X Physique 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Quelques propriétés des instruments de musique à lames et à cordes
Principaux outils utilisés ondes mécaniques, statique du solide, mécanique, oscillateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- B -- (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un unique chifire 
significatif.

***

Quelques propriétés des instruments de musique à lame et à corde

Présentation.

Ce sujet porte sur l'étude de quelques instruments de musique. L'analyse des 
vibrations d'une
lame (xylophone, clarinette, boîtes a musique, ...) ou d'une corde (piano, 
guitare, harpe, --) nous
permettra de comprendre les caractéristiques musicales de quelques instruments.

Quelques éléments concernant les sons et leur perception.

. Une note est identifiée par sa fréquence fondamentale. Le "la3" correspond a 
la fréquence de 440
Hz.

. Une gamme "do--ré--mi--fa--sol--la--si" est constituée de 12 demi--tons 
(certaines notes successives sont
séparées d'un demi--ton, d'autres de deux demi--tons).

. On "monte" d'un demi--ton en multipliant la fréquence d'une note par %. 
Monter de 12 demi--
tons, c'est--à--dire d'une octave, revient donc a multiplier la fréquence de la 
note par 2 (par exemple,
pour passer du la?» au la4).

. Le timbre d'un son est ici défini par son contenu spectral (ensemble des 
fréquences qui le com--
posent).

. L'intensité perçue par l'oreille est reliée au logarithme de la puissance 
acoustique. Une échelle en
décibels est ainsi adaptée a la perception des sons. Le niveau sonore de 0 dB 
correspond a une
intensité acoustique égale a 10_12 VV-m_2 (seuil d'audition). Il s'élève de 10 
dB lorsque l'intensité
est multipliée par 10.

Le cadre de la modélisation.

L'élément vibrant est une lame (ou tige), de masse volumique ,o, de longueur L 
(selon (Or)) et de
section droite S (dans le plan (0, y, z)) (voir figure (I)). Cette lame est 
susceptible de se déformer dans
le plan (O,oe,y). Nous appelons fibre moyenne, l'ensemble des points de cette 
lame confondus avec
l'axe (OSC) lorsque la lame n'est pas déformée (cette fibre passe donc par le 
centre de chaque section
droite).

Le déplacement ? du point P de la fibre moyenne, d'abscisse a: (en situation 
non déformée), a la
date t, s'écrit (voir figure (2)) :

F(:c, t) : X(:c, t) ë'oe + Y(:c, t) @, (I)

--Page 1/7--

Y P |B
|

Section droite : 5
y A
|

X

\
'

A

Figure 2 -- Tronçon élémentaire [a: -- da:, 55] de lame en situation déformée. 
Repère local associé au point
P(a:). Notation des composantes de l'action mécanique exercée par la partie 
droite de la lame, sur sa
partie gauche, a travers la section S (P)

Nous notons a(a:, t) l'angle formé entre l'axe (OSC) et la tangente a la fibre 
moyenne.

Nous définissons la base locale directe (P, ñ', ?, @) où ii est le vecteur 
unitaire tangent a la fibre
moyenne, dans une situation a priori déformée (voir figure (2)). L'action 
mécanique des efforts internes,
exercés a travers la section droite contenant le point P, par la partie droite 
de la lame sur sa partie
gauche, se caractérise par :

. Une résultante qui se décompose en :
-- Un effort normal a la surface, ou tension, noté ]\7 = N ñ,
-- Un effort tangentiel a la surface, ou effort tranchant, noté Î : T ? ,

o Un moment, au point P : M = M é}, appelé moment fléchissant (ou de flexion).

Nous nous plaçons dans le cadre suivant :

o Les déformations considérées sont telles que lX \ peut être négligé devant 
lYl. Nous considérerons
alors que X = O.

0 Elles nous autorisent également a limiter tous les développements a d'ordre 
le plus bas, non nul,
relativement a 04.

0 L'effet de la pesanteur est négligé (sauf pour la question (28)).

I Préliminaires : vibration d'une corde souple.

L'équation décrivant les petits mouvements vibratoires d'une corde très souple 
(corde de Melde)
s'écrit :

2 2

&? CÊ

1. Rappeler les hypothèses, portant sur les propriétés de la corde et les 
conditions expérimentales,
associées a cette équation. Définir c. Représenter le dispositif expérimental 
correspondant.

--Page 2/7--

2.

