X Physique 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide
Principaux outils utilisés induction, mécanique des fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide

Ce problème se propose d'étudier le mouvement d'un fluide homogène, 
incompressible et
conducteur, soumis a un champ électrique et champ magnétique croisés, et d'en 
tirer des conclu-
sions quant a d'éventuelles applications industrielles, tout particulièrement 
pour la circulation
de métaux liquides.

Toute l'étude est effectuée dans le référentiel du laboratoire, supposé 
galiléen.

On désigne par e la charge élémentaire.

Formule du double produit vectoriel : ä' /\ (Ë /\ 6) = (5 - ê)5 -- (ä' - Ë)E .

Permittivité du vide : ...) : 47r >< 10"7 H - m_1.

I. Étude préliminaire

Dans un plan horizontal, un circuit électrique rectangulaire est constitué de 
deux rails conduc--
teurs, fixes, parallèles, distants de D et de résistance électrique 
négligeable; les extrémités A et
B sont reliées par une résistance R. Il est fermé par une barre métallique, 
conductrice, mobile
A' B' , de résistance R' , glissant sur ces rails. L'ensemble est plongé dans 
un champ magnétique
vertical, constant et uniforme, avec Ë = Bë} avec B > 0 (figure 1).

F figure 1

Le conducteur A' B' , se déplace en translation a la vitesse 17 = vé}. Cette 
vitesse est constante
du fait d'actions mécaniques extérieures avec lvl << 6.

1. Montrer que ce système est un générateur électrique; calculer la f.é.m 
correspondante et
l'intensité qui traverse le circuit orienté.

En déduire la d.d.p. V A ---- VB entre les deux rails et le champ électrique Ê 
supposé uniforme
a l'intérieur du barreau mobile.

2. Le courant est dû a un mouvement d' électrons ,préciser l' origine de la 
force qui les met en
mouvement et en donner l'expression à l'aide de v et B. Donner l' expression de 
la force totale f
qui s'exerce sur un électron dans la barre mobile a l'aide de B et B.

3. Soit 0 la conductivité du métal de la barre. Quelle est la relation entre la 
densité volumique
de courant J, et les champs E, B, 17 et 0. Pourquoi peut--on l'appeler << loi 
d'Ohm >> locale ?

4. Application numérique. On donne R- -- 109, R'-- ---- 10Q, D-- -- 0,1 m, i) 
-- --2 m s 1 et
B-- -- 0,2 T. Calculer l'intensité 1, puis É et 17 /\ B en précisant leur sens 
par rapport a A'B'.

II. Ecoulement d'un fluide conducteur

On étudie dorénavant l'écoulement d'un fluide conducteur et incompressibIe, de 
masse volu--
mique p. Cet écoulement s'effectue dans la direction 051: et la vitesse locale 
est fonction de la
coordonnée z: v-- - v(z, t)eoe. Soit P (a: y, z ,t) le champ de pression du 
fluide. Le milieu est soumis
a un champ magnétique B= BeZ et a un champ électrique Ë= Eey, constants et 
uniformes
(figure 2). Les forces de pesanteur sont négligées.

2d
y

33

B
E
?)

F igure 2

1. Equation du mouvement
&) Donner l'expression de la densité volumique des forces de pression fp.

b) Soit 77 la,-viscosité dynamique du fluide. Montrer que la densité volumique 
des forces de

_ _ _. .. Ô2'U
Viscos1té f,, est donnée par f,, = 77--eoe.

Ôz2

c) Le fluide est localement neutre. Soit J le vecteur densité de courant. 
Donner l'expression
de la densité volumique de force magnétique fB. En utilisant la loi d'Ohm 
locale, exprimer fB
en fonction de B, B, 17 et a ,expliciter ses composantes.

d) Écrire l'équation du mouvement du fluide. En déduire que la pression est 
indépendante
de y et z.

2. Ecoulement entre deux plans parallèles

Le fluide est canalisé par deux plans horizontaux d'équations z = id (d > 0). 
Au niveau
de ces plans, la vitesse du fluide s'annule : v(id) = 0. On suppose de plus 
toutes les grandeurs
indépendantes de la coordonnée y, les perturbations dues aux limites du conduit 
selon Oy étant
ignorées (figure 2).

