X Physique 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Production de notes par les instruments à vent
Principaux outils utilisés ondes sonores, réflexion-transmission, relation de dispersion

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Les instruments à vent

Un instrument à vent est un tuyau sonore Constitué
d'un long tube de petit diamètre de section carrée ou cir--
culaire. Dans la famille des cuivres le tuyau sonore est
souvent enroulé sur lui même et se termine généralement
par un pavillon. Le but de ce problème est l'étude des
principales propriétés sonores résultant de cette géomé--
trie. Dans la première partie on s'intéresse au principe de
la propagation des sons dans un tuyau dans le cadre d'un
modèle théorique simple. La seconde partie étudie le rôle
de la longueur de l'instrument pour les notes émises. La
troisième partie est dédiée à l'influence du diamètre de
l'instrument et la quatrième a celle du pavillon.

F igure ]

Première partie
Propagation d'une onde sonore dans un tuyau

On s'intéresse à la propagation d'une onde acoustique sinusoïdale de pulsation 
w et de lon--
gueur d'onde A à l'intérieur d'un tuyau de section S, carrée ou circulaire, 
dont la dimension
caractéristique transversale D ... \/Ë est petite devant la longueur L du 
tuyau. On se limite
dans cette partie aux cas où la longueur d'onde A est grande devant D et on 
suppose que l'onde
sonore peut être assimilée à une onde plane se propageant selon l'axe Ox du 
tuyau.

1. Au repos, l'état du fluide est caractérisé par la masse volumique po et la 
pression PO qui sont
uniformes ; le champ de vitesse 17 est nul. Au passage de l'onde acoustique, 
l'état du fluide est alors
décrit localement, dans une section droite d'abscisse a:, par la masse 
volumique p(a:, t), la pression
P (oe, t) et la vitesse axiale voe : v(oe, t). Le fluide est supposé non 
visqueux et la perturbation due
à l'onde acoustique reste faible en valeur relative. En notant p(oe, t) = P(:c, 
t) -- PO la pression

acoustique et 5p(oe, t) : p(æ, t) -- po la variation de masse volumique 
induites par le passage de
l'onde, montrer que l'équation régissant le mouvement du fluide se réduit à :

2. Au repos, l'état du tuyau est caractérisé par l'aire SO (32) de sa section 
droite et on suppose
dD

da:

alors décrit localement par l'aire S (a:, t) de la section droite d'abscisse 
a:. On posera 6S(æ, t) :

S(oe, t) ---- So(æ).

<< 1. Sous l'action de la surpression p due au passage de l'onde, l'état du 
tuyau est

&) Montrer que l'équation de conservation de la masse s'écrit :

6< 10--10m2N"1 l @ Air 9 >< 10--6m2N_1

1 d

1dS

Les valeurs du coefficient Ëd_P correspondent a des tubes de dimensions 
analogues à
p=0

celles d'un instrument à vent. Dans le cadre de cette modélisation, que 
peut--on en conclure sur
l'influence des parois de l'instrument de musique sur le son qu'il émet ?

Deuxième partie
Notes émises par un instrument à vent

1. Conditions aux limites

Un tuyau sonore peut être le siège
d'ondes acoustiques stationnaires qui
vont dépendre fortement des conditions
aux limites imposées à ses deux extré-
mités. Afin de préciser ces dernières,
considérons un tuyau composé de deux
parties cylindriques de diamètres res- Figure 2
pectifs 1 et (132 raccordés par une dis--

continuité brutale de section située à
l'origine du référentiel. On désigne par po la masse volumique du fluide au 
repos et par c la
vitesse de propagation. Soit p; l'amplitude de la surpression créée par une 
onde se propageant le
long du tuyau dans le sens des m positifs; la discontinuité génère deux ondes 
supposées planes :
une onde réfléchie d'amplitude de surpression p R et une onde transmise 
d'amplitude de surpres--

sion pT.

&) Déterminer les expressions des coefficients de réflexion 7° et de 
transmission t relatifs aux

@
amplitudes de pression en fonction du rapport X : 3%. En déduire les 
coefficients de réflexion
1

R et de transmission T relatifs aux puissances acoustiques des ondes réfléchie 
et transmise.
b) Tracer l'allure de la fonction R(X) et préciser la signification physique de 
son minimum.

c) A quelles conditions physiques correspondent les limites X --> 0 a 1 
donné et X --+ 00
a 2 donné ? En déduire les conditions d'extrémité en termes de pression et 
de vitesse dans les
deux cas.