L'extrémité gauche (a: = O) de la corde est excitée par un vibreur a la 
pulsation w et son extémité
droite (a: = L) est telle que Y(L, t) = 0 (V t). Représenter (aucun calcul 
n'est attendu) l'amplitude
vibratoire de la corde, en fonction de a:, dans deux situations; (a) la 
pulsation est quelconque,
(b) la pulsation correspond a une résonance de la corde. Déduire de ce dernier 
cas la suite des
pulsations propres.

. Indiquer comment augmenter la fréquence du fondamental (mode de plus faible 
fréquence).

4. Proposer une réalisation d'un instrument de musique, basé sur l'équation 
(2), permettant de

jouer les 12 demis tons du la?» au la4.

II Equation générale.

Nous considérons une lame métallique, ou une corde, de masse linéique ,u : pS 
et non infiniment
souple. Le fléchissement (ou courbure) d'un tel élément fait apparaître un 
moment de flexion M. Ce
moment se manifeste par une raideur de flexion. Le fléchissement est toujours 
supposé s'effectuer dans
le plan (oeOy).

5.

Indiquer la relation entre les fonctions Y(a:, t) et oz(a:, t), dans le cadre 
des hypothèses adoptées.

6. Nous proposons deux expressions phénoménologiques du moment de flexion. 
Chacune relie ce

III

moment a une certaine image de la déformation :

Ô2Y ÔY
M = -- ou M = -- > 0 3
v 3232 v Ôæ (v ) ( )
Indiquer, en précisant le(s) test(s) effectué(s) ou la (les) situation(s) 
particulière(s) envisagée(s),
quelle est la relation qui peut être retenue. Préciser alors la dimension (ou 
l'unité) de y corres--
pondant. De quoi dépend ce paramètre ?

. Considérons un tronçon [55,56 + d£C] de lame compris entre les sections 
droites d'abscisses a: et

a: + (la?. Dans toute l'étude, nous négligerons son moment dynamique (exprimé 
au centre du
tronçon). En appliquant le théorème du moment cinétique a cet élément, établir 
la relation entre
effort tranchant et déformation :

ô'3Y

T : --WË (4)

. En appliquant maintenant le principe fondamental de la dynamique au tronçon 
[cc, a:+doe], établir

l'équation générale d'évolution (un schéma pourra être utile) :

@@ 282Y 34Y \ y

Comment transposer cette équation au cas particulier de la corde de Melde ?

. Combien de conditions aux limites convient--il d'adjoindre a l'équation (5) ? 
Sur quelles grandeurs

physiques sont--elles susceptibles de porter ?

Instruments à lame vibrante.

Dans cette partie, nous nous plaçons dans le cas où la tension est nulle (N = 
0).

--Page 3/7--

III.A Solutions harmoniques.
Nous recherchons une solution de l'équation (5) sous la forme :
Y(oe,t) : Re[X] avec X : f(oe) exp(iwt) et f EUR CC (6)
10. Déterminer la fonction f. Justifier qu'elle peut s'écrire :
f(oe) : B1 sin(Kæ) + B2 cos(Kæ) + B3 sinh(Kæ) + B4 cosh(Kæ) (Bi EUR C, K E R+) 
(7)

et exprimer la constante K , en fonction de A et w.

III.B Lame posée : le xylophone.

Dans le cas du xylophone, les extrémités de la lame reposent sur deux appuis 
situés en a: = 0 et
a: = L (voir figure (3)). Nous supposerons qu'elles y restent en contact.

A
yA B

\!

0 L

Figure 3 -- Lame (représentée non déformée) du xylophone reposant sur ses deux 
appuis.

Nous adoptons les conditions aux limites suivantes :

Y(O,t) = Y(L,t) = 0 (W E @)
M(O,t) = M(L,t) = 0 (W E @)

III.B.a Cadre général.

11. Justifier le choix des conditions aux limites adoptées.

12. Déterminer alors la solution f , associée a la pulsation w, ainsi que la 
constante K. On écrira K
sous la forme : Kn : nK1 où n E N*.

13. Représenter les fonctions f correspondant a K1 et K2.

14. Pour une lame) caractérisée par sa longueur L et le paramètre A, a chaque 
Kn correspond un
mode de pulsation w...
Exprimer wn sous la forme wn : S (n)w1. Ce spectre (distribution des 
pulsations) autorise--t--il
une description des oscillations par une série de Fourier ?

