0 (kS )
2
2
2 2
(8)
kS c = S - S  pe
( )2 - 2R
En se plaçant dans les hypothèses | |   pe , || et

s

22R P kS 1
aP kP ||
.
où l'on a introduit  0 (kS ) 
et R 
-
 pe || kP 2
2P  pe
31) Vérifiez que l'équation (8) permet de retrouver la relation de dispersion 
obtenue à la question 18, dans le
cas limite où l'intensité de l'onde pompe est nulle.
La figure 2 représente la relation de dispersion (8), exprimée à l'aide des 
variables adimensionnées S (pulsation
sonde réduite) et kS (vecteur d'onde sonde réduit) analogues aux variables  et 
k introduites à la première partie.
32) En vous appuyant sur la figure 2 a), montrez que la présence de l'onde 
pompe permet à une onde sonde de
pulsation « interdite » (au sens de la première partie) de se propager au sein 
du plasma. On parle d'un phénomène
de transparence électromagnétiquement induite.
33) Tracez l'allure des variations
de la vitesse de phase v,S et de la vitesse de groupe vg,S de l'onde sonde en

fonction de S sur l'intervalle inf , sup .
34) Décrivez qualitativement l'évolution de la forme d'un paquet d'onde sonde 
se propageant au sein du plasma,
en supposant son spectre tout entier contenu dans la bande interdite.
35) En vous appuyant sur la figure 2 b), discutez l'effet d'une variation de 
l'intensité de l'onde pompe.

8