X Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Deux phénomènes d'hystérésis
Principaux outils utilisés oscillateur amorti, réflexion/transmission à une interface
Mots clefs hystérésis, non linéaire, microscope à force atomique, coefficient de transmission, coefficient de réflexion, laser

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Deux phénomènes d'hystérésis
Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a 
hystérésis lorsque la
courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe 
E = f(C) obtenue
à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes 
physiques
présentant un phénomène d'hystérésis.
Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction 
périodique f (x), de
période 2, peut être développée en série de Fourier :

X
X
1
f (x) = a0 +
bn sin(nx) avec
an cos(nx) +
2
n=1
n=1

1
a0 =

Z +
-

f (x)dx,

1
an =

Z +

f (x) cos(nx)dx,

-

1
bn =

Z +

f (x) sin(nx)dx

-

I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique
Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force. 
Son principe
est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à 
l'extrémité d'un bras de levier
souple qui fait office de ressort. L'autre extrémité de ce bras est fixe. 
L'extrémité du bras portant
la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette 
dernière. La force qui
s'exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion 
du bras, que l'on
détermine à partir de la réflexion d'un faisceau laser.
Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une 
force périodique
de fréquence proche de la fréquence de résonance du système bras-pointe. 
L'interaction pointesurface perturbe le système, ce qui entraîne une variation 
de l'amplitude de vibration. L'ordre de
grandeur de l'amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de 
quelques dixièmes
à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire 
lorsque la pointe
balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l'aide 
de céramiques
piézoélectriques, le déplacement de la sonde au-dessus de la surface s'effectue 
avec une précision
de l'ordre du nanomètre dans les trois directions de l'espace.
1

Figure 1. Schéma d'une sonde ; à gauche au repos, à droite en flexion
À titre d'information, les dimensions caractéristiques d'un levier sont : 
longueur de 100 à
200 µm, largeur de 20 à 30 µm et épaisseur de 1 à 5 µm. La pointe est conique, 
d'une hauteur
de 5 à 20 µm ; l'angle d'ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de 
courbure de l'extrémité
de l'ordre de 20 nm ; l'aire en regard de la surface à étudier est ainsi d'une 
centaine de nm2 .
On suppose que le mouvement de la pointe s'effectue selon la direction 
verticale. Sa position
est repérée par son altitude z(z > 0) à partir de la surface ; on note d la 
distance séparant la
pointe de la surface lorsque la sonde est à l'équilibre en l'absence de forces 
externes.
I.1 Mouvement de la sonde loin de la surface
Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique 
constitué d'une masse
ponctuelle m soumise :
­ à une force de rappel élastique -k(z - d) avec k > 0,
­ à un amortissement représenté par une force de frottement visqueux -z, avec  
> 0,
­ à une force d'excitation selon Oz, sinusoïdale, fz = f0 cos t.
I.1.1 Écrire l'équation du mouvement régissant le mouvement de cet oscillateur.
Dans la suite, on pose 02 =

k
,
m

Q=

m0
,

am =

Qf0

.
et u =
2
0
m0

I.I.2 Déterminer les dimensions de Q, am et u.
I.1.3 En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la forme z(t) = d + a 
cos(t + ),
avec a réel positif. Déterminer l'amplitude a() ; l'exprimer en fonction de am 
, Q et u.
Comment évolue le graphe de a() en fonction de Q ?
I.1.4 Calculer la fréquence propre 0 = 0 /2 pour m = 5 × 10-11 kg et k = 20 N · 
m-1 .
Les valeurs typiques de Q sont de quelques centaines. On prendra Q = 400. Toute 
l'étude
qui suit s'effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas 
l'approximation :
am
a()  »
.
1 + Q2 (1 - u2 )2
I.2 Réponse près de la surface
Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force 
additionnelle
verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est 
attractive et donnée
2

