X Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Pièges optiques
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, ondes électromagnétiques, mécanique des fluides, électrostatique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- A -- (XE)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

***

Pièges optiques

Un faisceau laser fortement focalisé est capable de piéger un objet 
diélectrique de taille
micronique ou inférieure. Dans ce problème, on étudie ce dispositif appelé 
piège ou pince optique,
on détermine l'ordre de grandeur des forces que l'on peut exercer et on 
considère l'application
des pièges optiques a un probléme de biophysique : l'élasticité d'une molécule 
d'ADN.

Données :

viscosité dynamique de l'eau : 77 : 1 mPa.s

masse volumique de l'eau : pe : 103 kg.m_3

masse volumique du polystyrène : pp : 1,1 >< 103 kg.m_3

1 Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule
diélectrique

1.1 Force de piégeage

Lorsque la particule diélectrique est de taille assez petite par rapport a la 
longueur d'onde de
la lumière, on peut estimer la force de piégeage exercée par le faisceau 
lumineux en assimilant
simplement la particule a un dipôle électrique. Nous commençons donc par 
calculer la force
exercée par un champ électrique Ê sur un dipôle.

Le dipôle est constitué de deux charges +q et --q placées respectivement aux 
points A et B7
repérés par les vecteurs %ä' et --%ä' distants de a. On note E(:Ë) le champ 
électrique en a? ; on
suppose qu'il varie peu sur la distance a.

1. Exprimer le moment dipolaire électrique }5'.

2. Exprimer la force totale ainsi que le moment (par rapport au point médian O 
du dipôle )
exercés sur le dipôle par le champ.

3. Décrire qualitativement l'effet du moment sur le dipôle.

On suppose maintenant que le dipôle et le champ sont colinéaires, par exemple 
tous deux
orientés suivant l'axe a: : }? : pu} et E : Eu}.

4. Quelle est l'expression de la force dans ce cas ?

5. Décrire son effet qualitativement sur le dipôle.

On considère une particule diélectrique de rayon & placée dans un champ 
électrique Ê. Elle
acquiert un moment dipolaire }? : 60a3dE où 60 est la permittivité diélectrique 
du vide, et où
la polarisabilité oz dépend du contraste de constante diélectrique entre la 
particule et le milieu
environnant. Dans la suite du problème, on considérera que le moment dipolaire 
de la particule
et le champ électrique sont toujours colinéaires.

6. Quelle est la dimension de oz ?

7. Montrer que la force exercée sur la particule s'exprime alors comme :

13 V(E2). (1)

On utilisera la relation V(Ê.Ê) : 2Ê.V(Ê) + 2Ê /\ (V /\ Ê) et on supposera que 
le champ
électromagnétique est indépendant du temps.

On admettra que) pour une onde électromagnétique oscillant dans le temps a la 
pulsation w :
E : EO cos(wt), où EO dépend des coordonnées d'espace, l'expression de la force 
est :

6061304 --» 2

F: 4 V(EO ). (2)

1.2 Stabilité du piège et force de diffusion

La particule est placée dans un faisceau lumineux focalisé par une lentille. On 
étudie dans
cette partie l'équilibre du piège optique dans la direction de propagation ?: 
du faisceau lumineux.
On suppose que EO a un unique maximum en z = z....

8. On suppose dans un premier temps que la seule force exercée sur la particule 
est la force
de piégeage F. Montrer que la position ?: = z... est une position d'équilibre. 
Discuter sa stabilité.

La particule, assimilée a un dipôle oscillant, rayonne de l'énergie sous forme 
d'onde électro--
magnétique. Il en résulte une force supplémentaire F D exercée sur la 
particule, dite de diffusion,
qui est dirigée dans le sens de propagation de l'onde incidente et qui 
s'exprime comme :

eod2a6w4 2

F =
D 127rc4 °

(3)
où c est la vitesse de la lumière.

9. Vérifier simplement l'homogénéité de l'expression de F D. On pourra utiliser 
l'expression
de la densité volumique d'énergie électromagnétique.

10. Quelle est maintenant la condition définissant la position d'équilibre du 
piège zeq ?
11. Dans quel sens la force de diffusion déplace--t--elle l'équilibre ?