2. Fréquences émises

Un instrument à vent peut être considéré comme un tuyau sonore de longueur L 
vérifiant a ses
extrémités l'une ou l'autre des deux conditions aux limites : tuyau ouvert ou 
tuyau fermé. Il
se comporte donc pour certaines fréquences comme un résonateur siège d'un 
système d'ondes
stationnaires de longueur d'onde À. Ces fréquences sont les modes propres de 
l'instrument et
correspondent aux notes qu'il est capable de générer. Un jeu de conditions aux 
limites sera dit
pair si les conditions aux deux extrémités sont de même nature (ouvert--ouvert 
ou fermé--fermé)
et impair si les conditions aux deux extrémités sont de nature différente 
(ouvert--fermé).

&) Montrer par un raisonnement physique simple que la note fondamentale, la 
note la
plus basse générée par l'instrument, ne dépend que de la longueur L du tuyau, 
de la vitesse de
propagation du son c et de la parité : donner l'expression de la fréquence 
correspondante.

b) Pour les applications numériques suivantes, la vitesse du son dans l'air 
sera prise égale à
340 m 8--1. La flûte est un instrument considéré comme ouvert a ses deux 
extrémités. Déterminer
la longueur de l'instrument pour que son fondamental soit la note mi de 
fréquence 330 Hz.

L'anche d'une clarinette est assimilée à une extrémité fermée. À longueurs 
égales, la clarinette
joue--t--elle plus haut ou plus bas que la flûte ?

Le plus long tuyau d'un grand orgue mesure 10,6 m et émet une note fondamentale 
à 16 Hz.
Déterminer la parité de son jeu de conditions aux limites.

c) Montrer que les notes harmoniques, de fréquence supérieure au fondamental, 
sont régu--
lièrement espacées en fréquence et que l'écart entre deux harmoniques 
successifs est indépendant
des conditions aux limites. Etablir l'expression de cet écart.

Troisième partie
Influence du diamètre du tuyau

1. Lorsque l'instrumentiste joue des notes montant vers les aigus, donc des 
harmoniques

, . À , .
de frequence cr01ssante, le rapport 5 decr01t; des ondes non--planes peuvent se 
propager: le

tuyau joue le rôle d'un guide d'onde et les ondes doivent maintenant satisfaire 
à l'équation de
propagation d'onde tridimensionnelle :

a) On s'intéresse au guidage sonore d'une onde monochroma--
tique dans un tuyau d'orgue de section carrée de coté D. Justifier
la forme :

p(âæ % Z» 75) = Y(y)Z(Z) exp{i(ka -- wt)}

sous laquelle on va rechercher la solution de l'équation d'onde.

F figure 3

b) Quelle est la condition imposée à la vitesse du fluide aux parois ? En 
déduire les condi--
tions imposées aux fonctions Y et Z.

c) Démontrer que la pulsation w et le nombre d'onde k: de l'onde sont liés à la 
dimension
transversale D du tuyau par :

7T262

D2 (a2 + b2) & et 1) étant des nombres entiers .

w2 = k2c2 +

Les répartitions de Y(y)Z (z) de l'amplitude de la surpression dans la section 
droite sont appelées
modes transverses du tuyau et caractérisées par les couples {a, b}. A quel 
couple correspond la
propagation d'une onde plane ?

d) Exprimer la relation
précédente sous la forme d'une
1/
fonction -- : f({a,b},kD) dans 3
Ve
0
laquelle % = --. Pourquoi 0

2D 2
appelle--t--on VC fréquence de cou--

pure? Le tracé ci--contre repré--

sente les courbes des premiers

modes {0,0}, {0, 1}, {1,0}, {1, 1}, 1 :

{0,2} et {2,0}. Associer a cha-- '

cune de ces courbes le mode cor-- kD
respondant. 0 |

2. Un instrument à vent est Figure 4
dit harmonieuoe lorsque les notes
correspondant aux divers harmoniques de son fondamental s'étagent régulièrement 
en fréquence.
La richesse sonore de l'instrument se définit comme le nombre N de notes 
harmonieuses qu'il

peut générer.

du
&) Démontrer que la condition d'harmonie est -- = Cte. Quels sont les modes 
transverses

dk:

autorisés pour un instrument harmonieuæ ? Etablir la relation entre la 
fréquence 1/M de la note
harmonieuse la plus élevée que peut jouer un instrument à vent et la fréquence 
de coupure VC
de son tuyau.

b) Le diamètre D de la plupart des instruments à vent étant de l'ordre de 10 
mm, calculer
l'ordre de grandeur de la fréquence de la note harmonieuse la plus haute des 
instruments à vent.
En déduire la justification du choix de D.

L

c) Exprimer la richesse N en fonction du rapport 5 et de la parité des 
conditions aux

limites. La richesse dépend--elle beaucoup des conditions aux limites ? 
Calculer la richesse N d'un
cor d'harmonie dont la longueur développée du tuyau est L = 4 m et la comparer 
à. celle d'une
flûte dont le tuyau est long de 50 cm.