On considère un écoulement stationnaire.

a) Écrire l'équation différentielle reliant P et ?? pour cette situation. En 
déduire que
dP

-- --K est indépendant de w.
doe

b) Résoudre l'équation différentielle à laquelle satisfait v(z). On introduira 
le nombre de
Hartmann Ha = Bd(a/n)l/2.

c) Déterminer la vitesse moyenne du fluide vmoy en fonction de E, B, K, a et Ha.
(21) Que devient, pour Ha << 1, la solution v(z) obtenue ? Représenter l'allure 
de son graphe.

e) Pour Ha >> 1, montrer que v(z) prend la forme approchée U(z) oe 
vO[1--exp(--(d--|zl)/5)].
Donner les expressions de 5 et de vo ; comparer @@ et vmoy. Quelle conclusion 
en tirez--vous ?

f) Application numérique. Le fluide est du sodium liquide avec les propriétés 
suivantes :

Viscosité dynamique 77 = 27 >< 10_5 kg . m"1 - s"1
Conductivité 0 = 23 >< 106 Q"1 - m--1

Oalculer Ha et 5 pour d = 1 cm et B = 0,5 T. Tracer l'allure du graphe de v(z).

III. Exemple d'application

On étudie le système schématisé figure 3; le sodium liquide se déplace dans un 
conduit
cylindrique de longueur Aa: = L, de section rectangulaire Ay = l,Az = D. Les 
deux côtés
perpendiculaires à Oy sont des électrodes ayant pour aire Aa: Az; on négligera 
les modifications
de vitesse a leur voisinage; la vitesse du fluide est alors supposée uniforme.

F igure 3

dP
La) Exprimer ? = K en fonction de E,B,vo et a. Quelle application peut--on 
imaginer
' cc

pour un tel système dans le cas où E > 'UQB ?

b) Application numérique. On donne : Débit volumique Q = 3 >< 10"3 rn"3 - s--1,
D = 2 cm, l = 10 cm, L = 40 cm, B = 0,5 T, a = 23 >< 106 Q_1-m_1. La différence 
de
potentiel VA -- VB entre les électrodes vaut VA -- V3 = O, 1 V.

Calculer la différence de pression AP entre la sortie et l'entrée du système.

(:) Expliciter la relation entre la ddp VA -- V3 et l'intensité ] qui traverse 
le fluide. Montrer
que le schéma de la figure 4a est équivalent au dispositif de la figure 3, et 
en préciser les éléments

Rf et 60.

1 60
_,

Figure 4a

(1) L'ensemble est alimenté par un générateur de courant I 5. Une partie de ce 
courant ne
traverse pas le fluide, mais le court-circuits en cheminant dans les parois du 
tube conductrices,
de résistance R2. De plus les parois d'amenée et de sortie du courant ont une 
résistance Rp; on
pose R1 = R f + Rp, cette situation est schématisée figure 4b. Exprimer AP en 
fonction de I 5 et
de Q, à l'aide des paramètres du dispositif.

e) Montrer qu'à débit Q et intensité fournie IS fixés, AP présente un maximum 
pour
une valeur du champ magnétique Bmax dont on donnera l'expression. Quelle est la 
valeur de la
différence de pression correspondante APmax ?

f) Application numérique. On donne Q =3 >< 10"3 m3 - s"1, 15 = 1 >< 104 A, D = 
2 cm,
R1 = 2 >< 10_6 Q et R2 = 2 >< 10_5 Q. Calculer Bmax et APmax.

2. Conservant la même installation on supprime la source de courant externe. 
Les électrodes
sont reliées par une résistance externe Rext. Pour simplifier, on ignorera la 
résistance de fuite R2
décrite en Le. La vitesse du fluide vo est maintenue constante (figure 5).

. Figure 5

&) Déterminer l'intensité I du circuit en fonction de vo, B , l , R1 et Rext.

b) Calculer la différence de pression entre l'entrée et la sortie; préciser son 
signe. Quel rôle
joue ce dispositif?

