X Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Guide d'ondes et principe d'un commutateur optique
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Commutateur optoélectronique

Dans un circuit intégré électronique l'information est véhiculée par des 
électrons. Un des
buts de l'optoélectronique est de remplacer autant que faire se peut l'électron 
par le photon. On
sera donc amené à acheminer des faisceaux lumineux d'un point d'un circuit où 
ils auront été
mis en forme à un autre point où ils subiront des opérations logiques. Ce 
transport s'effectue
à. l'aide de guides optiques. Le but de ce problème est l'étude de quelques 
propriétés de ces
guides. Dans la première partie on s'intéresse au principe de guidage des ondes 
lumineuses dans
le cadre d'un modèle théorique simple. Une situation plus réaliste où le 
guidage des ondes est
plus complexe est étudiée dans la deuxième partie. Dans la troisième partie on 
introduira un

couplage entre deux guides optiques et on utilisera ce couplage dans la 
quatrième partie pour
réaliser un commutateur électro--optique.

Formulaire

Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : c = 3 >< 108 HIS--1
Équations de Maxwell pour les milieux diélectriques non magnétiques :

divñ=p divË=0 ' (1)
r6t E = --ôË/ôt r6t B' = ...,(î+ ôË/ôt) (2)
Pour tout champ de vecteurs Â, on rappelle que :

r5t r5t = grâd(div Â) -- ÂÂ

Première partie
Principe du guidage d'une onde lumineuse

On s'intéresse àla propagation d'une onde électromagnétique monochromatique de 
pulsation
ou dans un guide dont le schéma est représenté sur la figure 1. Ce guide est 
constitué d'une couche

coeur infinie d'arséniure de gallium (GaAs), d'épaisseur d, insérée entre deux 
plans parfaitement
conducteurs, totalement réfléchissants. L'arséniure de gallium est un matériau 
semi-conducteur
que l'on considérera comme un milieu diélectrique linéaire, homogène, isotrope 
et non magné--

tique. On le caractérise par son indice de réfraction n(w). À la pulsation w de 
l'onde, on a
n(w) = n = 3, 3.

Figure 1

1. Montrer que le champ électrique de l'onde, exprimé en F au temps t, obéit à 
l'équation
suivante :

ÂË(f, t) + u050w2n2Ë(ñ t) = 6 (1)
où ...) et 80 sont respectivement la perméabilité et la permittivité du vide.

2. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par le champ Ë(F, t) ?

3. On se limite au cas de la propagation des ondes transverses électriques pour 
lesquelles le
champ E est orienté selon Oy et on cherche une solution de l'équation (1) sous 
la forme

Ë(F, t) = Re{F(x, y)e'flze"'"'t}ê'y
où 5 est une constante positive, Re désignant la partie réelle.

a) Justifier le fait que F(æ, y) ne dépend pas de y.

b) Écrire l'équation différentielle et les conditions aux limites vérifiées par 
F(æ). On posera
u)

k = --. Montrer que ces conditions ne peuvent être satisfaites que si [i < kn 
(condition de
c

guidage) .

c) On pose 012 = k2n2 -- ,82 avec a positif. Montrer alors que les solutions de 
cette équation
n'existent que pour des valeurs discrètes cv,, de a que l'on déterminera. A 
chaque valeur ap
correspond un mode guidé du champ électromagnétique caractérisé par l'amplitude 
Fp(oe).

(1) Dans le cas d'une onde de longueur d'onde dans le vide A = 1, 4 pm, comment 
doit-on
choisir l'épaisseur d de la couche de GaAs pour que le guide n'admette qu'un 
seul mode?

4. On se place dans les conditions où le guide n'admet qu'un seul mode. Donner 
l'expression
du champ électrique correspondant à ce mode.

Deuxième partie
Guide diélectrique

On s'intéresse toujours à la propagation d'une onde électromagnétique 
monochromatique
transverse électrique de pulsation ca mais on envisage dans cette partie une 
structure plus réaliste
représentée sur la figure 2. La couche coeur de GaAs, d'indice de réfraction 
noté désormais nc

(nc = 3,3), est maintenant entourée par deux couches confinantes d'arséniure 
d'aluminium
(AlAs) semi-infinies.

