X/ENS Physique B PC 2015

Thème de l'épreuve Trajectoire d'un volant de badminton
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme, électrostatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIERE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ B ­ (XEULC)
(Duree : 4 heures)
  
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
On se contentera, pour les applications numeriques, d'un seul chiffre 
significatif.
Les deux problemes sont independants.

I. Trajectoire d'un volant de badminton
Le badminton est un sport dans lequel les joueurs frappent un projectile, 
appele volant, a
l'aide d'une raquette. Le but de ce probleme est de proposer une modelisation 
simplifiee de
la trajectoire du volant sous l'effet conjugue de la pesanteur et de la 
resistance de l'air, et de
confronter le modele aux resultats d'une experience. On negligera la poussee 
d'Archimede dans
tout le probleme.
On neglige dans un premier temps la force de freinage exercee par l'air.
I.1 On lance depuis le sol le volant de masse m avec une vitesse initiale U0 , 
dans une direction
faisant un angle 0 avec le plan du sol, suppose horizontal. Quelle est la 
nature de la trajectoire ?
Dessiner son allure. Determiner la portee L0 (distance horizontale a laquelle 
le volant retombe
sur le sol) en fonction de U0 , de 0 , et de l'acceleration de la pesanteur g.
I.2 Validez dimensionnellement l'expression de L0 obtenue et verifiez-la sur 
des cas limites
simples que vous choisirez.
I.3 La vitesse initiale etant fixee, quel angle 0 permet d'envoyer le volant le 
plus loin possible ?
On tient maintenant compte du freinage de l'air, modelise en assimilant le 
volant a une
sphere solide en mouvement dans un fluide newtonien. On ecrit la force de 
freinage sous la
~ , ou U
~ est la vitesse du volant et U sa norme,  la masse volumique de
forme F~ = - 21 SCx U U
l'air, S la surface de reference du volant, et Cx le coefficient de trainee.
I.4 Determiner la dimension de Cx . Tracer l'allure de sa variation en fonction 
du nombre de
Reynolds, et indiquer les regimes ou l'ecoulement est laminaire ou turbulent.
I.5 La viscosite cinematique de l'air est  = 1.5 × 10-5 m2 ·s-1 et la taille 
caracteristique d'un
volant de badminton est L  6 × 10-2 m. Des valeurs de la vitesse sont indiquees 
sur la
chronophotographie de la figure 1. Estimer les valeurs correspondantes du 
nombre de Reynolds.
A quel regime d'ecoulement correspond-il ?
1

1.6 Ecrire l'équation du mouvement du volant. Montrer qu'elle admet une 
solution particulière,
correspondant a un mouvement rectiligne uniforme dont on exprimera la vitesse, 
notée Uoe, en
fonction des paramètres du problème.

1.7 Récrire l'équation du mouvement en faisant notamment apparaître le rapport 
Ü/Uoe.

1.8 À quelle condition sur U peut--on négliger la pesanteur ? On suppose dans 
toute la suite du
problème que cette condition est initialement vérifiée. Dans ce cas, quelle est 
la nature de la
trajectoire ? Intégrer l'équation du mouvement pour obtenir U en fonction du 
temps.

1.9 En utilisant cette expression, déterminer et calculer le temps t1/2 pour 
lequel la vitesse est
égale a la moitié de la vitesse initiale. Repérer le point correspondant sur la 
chronophotographie
de la figure 1. Vérifier, par une mesure que l'on expliquera, que la vitesse en 
ce point est bien
approximativement la moitié de la vitesse initiale.

1.10 Toujours dans le cadre de ey
l'approximation de la question l--.'3x _ -.
1.8, déterminer l'expression don-- . .

nant la distance horizontale sc(t) , '
parcourue au temps t. - .

1.11 Obtenir $ en fonction de U. 3.

1.12 On suppose que l'approxi--
mation de la question 1.8 cesse |
d'être valable lorsque la com--
posante verticale de la force

de freinage est égale au poids. ,

Quelle est l'expression de U a cet '--
instant ? En déduire la distance % : gm

horizontale parcourue L. F1gure 1: P0s1t10ns success1ves d un volant de 
badminton allant de

la gauche vers la droite, enregistrées toutes les 50 ms. Le premier

On mo délise la trajectoire du point, repéré par le chiffre 0, correspond au 
lancer a t : 0.

volant en distinguant trois régimes successifs : (1) le régime que l'on vient 
d'étudier, durant lequel
l'accélération de la pesanteur est négligeable ; (2) un régime intermédiaire ; 
(3) un régime limite
durant lequel l'accélération du volant est négligeable.

