X Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Réflexion et transmission d'une onde électromagnétique par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques.
Principaux outils utilisés ondes électromagnétiques dans les milieux, mécanique du point, interaction coulombienne, équilibre chimique

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE P C

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Réflexion et transmission d'une onde électromagnétique

par des couches conductrices d'épaisseurs nanométriques

Le problème est consacré à l'étude de la réflexion et de la transmission d'une 
onde élec--
tromagnétique par des milieux conducteurs, d'abord d'extension infinie, puis 
par des couches
conductrices d'épaisseurs nanométriques. Ces dernières, déjà utilisées dans de 
nombreux disposi--
tifs de l'optoélectronique moderne (détecteurs infrarouges, lasers solides), 
font l'objet de travaux
' de recherche soutenus.

On rappelle les équations de Maxwell pour un milieu non magnétique :

--»

_. _. .. _» ôB
dIV(SOE + P) : plibre ; TOLE : _ä--
- - .. 6 E 13 _,
f0tB = #0 jlibre + _(_5_O_Ëtl_) ; diVB = 0
1 9
oe 9 >< 10 SI .

47T80
masse de l'électron : m0 = 9,1 >< 10_31 kg
charge élémentaire : e = 1, 6 >< 10_19 C
électronvolt : 1 eV = 1, 6 >< 10--19 J
constante de Planck : h = 6, 6 >< 10_34 J - S

constante de Boltzmann : kB : 1,4 >< 10--23J - K--1

Le mouvement d'un électron dans un solide correspond à celui d'une particule 
chargée de
charge --e (EUR > O) et de masse << effective >> 777. (777. < mo où m0 est la 
masse de l'électron dans le

vide) .

I. Propagation d'une onde électromagnétique dans « un plasma solide »

Un solide contient des électrons de conduction de masse effective m et de 
charge --e, c > O, de
concentration volumique n supposée uniforme. La neutralité électrique est 
assurée par des charges

+e fixes, de même concentration volumique n. Une onde électromagnétique plane, 
progressive, de
pulsation angulaire w, polarisée linéairement, arrive normalement sur une face 
plane de ce solide.
On note Oz la direction de propagation, z = 0 la surface de l'échantillon et 
0:13 la direction de

polarisation de l'onde électromagnétique.

Dans le solide, on suppose que les électrons sont sans interaction entre eux et 
soumis au

champ électrique de l'onde :
E(z, t) = Eoe(z) exp(iwt)ëflÙ

1.1. Montrer qu'en régime permanent, le mouvement des électrons de conduction 
peut être

, . . . . . "' "! 813 el . . ,, .
decrit par une polarisation du milieu Pel avec jlibre : Ôt et que cette 
polarisation peut s ecrire :
2
Pel : EUR0Xel(C--U)El avec Xel(w) : _ 2 '
mw 80

A cette polarisation s'ajoute une polarisation associée aux électrons << 
élastiquement liés >>
qui, dans la gamme des fréquences qui nous intéresse, est caractérisée par une 
susceptibilité x,.
constante.

1.2. Montrer que, dans ces conditions, EOE vérifie les équations :

d2Eæ w2
_ dz2 : c_2Eæ Z S 0
d2EOE w2 w2

où ca,, est une pulsation angulaire que l'on définira.

1.3. On cherche des solutions de cette équation de propagation sous la forme :
Eæ(z) : c'"CZ + re"" 2 < 0
EC,--(Z) = te_iqz z > O
Caractériser les ondes associées à ces trois termes. Quelles sont les relations 
entre k, q et w ?

dEoe
dz

sont continus en z = O.

1.4. Montrer que E.,; et

1.5. En déduire que pour w 2 ca,, le coefficient de réflexion R : |7°|2 est 
égal à :

2
2
ca
«% 1----Ê--
R= "'
w2
./i+XT 1--w--g+i

tandis que pour w _<_ ca,, le coefficient de réflexion R est égal à 1.

1.6. La figure suivante présente des résultats expérimentaux sur le coefficient 
de réflexion
d'un échantillon de lnSb pour plusieurs valeurs de densité électronique.

