X Physique 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Circulation des charges électriques dans l'atmosphère
Principaux outils utilisés électrostatique, diffusion de particules, mécanique des fluides
Mots clefs foudre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE *
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 * ' FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Charges atmosphériques et orages

Les rayons cosmiques ionisent une partie de l'atmosphère. Les ions ainsi 
produits sont, avec
les charges à la surface de la Terre, à l'origine du champ électrique 
terrestre. Ces ions ne restent
pas immobiles et l'objet du problème est d'analyser quelques aspects de leur 
circulation.

Dans tout le problème, on supposera pour simplifier qu'il s'agit d'ions 
monovalents.

Dans la première partie, on aborde le problème de la distribution des ions et 
de leur mouve-
ment par beau temps. Dans la deuæième partie, on effectue l'analyse de quelques 
processus qui
contribuent à créer un champ électrique important dans les cumulo-nimbus. La 
troisième partie
montre que les éclairs jouent un rôle essentiel dans la redistribution des 
charges atmosphériques.

Les réponses auæ questions qualitatives doivent être formulées en deux phrases 
au mamimum
faisant ressortir'clairement les arguments développés.

L'étude est locale, sur une zone de faible eoetension (quelques dizaines de 
kilomètres} ; le seul
paramètre pertinent est l'altitude z par rapport à la surface de la Terre.

Données numériques

Rayon de la Terre RT = 6,4 >< 103 km
Champ de pesanteur terrestre g = 9, 8 m - s"2
Masse volumique de l'eau Peau = 1,00 >< 103 kg -- m"3
Mobilité des ions au niveau du sol kg = 1, 5 >< 10'"4= m2 - V"1 --s'1
Champ magnétique terrestre HËTH = 1 >< 10"5 T
Masse molaire de l'air M = 29 >< 10"3 kg -- mol"1

_ Constante d'Avogadro -- N A = 6,02 >< 1023 mol"1
Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J- K_1 -mol"1
Rapport Cp/CV pour l'air \ 7 = 1,40
Constante de Boltzmann kB = 1, 38 >< 10--23J - K"1
Charge élémentaire e = 1, 60 >< 10--1,9 C
Permittivité du vide 50 = 8, 854 >< 10-12 F . m--1

Formulaire

En côordonnées sphériques :