1.13 Localiser sur la chronophotographie le régime limite ainsi défini, en 
justifiant précisément
votre réponse.

1.14 Une approximation de la trajectoire consiste a oublier la partie 
correspondant au régime
intermédiaire. Dessiner la trajectoire obtenue dans cette approximation.

1.15 Donner l'expression littérale de la portée du tir dans cette 
approximation. Comment se
compare--t--elle a la portée en l'absence de freinage, déterminée a la question 
1.1 ?

1.16 Estimer numériquement la portée du tir. On donne ln8 3 2, cos 00 3 0,6, 
sin 00 3 0,8.
Comparer le résultat avec la valeur indiquée sur la chronophotographie.

1.17 Durant le régime intermédiaire, tous les termes de l'équation du mouvement 
sont du même

ordre de grandeur. En deduire, par un argument dimensionnel, une expression 
litterale de
l'ordre de grandeur de la distance parcourue lors du regime intermediaire. Dans 
quelle limite
l'approximation faite a la question I.14 est-elle justifiee ?
I.18 Comment faudrait-il modifier les parametres de l'experience pour que la 
trajectoire corresponde plus precisement a celle obtenue a la question I.14 ? 
On discutera suivant la vitesse
initiale et la nature du projectile. La convergence vers cette solution limite 
est-elle plutot rapide,
ou lente ?
I.19 Donner les expressions litterales des temps de montee et de descente du 
volant. Estimer,
par un argument dimensionnel, l'ordre de grandeur litteral de la duree du 
regime intermediaire.
Comparer les durees de ces trois regimes dans la limite ou l'approximation de 
la question I.14
s'applique.

II. Mesure de la masse du photon
La theorie actuelle de l'electromagnetisme est constituee par les equations de 
Maxwell, qui
sont compatibles avec toutes les experiences realisees. On ne peut neanmoins 
exclure la possibilite que des experiences plus precises mettent un jour cette 
theorie en defaut, auquel cas il
faudrait la modifier. Le but de ce probleme est de proposer une modification 
des equations de
Maxwell, et de confronter cette nouvelle theorie a deux experiences.
A. Modification des equations de Maxwell
II.1 On suppose que le champ electrique dans le vide satisfait a l'equation
~-
E

~
1 2E
~
= µ2 E,
c2 t2

(1)

ou µ > 0. Etablir la relation de dispersion correspondant a cette equation. 
Dans quelle limite
retrouve-t-on la relation de dispersion usuelle des equations de Maxwell ?
II.2 Exprimer la vitesse de groupe vg en fonction de k, µ et c. On suppose que 
µ est petit par
rapport a une quantite que l'on precisera. Exprimer alors la difference c - vg 
au moyen d'un
developpement limite, a l'ordre dominant en µ.
~ uniforme. Montrer qu'il oscille alors a une pulsation dont on donnera
II.3 Soit un champ E
l'expression. Deduire de la relation de Planck-Einstein l'energie E d'un photon 
correspondant a
cette pulsation. Par ailleurs, la relation d'Einstein E = mc2 permet d'associer 
au photon une
masse m dont on donnera l'expression.
B. Mesure astrophysique
Un pulsar est un astre tournant tres rapidement sur lui-meme (avec une periode 
souvent
inferieure a la seconde) et emettant un fort rayonnement electromagnetique dans 
un cone etroit
centre autour de son axe magnetique, qui est distinct de son axe de rotation. 
On observe ainsi
sur Terre un signal lumineux sous forme d'impulsions periodiques en provenance 
de cet astre,
d'ou le nom de "pulsar".

