X Physique 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Lévitation magnétique
Principaux outils utilisés magnétostatique, équations de Maxwell, induction électromagnétique, mécanique du point
Mots clefs lévitation, équilibre, stabilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

* * *
Lévitat ion magnétique

Le but de ce problème est d'interpréter certaines expériences de lévitation 
conduites récemment
sur des substances dites diamagnétiques comme l'eau, le graphite, les matières 
plastiques. ..
Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à 
l'obtention de champs
magnétiques élevés, supérieurs en général à 10 T.

Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté (R), est supposé 
galiléen, Oæyz en
étant un repère orthonormé. C'est le référentiel unique d'étude des parties II, 
III et IV.

Formulaire

--»

En coordonnées cylindriques (I", go, z), les composantes d'un vecteur A sont 
notées
(A... A.}... AZ).

. --»_ 1 8(7"A,) 1 ô'A,p ÔAZ
d1VA _ 7° 67° 7' Ôcp Ô'z

--» 1 ôAZ ÔA
(aA)T : ; Ôg0 _ Î'97£p

ÔA, ôAZ
OEOîÂ)

< 1023m01"1 Champ de pesanteur : g = 9, 81 ms"2 Charge élémentaire : e = 1,60 >< 10"19 C Masse de l'électron-- ' _ : me = 0,91 >< 10"30 kg Masse d'un nucléon : MN = 1, 66 >< 10"27 kg Permittivité du vide : 50 = 8, 85 >< 10-12 F-m--1 Perméabilité du vide : ,u0 : 47r >< 10"7 H-m'1 I. Champ magnétique et orbites électroniques Un noyau fixe, de charge Ze, est placé en 0. Un électron de charge --e, soumis à l'interaction électrostatique du noyau, décrit une trajectoire circulaire (C) de rayon m. La) Écrire l'équation E< 10"10 m et Z = 1. 2. On applique à ce système un champ magnétique Ë , uniforme et constant. a) Écrire dans (R) l'équation du mouvement de l'électron. b) On considère un référentiel (S), lié au repère Ooe' y' z' , en rotation par rapport à (R), à la vitesse angulaire Q constante. Ecrire l'équation E(S) du mouvement de l'électron dans ce référentiel. --o c) Déterminer Q, en fonction de @, mEUR et R, pour que E(5) ne contienne plus de terme linéaire en R . Calculer la valeur correspondante de Q pour B = 10 T. d) Expliciter les termes d'ordre B2 que contient alors E(S). Évaluer numériquement leur importance relative dans l'équation en utilisant les résultats numériques de Le). Ils seront par la suite négligés. Montrer que dans ces conditions il y a identité formelle des équations E(S) et E(R). e) On considère le cas où Ë = Bê'Z est orthogonal a (C). En admettant que la trajectoire (C') n'est pas modifiée par la présence du champ, déterminer la variation AË du moment ciné-- tique par rapport à O et due à. l'introduction du champ. Quelle est la variation associée Afi du moment magnétique ? f) Calculer numériquement Aug/az pour B = 10 T et les valeurs données en Le). 3. L'établissement du champ magnétique, s'effectue en réalité sur une durée 7' très longue devant la période du mouvement électronique. Soit BZ (t) la valeur instantanée du champ, avec Bz(0) = 0 et BZ (t) = B pour t 2 T. On le suppose orthogonal a (C') à tout instant. &) Donner l'expression du flux de Ë à. travers un cercle de rayon r et d'axe 02, puis celle de la f.é.m induite le long de la circonférence de ce cercle. En déduire la composante orthoradiale EÇP du champ électrique induit. EUR b) Écrire l'équation d'évolution temporelle de L2. En déduire que Lz -- 5728 est une constante du mouvement. . c) Montrer que la variation ALZ que l'on peut en déduire est compatible avec celle obtenue en 2.e) si l'on admet que la trajectoire n'est pas modifiée. 4. Un corps solide ou liquide contient N atomes identiques par unité de volume; le noyau de chaque atome contient Z protons et A -- Z neutrons. a) On suppose que les différentes orbites électroniques de l'atome ont des orientations telles que le moment magnétique électronique total est nul en l'absence de champ magnétique. En supposant valable pour l'ensemble du cortège électronique l'équivalence de l'application du champ magnétique et de la rotation à la vitesse angulaire Ô déterminée en 2.c), montrer que l'atome acquiert sous l'effet d'un champ Ë un moment magnétique donné par : Z 62 (332 + y?) _. --+at = --------------------B ,a 4me Où (332 + y2) désigne une moyenne sur les différentes orbites électroniques repérées par rapport au centre de l'atome. ,_ . b) ,u.R désignant la perméabilité relative d'un matériau, on pose ,uR = 1 + x, x étant appelé la susceptibilité magnétique. Dans le cas où | xl << 1,justifier que l'on puisse adopter la relation approchée ]Ü : x(Ë/;...) où Ë est le champ magnétique externe appliqué et M le vecteur aimantation du corps. c) Application numérique. En supposant cette hypothèse vérifiée, calculer x pour un corps de masse volumique p = 1 >< 103 kg-m--3, avec