13 1 3)
m: <Ôr rô9 rsin9ô

< 10"16 kg - s"'. Est-il légitime dans ces conditions de négliger l'influence du champ magnétique terrestre ? même question pour la force de pesanteur ? Calculer la distance caractéristique |fü}|T ; justifier le caractère local de la relation entre Ë et 17}. f) La mobilité le des cations est définie par 171-- -- kÊ et celle des anions par 171 : --kË. Déterminer k en f0nction de A et @. L'évaluer numériquement. 2. Densité des ions Soient n+(z) et n_(z) les densités (nombre par unité de volume) respectivement des cations et des anions. Ces ions sont créés dans l'atmosphère par les rayons cosmiques avec un taux d'ionisation (nombre de paires d'ions créés par unité de volume et de temps) q uniforme. On suppose qu'ils se recombinent par paires avec un taux donné par --om+n_, oz constante. On suppose aussi qu'ils sont animés de leur vitesse limite Ü}. Ôn (? n [CE &) Montrer que la densité de cations obéit à l'équation : + + ---(--L----)--- -- q -- om+n_. Ôt Ôz À uelle é uation obéit la densité d'anions ? q q . b) Cations et anions étant formés et se recombinant par paires, on suppose que n+ (z) = n_ (2) : n(z). Quelle est avec cette hypothèse l'équation d'évolution temporelle de n(z) ? Mon-- trer que nkE ne dépend pas de 2. c) On suppose le régime stationnaire atteint avec pour n la valeur no. Donner alors l'ex-- pression de no en fonction de a: et q.V/Les mesures montrent que no ne dépend pratiquement pas de l'altitude; est-ce cohérent avec le résultat obtenu ? Montrer alors que E (z) est proportionnel à. p(z). (1) Donner une évaluation de la durée de vie moyenne 7" d'un ion à l'aide de a et q. e) Application numérique. On donne q = 107 m"3 - s_1, 04 = 1, 4 >< 10_12 m3 --s". Calculer no; calculer T' et comparer sa valeur avec celle de T obtenue en Le). f) En prenant E = --15 V- m'"1 et pour ordre de grandeur de ldE/dzl : 3 >< 10_3 V- m"2, montrer qu'un ion est pratiquement soumis à un champ constant lors de sa durée de vie. 3, Basse atmosphère Soit ÿ' = --gê'z le champ de pesanteur supposé uniforme. On considère l'air comme un gaz parfait de"masse molaire moyenne M et on suppose l'atmosphère en équilibre adiabatique pour 7--1 , -- 1 lequel (ÎËâl)_ -- ---- 7--fy--ïêä; 2, où P(0) est la pression au sol. _ a) Exprimer E(z) en fonction de E0, champ à proximité du sol, 9,7, M, R z (km) et de la température au sol TO. ' b) On donne EO = --50 V- m"1 et T0 = 293 K. Calculer E pour les altitudes de 1000 m, 5000 m et 10 000 m. Comparer aux valeurs expérimentales de la figure 1. c) Soit ; = jzë'Z la densité de cou- rant électrique; exprimer j'z en fonction de e, n, 1»: et E(z). Calculer numérique-- ment jz en z = 0. (1) On cherche à justifier l'hypothèse , _ - ' ' '- ' __ E . --1 ' n+(z) = n__ (z). Exprimer n+----n_ en fonc-- 1' 2 5 10 20 50 (V m tion de dE / dz. Donner une évaluation nu-- mérique de ..., -- n_ et conclure quant a Figure 1_ la validité de l'hypothèse. II. Formation de champs électriques au sein d'un nuage L'objectif estde montrer que la distribution "des charges à l'intérieur d'un nuage est très différente de celle étudiée dans la première partie. La seule variable d'espace pertinente est toujours l'altitude z. 1. Chute d'une goutte d'eau dans l'air La goutte sphérique, de rayon R... est soumise à la pesanteur et au frottement de l'air. L'air est supposé immobile, de masse volumique p et de viscosité dynamique 7]. En régime laminaire, la force de traînée sur une goutte de vitesse ?:}:9 est donnée par la formule de Stokes Ê,= --67T77R9179 , en régime turbulent, elle est donnée par F-- -- --C d(7TR2) (2pvâ ) (fig/vg) avec Cd-- -- 0,45 pour une sphère. a) Pour chacun de ces deux régimes, donner l'exmession de la vitesse limite de la goutte. b) Calculer numériquement les vitesses correspondantes pour R9 = 10um et pour R9 = 1 mm. On donne pë 1 kg-m_3 et 77 = 1,8 >< 10"5 kg--m"1 -s_1. c) Pour chacune de ces valeurs de Rg, préciser en justifiant votre réponse quel est le régime adapté; en déduire la valeur effective de 59 pour ces deux tailles de goutte. 2. Déplétion en ions Dans un nuage, les gouttes d'eau absorbent les ions qu'elles rencontrent et on désire évaluer le temps caractéristique d'évolution de la densité d'ions. Pour cela on utilise une approximation quasi--stationnaire. Les gouttes sont assimilées à des conducteurs sphériques parfaits, toutes de rayon Rg. À ce premier stade d'évolution du nuage, Rg est suffisamment faible pour pouvoir négliger la vitesse de chute. On désigne par D le coefficient de diffusion des ions dans l'air; on le suppose indépendant des ions; on prendra pour les évaluations numériques D = 10--5 m2s"1. &) Rappeler la loi de Fick reliant la densité de courant de diffusion au gradient de la densité de particules diffusantes. b) On considère une goutte unique; on suppose négligeable la convection des ions due au "champ électrique; de plus la neutralité électrique locale, 77. = .... = n-, permet de ne pas tenir compte des charges des ions, et de considérer que la goutte, recevant autant de cations que d'anions, garde une charge totale nulle. Écrire l'équation aux dérivées partielles que doit satisfaire n en ne tenant compte que du courant de diffusion. En tenant compte de la symétrie sphérique du processus, résoudre cette équation en régime stationnaire, avec comme conditions aux limites n = 0 à la surface de la goutte et n = no à grande distance. 