"E AlAs
Y
" nc 0 GaAs Z
nE AlAs
Figure 2

Le matériau semi-conducteur AlAs sera considéré comme un milieu diélectrique 
linéaire,
homogène, isotrope, non magnétique d'indice de réfraction mg (mg = 2,7). Comme 
dans la
première partie on cherche des solutions de l'équation (1) de la forme :

Ê(ñ t) = Re{F(OE)efize--iwt}ëy

1. Ecrire l'équation différentielle à laquelle doit obéir l'amplitude F(æ) dans 
chaque milieu.
On introduira les paramètres a et { tels que a2 : k2n20 -- 52 et 52 = [32 -- 
k2nî«.

2.a) Quel doit être le sens de variation de l'amplitude F(æ) à l'extérieur du 
coeur pour que
la structure se comporte comme un guide. En déduire le signe de 52. Montrer que 
la condition
de guidage de l'onde électromagnétique s'écrit maintenant km.; < ,8 < [eng.

b) En supposant cette condition satisfaite donner les solutions générales de 
l'équation
précédente dans chaque milieu.

3. Ecrire les relations de continuité entre le GaAs et l'AlAs pour les champs 
électrique et

- aË
magnétique de l'onde; en déduire la continuité de E et ---- aux interfaces.

6510

4. Etant donnée la symétrie du problème, on peut chercher des fonctions F(æ) 
soit paires
soit impaires.

a) Si F(:r) est une fonction paire, montrer que les paramètres a et & doivent 
vérifier les
relations suivantes :

a2 +EUR2 ___ k2(nËv _ n2E) = ------------ avec tg a-- > 0

km 2

b) Ecrire les relations similaires valables quand F (a:) est une fonction 
impaire.

d' a d

c) Proposer une résolution graphique permettant de déterminer les modes du 
guide.

(1) Montrer que l'amplitude du mode fondamental (mode correspondant à la valeur 
la plus
petite possible du paramètre a) est donnée par :
d d d

F(æ) = A cos ax si læ| < 5 F(æ) = Aces (aa) e_£(læl_d/2) si M > 5

où A est une amplitude constante.

RepréSenter schématiquement la dépendance de F(æ) en fonction de a: pour le 
mode fonda--
mental du guide.

e) Pour une longueur d'onde dans le vide A = 1, 4 nm et un guide d'épaisseur d 
= 0,6 pm,
on trouve pour le mode fondamental a = 3, 73 [tm--1. Calculer les valeurs de 
À{, d{ et de la
quantité 1/5.

Quelle est la signification physique de la quantité 1/£ ? Dans quel sens 
varie--t-elle lorsque
l'ordre p du mode augmente ?

5. On introduit l'angle 9 tel que a = knc cos 9. Montrer que, dans la couche 
coeur de GaAs,
le champ électrique correspondant au mode fondamental peut être assimilé au 
champ électrique
résultant de la superposition de deux ondes planes. En considérant la condition 
de propagation
dans le guide énoncée dans la question 2.a) de cette deuxième partie, trouver 
l'inégalité que
doit vérifier l'angle 0 et en donner une interprétation physique.

Troisième partie
Couplage de deux guides

Dans cette partie, nous allons étudier l'effet du couplage entre les ondes 
lumineuses se pro--
pageant, selon leur mode fondamental, dans deux guides identiques, parallèles 
et proches. Ce
couplage est dû à l'extension latérale de leurs champs électriques, le champ du 
mode fonda--
mental de l'un des guides n'étant pas nul dans la couche coeur de l'autre. Par 
construction, ce
couplage est faible; aussi on supposera que la structure du champ pour le mode 
fondamental de
chaque guide est pour l'essentiel non modifiée; on introduit simplement pour 
chaque onde une
amplitude complexe A,(z), (i = 1, 2), évoluant lentement dans la direction Oz 
sur une distance
caractéristique grande devant la longueur d'onde. Soit D la distance entre les 
centres des couches
coeur (figure 3). On posera ainsi :

Ê1(F, t) = E1(x, z, t)ê'y = Re{A1(Z)F(OE)eiflze--M}ëy
Ê2(F, t) = E2(æ, z, t)ë'y = Re{Ag(Z)F(OE -- D)eiflze--M}êy

4

en prenant A = 1 pour F(x) donnée dans la question 4.d) de la deuxième partie.

