X Physique 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale
Principaux outils utilisés électromagnétisme des milieux conducteurs, ondes électromagnétiques dans le vide, mécanique céleste

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE -- A -- (XE)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

***

Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale

La lumière exerce une pression sur les surfaces qu'elle éclaire. La partie I 
traite en détail
du phénomène. En adjoignant une vaste voile réfléchissante a un satellite, ce 
mécanisme permet
d'utiliser la pression exercée par la lumière du Soleil pour la navigation 
spatiale. La partie II
étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite en orbite autour 
du Soleil. La partie III
traite d'un mouvement particulier d'un vaisseau spatial qui accompagne la Terre 
autour du Soleil,
rendu possible par l'usage d'une voile.

Données numériques

3>< 108m-s_1
1,5>< 108 km

Vitesse de la lumière dans le vide : c
Distance Terre--Soleil : D

I. Pression de rayonnement

Une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propage dans le 
vide puis
se réfléchit sur un conducteur ohmique immobile, de surface plane, sous 
incidence normale.

I.1 Rappeler dans le cas général les formes locales de l'équation de 
conservation de la charge
électrique et de la loi d'Ohm. En déduire que la densité de charge électrique 
décroît au cours du
temps en tout point a l'intérieur d'un conducteur ohmique, avec un temps 
caractéristique dont
on donnera l'expression.

I.2 Ecrire les équations de Maxwell dans le conducteur, en supposant la densité 
de charge nulle.

I.3 Décrire qualitativement le phénomène de la réflexion d'une onde 
électromagnétique sur un
conducteur, en détaillant les mécanismes physiques mis en jeu.

1.4 Rappeler le critère de validité du modèle limite du conducteur parfait, et 
caractériser le
phénomène de réflexion dans cette limite.

1.5 Quel terme des équations de Maxwell est négligeable dans le modèle limite 
du conducteur
parfait ? On se placera dorénavant dans ce cadre.

1.6 Rappeler l'expression de la force volumique de Laplace en un point du 
conducteur. On
exprimera le résultat en fonction du champ B et de ses dérivées.

1.7 On nomme pression de rayonnement, ou pression de radiation, la pression 
exercée par la force
de Laplace sur le conducteur. Montrer qu'elle vaut

1 --* 2
P = --, HBH
#0
où Ë est le champ magnétique a la surface du conducteur.

1.8 À l'extérieur du conducteur, l'onde électromagnétique est la superposition 
d'une onde in--
cidente et d'une onde réfléchie. Quelle est la relation entre le champ 
magnétique total B a la
surface du conducteur et le champ magnétique B,- de l'onde incidente au même 
point ?

1.9 Établir la relation entre la pression de rayonnement et la densité 
d'énergie u de l'onde
incidente.

1.10 Établir la relation entre la pression de rayonnement et le module du 
vecteur de Poynting
de l'onde incidente.

1.11 Application numérique : le flux d'énergie reçu du Soleil sous incidence 
normale au niveau
de l'orbite de la Terre, ou constante solaire, vaut <1>0 : 1350 W-m_2. Exprimer 
la pression de
rayonnement PO correspondante en fonction de <1>0, et calculer sa valeur. 
Commenter l'ordre de
grandeur obtenu.

1.12 Comment la pression de rayonnement varie--t--elle avec la distance au 
Soleil ?

1.13 On se propose maintenant de retrouver le résultat de la question 1.9 par 
une approche
microscopique. On admet les résultats suivants : une onde électromagnétique 
plane, progressive
et harmonique dans le vide peut aussi être décrite par des corpuscules appelés 
photons, qui se
déplacent a la vitesse de la lumière c dans le sens de propagation de l'onde. 
La réflexion de l'onde
sur le conducteur s'interprëte alors comme le rebond des photons sur la surface 
du conducteur.

La quantité de mouvement d'un photon est 71%, où % est le vecteur d'onde et h 
une constante
universelle. L'énergie d'un photon est ñw, où ca est la pulsation de l'onde. On 
note n la densité
de photons par unité de volume dans l'onde incidente, supposée uniforme.