0) En déduire le nombre de cations Ag absorbés par unité de temps par la goutte en , fonction de D, Rg et no. ' ' d) Le nuage contient N gouttes par unité de volume; établir en utilisant le calcul précédent l'équation d'évolution temporelle de no compte tenu aussi du taux de création q (cf. 1.2). En déduire la constante de temps d'évolution TD correspondante. Quelle est la valeur ...) atteinte par no en régime permanent ? ' e) On donne R = 10,um, N = 108 m--3. Calculer TD ; comparer au temps d'évolution d'un nuage. Calculer n D; comparer a la valeur stationnaire de no obtenue au 1.2.e). Est-il légitime de ne pas tenir compte de la recombinaison par paires des ions ? f) Calculer la densité de courant de diffusion des ions à une distance typique 2Rg du centre de la goutte; la comparer à la densité du courant de convection pour un champ électrique de --15 V -- m"'. Était--il légitime de négliger le courant de convection par rapport au courant de diffusion ? ' 3. Charges portées par les gouttes &) On suppose dans cette question que les gouttes ne sont soumises à aucun champ élec-- trique externe. ' al) Les gouttes absorbent de manière équivalente les anions et les cations. Mais ce pro-- cessus est aléatoire et leurs charges électriques ont une distribution statistique. Quelle en est la valeur moyenne ? ' a2) Quel est le potentiel électrique V d'une goutte de charge Q ? 1 313) L' énergie électrostatique W de la goutte a pour valeur --QV; sa valeur moyenne est de l'ordre de k3T. En déduire une évaluation de la valeur moyenne 2de |Q| en fonction de 80, Rg et k3T. La calculer numériquement à T-- -- 270 K pour Rg-- -- 10um et pour Rg =1 mm. b) Répartition de la charge à. la surface d'une goutte. On étudie une goutte seule dans le champ électrique vertical Ê = Eê'z avec E < 0. bl) Donner, en coordonnées sphériques centrées sur la goutte, l'expression du potentiel VE(7'_') associé au champ É. b2) Dans le cas où Q = 0, on suppose le potentiel Vg créé par les charges surfaciques de la goutte de la forme Vg(F) = r"g(9) où n est un entier. Le potentiel est alors Vg('F') + VE(F). En exprimant que la surface de la goutte est équipotentielle, déterminer la fonction g(9) à. l'aide de E, R9 et n. Déterminer la valeur de n. , b3) Dans le cas général où Q # O, donner l'expression du potentiel total Vtot (F). b4) Exprimer le champ Ê5 à la surface de la goutte en fonction de la densité surfacique de charge 0(9). Déterminer 0(9). b5) Pour un champ EZ < 0 comme c'est le cas dans l'atmosphère au moment de la formation du nuage, représenter sur un dessin la répartition surfacique de charge d'une goutte globalement neutre. 4. Amplification du champ a) La densité d'ions est très faible à. l'intérieur du nuage. Néanmoins, sous l'effet du champ électrique, les ions à l'extérieur du nuage sont t0ujours en mouvement vertical dans l'atmosphère et peuvent pénétrer dans le nuage, le champ au dessus et sous le nuage étant toujours orienté vers le sol. Cela induit une acéumulation de gouttes chargées négativement à la base du nuage. On considère une goutte de la base du nuage. Elle pourra se charger jusqu'à disparition de toute charge positive à sa surface. Déterminer l'expression de sa charge maximale |Q|max en fonction de E et R9. Calculer numériquement lleax avec E = 4100 V m"1 pour R9 = 10p.m et RQ = 1 mm. Comparer aux valeurs obtenues en II.3.a3). b) Un autre mécanisme est à. l'oeuvre à l'intérieur d'un nuage et contribue à charger les gouttes lorsqu'elles ont atteint une taille suffisante pour que leur chute joue un rôle important. bl) À l'aide du dessin représentant la répartition surfacique de charge d'une goutte globa-- lement neutre (cf. 11.3.b5), eXpliquer qu'une goutte qui tombe (suffisamment vite par rapport aux ions) va acquérir une charge d'un certain signe; préciser ce signe. On admet que la charge finale est proche de celle obtenue en II.4.a). b2) En déduire que E croît à l'intérieur du nuage. Cependant, lorsque lE | croît, ce mé-- canisme devient de moins en moins efficace; justifier pourquoi. On admet que la limite est atteinte lorsque les cations ont une vitesse voisine de celle de la goutte; calculer le champ EC correspondant pour R9 = 1 mm. b3) Indiquer qualitativement la distribution