"><--4.0 >< 1024
--*---- 2.8 >< 1024
+ 1.2 >< 1024
"°"6.2 >< 1023
""--3.5 >< 1023

Densités électroniques
(en m--3)

Longueur d'onde ( um)

Figure ]. Coeficient de réfleæion en fonction de la longueur d'onde du 
rayonnement incident

À partir de la courbe correspondant à la densité 1,2 >< 1024 m--3, déduire xf,. 
ainsi que la
valeur de la masse effective m des électrons dans ce solide.

II. Effet des interactions coulombiennes entre porteurs

Dans un milieu diélectrique de permittivité diélectrique relative e,... 
(e,...)l), l'interaction entre
deux charges q et q', situées en F et r" et suffisamment éloignées l'une de 
l'autre, est décrite par

une force coulombienne dérivant de l'énergie potentielle :
/

qq
47reoer|f'-- ,:»/| '

qu' :

II.1. On désire analyser l'effet des interactions entre électrons dans un 
solide sur l'absorption
d'une onde électromagnétique. On considère donc un ensemble de N électrons de 
masse m et de
charge --e. En plus de l'interaction coulombienne, ces électrons sont soumis à 
des forces de rappel
harmoniques. Pour l'électron i, de position 77}, cette force s'écrit : Ê- = 
----mwâ (ñ -- ñ'0), ñg étant
sa position d'équilibre. De plus, les électrons interagissent avec un champ 
magnétique statique
et uniforme Ë .

Enfin, chaque électron interagit avec le champ électrique Eem d'une onde 
électromagnétique,
champ que l'on considèrera comme uniforme sur l'ensemble des N électrons.

II.1.1) Écrire l'équation du mouvement de l'électron i.

II.1.2) On introduit le centre de masse G des N électrons. Quelle est 
l'équation du mouve--
ment de G ?

II.1.3) Exprimer le travail élémentaire du champ électrique de l'onde effectué 
durant dt sur,
les N électrons. Montrer que ce travail est indépendant des interactions entre 
électrons et que
l'on peut donc l'évaluer dans un modèle d'électrons indépendants.

--+

II.1.4) Outre la force de rappel harmonique, quelles sont les forces à un 
électron F,- pour
lesquelles le résultat obtenu en H.1.3 demeure établi ?

11.2. Les techniques modernes d'épitaxie permettent de réaliser des empilements 
contrôlés
de couches nanométriques. Il est également possible de transférer dans une 
couche donnée un
nombre contrôlé d'électrons. Enfin, sous illumination, des paires de charges 
opposées (+e, ----e)
s'ajoutent à ces électrons. Une telle paire, notée X 0, peut s'agréger a un 
électron et former un
complexe à trois particules, un trion X ". Un tel complexe est stable si son 
énergie est inférieure
d'une quantité A,A > 0, a la somme de l'énergie de la paire X 0 et de celle 
d'un deuxième
électron au repos à l'infini.

On suppose que l'interaction entre charges est celle décrite en début de partie 
II, et pour

simplifier l'écriture, on pourra poser ê2 : 82/47T8087--.

On étudie la stabilité des complexes X " dans un modèle semiclassique; on 
suppose que
la particule +e est localisée à l'origine tandis que les deux charges --e 
décrivent des orbites
circulaires de rayon R autour de la charge +e.

II.2.1) Les deux électrons peuvent-ils être situés sur des cercles de rayons 
différents ? Obtenir
l'expression de l'énergie totale en fonction de ê2 et de R.

II.2.2) En utilisant pour chaque électron la quantification du moment cinétique 
qui impose
que sa composante perpendiculaire à l'orbite soit un multiple entier de h = h / 
27r,(h constante de
Planck), déterminer le rayon R correspondant à l'état fondamental de X "' ainsi 
que son énergie.

II.2.3) Même question pour X0, la charge +e étant toujours localisée à 
l'origine.