K
par F (z) = - 2 où Kest une constante positive qui dépend de la taille de la 
pointe et des
z
matériaux en présence.
En effectuant l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude, on adopte pour F 
(z) la forme
approchée suivante :
F (z) = A + B(z - d) + C(z - d)2 + D(z - d)3
(1)
I.2.1 Expliciter les quatre coefficients du développement à l'aide de F (z) et 
de ses dérivées.
On étudie tout d'abord l'effet des deux premiers termes de l'expression (1) et 
l'on effectue le
changement de variable Z = z - d.
I.2.2 Écrire l'équation différentielle régissant le mouvement de la pointe.
I.2.3 Quel est l'effet du terme A sur les oscillations forcées de la sonde ? 
Calculer l'amplitude de cet effet en fonction de K, k et d. L'évaluer 
numériquement pour d = 15 nm
et K = 5 × 10-28 N · m2 .
I.2.4 Sur quelle caractéristique de l'oscillateur influe le terme B ? Évaluer 
numériquement
cet effet avec les données précédentes.
I.2.5 Pour des amplitudes d'oscillation plus importantes, les termes non 
linéaires C(z -d)2 et
D(z -d)3 de l'expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les 
valeurs élevées de Q,
au voisinage de la résonance, l'oscillation forcée reste pratiquement 
sinusoïdale à la pulsation 
de la force excitatrice, soit Z(t) = a cos(t + ). Montrer que ces termes non 
linéaires entrainent
l'apparition d'harmoniques à des fréquences différentes de  ; préciser ces 
fréquences.
I.3 Réponse non linéaire (fortes amplitudes)
On effectue maintenant une expérience d'approche-retrait : la pointe en 
vibration est rapprochée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont 
supposés être verticaux. On observe ainsi
l'influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d'un 
échantillon et l'on utilise ces
données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon 
leur dépendance
avec la distance.
Dans ces expériences, l'amplitude d'oscillation est importante et la pointe 
s'approche très
près de la surface. La forme approchée (1) n'est plus utilisable et il est 
nécessaire de prendre en
K
compte l'expression "exacte" de la force d'interaction pointe-surface, soit F 
(z) = - 2 .
z
I.3.1 Écrire l'équation du mouvement de la pointe avec cette expression.
I.3.2 À d fixé, l'expérience montre que le mouvement de l'oscillateur demeure 
pratiquement
harmonique, soit Z(t)  a cos(t + ). Avec z = d + Z(t), la force F (z) est 
périodique en
 = (t + ) et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme 
fondamental en 
joue un rôle prédominant.
Expliciter ce terme à l'aide de K, d et a. On donne :
Pour 0  b < 1,

1
2

Z +
-

cos 
b
.
d = -
2
(1 + b cos )
(1 - b2 )3/2
3

m0
Qf0

k
,Q=
, am =
,
et u =
2
m

0
m0
montrer que l'amplitude a et la distance d sont reliées, pour u fixé, par :
I.3.3 En utilisant comme en I.1.1 les notations 02 =

2

a

®

i2
1
2K
+ u2
Q 1-u -
k (d2 - a2 )3/2
2

h

2

I.3.4 On introduit les variables adimensionnées : a =
Montrer que d~ s'exprime en fonction de a selon :

d~2 = a2 + 
Dans toute la suite, on remplacera

Q(1 -

»

±

2/3

»

1/a2 - u2

1/a2 - u2 par

I.3.5 Calculer numériquement Q
K = 5 × 10-28 N · m2 , k = 20 N · m-1 ,

= a2m .

a
d
2K
avec a  1, d~ =
et  = 3 .
am
am
kam

Q
u2 )

´

»

(2)

1/a2 - 1.

avec les valeurs données précédemment
Q = 400 et en prenant am = 13, 5 nm.

soit

Dans toute la suite, on prendra (Q)2/3 = 0, 04.

Figure 2. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour  = 0 .
Elles sont pratiquement confondues
La figure 2 montre une courbe d'approche-retrait, la pointe étant excitée à sa 
pulsation de
résonance libre  = 0 , soit u = 1. L'expression (2) se met alors sous la forme :
d~2 = a2 +

0, 04
(1/a2 - 1)1/3

(3)

I.3.6 Montrer que d~ est une fonction croissante de a. Préciser les valeurs 
limites de a pour
~
d  0 et d~  .
I.3.7 Calculer la valeur de d~ pour a = 0, 95 ainsi que l'écart (d~ - a).
I.3.8 Le calcul numérique montre que (d~ - a) reste inférieur à 0,04 pour 0,2 < 
d~ < 0, 99.
~ à l'aide de deux
Déduire de ces résultats que l'on peut modéliser simplement le graphe de a(d)
portions de droites et en donner le tracé. Comment se compare-t-il au résultat 
expérimental de
la figure 2 ?
4