Rappeler la relation entre au et @. En utilisant la définition cinétique de la 
pression, retrouver
le résultat de la question 1.9.

1.14 On a supposé jusqu'à présent que la réflexion se faisait sous incidence 
normale. En utilisant
la méthode de la question 1.13, établir la relation entre la pression et la 
densité d'énergie pour
un angle d'incidence oz quelconque.

1.15 Analyse de données : le vaisseau spatial IKAROS est un prototype de voile 
solaire fabriqué
par l'agence spatiale japonaise (JAXA), qui a été lancé le 20 mai 2010 pour 
vérifier les perfor--
mances d'une propulsion basée sur une voile solaire. La force totale exercée 
par les photons sur
la voile, d'une superficie de 173 m2 et d'une épaisseur de 7, 5 am, a été 
mesurée à 1,12 >< 10_3 N.
La force exercée sur la sonde spatiale, d'une masse totale de 315 kg, a permis 
d'augmenter la
vitesse d'une dizaine de mètres par seconde au bout d'un mois (source : 
Wikipedia).

Montrer que ces résultats expérimentaux sont compatibles entre eux d'une part, 
et avec les
résultats théoriques obtenus plus haut, d'autre part.

II. Satellite en orbite héliocentrique

II.1 Soit un satellite en orbite circulaire autour du Soleil, à une distance 7" 
de celui--ci. Exprimer
sa vitesse en fonction de r, de la masse du Soleil M@ et de la constante 
gravitationnelle G.

Dans la suite de cette partie, on étudie l'effet de la pression de rayonnement 
sur un satellite de
masse m possédant une voile solaire de surface S , éclairée tout d'abord sous 
incidence normale.
On supposera que les résultats de la partie I restent valables si la voile est 
en mouvement.

II.2 On note D la distance Terre--Soleil et P0 la pression de rayonnement au 
niveau de l'orbite de
la Terre, déterminée à la question 1.11. Exprimer la force exercée sur cette 
voile par la pression
de rayonnement en fonction de S , Pg, D et 7".

11.3 Déterminer pour quelle valeur oc de la masse surfacique o = m / S 
l'attraction solaire com--
pense exactement la pression de rayonnement sous incidence normale. Exprimer oc 
en fonction
de P0, D et de la vitesse @@ de la Terre autour du Soleil.

II.4 Application numérique : on donne @@ = 30 km/ s. Calculer numériquement oc. 
Pour quelle
épaisseur d'une voile faite dans un matériau ordinaire cette valeur est--elle 
atteinte ?

II.5 Montrer que la résultante de la force gravitationnelle et de la force de 
rayonnement dérive
d'une énergie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de G, m, M@, 
o, Je et 7".
Quelles sont les trajectoires possibles dans les cas 0 > ac, 0 = Je et 0 < oc ?

11.6 Le satellite est initialement sous l'effet de l'attraction 
gravitationnelle seule et en orbite
circulaire de rayon 7" autour du Soleil. Il déploie sa voile de surface S a un 
instant %. Déterminer
son énergie mécanique pour t > 150 en fonction de G, m, M@, o, Je et 7". En 
déduire la nature
de la nouvelle trajectoire en fonction du rapport (7/00. Représenter sur un 
même schéma l'orbite
initiale et la nouvelle trajectoire correspondant aux différents cas.

II.7 On suppose maintenant que la voile reçoit le flux solaire sous l'angle 
d'incidence oz, et on
note ii le vecteur unitaire normal à la voile, dirigé dans le sens de la force 
de pression. En utilisant
le résultat de la question 1.14, exprimer la force F R exercée par le 
rayonnement sur la voile sous

laforme
FR=ÔFGñ7

où FG est le module de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le 
satellite, et 5 est un
coefficient positif dont on déterminera l'expression en fonction de o, Je et oz.