II.2.4) Évaluer numériquement A, l'énergie de dissociation du complexe X ", en 
eV, pour
m = 0, 07m... EUR,... = 12, 4. A quelle température cette énergie de 
dissociation correspond--elle ?

II.3. Soit un échantillon contenant NEUR électrons dans le volume V : LS. Après 
irradiation lu--
mineus'e, N X (0) paires (+e, --e) sont ajoutées au système. On admet que des X 
0 peuvent s'agréger
a des électrons pour donner des X " et, réciproquement, que des X " peuvent se 
dissocier en des
X 0 plus des électrons. Les trois espèces, électrons, X 0, X _ sont en 
équilibre thermodynamique
à la température T selon la réaction :

X0+e_2X_.

II.3.1) On considère un gaz parfait << bidimensionnel » de N << particules », 
chacune de
masse M, confinées dans une couche de très faible épaisseur L et de surface S, 
et ne pouvant se
mouvoir que parallèlement à la surface; à la température T, on montre que le 
potentiel chimique
par particule ,u est donné, à une constante additive près, par :

N 27rñ2
=k T1 --- .
" B "(5 MkBT)

A quelle valeur limite de ,a conduit cette expression pour T --+ OK ?
On adopte ce modèle de gaz parfait pour les trois espèces (électrons, X 0 et X 
_ avec leurs masses
respectives m, m X0 et m X_), leur mélange étant considéré comme idéal. On 
prend comme origine

des énergies celle d'un couple (X 0, e--) à T: OK ; quelle valeur doit alors 
prendre le potentiel
chimique de X -- à T = 0 '? En déduire l'expression de ce potentiel /L(X") à T 
quelconque.

II.3.2) Justifier que la condition d'équilibre thermodynamique entre les trois 
espèces s'écrit
u(X') -- u(e) -- u(X°) = 0. En déduire une relation entre les concentrations 
surfacz'ques

ne =Ne/S, 'ÏLXo : NX0/S, nx-- : Nx--/S.

II.3.3) Soient ne (0) et nX(O) les concentrations surfaciques d'électrons 
introduits et de paires
(+6, --e) créées par illumination. À partir de lois de conservation, déduire 
deux autres relations
entre ne, nXo et nX_. En déduire nXo et ne en fonction de nX_ et des conditions 
initiales.

II.3.4) Déduire de la condition d'équilibre l'équation déterminant nX_'. On 
posera

mmxok3TJ ( A )
27Tñ2mx-- kBT

W, V) = [

II.3.5) Sans résoudre l'équation, discuter les variations de nX-- en fonction 
de T, dans l'hy--
pothèse nX-- (0) << ne(0).

III. Effet d'un champ magnétique sur la réponse optique de N électrons confinés
dans une couche d'épaisseur nanométrique

Dans cette partie, N électrons sont confinés dans une couche d'épaisseur L le 
selon Oz
(|z| < L/ 2), et de surface S macroscopique dans le plan :vOy. On néglige les 
interactions entre
électrons et chacun d'entre eux est soumis à une force harmonique dirigée le 
long de z'Oz et de
pulsation angulaire wo, Ë' : --mwâzêz. On notera a l'élongation maximum du 
mouvement de

l'électron le long de l'axe z, avec a << L.

L'électron est également soumis à un champ magnétique statique et uniforme 
dirigé le long
de x'Ooe :

Ë=B@
De plus, chaque électron est soumis au champ électrique d'une onde 
électromagnétique se pro--
pageant le long de z et polarisée linéairement à l'extérieur de la couche; a 
l'intérieur le champ

est a priori de la forme : _
E(z,t) : e'wt[Eg(z)êy + E2(z)ë}]

L'effet des imperfections du matériau, des collisions sur le mouvement des 
électrons est
' ' I I . Ü
modehse pour chaque electron par une force de frottement v1squeux --m--.
7'

III.1. Écrire les équations du mouvement pour un électron.

On s'intéresse dans la suite aux mouvements forcés : 77 = F0e'wt avec F0 de 
composantes (mo, yo, zo).