3

II.4 On enregistre ce signal separement dans deux domaines de longueur d'onde 
differents, en
fonction du temps. Expliquer sans calcul comment se traduirait, sur ces 
mesures, une petite
dispersion de la lumiere en fonction de la longueur d'onde.
II.5 On note t la resolution temporelle de l'appareil enregistreur, et v la 
valeur absolue de la
variation de la vitesse de groupe due a la dispersion. Exprimer l'incertitude 
sur la mesure de la
dispersion relative, v/c, en fonction de t et de la distance L du pulsar.
II.6 Des observations des lumieres bleue et rouge en provenance du pulsar de la 
nebuleuse du
Crabe n'ont pas permis de deceler de dispersion. Calculer numeriquement la 
borne superieure
sur v/c.
Donnees numeriques : L = 6 × 1019 m, t = 2 × 10-5 s.
II.7 En deduire un ordre de grandeur de la borne superieure sur µ, puis sur la 
masse du photon.
On donne la constante de Planck reduite h  10-34 J · s.
II.8 Quel est l'interet, pour cette analyse, d'avoir recours a des objets 
astrophysiques ? Quel
domaine de longueur d'onde faudrait-il observer pour ameliorer la borne 
superieure obtenue ?
C. Une experience d'electrostatique
II.9 On se place, dans toute cette partie, dans le cadre de l'electrostatique. 
On admet que
l'equation de Maxwell-Gauss est modifiee comme suit :
~ =
div E

- µ2 V,
0

(2)

ou V designe le potentiel electrostatique. Verifier que cette equation est 
compatible avec
l'equation (1) dans des conditions que l'on precisera.
II.10 Une sphere metallique creuse parfaitement conductrice, de rayon R, est 
mise a un potentiel
constant V0 . On suppose l'interieur de la sphere vide de charges. On suppose 
tout d'abord µ = 0.
~ puis le potentiel V a l'interieur de la sphere.
Determiner le champ E
~ et le
II.11 On cherche a determiner comment une valeur non nulle de µ modifie le 
champ E
potentiel V . Justifier que l'on puisse faire a l'interieur de la sphere, si µ 
est suffisamment petit,
~
l'approximation V  V0 dans le membre de droite de l'equation (2). En deduire le 
champ E
puis le potentiel V a l'interieur de la sphere.
II.12 Preciser le domaine de validite de l'approximation faite a la question 
precedente, sous
forme d'une condition sur µ.
II.13 On essaie de deceler une valeur non nulle de µ en mesurant precisement la 
difference de
potentiel entre deux points a l'interieur de la sphere. Pensez-vous possible, 
grace a une telle
experience, de reduire la borne superieure obtenue a la question II.7 ?

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Physique B PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémi Lehe (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Dumont
(Professeur en CPGE) et Jimmy Roussel (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux parties entièrement indépendantes, portant 
respectivement sur la mécanique et sur l'électromagnétisme.
· Dans la première partie, on étudie la trajectoire d'un volant de badminton.
On s'intéresse en particulier à la portée d'un tir de badminton. Le mouvement
du volant ne pouvant pas toujours être calculé analytiquement, on est amené à
décomposer le mouvement en plusieurs phases pendant lesquelles différentes 
approximations s'appliquent. Ces approximations sont discutées en détail, et 
leurs
prédictions sont confrontées à la trajectoire expérimentale d'un volant.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à un hypothétique terme supplémentaire
dans les équations de Maxwell. En particulier, on montre que ce terme 
supplémentaire peut être relié à une hypothétique masse non nulle du photon. On 
se
demande si ce terme supplémentaire peut avoir des conséquences mesurables,
ce qui constituerait ainsi une mesure indirecte de la masse du photon. Dans ce
contexte, deux types de mesures expérimentales sont considérées. L'une est 
fondée sur la mesure du temps de propagation des signaux provenant d'un pulsar,
objet astronomique lointain envoyant des bouffées d'ondes électromagnétiques
régulières. L'autre est fondée sur des mesures de tension au sein d'une sphère
métallique. À l'issue de cette partie, on est amené à estimer laquelle de ces 
deux
méthodes permettrait la mesure la plus fine du terme supplémentaire considéré.
La première partie de ce sujet est relativement proche du cours (mouvement dans
le champ de pesanteur uniforme, influence de la résistance de l'air), tandis 
que la
deuxième nécessite un certain recul. De manière générale, les calculs demandés 
ne
sont ni difficiles, ni longs. La difficulté du sujet réside plutôt dans 
l'autonomie dont
les candidats devaient faire preuve pour certaines questions (détermination de 
la
démarche à suivre et des théorèmes à appliquer sans que le sujet le précise).
Une autre difficulté, de forme cette fois, est de parvenir à conserver en 
permanence
une vision d'ensemble du problème et des méthodes employées. Ceci est 
particulièrement vrai pour la première partie, tout au long de laquelle une 
série d'approximations
est continuellement discutée. Ce sujet constitue un bon entraînement à la 
mécanique
et à l'électromagnétisme, et représente une bonne occasion d'apprendre à 
analyser
un sujet de concours et comprendre sa logique interne.