12. Montrer que la condition de stabilité du piège s'écrit :

32lnE
(32,0) _ < 0. (4)

2 Faisceau laser focalisé par un objectif de microscope

Pour constituer le piège, on utilise un faisceau laser élargi, réfléchi par un 
miroir, puis focalisé
par un objectif de microscope (figure 1). Au foyer de l'objectif, l'intensité 
du champ électroma--
gnétique est maximale. Dans cette partie on s'intéresse a la force de rappel du 
piège optique
dans la direction a: perpendiculaire a la direction de propagation du faisceau. 
On cherche a es--
timer l'étendue latérale U) du faisceau dans le plan focal de l'objectif et le 
gradient de champ
électromagnétique associé.

On considère que l'intensité du champ électromagnétique est uniforme a l'entrée 
de l'objectif
de microscope.

La longueur d'onde du laser est À : 1, 06 ,am. L'objectif de microscope a un 
diamètre d'entrée
D = 3, 8 mm et un nombre d'ouverture NO : O, 4. Le nombre d'ouverture est le 
rapport entre la
distance focale de l'objectif f et le diamètre de sa pupille d'entrée D.

Pour estimer la répartition d'intensité dans le plan focal, on assimile 
l'objectif a un dia--
phragme de diamètre D et a une lentille mince convergente de distance focale f 
telle que
D = f /NO. Dans la mesure où nous nous intéressons uniquement a l'ordre de 
grandeur de
w, nous remplaçons le diaphragme circulaire de diamètre D par une pupille fente 
de largeur D.

13. La lentille ayant été enlevée, montrer que l'amplitude du champ 
électromagnétique dif--
fractée a l'infini par la pupille, dans une direction faisant un angle 9 avec 
le faisceau incident, est
proportionnelle a :

sin[ch sin(9)/2] 5)
ch sin(9) / 2 ° (

objectif ()

A
| laser |: / > X

V /

FIGURE 1 -- À gauche : schéma général du dispositif de piège optique. À droite, 
particule sphérique
dans le faisceau focalisé.

14. Déterminer la répartition d'intensité lumineuse après la traversée du 
diaphragme en fonc--
tion de EUR.

15. La lentille ayant été replacée, quelle est la position dans le plan focal 
du point où converge
un faisceau parallèle (appartenant au plan y = O) faisant un angle 9 avec l'axe 
optique ?

16. Donner un ordre de grandeur littéral puis numérique du diamètre U) du 
premier lobe de
diffraction dans le plan focal.

17. Donner un ordre de grandeur littéral du flux d'énergie électromagnétique, a 
l'intérieur
du premier lobe du diffraction, dans le plan focal de l'objectif de microscope, 
en fonction de
la puissance du laser P. On supposera que toute la puissance du laser est 
transmise a travers
l'objectif.

18. Lorsque la particule s'écarte de sa position d'équilibre d'une distance 
556, elle est soumise
a une force de rappel F,, : --kpôaî où kp est la constante élastique du piège 
optique. Déterminer
un ordre de grandeur, littéral puis numérique, de kp pour une bille de 
polystyrène de 400 nm de
diamètre. On fera l'hypothèse que le diamètre de la bille est nettement plus 
petit que la longueur
d'onde de la lumière. La polarisabilité or du polystyrène est de l'ordre de 
l'unité.

3 Calibration du piège par les fluctuations thermiques

Afin de calibrer le piège optique, on observe les fluctuations de position 
latérale de la bille.
Ces fluctuations sont une manifestation du mouvement aléatoire {mouvement 
Brownien) de la
bille dû aux collisions avec les molécules du fluide environnant. Dans la 
présente expérience,
les excursions latérales de la bille sont de l'ordre de 10 nm sur un temps qui 
est typiquement

de l'ordre du centième de seconde. La caractérisation du mouvement est faite de 
la manière
suivante : on enregistre le mouvement de la bille en fonction du temps et on en 
fait ensuite une
décomposition fréquentielle de ce signal temporel (analyse de Fourier). On 
porte l'amplitude des
différents modes de Fourier en fonction de leur fréquence (figure 2).

10'2 -_*'
10'3 .-

104-r

Amplitude relative (unités arbitraires)

10-6 . 11ll-l'l1 ..I.....l2 . 41h...| 4 |
100 10 10 103 10 105

Fréquence (Hz)

FIGURE 2 -- Distribution en fréquence temporelle de l'amplitude des 
fluctuations latérales d'une
bille de polystyrène de diamètre 20. : 2 nm confinée dans un piège optique.