Z/A = 1/2 et 1132 + y2 = 1 >< 10"20 m2. II. Lévitation dans un champ magnétique à symétrie de révolution 1. Un champ magnétique statique Ë(f') possède la symétrie de révolution autour de l'axe Oz dans une région où le vecteur densité de courant est nul. On cherche à préciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe de symétrie, en utilisant un système de coordonnées cylindriques (73 90, Z)- &) Ecrire les équations satisfaites par B au voisinage de l'axe Oz. b) Compte tenu des propriétés de symétrie du champ Ë , quelles en sont les composantes non nulles et de quels paramètres dépendent--elles ? c) Soit M un point de l'axe Oz de cote ZM et P(r, go, ZM + EUR ) un point situé au voisinage immédiat de M. Vérifier que le développement en série de Taylor limité au deuxième ordre (inclus) en 7° et EUR du champ magnétique B (P) : 2Ç2 _ 'I"2 2 7 ,. B,...(P) = --a15 ---- a2'rÇ _ BAP) = ao + a1Ç + @ satisfait aux équations du champ. 38 d) Exprimer les coefficients cm,... et a2 en fonction de BM = B(M ), va1 = --52 et , ZM Ô2B Il __ BM _ 322 ZM. e) Montrer que l'expression de B2(P), en se limitant au deuxième ordre (inclus) en ,. et Ç , a pour expression 15%) = 3%. + zBMBM + (Bfi + BMBX4)c2 + (BEE. ---- ZBMBXÆ>r2/4 2. L'axe Oz est vertical. On place au point P un corps homogène, de volume V, de masse volumique p et de susceptibilité magnétique x. Il est soumis au champ magnétique précédent et au champ de pesanteur. &) Montrer que si | xl << 1, la force qu'exerce le champ magnétique sur le corps << dérive >> d'une énergie potentielle Umag donnée par : ' 1 Umag : --fiVXBZ(P) le volume du corps étant considéré comme assez petit pour prendre la valeur de B au point P comme sa valeur moyenne sur le corps. b) Soit U... l'énergie potentielle totale du corps; en donner l'expression à l'ordre 2 inclus en EUR et r. c) On souhaite que M soit un point d'équilibre. Déduire de U... l'équation implicite qui permet de déterminer z M. (1) Écrire les conditions de stabilité de cet équilibre en fonction de BM, BM, BX,! et x. e) Dans le cas d'un Corps paramagnétique (X = Xp > O), montrer que l'équilibre est toujours instable. f) Dans le cas d'un corps diamagnétique (x = Xd < 0), préciser les conditions de stabilité. Donner les expressions donnant les pulsations WC et car des petits mouvements autour de la position d'équilibre ZM en fonction de B M, BÂ,_, et BÉÇ_, et 9. III. Lévitation diamagnétique au voisinage d'une spire _1. Le champ magnétique Ë est créé par une spire circulaire d'axe vertical Oz, 0 étant le centre de la spire, de rayon a. Elle est parcourue par un courant constant d'intensité I. a) Calculer le champ magnétique en tout point M de l'axe Oz. b) Déterminer les exmessions de B M', Blv1 et de BX,_, en fonction de BO = BZ (O), 2 et a. 0) Montrer que la lévitation stable d'un corps diamagnétique (x = Xd < 0) de petite taille n'est possible que si ZM se situe dans un intervalle de cotes [zmim zmax] que l'on déterminera en fonction de a. d) Montrer que ZM = a / 2 est une position d'équilibre stable possible. Quelle est la valeur de BX,! en ce point ? 2. Application numérique. Le corps a pour masse volumique p = 103 kg.m"3 et pour sus-- ceptibilité magnétique Xd = --8, 8 >< 10--6. Le rayon de la spire vaut a = 1 >< 10"2 m; le fil de la spire un diamètre d de 1 >< 10"3 m et une résistivité de 10_8 Q-m. a) Calculer la valeur du champ magnétique BO au centre de la spire et l'intensité I du courant nécessaire pour avoir un équilibre en zM = a / 2. b) Calculer alors la puissance dissipée par effet J oule dans la spire. Commenter le résultat. IV. Lévitation d'une sphère supràconductrice Certains matériaux, refroidis à une température inférieure à une certaine température cri-- tique, deviennent supraconducteurs. En présence d'un champ magnétique, une caractéristique de cet état est l'expulsion totale du champ du sein de la matière, des courants surfaciques in- duits créant a l'intérieur du corps un champ magnétique exactement opposé au champ externe appliqué. 1) Soit une sphère supraconductrice, de centre O et de rayon R, plongée dans un champ externe constant et uniforme à l'échelle de la sphère B = Bê}. &) En utilisant les propriétés de symétrie de la situation, montrer qu'un potentiel vecteur pour le champ créé par les courants surfaciques est, en coordonnées cylindriques, de la forme A = A@e< 103 kg.m" , est placée sur l'axe vertical d'une spire circulaire identique a celle étudiée en III.1. &) En transposant les résultats de 111.2, quel est le champ magnétique B(O) au centre de la spire nécessaire pour que la sphère soit en lévitation à la cote ZM = a / 2 ? b) Quelle est alors l'intensité ] dans la spire et la puissance dissipée par effet Joule ?

