X Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrostatique, diffusion
Mots clefs macromolécules, constante d'Avogadro, relation d'Einstein, facteur de Boltzmann, relation de Fick, poussée d'Archimède, Structure MOS, dopage, trou, équation de Poisson, diode Varicap, transistor, mobilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2007/PC_PHYSIQUE_X_2_2007.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2007 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Équilibres thermodynamiques en situations inhomogènes

Dans les systèmes infinis et en l'absence de forces extérieures, l'équilibre 
thermodynamique
correspond, aux fluctuations près, a des phases uniformes. Il n'en va pas de 
même pour des
systèmes présentant des frontières ou pour des systèmes soumis a des forces 
extérieures.

Dans de tels systèmes, l'équilibre thermodynamique résulte de la compensation 
exacte de
divers courants antagonistes de particules. Cette situation est examinée dans 
la partie I où
l'on étudie l'équilibre de macromolécules en solution dans un champ de 
pesanteur. La partie
II est consacrée a une étude simplifiée d'une structure 
Métal--Oxyde-Semiconducteur et, plus
particulièrement, a la distribution d'équilibre des électrons et des trous en 
présence d'un champ
électrostatique, au voisinage de l'interface oxyde-semiconducteur.

Charge élémentaire : e = 1,6 >< 10_19 C

Constante de Planck : h = 6, 6 >< 10_34 J - s

Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10_23 J - K_1

Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K_1 -rnol_1

Permittivité du vide : 50 = (..., 02)_1 = 8, 85 >< 10-12 F - m--1

I. Équilibre thermodynamique et diffusion

Cette partie vise a montrer que la diffusion des particules est une composante 
essentielle de
l'équilibre thermodynamique.

I.1. On considère un fluide gazeux dans un champ de pesanteur uniforme ÿ' : 
--gê'z où 52 est le
vecteur unitaire de l'axe z orienté suivant la verticale ascendante. À 
l'équilibre thermodynamique,
sa température T est uniforme et sa masse volumique p ne dépend que de 
l'altitude z. Il sera
considéré comme parfait.

@) Écrire l'équilibre mécanique d'une tranche d'épaisseur dz et de surface S 
comprise entre
les altitudes z et z + dz.

P M --
b) En déduire que la pression du gaz P(z) vérifie la loi : P ((£)) : exp (--%) 
où

M est la masse molaire du fluide et R la constante des gaz parfaits.

c) Le fluide est constitué de particules indépendantes de masse m. Déduire de 
la relation
précédente que la densité volumique (nombre par unité de volume) de particules 
du fluide n(z)
a l'altitude z vérifie :

mgz)
kgT

où kB : R/NA est la constante de Boltzmann, N A étant le nombre d'Avogadr0.

n(z) : n(0) exp (--

d) En utilisant l'expression du potentiel chimique u(P, T) d'un gaz parfait, 
montrer que la
relation caractérisant l'équilibre dans le champ de pesanteur, a la température 
T, se traduit par
le fait que la quantité u(P, T) + M gz possède la même valeur en tout point du 
fluide.

1.2. Soit une solution diluée de macromolécules dans un solvant, solution 
considérée comme
idéale. Les macromolécules sont supposées de forme sphérique, de rayon &, de 
masse m; soit n(z)
leur densité volumique supposée ne dépendre que de l'altitude z. Au cours de 
son mouvement
dans le solvant une macromolécule est soumise a divers t es de forces : son 
oids et les forces

7
d'interaction avec les molécules du solvant (les macromolécules sont 
suffisamment diluées pour
que l'on puisse négliger leurs interactions mutuelles). On admettra que les 
innombrables chocs
entre une macromolécule en mouvement et les molécules du solvant donnent lieu, 
outre la poussée
d'Archimède, a une force de frottement visqueux s'exerçant sur la macromolécule 
: F : --cmî.
On désignera par m' la masse de fluide possédant le même volume qu'une 
macromolécule.

@) Montrer qu'il en résulte pour les macromolécules une vitesse de chute limite 
@.

b) En déduire la densité de courant de macromolécules jg associé aux forces de 
pesanteur et
au frottement visqueux (courant dit << de dérive >>).