III.2. Justifier que oe0 : O, et montrer que (yo, 20) est solution d'une 
équation de la forme

où M est une matrice 2 >< 2 que l'on explicitera. Exprimer les composantes 
(P... Py, R,) de la
polarisation d'origine électronique Pe] en fonction de yo et zo.

On peut déduire de 111.2 que :

Py xâ'y (Z) xî}

Pz Xzy(z lez(z
>L
>2

où

. . L
tandis que s1 |z| S 2 :
N 82 ( au) N 82
el 2 2 -- el '
=------------ --w +w --z-- ; =------------ +zww
ny mLSD50 0 7' Xyz LSDeO ( c)
N 62 ( au) N 62
el 2 ' el .
= -- w _ 'Îz-- ; = _ ""wa
XZZ mLSDEURO 7' XZy mLSDSO ( C)
avec _ B
w w 6
D = (w2 -- z'--) (--wâ + w2 -- i---) -- w2wî et wc = --
7' 7' m
Outre la polarisation d'origine électronique précédente, il existe pour tout 2: 
une polarisation
el
P,... = EUR0XrE où x,... = 11,4. On pose Bij = X"
1 + X»,--

111.3. Montrer qu'à l'ordre zéro en 1/7' les composantes Bij admettent une 
résonance pour

ou = cures avec cures = Vwâ + wâ.
Ne2

111.4. Évaluer numériquement 04 = ----------2---- pour N/S = 1 >< 1015m_2, L = 
10 nm,

ñwo = O, 1 eV,m = 0,07m0.

Evaluer numériquement wc,max, valeur de wc correspondant a un champ magnétique 
maximal
de 15 T; comparer a cm; en déduire un développement limité de cures à l'ordre 
le plus bas non

nul en cac/wo.

111.5. En présence d'amortissement, les ordres de grandeur des coefficients Bij 
sont tels
que le facteur de transmission T de l'échantillon est alors approximativement 
donné par :
T : 1 + kL 1m(flyy) si |kL Im(flyy)l << 1, où k est le nombre d'onde dans le 
milieu en dehors de

la couche.

Montrer, compte tenu des évaluations numériques de 111.4, que la transmission 
Tres(B) de

l'échantillon à la résonance s'écrit :

2
wc?"

0100 + X7') .
Que se passe-t-il lorsque B = O'? Expliquer qualitativement pourquoi un champ B 
affecte

la transmission de l'échantillon? Comment varie essentiellement 5Toes = Tres(0) 
-- Tres(B) en
fonction de B ? Comment varie la fréquence de résonance avec B ?

TreS(B) % 1 -- kLa

III.6. En réalité, l'échantillon comprend NC couches d'épaisseur nanométrique, 
toutes iden--
tiques. On étudie la transmission par ces Nc couches en négligeant les 
phénomènes de réflexion
a chaque interface. Que vaut la diminution ATOES de cette transmission, due a 
la résonance, en

fonction de 5Tres et de Nc ?

Évaluer AToeS pour oz = 0,84, L = 9,5 nm, wo = 1,55 >< 1014 rds--"1, & = 0,16, 
wgr : 20,

WO
X,... = 11,4, NC = 30.

1.00
0.99
8
;" 0.98
>
5 0.97
5,
0.96
0.95

90 95 100 105 1 10
Énergie ( meV)

Figure 2. Variation, pour difiérentes valeurs du champ magnétique B, de la 
trans-
mission relative de l 'échantillon en fonction de l'énergie E(ñw) ( en me V}, 
où 01 est
' la pulsation de l'onde incidente. La flèche montre la position correspondant 
à 010.