Figure 3. Courbes expérimentales d'approche-retrait pour  < 0 .
Approche : d décroissant régulièrement ; Retrait : d croissant régulièrement
Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les 
courbes approcheretrait présentent de l'hystérésis. Des sauts brusques de 
l'amplitude se produisent à des distances
d différentes lors de l'approche et lors du retrait. L'excitation s'effectue 
alors à une fréquence
très légèrement inférieure à celle de résonance libre,  < 0 soit u < 1.
I.3.9 On choisit u pour avoir Q(1 - u2 ) = 0, 9 ; calculer la valeur de u.
~ comme celui de d(a),
~
I.3.10 Le graphe de a(d),
comporte deux branches, les branches  et
 associées respectivement aux signes + et - du dénominateur du crochet de (2). 
Pour quelle
valeur de a ces deux branches se rejoignent-elles ? Quelle est la valeur de d~ 
correspondante ?
~
I.3.11 Montrer que la branche  correspond à une fonction d(a)
monotone croissante. La
~ peut être modélisé
situation est analogue à celle analysée en question I.3.8 ; le graphe de a(d)
simplement par un segment de droite que l'on précisera.
~
I.3.12 Pour la branche , calculer la valeur de a correspondant aux grandes 
distances d.
~
~
Calculer la valeur d1 de d correspondant à a = 0, 75. En déduire l'allure du 
graphe de cette
branche pour d~ > d~1 .
I.3.13 Pour a > 0, 75, le graphe de
la branche  est donné en figure 4. Rassembler sur un même dessin les graphes
des deux branches. À l'aide de ce dessin,
comment interprétez-vous le résultat expérimental de la figure 3 et 
l'hystérésis qui
s'y manifeste ?

Figure 4. Branche  ; graphe pour a > 0, 75

5

II. Réflexion à la surface d'un dioptre plan
Deux milieux diélectriques transparents, d'indices n1 et n2 , sont séparés par 
le dioptre plan
xOy, le milieu d'indice n1 correspondant à z < 0 (figure 5).
Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation , de champ 
électrique
~
Ei = Ei0 cos(t - ~ki · ~r)~ey , arrive sous l'angle d'incidence 1 , (0 < 1 < 
/2) sur le dioptre,
xOz étant le plan d'incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se 
propageant dans le
~ r = E 0 cos(t - ~kr · ~r)~ey et à une onde transmilieu d'indice n1 , de champ 
électrique E
r
~ t = Et0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , avec les
mise dans le milieu d'indice n2 , de champ électrique E
angles respectivement de réflexion 1 et de réfraction 2 (0 < 1 < /2 et 0 < 2 < 
/2).

Figure 5.

Les coefficients de réflexion r et de transmission t pour les amplitudes sont 
donnés par :
r=

Er0
sin(2 - 1 )
;
=
0
Ei
sin(2 + 1 )

t=

Et0
2 cos 1 sin 2
.
=
0
Ei
sin(2 + 1 )

L'intensité énergétique moyenne d'une onde électromagnétique monochromatique de 
champ
~ = E 0 cos(t - ~kt · ~r)~ey , se propageant dans un milieu non absorbant 
d'indice n, est
électrique E
1
donnée par I = 0 cn(E 0 )2 .
2
II.1 Réflexion ­ transmission en incidence rasante
Dans toute la partie II , l'indice n2 reste très proche de l'indice n1 . De 
plus l'incidence

est quasi rasante et on pose 1 = - 1 avec 0 < 1  /2. On pose de même 2 = - 2
2
2
avec 0 < 2  /2 lorsqu'il y a transmission.
II.1.1 Montrer que dans ces conditions r =
avec t = 1 + r.
II.1.2 Exprimer de même le rapport

Et0
1 - 2
21
Er0
et
t
=

0
0
1 + 2
1 + 2
Ei
Ei

It
en fonction de 1 et 2 , en tenant compte de n2  n1 .
Ii

II.2 Réflexion­transmission en régime non linéaire
On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l'indice 
n2 y dépend
de l'intensité. On pose n2 (It ) = n2 (0) + It = n1 -  + It, ce qui définit les 
constantes positives
 et . On suppose , It  n1 , de sorte que n2 reste toujours peu différent de n1 .