1.3. À l'inhomogénéité spatiale de la concentration n(z) de macromolécules est 
associé un
courant de diffusion, soit D le coefficient correspondant. À l'équilibre 
thermodynamique, il est
nécessaire qu'il n'y ait globalement aucun courant de macromolécules.

Écrire l'équation différentielle que doit vérifier n(z) et la résoudre.

I.4.a) Comment faut--il modifier le résultat de la question Le pour prendre en 
compte la
poussée d'Archimède ?

b) Par identification avec la loi n(z) déterminée en 3, obtenir la relation 
entre les coefficients
D et a.

1.5. Pour une sphère de rayon 0. se déplaçant dans un liquide de viscosité 77, 
le coefficient de
frottement visqueux & est donné par : a : 67r77a.

Les figures ci--dessous présentent en échelle log--log le résultat des mesures 
du coefficient
de diffusion D pour diverses macromolécules, porté en fonction de leur rayon 
d'une part et
de leur poids moléculaire d'autre part. La modélisation précédente rend--elle 
bien compte des
résultats expérimentaux ? On adoptera la même masse volumique pour toutes les 
macromolécules
organiques.

D(mz.s")

10"

10"9

l0--10

......

H20
urée

ribonucléasc

hémoglobinc

10

glucose (T = 298 °K)
.

inuline

B--lactoglobulinc

100

a(À)

D(ml.s")

10f l0
catalase

BSV .
Virus

10ÿ ... bactériophage
virus mosaïque tabac .
10-- ... . ADN

10' 10° 107 108
M (a)

ox 8Si

\\\\\

Si02 Si dopé

\\\\\\\\\\\

\\\\\

Nv

[
l
0

F igure 2. Structure Métal-Oæyde-Semicauducteur

Soient e...; et 881 les permittivités diélectriques respectives de l'oxyde et 
du silicium. Pour les
applications numériques7 on prendra : saw/50 : 4 et eSi/eO : 12.

Le silicium est dopé uniformément : des atomes << accepteurs >> introduits lors 
de son élabo--
ration, de densité volumique N... piègent les électrons) constituant alors des 
charges (--e) flæes
de même densité Na et créant autant de trous mobiles (+e).

II.1. Distribution de charges dans le silicium loin de l'oxyde.

II.1.1 On suppose Na : 1, 0 >< 1023 m_3. Écrire la neutralité électrique au 
voisinage du point
B. En déduire que p(B) : Na.

II.1.2 En déduire la densité d'électrons n(B) ; la comparer a Na. Quelle 
conclusion en tirez--
vous?

II.2. Distribution de charges dans le silicium pour VGB < 0. Accumulation.

On se place a l'équilibre thermodynamique et électrostatique, et l'on suppose 
que l'on a
polarisé la grille négativement par rapport au silicium a l'aide d'un circuit 
extérieur.

II.2.1 Expliquer pourquoi des charges mobiles +e (les trous) sont attirées au 
voisinage de
l'interface Sl--Sl02.

II.2.2 On suppose le champ électrique uniforme dans l'oxyde Sl02 sous la grille 
en négligeant
les effets de bord. Donner l'expression C...; de la capacité par unité de 
surface de la couche d'oxyde
en fonction de d et e...,

II.2.3 Une modélisation simple consiste a considérer que les charges déplacées 
forment une
couche surfacique a l'interface z = 0 et que le silicium reste neutre pour z > 
0. Quelle est alors

la charge électrique QG portée par la grille en fonction de V...; puis de VGB ?

On abandonne cette modélisation pour effectuer une étude plus fine. Soit p(z) 
la densité
volumique de trous et çb(z) le potentiel électrostatique dans le silicium.

II.2.4 Exprimer la densité volumique de charges p(z) en fonction de p(z), Na et 
e.

II.2.5 La densité de trous est donnée par :

p(z) = p(B) exp (fg?) : N, exp (--%)) avec VT = "'BÎT .