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X Physique 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Marc Legendre (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur la lévitation magnétique. Le problème forme un ensemble
cohérent et de longueur raisonnable, bien qu'assez difficile par ses aspects 
calculatoires :
· dans la première partie, on caractérise le lien existant entre le moment 
cinétique
orbital de l'électron et le moment magnétique de l'atome afin d'aboutir à une
expression de l'aimantation, c'est-à-dire du moment magnétique par unité de
volume d'un milieu ;
· la deuxième partie permet de dégager des conditions permettant d'obtenir un
équilibre stable pour un corps de faible dimension soumis à la pesanteur et à
un champ magnétique non uniforme particulier ;
· une troisième partie applique ces résultats à une sphère plongée dans le champ
magnétique produit par une spire ;
· les calculs précédents sont enfin adaptés dans la quatrième partie au cas 
d'une
sphère supraconductrice.
Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème sont peu nombreux.
Ce sont des résultats relatifs à la magnétostatique, à l'induction 
électromagnétique
et à la mécanique du point. Précisons néanmoins que certaines questions 
nécessitent
quelques connaissances sur les milieux magnétiques qui ne sont plus au programme
de la filière PC à partir de la rentrée 2004. Les définitions nécessaires sont 
précisées
dans le corrigé et dans les indications. Elles le seraient dans un sujet 
conforme au
programme qui est désormais en vigueur.
On peut enfin regretter que l'énoncé ait privilégié les développements 
calculatoires
au détriment de l'analyse physique.

Indications
Première partie
I.1.b L'intensité associée au mouvement circulaire de période T est I = e/T.
I.2.b Transformer l'équation de la question I.2.a par la composition des 
vitesses
-

-

v
=-
v
+  -
r
(R)

(S)

et la composition des accélérations donnée par l'énoncé.

-

I.2.c Les termes en -
v (S) se compensent pour un choix particulier de  .
-
I.2.e Identifier L en reliant les moments cinétiques dans (R) et (S) par la 
composition des vitesses et en utilisant l'identité formelle de la question 
I.2.d.

-
I.3.a La circulation le long de (C) du champ électrique induit E i correspond à 
la
force électromotrice e induite le long de (C).
I.3.b Écrire le théorème du moment cinétique en O pour l'électron et montrer que
seul le moment de la force électrique due au champ induit est non nul.
I.4.a Reprendre le résultat de la question I.2.e en projetant dans la base 
cartésienne
et en justifiant la nullité des valeurs moyennes des produits xz et yz.

-

-

-

-

-
B
B
I.4.b Admettre que, par définition de µR , H =
où H =
- M.
µ0 µR
µ0

-
I.4.c Admettre que M représente le moment magnétique par unité de volume.
Deuxième partie
II.1.a Écrire les équations de Maxwell- et Maxwell-Ampère.

-
II.1.b Calculer la circulation de B sur un cercle de rayon r à z constante.

II.2.a Évaluer le moment -
µ du corps à l'aide de la question I.4.b. Vérifier que
--

-
F = - grad Umag
II.2.b Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur Upes .
II.2.c Le point M de coordonnées (r, ) = (0, 0) doit être un extremum de Utot .
II.2.d Simplifier Utot selon le résultat de la question II.2.c et rechercher à 
quelles
conditions évidentes Utot est minimale en (r, ) = (0, 0).
II.2.e Montrer l'incompatibilité des deux conditions de stabilité si  = p > 0.

--
d-
v
II.2.f Partir de V
= - grad Utot .
dt
Troisième partie
III.1.a Utiliser la formule de Biot et Savart dans la base cylindrique.
III.1.c Ne pas oublier la condition de la question II.2.c, sachant que  = d < 0.
Quatrième partie

-
IV.1.a Le vecteur A est perpendiculaire aux plans d'antisymétrie électrique.