Quatrième partie
Rôle du pavillon

1. De nombreux instruments à vent, particulièrement dans la famille des 
cuivres, ont un
tuyau de section circulaire de diamètre D qui se termine par un pavillon évasé 
dont le profil est
proche d'une exponentielle.

&) Montrer qu'il faut rajouter à l'équation de propagation du son dans un tuyau 
de section

1 dS Ô
constante le terme -- --0 _p pour prendre en compte l'évolution de sa section. 
Ecrire cette

SO doe 8512
équation dans le cas d'un pavillon de profil exponentiel défini par D(æ) = DO 
exp(floe).

b) Etablir l'expression de la surpression p(æ, t) de l'onde plane progressant 
dans le pavillon

et montrer que sa propagation dans le pavillon n'est possible que si sa 
fréquence I/ est supérieure à
une fréquence 1/p que l'on déterminera. Justifier la loi de variation de 
l'amplitude de la surpression

p le long du pavillon. Donner l'expression du nombre d'onde K et tracer 
l'allure de la courbe
1/
donnant l'évolution du rapport -- en fonction du rapport K / fl.

VP

c) Le pavillon d'un cor d'harmonie de longueur Lp = 1, 5 m présente un diamètre 
d'entrée
go = 12 mm et un diamètre de sortie (1) = 310 mm. Calculer le paramètre fi de 
son pavillon et la
valeur de sa fréquence Up.

2. Un cor d'harmonie se compose d'un tuyau, considéré comme fermé à 
l'embouchure, de
diamètre g0 = 12 mm constant sur une longueur LC = 2, 4 m, et raccordé ensuite 
au pavillon.

&) Pour prendre en compte la non idéalité des conditions d'extrémité qui 
traduit le détail de
l'écoulement de raccordement entre la sortie du pavillon et l'air environnant, 
on admettra que le
milieu extérieur se comporte vis--à--vis de l'instrument comme un tuyau 
équivalent prolongeant
le pavillon et de diamètre ' tel que sa section droite admette une aire de 1 
m2. Calculer le
coefficient de transmission relatif aux puissances acoustiques T d'un cor 
d'harmonie sans son
pavillon puis celui Tp d'un cor d'harmonie avec son pavillon.

b) Etablir l'expression de l'intensité acoustique I d'une onde en fonction de 
l'amplitude
de la surpression, de la masse volumique du fluide et de la célérité du son.

c) Pour une intensité acoustique émise IEdB de 80 dB, l'intensité de référence 
étant de
1 >< 10"12 Wm'2, calculer l'amplitude de la surpression de l'onde incidente 
régnant dans le corps
de l'instrument fonctionnant sans son pavillon. Est-elle compatible avec les 
hypothèses faites
pour étudier les propriétés des instruments à vent ? On donne pg : 1, 20 kg m"3 
.

(1) Pour un instrument avec son pavillon, quelle est la partie de l'instrument 
<< vue >> par
les notes graves de fréquence 1/ nettement inférieure à 1/1) et celle << vue >> 
par les notes aiguës
de fréquence !! nettement supérieure a Up ? Quel est le sens de variation du 
nombre de notes
émises et de leur intensité pour une augmentation du diamètre de sortie (1) du 
pavillon, toutes
choses égales par ailleurs ? Quel est donc le rôle principal du pavillon ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Vincent
Fourmond (ENS Ulm) et Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon).

Le sujet porte sur l'étude de l'émission de notes par les instruments à vents.
La première partie établit l'équation de propagation d'une onde sonore dans un
tuyau en prenant en compte l'influence du fluide dans lequel se propage l'onde 
et
celle du solide constituant les parois du tuyau. La seconde partie s'intéresse 
plus
particulièrement aux conditions aux limites imposant la valeur des fréquences 
que
peut émettre un instrument à vent. La troisième partie fixe les limites de 
l'étude
précédente et détermine la plage de fréquences où elle est valable. Enfin, la 
quatrième
et dernière partie traite du rôle du pavillon dans l'émission sonore.
Ce problème, facile de prime abord, recèle néanmoins des questions méritant une
réflexion approfondie. Il utilise des notions d'hydrodynamique et des outils 
concernant
les phénomènes ondulatoires.

Indications

Première partie
I.1 Linéariser l'équation d'Euler au premier ordre en perturbation.
I.2.a Faire un bilan.
dD
 1 lors de la linéarisation.
dx
I.3.a Utiliser le théorème de Schwarz.
I.2.c Utiliser l'hypothèse

Deuxième partie
II.1.a Penser à la conservation des quantités globales (débit et énergie).
II.1.c Il y a une erreur dans l'énoncé : il ne faut pas considérer    à 2 donné,
mais    à 1 donné.
II.2.a Trouver la longueur d'onde minimale qui satisfasse aux conditions aux 
limites.