6

II.2.1 On suppose d'abord l'intensité It faible, n2  n2 (0) = n1 - . Déterminer 
en fonction
de n1 et  l'angle d'incidence limite c tel qu'il existe une onde transmise pour 
1  c .
II.2.2 On suppose maintenant 0 < 1 < c mais avec l'intensité It suffisamment 
forte pour
avoir n2 > n1 . Pour une incidence 1 donnée, quelle est la valeur minimale de 
Ii / pour qu'il
y ait transmission d'une onde dans le milieu d'indice n2 ? Expliciter cette 
valeur en fonction de
1 et c .
Calculer cette valeur minimale pour

1
1
1 1
1
1
= ,
=  et
= .
c
4 c

2 2
2
c

II.2.3 Exprimer n2 en fonction de n1 , , 1 , 2 ,  et Ii .
II.2.4 Toujours pour n2 > n1 , déduire de la loi de Descartes pour la 
réfraction la relation
liant 1 et 2 et montrer qu'à l'ordre le plus bas en 1 et 2 , cette relation 
prend la forme :
h
Ii
4r  1 2 i
1
1
-
.
=

(1 + r)2
(1 + r)2 c
 I 
i
pour 0  r  1 et dans chacun des cas
II.2.5 Tracer l'allure de la courbe r = f

1
1 1
1
1
1
suivants :
= ,
=  et
= .
c
4 c
c
2 2
2

Ii
et de n2 lorsque r = 0 ? Que se passe-t-il alors physiII.2.6 Quelles sont les 
valeurs de

quement ?
II.3 Onde évanescente en régime non linéaire
On suppose maintenant que l'inégalité n1 > n2 est satisfaite, et on se place 
dans la situation
où 0 < 1  c (angle d'incidence supérieur à l'angle limite). C'est la situation 
de réflexion
totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et 
magnétique au passage
du dioptre implique cependant qu'il existe une onde électromagnétique dans le 
milieu d'indice n2 .
~ t = Et0 e-z cos(t - x + )~ey avec :
Le champ électrique est donné par : E
=

» 2 2
n1 sin 1 - n22
c

et

 E 0 2
t
Ei0

=

4n21 cos2 1
.
n21 - n22

II.3.1 On considère l'interface verre/CS2 . L'indice du verre est n1 = 1, 63 ; 
celui du CS2 est
n2 = n1 - , avec  = 1, 0 × 10-3 . Calculer la valeur numérique de la profondeur 
de pénétration

 -1 de l'onde électromagnétique transmise pour un angle d'incidence 1 = 88, 6 
et pour une
longueur d'onde de 694 nm (laser à rubis).
II.3.2 On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS2 . 
On se place

toujours en incidence quasi-rasante : 1 = - 1 et 0 < 1  /2, mais avec It 
suffisamment
2
faible pour avoir n2 < n1 donc réflexion totale. On pose toujours n2 (It ) = n1 
-  + It , où It
correspond au champ près du dioptre, soit Et0 .

7

Montrer que It vérifie l'équation du second degré :
It2 -

2n1 21
It +
Ii = 0 .

II.3.3 Que se passe-t-il physiquement lorsque Ii > Iic , où Iic =

1   c 2
?
16  1

1
1
Ii
= . Tracer le graphe r = f ( ) lorsque Ii croît de 0 à Iic .
c
4

En reprenant les résultats des questions II.2.5 et II.2.6, tracer sur le même 
dessin la courbe
Ii
r = f ( ) lorsque Ii décroît de Iic à 0.

1
1
1
1
=  et
= ?
Comment ces courbes sont-elles modifiées pour
c
c
2 2
2
II.3.4 On fixe la valeur

II.3.5 Le coefficient  pour CS2 vaut 3×10-14 W-1 ·cm2 . Calculer Iic pour

1
1
= . Comment
c
4

peut-on obtenir une telle intensité ?

II.3.6 La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en 
intensité R = |r|2
de l'interface verre-CS2 en fonction de l'intensité incidente, exprimée en 
unités arbitraires. Les
points noirs sont obtenus en augmentant l'intensité incidente, les cercles 
ouverts en la diminuant.
Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peut-on envisager ?

Figure 6. Coefficient de réflexion fonction de l'intensité

8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien
Dumont (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur).