Figure 3

On admettra que, moyennant certaines approximations justifiées, le couplage se 
traduit par
le jeu d'équations :

%[A1(z)] = w A2] = iv A1

1. Montrer que la condition |A1]2 + lA2l2 = constante impose au coefficient 7 
d'être réel.
Donner une interprétation physique de cette condition.

2. Déterminer l'expression générale de A1(z) et celle associée de A2(z).

3. On suppose qu'à l'entrée la puissance lumineuse est injectée entièrement 
dans le guide 2.
On a alors A1(0) = 0 et A2(O) = A0. Déterminer A1(z) et A2(z).

4. Déterminer L, longueur minimale du double guide nécessaire à la transmission 
complète
vers le guide 1 de la puissance injectée dans le guide 2.

5. Calculer numériquement L pour deux guides de caractéristiques identiques à 
celui étudié
dans la question 4.e) de la deuxième partie avec un entraxe D = 1,4um, 
l'expression du
coefficient de couplage étant :

1 e_ê(D_d)

à+â; 2+Ed

_2
'_r3

Quatrième partie
Commutateur optique

Le matériau GaAs constituant les couches coeur est un matériau 
électro--optique, c'est-à--dire

que son indice nc varie en fonction d'un champ électrique externe appliqué E,, 
= Eaêy suivant
la loi :

Ang(E,,) = nË; rc Eu

où rc est l'indice électro--optique du GaAs valant 1,6 pm/V.

Afin de réaliser un commutateur, on utilise un système de deux guides optiques, 
analogue à ce--
lui étudié dans la troisième partie, mais on dispose deux électrodes sur le 
guide 2 uniquement. On
admettra que la présence de ces électrodes ne modifie pas la structure du champ 
électrique dans
les guides. En appliquant au guide 2 un champ électrique externe, on modifie 
très légèrement l'in-
dice de sa couche coeur qui passe de ne à nc+ônc avec ônc << 1, donnant ainsi 
au coefficient ,6 du
guide 2 une valeur 5 + 55 légèrement différente de celle ,3 du guide 1.

Les champs des modes fondamentaux des guides s'expriment alors selon :

Ë1(F, t) = E1(x, z, t)ê'y = Re{A1(Z)F(æ)eiflze--M}ëy
Ê2(F, t) = E2(OE, z, t)ëy : Re{A2 (z)F(æ -- D)ei(fi+ôfl)ze_i"t}ëy
Lors de la propagation sur la distance 2, Ë2 acquiert par rapport à Ê1 un 
déphasage 652; on

admettra que le couplage entre les amplitudes des deux ondes est décrit 
maintenant par les
équations :

d%[A1(z)] = ivA2(z)eiôflz d%[A2(z)] = i7A1(z)e-iôflz

1. Pourquoi faut-il tenir compte de la variation ôfl de [? alors que l'on 
néglige les variations
&& de a et 57 de fy qui sont a priori du même ordre de grandeur ?

Citer un exemple de situation physique où ce type d'approximation est 
habituellement effec-
tué.

2. On suppose qu'à l'entrée la puissance lumineuse est injectée entièrement 
dans le guide 2.

2
On a alors A1(0) = 0 et A2(0) = A0. On pose : Q = "72 + <%) .

La résolution du système d'équations couplées conduit à :

A1(z) : iA0%EURiâ% sin 92
A2 (2) = Aoe_iôgz (cos 92 + i% sin Qz) .

On appelle Ho la puissance optique injectée dans le guide 2.

a) Etablir les expressions des rapports H1(z)/HO et H2(Z)/H0 et dessiner 
schématiquement
leur évolution le long du double guide couplé,

b) Déterminer la proportion maximale de puissance transférable du guide 2 au 
guide 1.