11.8 Le satellite est initialement sur une orbite circulaire, sa voile étant 
déployée sous incidence
normale (oz : 0). Une manoeuvre du satellite permet de changer la valeur de 04 
en orientant la
voile. On suppose que 04 est constant, et que la normale ñ reste dans le plan 
de l'orbite initiale.
La trajectoire reste donc également dans ce plan.

On suppose dans toute la suite de cette partie que la perturbation apportée par 
la pression
du rayonnement est faible, de telle sorte que la vitesse radiale U,. est très 
petite devant la vitesse
orthoradiale U9, celle--ci étant donnée a tout instant par la relation obtenue 
a la question II.1.
Écrire le théorème du moment cinétique. En déduire l'équation d'évolution de 
7". Montrer que
w/oe est une constante qu'on exprimera en fonction de 04 et 5.

11.9 Dessiner l'allure de la trajectoire.

II.1O On cherche a faire passer le satellite sur une orbite plus élevée au 
moyen de la voile solaire.
Pour quelle orientation de la voile le changement d'orbite est--il le plus 
rapide ? On se contentera
d'une expression littérale de oz, sans chercher a évaluer sa valeur numérique.

III. Statite

Le terme "statite" est un mot--valise formé a partir de "statique" et 
"satellite", et désigne un
vaisseau spatial gardant une distance constante avec la Terre et le Soleil. On 
suppose dans toute
cette partie que la Terre est en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil 
a la vitesse
angulaire w. On se place dans le référentiel tournant a la vitesse angulaire ou 
autour du Soleil,
dans lequel la Terre et le Soleil sont tous deux immobiles, et on choisit dans 
ce référentiel un
repère orthon0rmé (O, ë'oe, @, 52), où 0 est le centre du Soleil, EUR}, est 
dirigé du Soleil vers la Terre,
et 52 est perpendiculaire au plan de révolution de la Terre. La masse de la 
Terre étant très petite
devant celle du Soleil, on considérera que le centre de gravité du système 
Terre--Soleil est en 0.

On considère dans toute cette partie un satellite de masse m placé au voisinage 
de la Terre
en un point A de coordonnées (a:, y, 75). On pose a: = D + a:' , où D est la 
distance Terre--Soleil, et
on suppose :c' , y et ?: très petits devant D.

III.1 Écrire la résultante de la force centrifuge et de la force de gravitation 
solaire qui s'exercent

sur le satellite. Exprimer ca en fonction de G, M@ et D, et développer la 
résultante a l'ordre 1
en a:'/D, y/D, et z/D.

III.2 Le satellite est soumis a l'action combinée de la force centrifuge et des 
forces de gravitation
terrestre et solaire. On note M$ la masse de la Terre. Montrer qu'il existe 
deux positions d'équi--
libre sur l'axe Oa:, situées de part et d'autre de la Terre a une distance d 
qu'on exprimera en
fonction de D, M@ et Mæ. On note L1 et L2 les points correspondants a ces 
positions d'équilibre,
dits points de Lagrange. Par convention, L2 est le plus éloigné du Soleil. 
L'approximation faite
a la question III.1 est--elle valable aux points L1 et L2 ?

III.3 Application numérique : on donne Mæ/M@ : 3 >< 10--6. Calculer d.

III.4 On adjoint une voile solaire au satellite. Dans cette question, on 
suppose pour simplifier
que les rayons du Soleil sont parallèles a EUR}; et on ne prend pas en compte 
l'ombre de la Terre. On

cherche a ajuster la surface et l'orientation de la voile solaire de telle 
sorte que le satellite soit en
équilibre. Déterminer les régions de l'espace où l'équilibre est en principe 
possible7 moyennant un
tel ajustement. Les représenter schématiquement sur un plan contenant l'axe 
Occ. On indiquera
clairement sur le schéma la direction du rayonnement solaire et les positions 
de la Terre et des
points L1 et L2.