Exprimer la puissance mécanique reçue par le fluide en fonction de vo, B , l , 
R1 et Rext.

c) On définit le rendement p de l'installation comme le rapport entre la 
puissance utilisée
(par effet Joule) dans la résistance externe Rext et la puissance mécanique 
reçue. L'exprimer en
fonction de R1 et Rext. lnterpréter le résultat simple obtenu.

(1) Calculer [ et p avec Q = 3 >< 10"3 m3-s_l, B =0,5 T, D = 2 cm, R1 = 2 >< 
10--69 et
Rext = 4 >< 10-6 n.

e) Dans certains réacteurs nucléaires on doit faire fonctionner un circuit 
primaire contenant
un fluide caloporteur, par exemple le sodium liquide qui se trouve être dans ce 
cas irradié au
coeur du réacteur, et un circuit secondaire comportant toujours du sodium mais 
cette fois non
irradié. Le flux dans le circuit primaire est causé par l'énergie thermique 
venant du réacteur.
À partir des propriétés des dispositifs étudiés en 1) et 2), expliquer comment, 
en couplant ces
dispositifs, on peut assurer la circulation dans le circuit secondaire. Quel 
est l'intérêt d'un tel
système du point de vue mécanique ?

IV. Pompe à induction

On envisage un écoulement de fluide conducteur analogue aux précédents, dans un 
conduit
identique, mais soumis cette fois à un champ magnétique B0 variant 
sinusoïdalement en fonction
du temps et en outre << glissant >>. Sa composante verticale, en notation 
complexe est de la forme :

BS : BOEURj(wt--kOE)

Ce champ est produit par des bobines plates réparties de part et d'autre du 
tube (figure 6)
alimentées par des courants convenablement déphasés les uns par rapport aux 
autres. La com--
posante inévitable Boe selon Occ joue un rôle parasite; on supposera qu'elle 
reste faible et que
son rôle est négligeable. De même les perturbations dues aux extrémités ainsi 
que celles liées a
« l'effet de peau», limitant la pénétration du champ électromagnétique dans un 
milieu conduc--
teur, ne seront pas prises en compte. Toutes les grandeurs sont indépendantes 
des variables

yet z.

glissement

.AOAOAOAOÀOÆÀOÀOÀODÀODA.À.À.@ÀODÀO

BZO +llll +lll+ x
"__--W

.'O'O'O'O*.'âv0'0'0'0'0'.'.*O'O'®'OÜ"Û
Figure 6

L'étude est effectuée dans l'approximation des régimes quasistationnaires et en 
régime per--
manent.

1. Dans le fluide en mouvement, il apparaît un courant induit de la forme :

----»

J = Jyê'y avec Jy = JO expj(wt -- koe)

Montrer que le champ magnétique Ë' créé par ce courant est donné par BË = 
(pg/jk)Jy.

2. Soit Ë' = ËO + Ë' le champ magnétique total. Déterminer le champ électrique 
Ë = Eyëy
associé à ce champ. On posera par la suite ...; = w/k.

3. Écrire la loi d'Ohm reliant f a É et a Ë', le fluide, de conductivité 0, 
étant en mouvement

à la vitesse 27 = ve}. On pose G = v/uB et R... = ,u00uB/k. Exprimer J,, en 
fonction de BS a
l'aide des paramètres a, 7143, R... et G.

4. Exprimer de même Ey en fonction de BE.

5. Calculer Pelec; densité de puissance électrique moyenne reçue par les 
porteurs de charge
mobiles du fluide.

6. Calculer fm, densité de la force moyenne qui s'exerce sur le fluide. En 
déduire l'expression
de la densité de puissance correspondante P...eca reçue par le fluide.

7. On suppose G < 1. lnterpréter les signes de Pelec et de P...ecä en précisant 
le rôle du
dispositif. On définit le rendement du système par 7° = P...eca /Pe1ec- 
Justifier ce choix et donner
son expression.