Troisième partie
III.1.b Utiliser Euler pour les conditions aux limites : la vitesse normale est 
toujours
nulle aux parois.
III.1.c Faire apparaître la séparation des variables dans l'équation de 
propagation.
III.1.d Regarder la valeur à l'origine.
III.2.a Utiliser la convexité de la relation de dispersion.
III.2.c Écrire l'expression littérale de la ne harmonique et prendre garde à la 
convention prise pour le fondamental dans l'expression de la richesse.

Quatrième partie
IV.1.a Revoir l'approximation faite à la question I.2.c afin de linéariser 
l'équation (2).
IV.1.b Résoudre l'équation pour un vecteur d'onde complexe et ne pas confondre
avec le nombre d'onde.
IV.2.b Penser à la moyenne pour l'intensité.

I
IV.2.c Se rappeller que IEdB = 10 log
et prendre garde que l'on veut la surIréf
pression dans le corps de l'instrument.

I.

Propagation d'une onde sonore dans un tuyau

I.1 Écrivons l'équation d'Euler projetée suivant l'axe (Ox)
v
v
1 P
+v
=-
t
x
 x
Comme P0 est une constante, il ne reste plus que p dans la dérivation. Les 
termes en
v et p étant des perturbations, on va linéariser cette équation pour ne garder 
que le
premier ordre.
 
p
1 p  p

1
On développe
=
-
+o
0 +  x
0 x 20 x
0
v
 p
et 2
sont donc supprimés comme étant du deuxième ordre
x
0 x
en perturbation (ils font intervenir un produit de termes d'ordre 1).

Les termes en v

On en déduit :

1 p
v
+
=0
t
0 x

(1)

I.2.a Effectuons un bilan de conservation de la masse.
Celui-ci montre que la variation de la
masse comprise dans le volume Sdx
entre les instants t et t+dt est égale à la
masse rentrant en x moins celle sortant
en x + dx.

S(x) S(x + dx)
[Sv](x)dt
[Sv](x + dx)dt

 dx 

Ce qui donne :
[S](x, t + dt)dx - [S](x, t)dx = [Sv](x, t)dt - [Sv](x + dx, t)dt
Avec Taylor

D'où

(S)
(Sv)
dtdx = -
dxdt
t
x
(S) (Sv)
+
=0
t
x

(2)

Une deuxième méthode consiste à utiliser une équation générale de conservation 
sous la forme

-

+ div J = 0
t

-

En posant  = S densité linéique de masse et J = S-
v courant linéique
de masse, on obtient bien
(S) (Sv)
+
=0
t
x
I.2.b La variation de la section induit des vitesses non nulles suivant les 
axes (Oy)
-- 

et (Oz). Ces vitesses n'interviennent que dans le terme en (-
v . grad )-
v . L'hypothèse

dD
 1 signifie que ces vitesses sont aussi du premier ordre en perturbation. On
dx
peut donc supprimer ces termes lors de la linéarisation pour retomber sur 
l'équation
(1).
I.2.c
(Sv)
v
= (0 + )(S0 + S)
+ v
x
x

On a

S0
S
+
x
x

+ Sv

x

v
car tous les autres comportent des
x
produits d'au moins deux termes du premier ordre. L'équation (2) peut donc 
s'écrire
où le seul terme du premier ordre est 0 S0

(S)
v
+ 0 S0
=0
t
x

(3)

S0
On utilise
= 0 car le tuyau est à profil constant. On peut néanmoins
x
retenir la présence de ce terme qui nous servira pour la question IV.1.a.
(S)
S

Il est à remarquer que
se linéarise aussi en 0 +S0 , les termes
t
t
t
S

et S
étant du second ordre du fait que les parties non perturbées
t
t
de S et  ne dépendent pas du temps.
I.3.a Pour trouver l'équation de propagation pour la pression, il faut faire 
apparaître
des dérivées secondes de p par rapport à t et à x. Pour ce faire, dérivons 
l'équation
(1) par rapport à x et l'équation (3) par rapport au temps.
(1) donne

(3) donne

2v
1 2p
=-
x t
0 x2
2v
1
=
t x
0 S0

(4)

2S
2
0 2 + S0 2
t
t

(5)

Développons (P) en terme de perturbation de pression :
(P + p) = 0 + p

De même

D'où

S(P + p) = S0 + p
2
 2 p d
=
t2
t2 dP

et
p=0

d
dP

p=0

dS
dP

p=0

+ o (p)

+ o (p)

2S
 2 p dS
=
t2
t2 dP

au premier ordre.
p=0

On peut remplacer les présentes expressions dans l'équation (5). La combinaison 
des
équations (4) et (5) donne alors
!
1 2p
1
d
dS
2p
-
=
S
+

0
0
0 x2
0 S0
dP p=0
dP p=0 t2