15. Comparer le contenu spectral du xylophone a celui d'une corde (infiniment 
souple) vibrante.
Le timbre d'une note dépend fortement de la présence de l'harmonique 
correspondant a une
octave plus aiguë que son fondamental. Qu'en est--il pour le xylophone ?

III.B.b Applications.

Nous considérons un xylophone pour orchestre (lames en bois de rose et de 
section rectangulaire)
dont le la?» (fondamental a 440 Hz) correspond a la longueur L1a3 : 32, 8 cm. 
La gamme de ce xylophone
s'étend sur deux octaves du la2 au la4 inclus.

16. Calculer les longueurs des lames correspondant aux notes extrêmes.

--Pagc4/7--

III.B.c Etude statique.

Une force extérieure constante E = --F 53, est appliquée sur la lame, en son 
milieu (51: = L / 2). F
est une grandeur algébrique, @ priori positive. Les réactions aux appuis sont 
notées ËA : RA 53, et
ËB = R3 ëy.

N.B. : Les équations obtenues en (II) ont été établies pour des tronçons de 
lame soumis a aucune
force extérieure. Elles restent donc applicables sur chacun des intervalles 
ouverts ]0, L / 2[ et ]L / 2, L[.

17. Exprimer les réactions aux appuis RA et R3.

18. En traduisant l'équilibre mécanique de portions de lame bien choisies (et 
que l'on précisera),
exprimer T(oe) et M(oe) sur chacun des intervalles ]0, L/2[ et ]L/2, L[.

19. Représenter l'évolution des grandeurs T et M en fonction de a:.
20. Indiquer les conditions aux limites que doit satisfaire la fonction Y.
21. En déduire l'expression de la flèche YM E lY (L / 2)l, en fonction de v, L 
et F.

III.B.d Aspect énergétique.

Pour le mode fondamental, nous considérons que les effets inertiels agissant 
sur la lame peuvent
être négligés (régime quasistatique). La déformation de la lame en oscillation 
(pour l'amplitude YM)
est alors proche de sa déformation statique. Le résultat obtenu a la question 
(21) suggère alors de
modéliser la lame par un système masse--ressort dont YM représenterait 
l'amplitude d'élongation. On
attribue a ce système la masse "dynamique" équivalente m1 : 48m / 7r4 w 0, 5 m 
(m étant la masse de
la lame).

22. À travers ce modèle, donner un argument qui justifie que m1 < m.

23. Exprimer la raideur la du ressort équivalent, puis la pulsation un du 
fondamental de la lame (en
fonction de m1 et lq).

24. Dans le cadre de ce modèle, établir une relation entre l'amplitude YM des 
vibrations du fonda--
mental et l'énergie de vibration U de la lame.

25. La lame émet un la?» de niveau 60 dB, a une distance de 5 mètres, avec une 
durée de persistance de
l'ordre de 1 seconde. Nous supposons que la puissance acoustique est rayonnée 
de façon isotrope
et que l'énergie de la lame ne se dissipe que par ce rayonnement. Estimer YM en 
fonction de la
fréquence fondamentale V1 de la lame, de sa masse m et de son énergie initiale 
U0.

26. Donner une valeur approximative de YM pour la lame du la?» (440 Hz) (m = 
260 g).

27. Estimer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet oscillateur (en 
précisant la méthode de
détermination). Le comparer a celui d'un circuit électrique (passif) courant.

28. Nous considérons ici, et ici seulement, l'action de la pesanteur.
Toujours dans le cadre de ce modèle, et avec les valeurs adoptées, déterminer 
si le contact entre
les extrémités de la lame et les appuis reste effectivement maintenu.

III.C Lame encastrée : boîte à musique, clarinette, ou saxophone.
III.C.a Détermination des modes d'0scillation libres de la lame.

Pour ces instruments, la lame est encastrée a une extrémité et libre a l'autre 
(figure (4)).

Nous adoptons les conditions aux limites suivantes :

Y
Pouroe=0, Y=0 et Ê--=0
(VÉER) P _L Ô2Y _0 t OEÔBY _O (9)
ouroe- , Ôa:2_ e 8553--

--Page 5/7--

A B

0 L

Figure 4 -- Lame encastrée a une extrémité et libre a l'autre.