des charges quand l'équilibre est atteint dans le nuage. Les observations montrent que le champ électrique à l'intérieur du nuage est beaucoup plus important que le champ initial et peut atteindre plus de 10 kV / m. Sont-elles compatibles avec la valeur limite EC obtenue ci-dessus ? III. Décharge du nuage 1. Cellule orageuse D'après l'étude de la deuxième partie, on peut supposer que, après un certain nombre d'heures, la base d'un nuage d'orage consiSte en une << cellule >> contenant des gouttes char-- gées négativement. On assimile cette cellule à une sphère de rayon R = 1 km, uniformément Chargée en volume et dont la partie la plus basse est à. une distance d = 1 km du sol. a) On suppose que la cellule contient une masse totale d'eau MC : 107 kg et que les gouttes ont un rayon R = 1 mm. Calculer le nombre de gouttes Nc. On suppose de plus que toutes les gouttes sont chargées à la valeur Qmax (cf. II.4.a)) correspondant à un champ électrique de 10 kV - m'"1 a l'intérieur du nuage. Quelle est la charge totale Q,; de la cellule ? b) Quel est le potentiel V0 à la surface d'une sphère uniformément chargée, de charge totale Qt et de rayon RC, ce potentiel étant pris nul à l'infini ? Le calculer numériquement pour R0 = 1 km. c) On considère nul le potentiel de la Terre; donner une évaluation du champ électrique E moyen entre la base du nuage et la Terre. Préciser le sens de ce champ; le comparer à celui qui existe par beau temps (cf. partie I). Le champ est--il plus fort à proximité du nuage ou du sol ? 2. Coup de foudre Dans de l'air sec à la pression atmosphérique, l'application d'un champ électrique de l'ordre de 3 >< 106 V - m"1 (30 kV par cm) produit une ionisation qui se propage par un processus d'avalanches électroniques (les électrons arrachés sont accélérés, et par collisions arrachent des électrons a d'autres molécules avec un coefficient multiplicateur) ; c'est le << champ de rupture >>. Pour de l'air humide, contenant de plus des ions résiduels, la valeur de ce champ est notablement réduite. De plus des inhomogénéités ou des géométries particulières qui renforcent localement le champ électrique permettent à celui--ci d'atteindre plus aisément la valeur de rupture; l'ionisa-- tion, une fois amorcée, se propage en formant un canal ionisé, appelé << traceur >>; un champ ambiant de l'ordre de 50 kV - m'1 peut suffire pour que ce processus se développe. En général, durant la décharge, les observations suivantes peuvent être faites : -- la décharge part du nuage et descend vers le sol, l'intensité du courant est d'environ 1 kA. -- lorsque la déCharge_arrive à proximité du sol (quelques dizaines de mètres), une ionisation part du sol (<< arc en retour >>) et la rejoint; l'intensité du courant transporté lors de cette seconde phase est importante. a) Les valeurs numériques obtenues en III.1. sont-elles compatibles avec la formation d'un coup de foudre ? ' b) La durée du phénomène est de l'ordre de 100us; déduire de ces valeurs l'ordre de grandeur de l'intensité moyenne du courant électrique correspondant. Un millier de coups de foudre atteignent le sol chaque seconde dans le monde entier. Quelle est l'intensité totale moyenne IO entre la Terre et les nuages, en considérant que la charge moyenne transférée par coup de foudre est égale à Qt ? Quel est le sens de ce courant ? Calculer la densité moyenne de courant ; comparer le sens du courant et sa densité à ceux existants par beau temps » (cf. partie I). Que concluez--vous de cette comparaison?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Éric Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur l'étude du processus conduisant à la charge des nuages
puis à leur brusque décharge par la foudre. Le problème forme un ensemble 
progressif
et cohérent qui donne une bonne compréhension du phénomène physique :
· la première partie permet de caractériser les courants ioniques qui se 
développent par beau temps dans l'atmosphère ;
· dans la deuxième, on montre comment ces courants provoquent la charge des
nuages et l'existence en leur sein d'un champ électrique très intense ;
· enfin, une troisième partie relativement courte explique, à la lumière des 
résultats précédents, le rôle des éclairs dans la circulation des charges 
électriques au
sein de l'atmosphère.
Les concepts mis en jeu dans ce problème sont relativement simples. Ce sont tous
des résultats élémentaires d'électrostatique, de diffusion particulaire et de 
mécanique
des fluides. En revanche, dans tout le sujet, l'accent est clairement mis sur 
l'esprit
d'analyse et non sur la virtuosité calculatoire. Cette épreuve s'inscrit donc 
bien dans
l'esprit de la filière PC, mais peut être déroutante pour un candidat habitué à 
des
problèmes plus directifs. Il faut voir en ce sujet un bon problème 
d'entraînement aux
concours.