À la lumière de l'étude effectuée en partie I, commenter cette expression. 
Préciser le signe algé--
brique de çb(z).

Dans un milieu matériel, l'équation de Poisson a 1 dimension, reliant potentiel 
et densité de
charges, s'écrit :

@"(Z) = --p(Z)/EUR

où &" désigne la permittivité diélectrique du matériau.

II.2.6 Écrire l'équation différentielle satisfaite par çb(z). B étant 
suffisamment loin de l'inter--
face, on admettra que çb' (B) = O. Compte--tenu des conditions aux limites, 
montrer que

@" = --"Ï;VT lexp ("%> + % _ 1l '

II.2.7 Relier la charge totale par unité de surface 625, accumulée dans le 
silicium au voisinage

O iV
de l'interface, a çb'(0)- On pose u : _Çb'(/ ) et L2 : ÎNT

T a
VT, L et u. Quelle est la charge totale QG sur l'électrode G ?

; exprimer alors QS en fonction de 551,

II.2.8 On suppose lçb(0)l << VT ; préciser alors le lien entre QG et çb(0) , en 
déduire la capacité
apparente CSi, par unité de surface, de la partie silicium de la structure MOS. 
Quelle est alors
la capacité équivalente de l'ensemble de la structure MOS.

II.2.9 Application numérique. On donne VT : 26 mV,Na : 1,0 >< 1023 m_3, d = 40 
nm.
Calculer C...,, L et C51. Calculer VGB pour u = 1, puis 3 et 5.

11.3. Distribution de charges dans le silicium pour VGB > O. Déplétion.

La grille est maintenant polarisée positivement, les charges mobiles (trous) 
sont alors repous--
sées par le champ et éloignées de l'interface. Dans ce qui suit on suppose 
qu'au voisinage de
l'interface, il n'y a plus aucune charge mobile jusqu'à la cote z : zD , il n'y 
reste que les charges
négatives fixes (--e) (celles qui ont donné naissance aux trous mobiles). 
Au--delà, pour z > zD,
le silicium est neutre.

II.3.1 Montrer que le potentiel électrostatique çb(z) dans le silicium est 
donné par :

@(z) -- eN"

_2EURS_(z--zp)2 si O 0. Régime
d'inversion.

II.4.1 On admet que la densité électronique est donnée par :

n(z) : n(B) exp (îÏ?) : ÏÎ--'2 exp (%) avec VT : kîT .

Commenter cette expression. En quelle valeur de z se situe son maximum ?

II.4.2 Pour des valeurs suffisantes de VGB, la densité d'électrons dans le 
creux de potentiel
devient notable; ce sont des électrons mobiles (et non des trous, d'où le nom 
d'inversion donné
a cette situation) et le silicium y devient conducteur. On adopte comme critère 
d'inversion que
la densité électronique a l'interface, n(0+), soit égale a la densité 
d'accepteurs Na.

@) On suppose que cette densité électronique influe peu sur l'allure du 
potentiel et on continue
d'adopter pour çb(z) l'expression obtenue en 3.1. Déterminer alors la valeur 
çb5 de çb(0) qui
correspond a ce seuil, en fonction de VT, Na et n,.

(9) Déterminer la valeur correspondante zS de la largeur zD de la zone de 
déplétion.

0) Calculer numériquement çbg et zS pour Na : 1,0 >< 1023 m_3. On donne VT : 26 
mV a
T = 300 K.

d) Calculer la valeur V5 de VGB correspondante (tension << seuil >>).

II.4.3 Pour VGB > V5, l'expérience montre que la zone de déplétion n'augmente 
que très
peu. On adopte le modèle suivant : çb(0) et zD gardent respectivement leurs 
valeurs çb5 et @, la
couche d'électrons est considérée comme surfacique en z = 0 avec la densité de 
charge --qS avec
qS > 0.

a.) Exprimer (18 en fonction de 0033, VGB et V5.

19) Quelle est alors la valeur de CMOS ?

II.5 Courant transversal dans une structure MOS.