111.7 . La figure ci--dessus présente la variation de transmission relative T 
(B ) / T (0) en fonction
de ñw pour diverses valeurs du champ magnétique B : 6T,8T,1OT,11T,12T,13T,14T 
et 15T.
Comparer les résultats expérimentaux aux prévisions du modèle développé 
ci--dessus. En déduire

la masse effective des électrons dans cette hétérostructure.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Georges Rolland (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur la réflexion et la transmission d'une onde 
électromagnétique par des milieux conducteurs. Le problème forme un ensemble 
cohérent et de
longueur raisonnable :
· Dans la première partie, on caractérise la propagation d'une onde 
électromagnétique dans un solide considéré comme un milieu diélectrique 
conducteur.
Après avoir établi les équations de propagation, on s'intéresse au coefficient 
de
réflexion, que l'on confronte à des résultats expérimentaux. Il s'agit de la 
partie
la plus abordable de l'épreuve.
· La deuxième partie a pour but de modéliser l'équilibre de formation de 
structures stables (appelées trions), comportant une charge positive et deux 
électrons, à partir de simples paires constituées d'une charge positive et d'un 
électron. C'est une partie originale qui demande de la réflexion.
· Enfin, la troisième partie considère l'influence d'un champ magnétique sur la
transmission d'une onde électromagnétique par une couche conductrice 
d'épaisseur nanométrique. Les calculs y ont la part belle.
Chaque partie est indépendante et se termine par une analyse physique ou une
confrontation à des résultats expérimentaux.
Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème relèvent de 
l'électromagnétisme (ondes électromagnétiques dans les milieux), de la 
mécanique du point
(interaction coulombienne) et de la thermochimie. L'énoncé est rarement 
directif.
Les situations envisagées et la formulation des questions sont pour le moins 
originales.
C'est pourquoi, même si les raisonnements demandés sont finalement classiques, 
ce
problème n'en demande pas moins maîtrise et compréhension du cours.
On doit donc considérer qu'il s'agit d'un problème relativement difficile et 
certainement déroutant pour un élève habitué à une formulation plus proche du 
cours.
À ce titre, il peut constituer, pour des élèves possédant une maîtrise 
suffisante du
programme, un bon entraînement aux concours.

Indications
Première partie
I.1 Par « régime permanent », comprendre régime sinusoïdal établi.
I.2 Pour z > 0, appliquer en régime sinusoïdal établi les équations de Maxwell
rappelées en début d'énoncé. Ne pas considérer les charges libres deux fois au

-

travers des vecteurs courant -

et polarisation P mais choisir l'une ou
libre

I.3
I.4
I.5
I.6

el

l'autre de ces descriptions équivalentes.
Passer les expressions de Ex (z) au crible des équations obtenues à la question 
précédente.

-
Calculer B à partir de l'équation de Maxwell-Faraday et utiliser les relations
de passage à l'interface en z = 0.
Déduire de la question I.4 les relations vérifiées par r et t. Lorsque  <  p ,
q est un imaginaire pur.
Calculer r à partir de la limite R0 de R() aux faibles longueurs d'onde et
considérer la longueur d'onde 0 pour laquelle R() s'annule pour trouver m.
Deuxième partie

-

-
II.1.2 Utiliser l'uniformité de E em et B pour que ne subsistent que le vecteur 
posi-

tion r G de G et ses dérivées avec
1 X-

-

rG =
ri
N i

-
II.1.3 Montrer que le travail fourni par E em pendant dt peut s'écrire

-

Wem = -Ne E em · d-
rG

II.2.1 Partir de la configuration d'énergie minimale où les électrons sont 
diamétralement opposés. Écrire le principe fondamental de la dynamique pour 
chaque
électron et montrer par l'absurde que l'hypothèse où les deux électrons suivent
des orbites de rayons différents entraîne une rupture de l'alignement.
II.3.1 Évaluer la valeur de µ à T = 0 K à partir de µ = G/N avec G = U + PV - 
TS.
II.3.5 Il faut considérer nX (0)  ne (0) et non nX- (0)  ne (0) comme il est 
écrit.
Sous quelle forme doit-on trouver les paires X à T = 0 K ? Que se passe-t-il
quand T augmente ?
Troisième partie