Composé de deux parties entièrement indépendantes, ce sujet traite de 
phénomènes d'hystérésis observés d'une part dans un microscope à force 
atomique, d'autre
part à l'interface entre deux lames transparentes éclairées par un faisceau 
laser de
forte puissance.
· La première partie débute par l'étude de la pointe du microscope, modélisée
par un oscillateur amorti. Cette pointe est alors soumise à des forces de Van 
der
Waals, dont on étudie l'effet sur les grandeurs caractéristiques de 
l'oscillateur
en se limitant, tout d'abord, à un développement de Taylor de la force au
voisinage de la position d'équilibre. Revenant à l'expression de la force sous 
sa
forme générale, on aboutit à l'étude de deux courbes expérimentales obtenues
en approchant ou en éloignant le résonateur de la surface. Ces courbes diffèrent
par la présence d'un cycle hystérésis sur la seconde, que l'on s'efforce 
d'expliquer
théoriquement. Cette partie peut être abordée dès la première année, comme
application du chapitre sur l'oscillateur amorti.
· Dans la seconde partie, on commence par linéariser les expressions des 
coefficients de transmission et de réflexion pour une incidence rasante sur la 
lame.
L'indice optique de la lame dépend de l'intensité du faisceau laser, ce qui 
conduit
à l'étude de la transmission de l'onde dans ce cas. On montre que pour une 
intensité suffisamment élevée, le milieu, qui devrait être complètement opaque 
si
l'indice optique était indépendant de l'intensité, peut en réalité laisser 
passer
une partie de la lumière incidente et on observe le phénomène d'hystérésis.
Nécessitant peu de connaissances issues du cours, cette épreuve mêle des 
applications numériques faciles à des calculs qui, bien que courts ou peu 
techniques, sont
souvent subtils et testent efficacement les capacités d'analyse du candidat. 
Elle requiert également un bon sens physique pour comparer courbes 
expérimentales et
résultats théoriques. Ce sujet peut être traité par les élèves de toutes les 
filières et
contribuera à nourrir leur culture scientifique.

Indications
Partie I
I.1.3 Utiliser la notation complexe.
I.2.3 Montrer que la position d'équilibre du système est modifiée.
I.2.4 Montrer que la raideur effective de la tige est modifiée.
I.2.5 Utiliser cos 2a = 1 - 2 cos2 a pour réécrire cos2 (t + ) et cos3 (t + ).
I.3.3 Procéder comme à la question I.1.3.
I.3.6 Dériver de2 par rapport à e
a.

Seul le second terme de l'expression de de2 peut tendre vers l'infini.
I.3.10 Traduire le fait que de donnée par la branche  est égale à de donnée par 
la
branche .
I.3.11 Procéder comme à la question I.3.6, puis évaluer |de - e
a| pour vérifier que
|de - e
a| < 0,04.

I.3.12 Seul le second terme de l'expression de de2 peut tendre vers l'infini.
I.3.13 Raisonner graphiquement en faisant croître puis décroître de; lorsqu'une 
branche ne permet plus à de d'augmenter (ou diminuer), le système bascule sur
l'autre branche.
Partie II
II.1.1 Remplacer 1 et 2 par 1 et 2 , puis linéariser.
II.1.2 Utiliser l'expression fournie pour exprimer les intensités en fonction 
des indices optiques et des amplitudes des champs. Utiliser ensuite t.
II.2.1 Utiliser la loi de Descartes pour la réfraction.
II.2.2 Utiliser la loi de Descartes. Se placer dans le cas de l'incidence 
rasante
(2 = 0). Justifier que l'on a alors It = 4 Ii .
II.2.3 Relier It et Ii . Utiliser la loi fournie reliant n1 et n2 .
II.2.4 Développer la loi de Descartes à l'ordre 2 et tenir compte de
1 , 2  1

et

/n1 , It /n1  1

Exprimer 4 r/t2 en fonction des i .
II.2.5 Utiliser la symétrie par rapport à la première bissectrice.
II.3.2 Utiliser la formule fournie dans cette sous-partie reliant les 
amplitudes des
champs incidents et transmis et faire apparaître les intensités.
II.3.3 Dans cette sous-partie, prendre garde que It n'est pas l'intensité 
transmise.