8. Application numérique. On considère l'écoulement, dans un conduit de section 
rectangu--
laire, d'un mélange eutectique Na--K de conductivité a = 26 >< 106 Q'1 - m_1 ; 
sa vitesse est de

45 m--s--1.

L'amplitude du champ magnétique est lBol = O, 5 T; sa fréquence est de 100 Hz 
et la vitesse

de glissement vaut u B = 50 m -- s--1

Oalculer R... et le rendement 7". La longueur utile du conduit est L = 1 m ; 
calculer la différence
de pression entre entrée et sortie en l'absence de frottements.

9. Quel rôle joue le dispositif si ...; < 1), soit G > 1 ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Marc
Jungers (ENS Cachan) et Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université).

Ce sujet traite de pompes à induction. De telles pompes fonctionnent avec des
des fluides conducteurs et sont utilisées, entre autres, dans les centrales 
nucléaires :
du sodium fondu sert en effet de fluide caloporteur à la fois dans le circuit 
primaire
(irradié au contact du coeur du réacteur) et dans le circuit secondaire (non 
radioactif).
Elles sont particulièrement adaptées car elles permettent d'assurer 
l'écoulement sans
contact entre les deux circuits (donc en limitant les risques de contamination) 
et sans
utilisation de pièces mécaniques, sensibles à l'usure.
Autour d'une étude d'écoulement classique de type Poiseuille, le problème aborde
donc des problèmes spécifiques aux fluides conducteurs. Il se présente sous la 
forme
de quatre parties qui s'articulent en trois temps :
· La première partie est, paradoxalement, la plus délicate, car elle suppose de
bien maîtriser l'induction par un champ magnétique fixe dans un circuit mobile. 
On pourra y tester ses connaissances et asseoir sa compréhension du phénomène.
· Les deuxième et troisième parties traitent d'une pompe à champ fixe ; on en
étudie les aspects théoriques dans la deuxième partie pour les appliquer à la
circulation des fluides caloporteurs de centrales nucléaires dans la troisième
partie.
· La quatrième partie, enfin, s'attache à un autre type de pompe, dans lequel
d'une part le champ magnétique est variable, d'autre part aucun champ 
électrique externe n'est utile. Dans cette partie, on montre également, à la 
fin, que
ces pompes électromagnétiques peuvent être utilisées en générateur.
L'ensemble constitue une épreuve plutôt facile pour ce concours, si l'on excepte
la première partie. La principale difficulté est que l'on ne peut pas résoudre 
les parties II, III et IV sans avoir résolu la question I.3. On peut regretter 
de plus quelques
imprécisions de l'énoncé.
Ce sujet constitue une excellente révision de tous les aspects de l'induction. 
Il n'est
pas excessivement long : c'est un bon sujet pour un entraînement en temps 
limité.

Indications
Première partie
I.1 Utiliser directement VA - VB pour calculer le champ électrique dans la barre
mobile.

-
I.3 Calculer J à partir de I.
Deuxième partie

-
II.1.c Utiliser le résultat de la question I.3 pour relier J aux champs.
II.2.a Remarquer que l'on peut séparer l'équation en deux termes, dont l'un ne
dépend que de x et l'autre que de z.
II.2.d Développer l'expression de v(z) obtenue à la question II.2.b au second 
ordre
en Ha (le premier est nul).
Troisième partie
III.1.b Puisque l'énoncé ne précise pas où sont les points A et B, prendre
-

VA - VB -

E =
ey

III.1.c Utiliser la relation trouvée à la question I.3.
III.1.d Exprimer d'abord P en fonction de I, puis I en fonction de Is .
III.2.b La « puissance reçue » par le fluide est en fait la puissance que doit 
fournir
un opérateur extérieur pour maintenir le débit.
Quatrième partie
IV.3 Utiliser les résultats des deux questions précédentes.
IV.5 Pour calculer la moyenne d'un produit de deux termes en notation complexe,
utiliser la relation
1
ha(t) b(t)i temporelle = Re (a b )
2
IV.8 Pour calculer la différence de pression, la relier à la puissance 
mécanique totale
développée dans le système.