3. L'ensemble des deux guides couplés possède la longueur L déterminée dans la 
question 4.
de la troisième partie. Montrer qu'à la sortie du guide 1, fil (L) / Ho est une 
fonction du champ

E.,, donnée par :
HÏ1(f) =Sm2{% 1+ (L5fiÂEOE))'}/{l+ (LôfiiE; )'}

4. Pour que le double guide couplé joue le rôle d'un commutateur 
électro--optique, il faut que
l'application du champ électrique redonne au guide 2 la totalité de la 
puissance incidente.

a) Quelle est la plus petite valeur» de 5,8(Ea) nécessaire? .

b) Pour les valeurs numériques données, ,6 % 27rng/À. En utilisant cette 
relation approchée,
donner une expression pour le champ électrique E,, nécessaire à la commutation.

c) Avec les valeurs numériques précédentes, calculer (en kV/ cm) le champ Ea 
nécessaire à
la commutation et la différence de potentiel V (en volts) à appliquer aux 
électrodes, leur distance
étant de 0,6 pm.

5. Les fréquences de commutation autorisées par un tel dispositif sont de 
l'ordre de 10 GHz,
très supérieures à celles des commutateurs électroniques classiques. Ces 
derniers fonctionnent

par transfert de porteurs de charges. Proposez une explication qualitative de 
cette différence de"
performance.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Étienne Reyssat (ENS Ulm) et Olivier Arcizet (ENS
Ulm) ; il a été relu par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) et Fabien Guérin (École
Polytechnique).

L'épreuve est composée de quatre parties, non indépendantes, qui vont 
progressivement faire comprendre le fonctionnement d'un commutateur optique.
­ La première partie a pour but de retrouver les résultats classiques du guide
d'onde idéal (parois parfaitement conductrices), et d'étudier la propagation des
modes transverses.
­ La seconde partie étudie un modèle plus réaliste de guide d'onde, qui utilise
des parois diélectriques et non plus des métaux parfaits. Le champ n'est alors
plus complètement confiné dans le coeur du guide.
­ Dans la troisième partie, on couple deux guides d'onde. Ce couplage permet à
l'énergie lumineuse de passer d'un guide à l'autre.
­ Enfin, la dernière partie présente une façon de maîtriser ce couplage. 
L'utilisation d'un champ électrique externe influe sur les échanges d'énergie 
entre les
deux guides, ce qui permet de commander le commutateur optoélectronique
réalisé.
Ce problème est très abordable dans l'ensemble et fait appel à des méthodes 
classiques. Avec un peu d'attention dans les calculs, on peut très bien s'en 
tirer.

Indications

I.1 Utiliser les équations de Maxwell. Se souvenir que dans un milieu linéaire

-

-
D = n2 0 E ; il n'y a ni courant ni charge dans le diélectrique. Considérer le
cas d'ondes dont la dépendance temporelle est de la forme e-it .
I.3.a Examiner les invariances du problème.
I.3.b Injecter l'expression proposée pour le champ électrique dans l'équation 
obtenue à la première question.
I.3.c Exprimer les conditions aux limites, et donner la condition pour que le 
système
obtenu ait des solutions non triviales (nullité du déterminant).

II.1 Ne pas refaire de calcul, mais reprendre simplement l'équation obtenue 
dans la
question I.1 en remplaçant n par l'indice qui correspond au milieu considéré.
II.2.a Le champ et sa dérivée doivent être continus au passage des interfaces.

-
II.3 La continuité de B due à l'absence de courants surfaciques entraîne la 
conti
-

E
- -
nuité de rot E , c'est-à-dire de
.
x
II.4.e Ne pas négliger une application numérique qui peut rapporter des points.
II.5 Se souvenir des lois de Descartes.

III.1 Dériver l'expression proposée, et remplacer les termes dérivés à l'aide 
des
équations différentielles fournies dans l'énoncé.
III.2 Déterminer d'abord les expressions de A1 + A2 et A1 - A2 .
III.3 Calculer les valeurs de A1 et A2 à l'entrée du guide, afin de déterminer 
les
constantes trouvées à la question précédente.