III.5 Déterminer la valeur maximale de a:' pour laquelle un satellite situé sur 
l'axe 056 est
complètement dans l'ombre de la Terre. On exprimera cette valeur maximale, 
notée 5, en fonction
de D, du rayon terrestre R$ et du rayon du Soleil R@.

III.6 Application numérique : on donne RGB/RG} : 9 >< 10--3. Calculer 5.

111.7 Comment le phénomène d'ombre modifie--t--il le schéma obtenu a la 
question III.4 ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique A PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré aux voiles solaires, qui sont envisagées comme des moyens
de propulsion dans l'espace.
· La première partie est consacrée à l'étude de la pression de rayonnement, 
qu'elle
décrit par deux approches différentes : modèle ondulatoire avec la réflexion
d'une onde électromagnétique sur un conducteur, puis modèle corpusculaire
avec des rebonds de photons. Cette partie nécessite avant tout de parfaitement
connaître et maîtriser le cours d'électromagnétisme et les propriétés des ondes
électromagnétiques dans le vide. Pour traiter les dernières questions, il faut
aussi avoir des notions sur le modèle statistique de la pression des gaz.
· Dans un deuxième temps, le sujet aborde le problème d'un satellite en orbite
autour du Soleil, équipé d'une voile solaire. Faisant essentiellement appel à de
la mécanique de première année, c'est l'analyse physique des comportements
possibles du satellite qui fait la difficulté de cette partie.
· Enfin, une troisième partie aborde la problématique du maintien d'un 
satellite à
une position fixe par rapport au couple Soleil-Terre. Deux questions sortent du
lot : la première par les difficultés de calcul qu'elle pose, nettement 
supérieures
à ce que l'on trouve dans le reste du sujet, et la quatrième par la subtilité
de l'analyse physique qu'elle suppose. Des notions fondamentales sur l'optique
géométrique et sur les ombres portées sont également requises pour répondre
aux dernières questions.
Très révélateur de l'importance qu'accorde l'École Polytechnique aux capacités
d'analyse et de raisonnement, ce sujet exigeait des candidats un important 
recul sur
leurs connaissances, en ne laissant qu'une place marginale aux calculs. 
Confronté à un
tel sujet, il peut être judicieux d'investir quelques minutes à retrouver les 
principaux
résultats au brouillon afin de mieux cerner les attentes. Cela ne sera 
toutefois pas
suffisant pour les questions les plus ardues.

Indications
Partie I
I.1 En utilisant les équations demandées et celle de Maxwell-Gauss, montrer que

+
=0
t
0
I.4 Dans le contexte du sujet, un conducteur parfait est un milieu dans lequel 
la
densité volumique de charge  peut être considérée comme nulle en tout point
à tout instant.

I.6 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère pour éliminer le courant volumique -
.
I.7 On pourra utiliser une analogie avec la force volumique due à la pression 
dans
un fluide à l'équilibre. Choisir une base pour mener les calculs est recommandé.
I.8 Pour un conducteur parfait, la réflexion est totale : la surface du 
conducteur est
alors un noeud pour le champ électrique et un ventre pour le champ magnétique.
I.12 Utiliser la conservation de l'énergie traversant des sphères concentriques 
autour
du Soleil.
I.14 Deux choses sont affectées : la quantité de mouvement apportée par chaque
photon à la plaque, ainsi que le débit de photons sur un élément de surface dS
de la plaque.
Partie II
II.6 Discuter le signe de l'énergie cinétique du satellite pour r  .
II.10 La transition est d'autant plus rapide que vr est grand.
Partie III
III.4 La norme et la direction de la pression de rayonnement étant choisies 
librement
(en modifiant  et ) la seule contrainte sur la force de pression de rayonnement

est que sa composante suivant -
ex est positive.
III.5 Représenter les rayons partant des bords du Soleil et s'appuyant sur les 
bords
de la Terre.