29. Justifier ce choix de conditions aux limites.

30. Les conditions aux limites imposent que le produit KL vérifie la relation :

KL : ---- 10
COS( ) cosh(KL) ( )
Donner une forme asymptotique (KL >> 1) des solutions.
31. Les premières solutions de l'équation précédente conduisent a :
(Kg/1x1)2 = 6, 250 ; (Kg/1x1)2 = 17, 556 ; (rg/m)2 = 34, 340 (11)

Le spectre des pulsations peut--il être représenté par une série de Fourier ?

IV Un piano joue plus ou moins juste

Nous étudions les vibrations d'une corde métallique, cylindrique, tendue entre 
deux points fixes.
Cette corde est caractérisée par :

0 Sa longueur L et son rayon r;
0 Sa masse volumique ,a (ou sa masse linéique ,u : 7rr2p) et son module d'Young 
E;
0 Sa tension N

La corde d'un piano est initialement fortement tendue. Nous pouvons alors 
considérer que l'élongation

due aux vibrations ne modifie pas sa tension. Dans ce cadre, rappelons que 
l'équation d'évolution
)» °

s ecr1t :

@@ @@ 34Y 2E
3152 C2Ê + AË : 0 où) dans ce cas, A : Tél--p (12)

Tous les termes de cette équation interviennent dans le comportement de cette 
corde.

IV.A Anharmonicité d'une corde réelle.

Nous recherchons les solutions de cette équation sous la forme :
Y(oe,t) : Re[X] avec X : f(a3) exp(iwt) et f EUR CC (13)

32. Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction f. On posera D = 
A/ c2 et lc : w/c.

33. La fonction f est de la forme :
f(oe) : F1 sin(K;oe) + F2 cos(K;oe) + F3 sinh(ch) + F4 cosh(KRaÿ) (14)

où les constantes Fi sont complexes et les constantes K 1 et K R réelles 
positives.
Expliciter K 1 et K R en fonction des paramètres D et lc.

--Page 6/7--

34.

35.
36.

37.

Le système de fixation des cordes permet d'imposer les conditions aux limites :

f(0) = f(L) = 0 et f"(0) = f"(L) = 0 (15)
Schématiser un dispositif de fixation susceptible d'imposer de telles 
conditions aux limites.

Préciser la fonction f ainsi que la série des paramètres K ] autorisés .

À chaque valeur de K 1 correspond un mode de fréquence un (n = 1 pour le mode 
de fréquence
la plus faible). Établir que :

Vn : num/ 1 --l-- Bn2 (16)

où V0 est la fréquence du fondamental pour B = 0 (corde vibrante "classique").
Préciser l'expression du terme d'anharmonicité B, d'abord en fonction de 7", E, 
N et L, puis en
fonction de 7", E, L, ,a et V0.

Comment réduire l'anharmonicité du son? Vers quel système la corde de piano 
tend--elle alors,
et pourquoi ?

IV.B Piano droit, piano à queue.

Les deux exemples de piano que nous allons considérer sont des cas extrêmes et 
simplifiés. La
structure réelle des cordes de piano de concert est plus complexe (âme en 
cuivre, entourée d'acier
torsadé).

38.

39.

40.

La corde du la2 (220 Hz) d'un piano droit mesure 67, 7 cm et son diamètre est 
égal a 0, 96 mm
(B = 3, 5 >< 10--4).

Calculer la fréquence de la dixième harmonique (encore très présente dans le 
timbre d'un piano).
Placer ce résultat entre la fréquence de l'harmonique parfaite et le demi-ton 
supérieur ( % =
1, 059). Commenter ce résultat.

La corde du la2 d'un piano a queue, réalisée dans le même acier, mesure 170,1 
cm, pour un
diamètre de 0, 79 mm. Dans quel rapport B est--il réduit ? Quelle en est la 
conséquence ?

Un piano dispose de 88 notes. Pour estimer la force totale exercée sur le 
cadre, nous considérons
que pour chaque note il y a trois cordes et que toutes les cordes subissent la 
tension correspondant
au la2.

Avec les données précédentes, estimer la force totale exercée par les cordes 
dans un piano droit
et dans un piano a queue (p = 8000 kg - m_3).