IV.1.d À la surface de la sphère, OQ = r2 + z 2 = a.
IV.1.e Montrer que l'on se trouve dans un cas particulier de la question II.2.a.

I.

Champ magnétique et orbites électroniques

I.1.a L'application du principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le
référentiel galiléen (R) du laboratoire donne l'équation E(R) :

-

me -
a (R) = F élec

-

Ze2 -

F élec = -
r
40 r3

avec

-
où F élec est la force électrique de Coulomb exercée par le noyau de charge Ze 
sur
l'électron de charge -e. On a, pour un mouvement circulaire de centre O et de 
rayon

-
r0 dans la base cylindrique (-
er , -
e
 , ez ),
-

a (R) = -r0 2 -
er + r0  -
e

et

-

F élec = -

Ze2 -

er
40 r0 2

Selon -
e
 , il vient  = 0 donc  est constante et sa valeur absolue correspond à la

pulsation 0 du mouvement circulaire. En projetant selon -
er , on aboutit alors à
me r0 0 2 =

soit finalement

0 =

s

Ze2
40 r0 2

Ze2
40 me r0 3

En toute rigueur, l'étude du mouvement d'un électron autour d'un proton
constitue un problème à deux corps. Cependant, la masse Mn d'un nucléon
étant très supérieure à la masse me d'un électron, on considère avec une
bonne approximation que le proton reste fixe dans le référentiel (R).
I.1.b Le moment cinétique de l'électron par rapport à O dans (R) est
 -
-

L =
r  me -
v (R) = me r0 2  -
ez

-

-

-
-

avec r = r e et v
= r  e .
0

r

(R)

0

Si  > 0, le mouvement de l'électron de charge négative -e se fait selon +-
e
 avec
une période T = 2/. La trajectoire (C) correspond donc à une spire parcourue par
un courant orienté selon --
e
 et d'intensité
e
e 
I=
=
T
2
Le moment magnétique de cette spire de surface

S = r0 2 est alors selon --
ez et on a
er0 2  -
-

-

µ = -IS 
ez = -
ez
2

Avec  < 0, I change de sens et -
µ est selon +-
ez .
La formule précédente reste valable.
En comparant les expressions des moments cinétique et magnétique, on trouve

(C)

-

ez

 > 0

O
I

(-e)

-

µ = -IS -
e

-

2me -

L =-
µ
e

z

-

v (R)

I.1.c Il vient numériquement
0 = 1, 59.1016 rad.s-1
Selon le calcul de la question I.1.b avec || = 0 , on a la norme
µ=

er0 2 0
= 1, 27.10-23 A.m2
2

-
-
L'égalité 
µ = I S permet de retrouver l'unité de µ.
I.2.a En considérant la force magnétique de Lorentz dans le référentiel (R),
le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron conduit à

-
Ze2 

-

me -
a (R) = -
r - e-
v (R)  B
3
40 r
I.2.b Les formules de composition des vitesses et des accélérations conduisent à
-

-

v (R) = -
v (S) +   -
r
et

-
 -
-
 
-

a (R) = -
a (S) + 2   -
v (S) +   (   -
r)

Rappelons que le vecteur position -
r est invariant par changement de référentiel. Seul le repère de projection 
peut éventuellement être modifié.

Ainsi, après avoir remplacé -
v (R) et -
a (R) par les expressions ci-dessus dans le résultat
de la question I.2.a, on obtient l'équation E(S) du mouvement de l'électron 
dans (S) :
  -
-

Ze2 

-

me -
a (S) = -
r - e (-
v (S) +   -
r ) B
40 r3
 
-

-
 
-
- 2 me   -
v (S) - me   (   -
r)
Il est par ailleurs possible d'écrire directement le principe fondamental de
la dynamique dans le référentiel non galiléen (S) en prenant en compte les
forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis :

-

-

-

-

m-
a
= F
+ F
+ F + F
e

(S)

élec

magn

ie

ic

(-

 -
-
 
F ie = -me   (   -
r)
avec

-
-
 -

F ic = -2 me   v (S)
Il y a néanmoins un piège car les champs électrique et magnétique ne sont
pas invariants par changement de référentiel et il est faux d'écrire dans (S)

-

-

-
Ze2 -

F élec = -
r
et
F magn = -e-
v (S)  B
40 r3
Cependant, la force électromagnétique totale, elle, est invariante. Il faut donc
dans tous les cas conserver son expression obtenue dans (R) et utiliser la
formule de composition des vitesses pour faire apparaître la vitesse dans (S).