Pour interpréter ce résultat expérimental, on cherche la réponse de la bille a 
une force exté--
rieure périodique en temps qu'on écrit sous la forme complexe fe(t) : fo 
exp(iwt).

La bille étant placée dans un liquide) on cherche l'expression de la force de 
trainée exercée
par le liquide sur la bille.

19. Rappeler l'expression du nombre de Reynolds et sa signification physique. 
Calculer l'ordre
de grandeur du nombre de Reynolds associé au mouvement de la bille dans l'eau.

20. Justifier le fait que la force de traînée s'exprime sous la forme : FT : 
--C77cw où 77 est la
viscosité dynamique du liquide et U la vitesse de déplacement de la bille par 
rapport au liquide
et C une constante numérique.

21. J ustifier le fait que l'inertie propre de la bille est négligeable et 
montrer que le mouvement
de la bille est décrit par l'équation :

fe(t) : 1937 + '7Î (6)

où a: est l'écart latéral de la bille par rapport a sa position d'équilibre et 
lcp est la constante de

raideur du piège optique. On donnera l'expression de y.

22. Montrer que l'amplitude de mouvement A de la bille soumise a la force 
oscillante fe(t)
est donnée par :

A0

W ("

où on précisera l'expression de la pulsation caractéristique wc.

A:

23. Quel est le comportement asymptotique de A dans les limites au --> 0 et au 
--> oo?
Représenter ces comportements dans un diagramme log A--log w et comparer au 
spectre représenté
sur la figure 2.

24. Déterminer graphiquement la fréquence wc sur la figure 2 et en déduire un 
ordre de
grandeur de la constante de raideur lcp du piège optique (C = 67r). On notera 
qu'il s'agit d'un
piège différent de celui décrit dans la partie 2.

25. Citer un autre système physique qui présente une réponse en fréquence 
similaire.

4 Application en biophysique

Les pièges optiques sont utilisées pour mesurer les caractéristiques mécaniques 
de microsys--
tèmes biologiques. On a en particulier mesuré l'élasticité de molécules d'ADN 
en attachant une
extrémité de la molécule a un point fixe et l'autre extrémité a une petite 
bille qui est maintenue
dans un piège optique. On assimile ici les molécules d'ADN de longueur totale L 
% 30,um a une
succession de N segments rigides et inextensibles de longueur EUR.

4.1 Modèle de chaîne idéale

Dans le modèle dit de chaîne idéale7 il n'y a pas d'interaction entre les 
segments qui sont
libres de pivoter les uns par rapport aux autres. On peut alors assimiler la 
chaîne a une marche
aléatoire de N pas de longueur EUR. Dans ce modèle l'orientation de deux 
segments successifs est
complétement décorrelé ce qui se traduit par : <ñ.nîfl : 0 où ñ- est le vecteur 
représentant le

segment n° 75 de la chaîne et () désigne la valeur moyenne sur tous les couples 
de segments (figure
3).

26. Dans cette hypothèse, quelle est la distance quadratique moyenne 

où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

U(æ) = U0 + (8)

ri

ri+1

rN

FIGURE 3 -- Schéma de chaîne idéale composée de N pas de longueur égale non 
corrélés les uns
aux autres en orientation.

27. Montrer que la force f nécessaire pour maintenir les deux extrémités de la 
chaîne a une

distance a: s'écrit :
_ 3k3TÇC

ÆL (9)

f (a?)

4.2 Elasticité d'une molécule d'ADN

La figure 4 montre les résultats de mesure sur l'extension d'une molécule d'ADN 
par un
piège optique. Le modèle de chaîne idéale décrit ci--dessus ne s'applique qu'à. 
la première partie
de la courbe force/ extension dans le domaine où la force est inférieure a 0,1 
pN. On prendra
k3T = 4 >< 10--21 J.

28. A partir de ces résultats expérimentaux, déterminer la longueur EUR des 
segments que l'on
peut considérer comme rigides.

29. En utilisant les pièges optiques décrits dans les parties 1 a 3, quel 
serait le déplacement
de la bille piégée en appliquant une force de 0,1 pN ?