Indications
Première partie
I.1.a Utiliser le résultat   1/n où  est le libre parcours moyen, n le nombre 
de molécules par unité de volume et  la section efficace. Relier n à .
I.2.a Faire un bilan de cations sur un volume de section S compris entre z et z 
+dz,
où les cations entrent en z + dz et sortent en z.
I.2.b Faire la somme et la différence des équations vérifiées par n+ et n- .
I.2.c Montrer que E(z) est proportionnel à (z) avec les questions I.1.a et 
I.1.f.
I.2.d Considérer que n(t) = n0 + n(t) et simplifier l'équation de la question 
I.2.b
au premier ordre en n(t)/n0 . En déduire la durée caractéristique   .
I.2.f Donner la signification physique du quotient de |E| par |dE/dz| et du 
produit
|v |   . Comparer ces deux quantités.
I.3.a Écrire que E(z)/(z) est une constante d'après la question I.2.c.

I.3.c La densité de courant pour chaque type d'ions est de la forme n q -
v.
I.3.d Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
Deuxième partie
II.1.a Appliquer le principe fondamental de la dynamique en régime stationnaire.
II.1.c Le régime est laminaire si le nombre de Reynolds Re  1, et turbulent si
Re  1. Conserver la valeur cohérente pour chacun des deux rayons.
II.2.b À l'aide d'un bilan sur un volume (V) et du théorème d'Ostrogradski, 
montrer
n
= Dn
t
Utiliser l'expression du laplacien en coordonnées sphériques de l'énoncé.
--

II.2.c Ag est le flux entrant de -
 n = -D grad n à travers la surface de la goutte.

-
II.3.a.2 Calculer le champ électrique E pour r > Rg à l'aide du théorème de 
Gauss
et en déduire V en r = Rg par continuité du potentiel.
2

II.3.a.3 Considérer que Q2  h |Q| i .