La structure MOS est complétée par deux électrodes semblables implantées sur 
deux zones
dopées où, par construction, les porteurs de charge mobiles sont des électrons. 
L'une S est appelée
<< source >>, l'autre D est appelée << drain >>. Elles effectuent le contact 
électrique avec la couche
électronique apparaissant a l'interface lorsque VGB > VS (figure 3).

Si02

Source
(11)

Drain
(11)

Si dop é(p)

Figure 3. Structure finale

Une ddp VSD est appliquée entre ces deux électrodes créant un champ électrique 
transverse
ÊSD : Eoeë'æ. On limite l'étude au cas lV5pl << VGB , dans ces conditions le 
champ régnant dans
l'oxyde, en particulier au voisinage de l'interface, demeure sensiblement 
uniforme et on adoptera
les résultats de l'étude précédente.

II.5.1 Soit ,umOb la mobilité des électrons de la couche reliant leur vitesse 
de déplacement au
champ, soit ua, : --umobEoe avec Nmob > 0. On désigne par W la largeur (en y) 
de la couche.

Donner l'expression du courant total la; circulant entre la source et le drain 
en fonction de
QS) Umob; W et Eau-

II.5.2 Si L est la distance entre les électrodes, EOE : VSD / L. En utilisant 
l'expression de qS

établie en 5.1, exprimer la conductance GC : V--oe. Comment évolue--t--elle en 
fonction de VGB ?
DS

Quel rôle peut jouer ce composant dans des circuits électroniques ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Vincent Langlois (ENS Lyon) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet se propose d'étudier différentes situations d'équilibre thermodynamique
de systèmes soumis à des forces extérieures.
· Dans une première partie, on étudie la distribution de particules dans le 
champ
de pesanteur. Cette partie permet d'introduire de façon assez intuitive des
concepts importants, en particulier le facteur de Boltzmann, ainsi que de 
démontrer la relation d'Einstein pour le coefficient de diffusion.
· Dans la seconde partie, on s'intéresse à la modélisation d'une jonction 
métaloxyde-semiconducteur pour différentes tensions appliquées. Pour cela on 
utilise
la notion de trous, qui assurent la conduction dans le semiconducteur. Il faut
prendre le temps de lire les introductions de chaque sous-partie pour bien 
appréhender les différentes questions de cette partie délicate.
De façon générale, ce sujet ne présente pas de difficultés calculatoires ; il 
est centré
sur la diffusion de particules et l'électrostatique. Le sens physique et la 
capacité à
appréhender des situations originales sont largement mis à contribution. Ce 
problème
permet donc de vérifier que l'on a bien compris les chapitres abordés.

Indications
Partie I
I.1.b Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits sous la forme  = M P/(R T)
où M est la masse molaire du gaz et  sa masse volumique.
I.2.b Un courant est le produit d'une densité par une vitesse. Ici, le courant
considéré est un courant associé au nombre de particules.
I.3 Utiliser la loi de Fick
--
-

d = -D grad n
pour déterminer le courant de diffusion, qui s'oppose au courant de dérive.
I.4.a Quelle est l'énergie potentielle d'une macromolécule soumise à son poids 
et
à la poussée d'Archimède ?

Partie II
II.1.1 Distinguer les trous présents initialement dans le silicium 
(intrinsèques)
de ceux apportés par le dopage. Quel est le lien entre le nombre total de
trous et ni ?
II.2.3 Considérer QS comme une charge surfacique.
II.2.5 Quelle est l'énergie potentielle d'un porteur de charge dans le potentiel
électrostatique  ?
II.2.6 Multiplier les deux membres de l'équation de Poisson par  puis intégrer
le résultat entre le point z(B) et z.
II.2.7 La charge surfacique totale est l'intégrale de la densité volumique le 
long
du silicium. Utiliser l'équation de Poisson.
II.2.9 Pour les applications numériques, l'hypothèse u  1 n'est pas vérifiée. Il
faut utiliser l'expression exacte de la capacité.
II.3.2 Procéder comme à la question II.2.7.
II.3.5 La capacité dépend de la tension appliquée. Dans quels dispositifs 
électroniques courants trouve-t-on des condensateurs ? À quoi servent-ils ?
II.4.3.b Utiliser la définition généralisée de la capacité proposée à la 
question II.3.4.
La charge surfacique q S correspond à QS introduite auparavant.
II.5.2 Distinguer le cas VGB > VS du cas opposé. Que vaut la conductance dans
le deuxième cas ? Le courant passe-t-il alors ?