--Page 7/7--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique B PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce sujet, conforme aux nouveaux programmes, prend pour prétexte l'étude des
instruments de musique à cordes et à lames pour approfondir le modèle de la 
corde
vibrante.
· Dans une première partie introductive, on rappelle sans démonstration les 
principales propriétés ­ hypothèses, résultats, mise en oeuvre ­ du modèle 
idéal de
la corde vibrante. Très qualitative, elle repose sur une bonne connaissance du
modèle de la corde de Melde et de sa réalisation expérimentale.
· La deuxième partie élabore le modèle général qui sera utilisé par la suite. 
Profonde, elle nécessite non seulement de bien maîtriser la démonstration de 
l'équation d'onde de la corde vibrante, afin de l'adapter à un contexte plus 
riche,
mais également de pouvoir prendre suffisamment de recul fasse au problème
pour faire des choix pertinents ou formuler les hypothèses nécessaires.
· Le coeur du sujet est constitué par la troisième partie, qui représente à elle
seule autant que l'ensemble des autres parties et se compose de multiples 
sousparties. Consacrée à l'étude des instruments à lames, elle pose dans un 
premier
temps la forme générale des solutions avant de mener l'étude détaillée du 
comportement d'une lame de xylophone. Tout d'abord très classique (recherche
des modes propres), cette sous-partie s'enrichit ensuite d'une étude statique
faisant appel aux outils de la statique des solides. Cette analyse prend tout
son sens dans une dernière phase de modélisation, essentiellement énergétique,
où le comportement statique est utilisé pour construire un modèle élastique
effectif. De loin la section la plus complexe, elle nécessite une bonne 
connaissance des propriétés des oscillateurs mécaniques et électriques, ainsi 
que des
lois de transport d'énergie dans les ondes acoustiques ; le tout sans perdre de
vue le problème initial afin de garder le fil et de pouvoir répondre aux 
dernières
questions. Enfin, une dernière sous-partie plus anecdotique aborde les lames
encastrées et suppose de bien comprendre la signification des conditions aux
limites.
· Pour terminer, la dernière partie revient sur le modèle de la corde vibrante 
pour
analyser les altérations spectrales induites par le modèle de la partie II. 
Essentiellement calculatoire, cette partie ne nécessite aucune compétence 
nouvelle.
Très exhaustif, voire un peu répétitif sur la fin, ce sujet est l'occasion 
d'approfondir
le modèle fondamental de la corde vibrante. À noter que si l'essentiel du sujet 
est
constitué par la partie III, c'est dans la partie II que l'on trouve les 
analyses physiques
les plus élaborées, ainsi que dans la sous-partie III.B.d. Enfin, si les 
parties sont
essentiellement indépendantes, les principaux résultats nécessaires étant 
fournis par
l'énoncé, une bonne compréhension de la partie II, de même que la maîtrise des
connaissances requises dans la partie I, semblent indispensables pour mener à 
terme
les autres parties.

Indications
Partie II
2 Veiller à respecter les conditions aux limites sur le schéma. À la résonance, 
l'amplitude de la corde est très grande devant celle du vibreur, alors qu'elle 
est du
même ordre le reste du temps.
5 Faire un schéma et considérer la variation d'altitude entre deux points 
voisins.
6 Pour justifier le choix d'un modèle, on peut, par exemple, utiliser la 
relation de
la question 5 pour exprimer les moments en fonction de l'angle  puis considérer
le cas d'une tige manuellement déformée pour avoir une portion de tige 
rectiligne
inclinée d'un angle non nul. Que prévoit alors chacun des modèles ? Que 
s'attendon à trouver physiquement ?

8 La projection du PFD sur -
e donne une première équation qui, après intégration,
x

permet de lier N,  et T. Cette relation fait intervenir une constante 
d'intégration,
a priori fonction du temps, dont il faut justifier qu'on peut la considérer 
constante.
Enfin, pour la seconde projection, il est nécessaire de se restreindre aux 
termes
d'ordre 1 en .
9 Chaque extrémité peut a priori se déplacer et pivoter. Pour chacun de ces 
comportements, deux conditions aux limites mutuellement exclusives peuvent être
envisagées.
Partie III
14 Pour qu'une description par série de Fourier soit possible, il faut que 
toutes les
vibrations partagent une période commune.
16 Utiliser les informations sur le la3 pour déterminer les constantes 
inconnues.
18 Attention, pour une portion de lame de type ]x, L[, les efforts à gauche 
sont -T
et -M.
20 L'équation différentielle d'ordre 2 de la question 6 impose la continuité de 
la
fonction et de sa dérivée première.
25 Utiliser les résultats des deux questions précédentes.
26 Utiliser les données de la question précédente pour estimer l'énergie totale 
rayonnée par la barre. Les lois sur l'intensité acoustique rappelées en 
introduction seront
également nécessaires.
27 Le facteur de qualité d'un oscillateur est le produit de sa pulsation propre 
par le
temps caractéristique de décroissance de l'énergie.
Partie IV
39 Utiliser la deuxième expression obtenue pour B à la question 36.
40 Des deux expressions du coefficient B obtenues à la question 36, extraire 
une loi
permettant de déduire la tension N à partir des données.