II.3.b.1 Montrer que VE (-
r ) = -Ez, puis écrire z en coordonnées sphériques.
II.3.b.2 Montrer que l'on a nécessairement g() = g0 cos  et déterminer g0 . 
Justifier
que Vg = 0 et en déduire deux valeurs possibles pour n (une seule est
physiquement acceptable).
II.3.b.3 Utiliser les potentiels obtenus aux questions précédentes et le 
principe de
superposition.
II.3.b.4 Utiliser la relation de passage du champ électrique à la surface de la 
goutte,
sachant que celle-ci est un conducteur parfait.
II.4.a Considérer qu'en Q = - |Q| max , la densité () est nulle pour  = 180 .
II.4.b.1 Envisager l'effet de l'interaction coulombienne sur l'absorption des 
cations
et des anions par la face inférieure de la goutte lors de sa chute.
II.4.b.2 Quand |E| croît, la goutte est ralentie et les ions sont accélérés. 
L'absorption
peut se faire par la face supérieure.

I.

Distribution et circulation des ions par beau
temps

I.1.a La durée moyenne   qui sépare deux chocs consécutifs de l'ion avec les
molécules composant l'air est égale à  /v, où v est la vitesse de l'ion et  le 
libre
parcours moyen de l'ion dans l'air, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue 
par
l'ion entre deux chocs consécutifs. On sait que
1
n
où n est le nombre de molécules par unité de volume dans l'air et  la section 
efficace
de l'ion. Si la masse molaire de l'air est M, alors la masse moyenne d'une 
molécule
d'air est M/NA et il vient facilement

NA

M
Finalement, la durée moyenne   entre deux chocs vérifie
n=

M
NA v

Le frottement f = v est proportionnel à la fréquence 1/  des chocs, on a donc
NA v
NA 
soit

M
M
Or, si la composition de l'air est uniforme, les grandeurs M et  sont 
constantes et 

est bien proportionnel à (-
r ).
f

Sur cette question, précisons les points suivants :
· Le libre parcours moyen  de l'ion dans l'air s'évalue en considérant
que, dans le volume de longueur  et de section , l'ion ne rencontre
en moyenne qu'une seule molécule d'air. Il vient donc
1
n  1
soit
 
n
Dans le modèle des sphères dures, la section efficace  est égale à (r+ra )2 , 
où r
est le rayon de l'ion et ra le rayon moyen
des molécules de l'air.

r

+ ra

r

ra

`

· Le symbole  indique la proportionnalité entre deux expressions littérales.
I.1.b On applique le principe fondamental de la dynamique au cation dans le 
référentiel terrestre, supposé galiléen. Ce cation subit la force de frottement 
introduite
par l'énoncé et la force électrique. La force de pesanteur et la force 
magnétique sont
négligées, de sorte que

-

d-
v
d-
v

e-

m
= --
v + eE
soit
+ -
v =
E
dt
dt
m
m

I.1.c La solution de cette équation différentielle est -
v (t) = -
v 1 (t) + -
v 2 (t) où

-

-
d v1

-
e-

+ -
v1 = 0
et
v2 =
E
dt
m
m
m

-
t

-
Avec
v 1 = A exp -
m
on parvient à la solution générale

-

t
e-

-
v (t) = A exp -
+ E
m

-

La condition initiale -
v (0) = 0 impose que

-
e-
A =- E

t
e-

-
soit finalement
v (t) = 1 - exp -
E
m

I.1.d Pour un instant t très supérieur à la durée m/, on a

e-
-

v (t)  E

e-
-

v = E

donc

La durée m/ représente donc le temps caractéristique d'évolution et
=

m

On trouve -
v sans calcul en considérant directement le régime stationnaire
dans le principe fondamental de la dynamique exprimé à la question précédente.
Pour un anion, il suffit de remplacer e par -e dans les résultats précédents.

La vitesse limite -
v est opposée mais le temps  reste inchangé.
I.1.e Si la masse molaire de l'air est M, alors
m=
d'où

M
= 4, 8.10-26 kg
NA

-

v = 4, 8.10-3 m.s-1

et

 = 9, 6.10-11 s

-

-

Le rapport entre la force magnétique q -
v  B et la force électrique q E est de
l'ordre de

-

-
v B
= 3, 2.10-9  1

-
E
-
en utilisant l'amplitude du champ magnétique terrestre BT donnée au début de
l'énoncé. L'influence du champ magnétique terrestre est bien négligeable.