Le rayonnement solaire
pour la navigation spatiale
I. Pression de rayonnement

-

I.1 En notant , -
 et E respectivement la densité volumique de charge, la densité
volumique de courant et le champ électrique dans le conducteur, on a

- = 0
+ div 
t

(conservation de la charge)

et en introduisant la conductivité électrique ,

- =  -

E

(loi d'Ohm)

Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit

-

div E =
0
avec 0 la permittivité diélectrique du vide. Dès lors, en supposant  uniforme 
dans
le conducteur, il vient
-

- =  div 
div 
E =

0

+
=0
t
0

et donc

Il résulte de cette dernière équation que, s'il existe initialement une densité 
volumique de charge non nulle en un point du conducteur, celle-ci disparaît, du 
fait d'une
décroissance exponentielle, en un temps caractéristique
=

0

Pour un conducteur usuel, on trouve  allant de 10-15 à 10-17 seconde.

I.2 En supposant la densité de charge nulle, les équations de Maxwell s'écrivent

div

 div

-
rot

-

 rot

-

E =0

-
B =0

-
-

B
E =-
t

-

-
E

-
B = µ0  +  0
t

I.3 Lorsqu'une onde électromagnétique arrive sur un conducteur, son champ 
électrique conduit à l'apparition d'un courant volumique dans le milieu (loi 
d'Ohm). Le
courant donne lui-même naissance à un nouveau champ magnétique (loi de 
MaxwellAmpère) puis, par induction (loi de Maxwell-Faraday), à un nouveau champ 
électrique. Ces nouveaux champs se superposent à ceux de l'onde incidente et 
donnent
naissance, dans le milieu d'origine, à une onde réfléchie.
Cette dernière étape est un effet d'antenne : un conducteur parcouru par un
courant sinusoïdal dans une direction transverse à sa surface, émet une onde
électromagnétique.
I.4 Le conducteur peut être considéré comme parfait si, dans une bonne 
approximation, la charge volumique reste nulle en tout point du conducteur. On 
a montré à
la question I.1 que toute charge volumique existante dans le conducteur 
disparaît sur
l'échelle de temps caractéristique  = 0 /. Lors du passage d'une onde 
électromagnétique harmonique de pulsation , les phénomènes physiques se 
développent sur
un temps caractéristique de l'ordre de la période de l'onde T = 2/. Le 
conducteur
pourra donc être considéré comme parfait si
T=

2
0
 =

Dans le cas d'un conducteur parfait, l'onde incidente est totalement réfléchie.
Le champ électrique à la surface du conducteur est alors nul : les champs de 
l'onde
incidente et de l'onde réfléchie sont exactement opposés sur la surface. Pour 
le champ
magnétique en revanche, les champs de l'onde incidente et de l'onde réfléchie 
sont
égaux sur la surface : le champ magnétique total est le double du champ 
incident.
Notons que la notion de « conducteur parfait » utilisée par l'énoncé est
un peu inhabituelle. Le plus souvent, les conducteurs qualifiés de parfaits sont
ceux pour lesquels la conductivité est infinie. L'énoncé s'avère même ambigu
puisque les propriétés que l'on énonce dans la suite de cette question sont
effectivement celles d'un supraconducteur, alors que, dans la suite du sujet,
c'est bien un conducteur de conductivité finie que l'on considère.
Rigoureusement, le critère mentionné ne suffit pas pour avoir ces résultats. En 
plus de celui-ci, il faudrait normalement comparer la profondeur de
pénétration  de l'onde électromagnétique dans le conducteur à l'épaisseur
e du conducteur. Si  est très petit devant e, on obtient bien ces résultats.
Sinon, il existe une onde transmise dans le conducteur et l'onde réfléchie a
une amplitude plus faible.
I.5 Pour une onde harmonique de pulsation  dont le champ électrique a une
amplitude E0 , l'ordre de grandeur du courant de déplacement, qui intervient 
dans
l'équation de Maxwell-Ampère, est
w -
w
w E w
w
w  0  E 0
jD = 0 w
t w
tandis que pour le courant de conduction

j  E0