Équilibres thermodynamiques
en situations inhomogènes
I. Équilibre thermodynamique et diffusion
-

g
I.1.a Soit un parallélépipède de fluide de
P(z + dz) dx dy
volume S dz = dx dy dz étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen 
qui est
z + dz
P(x + dx)
soumis à son poids et aux forces de pression
dy dz
z
s'exerçant à sa surface.
P(x)
L'équilibre mécanique de ce système
dy dz
P(z) dx dy
s'écrit, par projection sur les trois axes des
coordonnées cartésiennes,
x
x + dx

 0 = P(x) dy dz - P(x + dx) dy dz
0 = P(y) dx dz - P(y + dy) dx dz

0 = P(z) dx dy - P(z + dz) dx dy - (z) g z dx dy dz
La pression ne dépend donc que de l'altitude et vérifie
dP
= - g
dz
La formule précédente est un cas particulier de la relation fondamentale de
la statique des fluides. Pour démontrer cette relation dans le cas général,
considérons une portion de fluide au repos, de volume V délimité par la
surface S. Elle est soumise aux seules forces de pression et de pesanteur.
La condition d'équilibre mécanique s'écrit alors
ZZZ
ZZ

-

-

0 =
-
g d -
P dS
V

S

Soit, en utilisant la formule du gradient,
ZZZ
ZZZ
--

-

-
0 =
 g d -
grad P d
V

On en déduit la relation locale

V

--
-
grad P =  
g

I.1.b Le gaz étant supposé parfait, il vérifie l'équation d'état
P(z) V(z) = nmol (z) R T
On note nmol la quantité de matière pour ne pas avoir d'ambiguïté avec la
densité volumique de particules n(z) introduite dans la suite.
Soit, sachant que

V(z) =

m(z)
(z)

et

(z) =

nmol (z) =

m(z)
M

M
P(z)
RT

D'après la question précédente, la pression est
solution de l'équation différentielle
Mg
dP
=-
P(z)
dz
RT
Intégrons cette équation entre z0 et z, la température T étant supposée 
uniforme.

P(z)
Mg
= exp -
(z - z0 )
P(z0 )
RT

P(z)/P(0)
1

0

z

I.1.c La densité volumique de particules s'écrit, le fluide étant constitué de 
particules indépendantes de masse m,
(z)
m
M
=
P(z)
mRT

n(z) =

d'après l'équation d'état

M
Mg
P(0) exp -
z
d'après la question I.1.b
mRT
RT

Mgz
M
n(z) =
P(0) exp -
m NA k B T
NA k B T
=

En remarquant que m = M/NA , il vient

mgz
n(z) = n(0) exp -
kB T

avec

n(0) =

P(0)
kB T

Cette expression se met sous la forme

EP (z)
n(z) = Cte exp -
kB T
où EP est l'énergie potentielle d'une particule. Elle peut être généralisée à
tout ensemble de particules dans un champ de forces dérivant d'un potentiel
en contact avec un thermostat de température T. Le facteur

EP
exp -
kB T
est le facteur de Boltzmann. Il décrit la probabilité pour le système classique
en interaction avec un thermostat à la température T d'avoir l'énergie Ep .
En utilisant des colloïdes et en mesurant expérimentalement la loi n(z),
Jean Perrin a pu mesurer pour la première fois la constante de Boltzmann et
donc le nombre d'Avogadro via la relation
NA k B = R
I.1.d Le potentiel chimique d'un gaz parfait s'écrit
 
P

µ(P, T) = µ (T) + R T ln
P
où P = 1 bar est la pression standard et µ (T) le potentiel du gaz à la pression