-
III.5 Quelle est l'influence du champ B sur les trajectoires électroniques dans 
le
plan (yz) ?
III.6 Il faut considérer qu'a priori Tres  1, puis qu'à la résonance, pour 
l'application numérique,
 res
0
k=

c
c

Réflexion et transmission d'une couche
électromagnétique par des couches
conductrices d'épaisseurs nanométriques
I. Propagation d'une onde électromagnétique
dans un « plasma solide »

I.1 Les électrons sont mis en mouvement selon -
ex par la seule force électrique.
En régime sinusoïdal établi, on note, comme pour le champ électrique,
-

v (z, t) = vx (z) exp(it) -
ex
la vitesse des électrons de conduction à la cote z et à l'instant t. Le 
principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de conduction 
s'écrit alors
m

-
-
v
(z, t) = -e E (z, t)
t

d'où

-

im -
v (z, t) = -e E (z, t)

ne2 -
-

-
E (z, t)
libre (z, t) = -ne v (z, t) =
im

-

-
 P el

-
Or, selon l'énoncé,  libre =
= i P el , donc finalement
t
Ainsi,

-

-
Pel = 0 el () E

avec

el () = -

ne2
m 2 0

Par « régime permanent », il faut comprendre ici régime sinusoïdal établi
à la pulsation  du champ électrique.

Avec un champ électrique polarisé selon -
ex et fonction de z, le mou-

vement des électrons se fait selon ex à cote z fixée, donc dans un champ
électrique d'amplitude constante. Dans le cas général, il aurait fallu supposer 
que le mouvement de l'électron se faisait sur une distance caractéristique
faible devant la longueur d'onde afin que l'amplitude du champ électrique
soit indépendante de la position de l'électron.

I.2 Pour z > 0, le solide est le siège d'un courant de conduction -
 libre évalué à la
question précédente et il possède une polarisation due aux électrons 
élastiquement liés
-

-
P r =  0 r E
Par ailleurs, d'après l'expression du champ électrique,

-

div E (z, t) =
[Ex (z) exp(it)] = 0
x

D'après le rappel en début d'énoncé, les équations de Maxwell en régime 
sinusoïdal
établi y sont donc

-

div E = 0

-
- -

 rot E = -i B

On en déduit

-

div B = 0

 2

-
ne -
- -

E + i0 (1 + r ) E
 rot B = µ0
im

-

-
ne2
- - -
- 
rot rot E = -i rot B = µ0 0 -
+  2 (1 + r ) E
m0
 --

-

-

-
- - -
Or, rot rot E = grad div E - E = - E et µ0 0 = 1/c2 donc

 2
-

-
ne2
-E = 2 -
+ (1 + r ) E
c
m 2 0
Enfin,

-

E = Ex (z) exp(it) -
ex

 d2 Ex
-

E =
(z) exp(it) -
ex
dz 2

et

Il vient donc comme demandé pour z > 0 :

d2 Ex
2
p2
-
=
(1
+

)
1
-
Ex
r
dz 2
c2
2

avec

p =

s

ne2
m0 (1 + r )

Pour z < 0, l'onde se propage dans le vide : n = 0,  p = 0 et r = 0. En 
particularisant le résultat obtenu dans le solide, cela donne pour z < 0 :
-

d2 Ex
2
=
Ex
dz 2
c2

Dans le solide pour z > 0, on pouvait considérer la « polarisation » totale
 -
-

-

-
P = P el + P r = 0 (el () + r ) E

à condition de ne plus prendre en compte -
 libre .
Il est préférable pour l'instant de conserver des inégalités strictes sur z.
Les conditions de passage en z = 0 sont envisagées à la question I.4.
I.3 Pour z < 0, dans le vide, le champ électrique s'écrit
-

E (z, t) = Ex (z) exp(it) -
ex

-
-
= exp i(t - kz) e + r exp i(t + kz) 
e
x

x

Cela correspond à la superposition d'un champ électrique incident d'amplitude 
uni
taire se propageant selon +-
ez et d'un champ électrique réfléchi d'amplitude r se

-
propageant selon - ez . De même pour z > 0, dans le solide, le champ électrique 
est

-

E (z, t) = t exp i(t - qz) -
ex