30. Pensez--vous que les pièges décrits précédemment sont bien adaptés aux 
expériences d'éti--
rement de l'ADN ?

101 .
î
& 100
\
cu"
0
L
0
U- 10":
10-2:

Extension Relative x/L

FIGURE 4 -- Relation entre la force et l'extension relative au / L pour une 
molécule d'ADN. Figure

tirée de G. Bao7 "Mechanics of loiomolecules"7 Journal of the Mechanics and 
Physics of Soliols7
207 2237 (2002).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique A PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Rémy Hervé (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur la caractérisation des pièges optiques et leur 
utilisation
en tant que pinces optiques moléculaires par une approche mêlant 
électromagnétisme
et optique.
· La première partie commence par quelques questions de cours sur les dipôles
électriques puis étudie la stabilité longitudinale d'une particule polaire dans 
un
piège électromagnétique.
· Dans la deuxième, on dimensionne un tel piège à l'aide d'un faisceau laser
diffracté puis focalisé par une lentille. Le calcul de la figure de diffraction 
permet
d'évaluer un ordre de grandeur théorique de la constante de rappel transversal
du piège.
· La troisième partie s'intéresse à l'amplitude du mouvement aléatoire dû à
l'agitation thermique au sein du piège. Son étude fréquentielle montre que la
constante de rappel transversal du piège est accessible par l'expérience.
· Enfin, dans la quatrième partie, le piège optique sert à maintenir une petite 
bille
fixée à l'extrémité d'une molécule d'ADN. Le déplacement du laser permet
d'exercer une traction sur la bille piégée dans le faisceau et donc d'étirer la
molécule. On parle de pince optique. Des résultats expérimentaux viennent
valider cette utilisation.
L'épreuve fait appel à l'électrostatique, aux ondes électromagnétiques, à 
l'optique
ondulatoire et à la mécanique des fluides. Réussir une telle épreuve demande 
une triple
compétence : une connaissance sans faille de ces nombreux aspects du cours, le 
recul
nécessaire à leur utilisation dans une situation originale, et enfin une 
autonomie
certaine, puisque l'énoncé comporte quelques questions difficiles, peu 
directives, et
offre peu de schémas.
Enfin, comme les années précédentes, la calculatrice n'était pas autorisée pour
cette épreuve. Les applications numériques sont dans ce cas bien valorisées dans
les barèmes. Ce sujet est conforme aux programmes en vigueur depuis la rentrée
scolaire 2014.

Indications

-
2 Supposer E uniforme à l'ordre 0 sur l'étendue du dipôle et bien distinguer le
point d'application des forces exercées en A et B.

a
4 Écrire E +
- , 0, 0 avec un développement de Taylor en x = 0 à l'ordre 1.
2
6 L'expression du champ électrique créé par une charge ponctuelle fournit une
relation entre les dimensions des paramètres intervenant dans la définition de .

-
7 Utiliser la définition de  et reformuler l'expression de F pour qu'elle 
corresponde à l'un des termes de la relation donnée par l'énoncé.

-
 et considérer le signe de F de part et d'autre de z = z .
8 Projeter F selon -
u
z

z

m

11 Quel est le signe de la dérivée de E0 en z = z eq ?
12 Quel doit être le signe de

Fz + FD
z
en z = z eq pour qu'il s'agisse d'une position d'équilibre stable ? Vérifier 
que cette
condition équivaut à la relation (4) modifiée avec

1
ln E0 = ln E0 2
2
13 Dans le cadre des nouveaux programmes, il faut admettre que l'amplitude 
diffractée dans la direction  vers un point M à l'infini est la résultante des 
amplitudes élémentaires diffractées par chacun des points P d'abscisse X de la 
fente
proportionnellement à la largeur élémentaire dX :
Z

s() = K sO
exp - i (P) dX
P

16

17

18

20
21
23
26

avec K, constante de proportionnalité, sO , amplitude du rayon de référence 
diffracté dans la direction  au centre O de la pupille et (P), déphasage du 
rayon
diffracté en P par rapport à ce rayon de référence. Exprimer (P) en fonction
de k, X et .
L'ouverture angulaire  du faisceau diffracté par une pupille de largeur D 
vérifie