I. Courbes approche-retrait en
microscopie à force atomique
I.1.1 Appliquons le théorème de la résultante dynamique à l'oscillateur dans le

référentiel du laboratoire, supposé galiléen, en projection sur l'axe -
ez ; il vient
m z = -k (z - d) -  z + f0 cos t
Ainsi,

z +

Ce qui se réécrit

z +

k
f0
z +
(z - d) =
cos t
m
m
m

0
am  0 2
z + 0 2 (z - d) =
cos t
Q
Q

I.1.2 Puisqu'il est le rapport de deux pulsations, u est sans dimension. De 
plus,
- dz/dt a la dimension d'une force donc [] = [F] T/L = M/T ; ainsi [0 /] = M-1
et Q est sans dimension. Enfin,

f0
M L T-2
=
=L
2
m 0
M T-2
Par conséquent, am est homogène à une longueur.
I.1.3 Puisque l'on se place en régime sinusoïdal forcé, utilisons la notation 
complexe
et posons z = d + a ei(t+) et remplaçons cos t par eit ; l'équation obtenue à la
question I.1.1 devient alors
0  i
am  0 2
- 2 a ei + i
a e + 0 2 a ei =
Q
Q
Puis,

a ei =

dont le module est

0

2

am 0 2 /Q
am
=
-  2 + i 0 /Q
Q (1 - u2 ) + i u

am
a() = p
2
Q (1 - u2 )2 + u2

(car a > 0)

On peut être surpris de l'approximation faite par l'énoncé puisque, si l'on
pose u = 1 + , le premier terme d'ordre non nul est d'ordre 1 pour u2
(u2  1 + 2 ) et le premier terme d'ordre non nul est d'ordre 2 pour (1 - u2 )2
((1-u2 )2  4 2 ). Mais l'énoncé précise que Q est grand. Ainsi, si l'on suppose
que Q est d'ordre inférieur ou égal à -1 en , le terme Q2 (1-u2 )2 est d'ordre
inférieur ou égal à 0 et alors on peut prendre u2  1.
On sait que
Plus Q est grand, plus le pic autour de la résonance est
fin et plus la pulsation de résonance est proche de 0 .
Rappelons que la pulsation de résonance  de l'oscillateur amorti et la largeur  
du pic de résonance vérifient
r
1
1 p
 = 0 1 -
et  = 2 1 - 4 Q2
2
2Q
Q
Ainsi,  se rapproche de 0 et  de zéro lorsque Q croît.

I.1.4 La fréquence propre est alors
1
0 =
2

r

k
= 100 kHz
m

I.2.1 Écrivons un développement de Taylor de F, à l'ordre 3, autour de z = d :
F(z) = F(d + (z - d))
(z - d)2
(z - d)3
+ F (d)
2
6
L'expression fournie permet de calculer les dérivées de F :
K
2K
3K
4K
F(z) = - 2 + 3 (z - d) - 4 (z - d)2 + 5 (z - d)3
d
d
d
d
= F(d) + F (d) (z - d) + F (d)

d'où

A=-

K
d2

, B=

2K
d3

, C=-

3K
d4

et D =

4K
d5

I.2.2 En se limitant à l'ordre 1 en z - d, F s'écrit
F(z) = A + B (z - d)
Ajoutons cette force dans l'expression établie à la question I.1.1 :
z +

0
A
B
am  0 2
z + 0 2 (z - d) =
+
(z - d) +
cos t
Q
m m
Q

Injectons Z = z - d ; puisque Z = z et Z = z, on obtient
Z +

Donc

Z +

A
B
am  0 2
0
Z + 0 2 Z =
+ Z+
cos t
Q
m m
Q

0
B
A
am  0 2
Z + 0 2 -
Z=
+
cos t
Q
m
m
Q

I.2.3 Éteignons l'excitation (f0 = 0) ; à l'équilibre Z = Z = 0 d'où
Zeq =
donc
Or,

Ainsi,

A
m 0 2 - B

A introduit un décalage de la position d'équilibre.
A
m 0 2 - B
Zeq = -

=-

K/d2
k - 2 K/d3

K/d2
= -1,1.10-4 nm
k - 2 K/d3

La position d'équilibre est alors en z = d + A/(m 0 2 - B) < d, ce qui est en 
accord
avec le caractère attractif des forces de Van der Waals. Ce déplacement est 
toutefois
extrêmement faible.
Ce déplacement est mesuré à l'aide d'un faisceau laser qui se réfléchit sur un
miroir situé à l'extrémité de la tige où la pointe est fixée. Un capteur permet
de mesurer le déplacement du spot, dont on déduit celui de la tige.