I. Étude préliminaire
La principale difficulté de cette partie consiste à bien appréhender tous
les champs en présence et leurs interactions. Comme l'énoncé stipule que
l'étude se fait dans le référentiel du laboratoire, il n'est pas possible 
d'utiliser
  -
-

la formule E = -
v  B , qui est pourtant la manière la plus simple de traiter
ce type de problèmes.
La méthode employée en revanche permet de mieux comprendre les
champs réellement en présence dans le référentiel du laboratoire. On commence 
par déduire qu'une force électromotrice est présente, due à la variation

-
du flux de B . On en déduit les courants, donc les potentiels électriques, à
l'aide de la loi d'Ohm appliquée à la partie fixe. Une fois ces potentiels 
connus,
on peut en déduire le champ électrique dans la partie mobile : on voit alors
que la loi d'Ohm comporte un terme supplémentaire dans la partie mobile.

-
I.1 Calculons le flux du champ B à travers le circuit AA B BA. Comme le champ
est uniforme, il vaut
ZZ
 -
-
 -
 -

B · dS = B · S
=
AA B BA

-

où S est le vecteur surface du circuit, que l'on choisit d'orienter dans le 
même sens

-
que B . On a donc
 = B × D × AA
Ce flux varie au cours du temps à cause du mouvement du barreau A B . La 
variation
du flux engendre une force électromotrice e0 , selon la formule suivante :
d
dAA
e0 = -
= -B × D
dt
dt
soit

e0 = -B D v

e0 engendre à son tour un courant ; l'ensemble se comporte comme un générateur.
Cette expression de e0 n'est valable que dans l'approximation des régimes
quasi-stationnaires ; ici, c'est le cas car v  c.

-
Notons que e0 est orienté dans le sens positif de la surface S . De plus, on
a négligé le champ créé par le courant I qui apparaît dans le circuit.
Le circuit se résume donc à la figure cicontre. Le courant est orienté de façon 
à ce
que le vecteur surface ait le même sens que le
champ magnétique. On a donc
I=

R

B
VA - VB

R

e0
I

e0
-B D v
=
R + R
R + R

A
On obtient VA - VB en appliquant la loi d'Ohm à la résistance R :
VA - VB = -RI = B D v

R
R + R

Il est préférable d'appliquer la loi d'Ohm à la résistance R plutôt qu'à R .
En effet, la situation est plus complexe dans le barreau mobile, car c'est dans
ce dernier qu'est localisée la f.é.m., comme nous allons le montrer dans la
question suivante.
Remarquons de plus que I est négatif ; il crée donc un champ magnétique

-
qui à tendance à s'opposer à B . Ceci est une conséquence directe de la loi
de Lenz.
Comme les parties AA et BB sont supposées parfaitement conductrices,
VA - VB = VA - VB
Par ailleurs, puisque le champ est uniforme dans le barreau, on a la relation 
suivante :
-- -

VA - VB = A B · E
Comme le champ est dans la même direction que la barre, on en déduit
-

E = Bv

R -

ey
R + R

I.2 La force motrice de ce phénomène est la force magnétique qui s'exerce sur

les électrons de la barre mobile. Puisque la barre se meut avec une vélocité -
v , les
électrons subissent une force due à la vitesse d'entraînement :
-

-

f mag = q -
v B
où q = -e est la charge d'un électron.
En réalité, il y a d'autres composantes à cette force magnétique, puisque les
électrons ont aussi un mouvement parallèle à la barre ; c'est cette force qui
donne lieu à l'effet Hall. Cependant, en régime permanent, elle est compensée
par le champ électrique Hall qui se crée ; elle n'a donc pas d'influence en
pratique.

-
Les électrons sont de plus soumis au champ électrique E ; la force totale 
s'exerçant
sur un électron est donc :
-

-
  -

f =q E +-
v B

-
I.3 En supposant que la barre est homogène, de section S, on peut calculer J :
-

I
J = -
ey
S
Par ailleurs, la résistance R de la barre vaut
R =

D
S

On en déduit

-
R Bv 
(R + R) B v
RBv
-D B v -

-

-
J =
ey = -
ey = -
-
ey
S (R + R )
R + R
R + R
R + R