IV.2.a Les puissances sont proportionnelles au carré de l'amplitude du champ.
IV.3 Attention : ici Ea est l'argument de la fonction . Il ne faut pas chercher 
à
introduire Ea dans l'expression donnée au début de la partie. De plus, il faut
se servir du résultat de la question III.4.
IV.4.a Chercher la première annulation de la puissance dans le guide 1.

Première partie :

Principe du guidage d'une onde lumineuse

I.1 Il n'y a ni charges libres ni courant dans le GaAs. Les équations de Maxwell
s'écrivent donc :

-

-
div D = 0
div B = 0

-
-
B
- 
rot E = -
t

-
-
D
- 
rot B = µ0
t

-

-

-
D =  0  r E =  0 n2 E

et on a

donc, d'après la formule donnée en début d'énoncé :
 --
 -
-
-

- - -
rot rot E = grad div E -  E

-
--
-
-

D
= grad div
-E
 0 n2

-
-

- - -
rot rot E = -  E
Par ailleurs,

-

- - -
-
 B
rot rot E = - rot
t

- -
 rot B
=-
t

-
2 D
= -µ0 2
t

-
2

- - -
2 E
rot rot E = -µ0 0 n
t2
Pour une onde dont la dépendance temporelle est de la forme e- it , on a :

-

-
2 E
= - 2 E
2
t
et on obtient l'équation demandée :
--

-
 E + µ0  0 n 2  2 E = 0

L'existence de courants dans le GaAs serait une cause de dissipation d'énergie. 
L'onde perdrait alors de la puissance, ce qui est évidemment néfaste pour
un guide d'onde.
I.2 Les deux plans qui entourent le coeur sont, dans cette partie, des 
conducteurs
parfaits. Si l'on suppose qu'il n'y a ni charges ni courants surfaciques, le 
champ
électrique s'annule sur les deux plans d'équations x = d/2 et x = -d/2 .

I.3.a Le problème étudié est invariant par translation selon l'axe (Oy), donc 
F(x, y)
ne dépend pas de y. Lui donner une dépendance en y reviendrait à particulariser
certains points, ce qui est contraire à l'invariance par translation du système.
Il y a aussi une invariance par translation selon (Oz), mais elle est brisée du
fait que l'on choisit d'étudier la propagation d'ondes selon cet axe.
I.3.b On va maintenant travailler en notation complexe.
On s'intéresse aux modes transverses :

-

E = Re (F(x, y)e i(z-t) )-
ey
On réinjecte cette expression dans l'équation vectorielle (1), et on obtient :

F (x) + (n2 k 2 -  2 )F(x) = 0
Les solutions de l'équation différentielle f  + 2 f = 0 sont de la forme :
 ix
+ Be- ix si 2 > 0

Ae

F(x) = Aex + Be-x
si 2 < 0

Ax + B
si  = 0
L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle est :
r 2 + n2 k 2 -  2 = 0
La solution de l'équation différentielle est soit une combinaison linéaire 
d'exponentielles réelles (si n2 k 2 -  2 < 0), soit une combinaison linéaire de 
sinusoïdes (si
n2 k 2 -  2 > 0), soit une fonction affine (si n2 k 2 -  2 = 0). Dans le 
problème, le
champ électrique doit s'annuler sur les plans d'équations x = d/2 et x = -d/2 , 
ce
qui impose

d
F x=±
=0
2
La solution affine ne peut pas s'annuler pour deux valeurs différentes de x, 
donc on
ne la retient pas. Si la solution était exponentielle réelle, les conditions 
aux limites
en x = ±d/2 imposeraient :
 r d
d
=0
 Ae 1 2 + Ber2 2
d

d

 Ae-r1 2 + Be-r2 2 = 0

On a un système homogène en A et B qui n'admet que la solution triviale A = B = 
0,
car son déterminant (qui vaut 2 sh (r1 - r2 )) n'est pas nul (sauf si d = 0, ce 
qui est
bien sûr exclu dans ce problème). On ne doit donc retenir que les cas où la 
solution de
l'équation caractéristique est imaginaire pure, c'est-à-dire  < kn. On obtient 
ainsi
la condition de guidage :
0 <  < kn
I.3.c En posant 2 = n2 k 2 -  2 , l'expression générale de F(x) est :