Indications
Partie I
I.1 Afin de trouver la portée du tir, appliquer le principe fondamental de la 
dynamique et obtenir la trajectoire du volant. Chercher ensuite la position à 
laquelle
il touche le sol.
I.6 L'accélération est nulle dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme. 
Chercher la solution de l'équation du mouvement dans ce cas.
I.8 Remarquer que, dans le cas où l'on néglige le poids, l'accélération est 
toujours
purement tangentielle. En déduire la nature de la trajectoire.
Par ailleurs, afin d'obtenir une équation sur la norme U, prendre le produit

-
scalaire par U de part et d'autre de l'équation du mouvement.
I.9 On peut estimer la vitesse sur le chronographe en mesurant la distance entre
deux points consécutifs et en divisant cette distance par t = 50 ms.
I.10 Prendre en compte le fait que la trajectoire est rectiligne (avec un angle 
0 par
rapport à l'horizontale) afin de trouver la relation entre dx/dt et U.
I.15 Vérifier que la portée du tir est inférieure à celle obtenue à la question 
I.1, du
fait de la force de freinage. On pourra former le ratio de ces deux portées et
montrer qu'il est de la forme ln()/(4) où  est une quantité grande devant 1.
I.17 Justifier que la distance recherchée ne peut dépendre que de g et U . 
Chercher
les valeurs de  et  telles que g  U  ait la dimension d'une longueur.
I.19 Afin d'estimer le temps de montée, utiliser les résultats des questions 
I.8 et I.12.
Pour le temps de descente, évaluer la hauteur qu'atteint le volant au sommet
de sa trajectoire et remarquer que le volant tombe approximativement à vitesse
constante depuis cette hauteur.
Partie II

-
II.3 Afin de trouver la pulsation d'un champ E uniforme, utiliser la relation de
dispersion dans le cas k = 0.
II.5 Appliquer la relation t = L/v g pour deux longueurs d'onde différentes et 
en
déduire v en fonction du retard t entre les deux longueurs d'onde. Prendre
en compte le fait que la vitesse de propagation est très proche de c (dans le 
cas
µ  k) afin de simplifier l'expression finale, puis composer les incertitudes.
II.9 Remarquer que l'équation (1) n'est valide que dans le vide et que 
l'équation
(2) que dans le cas où les champs sont indépendants du temps. Comparer les
équations dans le cas où ces deux conditions sont remplies.

-
II.11 Afin d'obtenir le champ E à l'intérieur de la sphère, intégrer l'équation 
(2) à
l'intérieur d'une surface de contrôle bien choisie, de la même manière que l'on
intègre l'équation de Maxwell-Gauss afin d'obtenir le théorème de Gauss.

I. Trajectoire d'un volant de badminton
I.1 Puisqu'on néglige la poussée d'Archimède ainsi
y
que la force de freinage, le volant n'est considéré soumis qu'à la force de 
pesanteur. Son mouvement est
-

U0
donc uniformément accéléré, et sa trajectoire est
une parabole. Cette parabole a l'allure ci-contre,
sur laquelle on a également indiqué la portée L0 .
Afin d'obtenir l'expression de la portée L0 , étudions
0
x
le mouvement du volant dans le référentiel terrestre,
supposé galiléen. Appliquons le principe fondamental de la dynamique au volant, 
soumis à la seule force
L0
de pesanteur.