I. Préliminaires : vibration d'une corde souple
1 La corde souple est régie par l'équation proposée aux conditions suivantes :
· au repos, la corde est horizontale ;
· l'action du poids est négligeable devant les forces de tension ;
· la corde est inextensible (longueur totale à peu près constante), inélastique 
(pas
de constante de raideur) et parfaitement souple (pas de module d'Young) ;
· en tout point de la corde en mouvement, l'angle que fait la corde avec la 
direction horizontale (direction de repos) reste toujours faible.

On pourrait ajouter qu'il faut que la corde soit suffisamment tendue pour que
les vibrations ne modifient pas sa tension. Toutefois, cette dernière condition
est en réalité une conséquence des autres hypothèses.
Expérimentalement, on réalise ces conditions en utilisant une corde souple, par
exemple en fibres végétales tressées, attachée à une de ses extrémités à un 
point fixe
(ou presque fixe tel qu'un vibrateur). Sa seconde extrémité est attachée à une 
masse
suffisamment importante pour rendre négligeable l'action du poids sur la corde. 
Celleci est enfin disposée horizontalement jusqu'à une poulie qui permet de 
transmettre
la tension exercée par la masse à l'ensemble de la corde.

poulie
support
xe
masse
Enfin, dans l'équation décrivant les petits mouvements vibratoires de la corde,
la constante c est la célérité des ondes progressives, c'est-à-dire la vitesse 
à laquelle
progresse une onde unique.
Ce dispositif n'est pas le seul acceptable. On pourrait également attacher la
corde à ses deux extrémités et fixer la tension de l'ensemble en jouant sur
l'écartement entre les deux points de fixation, ou encore en enroulant la corde
sur une clef de serrage comme dans une guitare ou un violon.

2 Dans les deux cas, on observe une vibration harmonique stationnaire de la 
corde
dont l'extrémité droite (x = L) est un noeud. Toutefois, dans le cas (a), le 
vibreur est
un point quelconque de la vibration tandis que dans le cas (b), il apparaît 
comme un
noeud « effectif » (l'amplitude n'y est pas nulle mais très faible devant 
l'amplitude
des ventres).

b) résonan e

a) quel onque

0

L

Dans le cas (b), la longueur totale L de la corde sépare deux noeuds, ce qui
correspond à
L=n

, nN
2

où  = 2 c/ est la longueur d'onde associée à la pulsation . Les pulsations 
propres
n sont donc données par
n = n

c
, nN
L

3 La fréquence fondamentale est 1 = 1 /2 = c/2L. Pour augmenter cette 
fréquence, on peut donc, au choix :
· augmenter la célérité c ;
· diminuer la longueur de la corde L.
Rappelons que la célérité c augmente si la tension de la corde augmente ou
si sa masse linéique diminue.
4 Notons  la3 la pulsation associée au la3. Pour jouer les 12 demis tons entre 
le
la3 et le la4, on peut envisager un instrument à 13 cordes de même masse 
linéique et
soumises à une même tension, de longueurs respectives :
c

Lp = p/12
 la3
2
Ainsi, pour p = 0 on retrouve le la3 et pour p = 12 on obtient le la4 tandis 
que les
autres valeurs entières de p entre 0 et 12 donnent les demi-tons intermédiaires.
L'énoncé est légèrement ambigu : du la3 au la4, il y a treize demis tons
si on compte le la3 et le la4. Quels sont les 12 qu'il faut obtenir ? On peut
supposer que cela n'a guère d'importance, les examinateurs s'intéressant sans
doute plus à la démarche proposée qu'aux valeurs obtenues.
L'« instrument » ainsi créé se rapproche du piano à queue ou de la harpe.
Il est toutefois possible de couvrir toute la gamme avec moins de cordes,
en réduisant « à la main » la longueur d'une corde donnée pour lui faire
jouer plusieurs notes : c'est le principe des guitares et violons. Le nombre
d'accords possibles (combinaisons de notes jouées simultanément) s'en trouve
en revanche réduit.