sin  
D
Par « flux d'énergie électromagnétique », comprendre flux surfacique de 
puissance électromagnétique. Sur quelle surface la majeure partie de la 
puissance P
se trouve-t-elle concentrée ?
L'intensité lumineuse I correspond à l'amplitude du vecteur de Poynting moyen.
En considérant une onde plane, relier l'amplitude du champ électrique E0 à
l'intensité I. Quel est l'ordre de grandeur de la puissance P d'un laser usuel ?
Quelle traînée correspond au nombre de Reynolds évalué à la question 19 ?
Utiliser les ordres de grandeur du déplacement et du temps caractéristiques de
la bille pour obtenir une estimation de sa vitesse et de son accélération.
Comment se place la pulsation  c par rapport aux asymptotes dans un diagramme 
logarithmique ?
N
P

-
Écrire -
r =
ri .
i=1

30 Comparer le déplacement de la bille piégée calculé à la question 29 au 
diamètre w
du piège évalué à la question 16.

Pièges optiques
1. Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule diélectrique
1 Les charges opposées A(q) et B(-q) forment un
dipôle électrique de moment dipolaire
-

-
p = q BA
orienté de la charge négative vers la charge positive.
Il vient

-
B(-q) 
p A(q)
-

a
2

O

a
2

x

-

p = q-
a

-
2 Le champ E varie peu sur la distance a. Travaillons à l'ordre 0 en le 
supposant

-

-
uniforme sur l'étendue du dipôle. Il s'exerce des forces opposées q E et -q E 
aux
points A et B. La résultante des forces exercées sur le dipôle est donc nulle :
-

-
F = 0
et le moment en O associé s'écrit
-

-
 -
-

-
MO = OA  q E + OB  -q E
-
-

-

-
a
a
qE -
 -q E
2
2

-

= q-
a E
=

-

-
-
MO = 
p E

-

-
La résultante des forces F n'est nulle que si E est supposé uniforme à
l'ordre 0. Si l'on prend en compte les faibles variations à l'ordre 1 du champ
sur l'étendue du dipôle, il est possible d'obtenir une expression plus précise
dont le calcul sera demandé à la question 4.

-

-
3 Notons  l'angle orienté entre E et 
p autour
. Il vient
du vecteur normal -
u
z
-

MO = -pE sin  -
u
z

-

p

MO < 0
>0
-

E

z

Supposons  > 0, le moment est négatif et tend à diminuer . Supposons  < 0, le
moment est positif et tend à augmenter . Dans les deux cas, on se dirige vers la
valeur à l'équilibre  = 0 où le moment est nul.
Le moment aligne le dipôle sur le champ électrique.

-

4 Une fois -
p et E alignés, le moment est rigoureusement nul mais la force évaluée
à la question 2 ne l'est qu'approximativement. Reprenons le calcul en 
travaillant à
l'ordre 1 et en supposant les vecteurs colinéaires et portés par -
ux :
h-

-

 i
-
F = q E (A) - E (B)

a
a
= q E , 0, 0 - E - , 0, 0 -
ux
2
2
Un développement de Taylor à l'ordre 1 donne

 a E
a
×
(0, 0, 0)
E +
-
- , 0, 0 = E 0, 0, 0 +
2
2
x
d'où

-

E -
F = qa
ux
x

soit

-

E -
F =p
ux
x

5 Supposons E fonction croissante de x, la force est selon -
u
x et tend à déplacer
le dipôle vers les x croissants. Supposons E fonction décroissante de x, la 
force est
selon --
ux et le déplacement se fait selon les x décroissants. Dans les deux cas, le
dipôle se dirige dans le sens d'une augmentation de E(x).
La force amène le dipôle là où le champ électrique est le plus fort.
6 D'après la question 1,
donc

p = q a

p
q
 =   3   =   2  
0 a E
0 a E

L'expression du champ électrique créé par une charge ponctuelle

-
q
-

E =
u
r
4 0 r2

q
justifie
E =   2
0 a
 
d'où  = 1 et

 est sans dimension.

-

-
7 Retravaillons l'expression établie à la question 4 sachant que 
p et E sont colinéaires et portés par -
ux :
-

E -
F =p
ux
x

 -
=p
E
x
 -
-

=-
p · E

-

 -
-
 -

F =  0 a3  E ·  E