-
dU

m
= m-
g
dt

où -
g est un vecteur pointant vers le bas : -
g = -g -
ey . En projetant alors cette
relation selon l'axe des x et des y, et en simplifiant la masse m, on obtient
dUy
dUx
=0
et
= -g
dt
dt
La vitesse faisant initialement un angle 0 avec l'axe des x, les conditions 
initiales
sont Ux (0) = U0 cos 0 et Uy (0) = U0 sin 0 . Intégrons les équations 
différentielles
ci-dessus en utilisant ces conditions initiales. On obtient
Ux (t) = U0 cos 0

et

Uy (t) = -gt + U0 sin 0

Afin d'obtenir les positions en fonction du temps, intégrons à présent les 
équations
dx
dy
= Ux
et
= Uy
dt
dt
avec les conditions initiales x(0) = 0 et y(0) = 0. On obtient alors
1
y(t) = - gt2 + U0 sin 0 t
2
Dans le but de trouver la portée L0 , cherchons l'instant t0 auquel le volant 
touche le
sol (y(t0 ) = 0). D'après l'expression de y(t) ci-dessus, on a
x(t) = U0 cos 0 t

c'est-à-dire

et

1
- gt0 2 + U0 sin 0 t0 = 0
2

1
t0 - gt0 + U0 sin 0 = 0
2

En excluant la solution triviale t0 = 0 correspondant au fait que le volant est 
considéré
initialement au sol, l'instant recherché est
t0 =

2U0 sin 0
g

La portée L0 correspond à la valeur de x à cet instant. En utilisant 
l'expression de
x(t) précédente, on parvient à
L0 = x(t0 ) =

2U0 2 cos 0 sin 0
g

I.2 Dans l'expression précédente, U0 s'exprime en m.s-1 et g en m.s-2 , tandis
que les sinus et cosinus sont sans dimension. Par conséquent, 2U0 2 cos 0 sin 0 
/g
s'exprime en mètre, tout comme L0 . L'expression obtenue est donc bien 
homogène. Vérifions cette expression dans plusieurs cas limites :
· Influence de la vitesse U0 : On peut tout d'abord remarquer que lorsque
U0 = 0, la portée L0 est bien nulle (cas du volant sans vitesse initiale, 
c'est-àdire qui n'a pas été lancé). Par ailleurs, on observe que la portée L0 
croît de
manière monotone avec U0 , ce qui est cohérent. Ainsi, plus on frappe le volant
fort, plus il va loin.
· Influence de l'angle 0 : On observe que pour 0 = /2, la portée est nulle,
ce qui est à nouveau cohérent car cela correspond à un tir vertical. De même,
pour 0 = 0, ce qui correspond à un tir au ras du sol, la portée est bien nulle.
· Influence de la pesanteur g : On peut constater que lorsque g diminue,
la portée L0 augmente. Cela est cohérent avec le fait que, sur la Lune (où
la pesanteur g est plus faible), les astronautes peuvent parcourir de grandes
distances en un seul saut.
I.3 On peut remarquer que L0 peut se réécrire comme
L0 =

U0 2 sin(20 )
g

Le sinus atteignant son maximum pour 20 = /2, la portée est maximale lorsque
0 =

4

On aurait également pu chercher le maximum de L0 en dérivant son expression par 
rapport à 0 et en cherchant la valeur entre 0 = 0 (tir horizontal)
et 0 = /2 (tir vertical) pour laquelle la dérivée s'annule.

-
I.4 Considérons l'expression de la force de traînée. La norme du vecteur U 
s'exprime

-
en m.s-1 , S en m2 et  en kg.m-3 , et le produit  S U U s'exprime donc en 
kg.m.s-2 ,

-
c'est-à-dire en newtons. Afin que l'expression de F soit homogène, il faut donc 
que
Cx soit sans dimension. Par ailleurs, Cx a l'allure suivante :
Cx
103
102

Regime laminaire

Regime turbulent

Cx  1/U

101

Crise de trainee

100
10-1
10-1

100

101

102

103

104

105

106

I.5 Au début du mouvement, la vitesse vaut U0 = 58 m.s-1 , d'où
Re =

LU0
= 2 · 105

Re