X Physique 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Oscillations d'une bulle
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, oscillateur amorti, physique des ondes
Mots clefs bulle, amortissement, onde sphérique, haut-parleur, régime sinusoïdal forcé

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
              

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                       

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2012

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre 
significatif.

Oscillations d'une bulle
Ce problème étudie les propriétés acoustiques d'une bulle d'air au sein d'un 
volume d'eau. Il
aborde successivement les oscillations libres de la bulle, puis les 
oscillations forcées. On modélise
ensuite l'amortissement de ces oscillations. Les résultats théoriques sont 
finalement comparés
avec des données expérimentales.
On considère une bulle d'air plongée dans un grand volume d'eau. Dans tout le 
problème, on
néglige l'effet de la gravité et on considère l'air comme un gaz parfait.
Données numériques
Coefficient adiabatique de l'air :
Pression atmosphérique :
Masse volumique de l'eau :
Vitesse du son dans l'eau :

P0
0
cs

=
=
=
=

CP /CV = 1, 4
1, 0 × 105 Pa
1, 0 × 103 kg · m-3
1, 5 × 103 m · s-1

I. Oscillations libres d'une bulle d'air
A l'équilibre, la bulle est sphérique, de rayon R0 , et la pression est partout 
égale à P0 .
On étudie les oscillations radiales de la bulle autour de sa forme d'équilibre. 
On suppose que
ces oscillations conservent la symétrie sphérique. On note R(t) = R0 + r1 (t) 
le rayon de la
bulle à l'instant t, avec |r1 (t)|  R0 . Le champ de pression est P (r, t) = P0 
+ p1 (r, t) (avec
|p1 (r, t)|  P0 ), r désignant la distance au centre de la bulle.
Dans cette partie, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans 
viscosité.
I.1 On suppose dans tout le problème que la pression de l'air à l'intérieur de 
la bulle reste
homogène à tout instant, et que ses transformations sont adiabatiques et 
réversibles. On note
1

pa (t) la valeur de p1 (r, t) pour r  R(t). Exprimer la relation entre la 
pression et le volume de
la bulle, puis la relation entre pa (t) et r1 (t). Linéariser cette relation et 
en déduire la relation de
proportionnalité entre pa (t) et r1 (t).
I.2 La pression extérieure est égale à P0 . Lors d'une variation dVa du volume 
de la bulle d'air,
montrer que le travail des forces de pression s'exerçant sur le volume d'eau 
entourant la bulle est
pa dVa .
I.3 En déduire que les forces de pression s'exerçant sur l'eau dérivent d'une 
énergie potentielle
qu'on écrira sous la forme
1
U (r1 ) = Kr12 ,
2

(1)

où K est une constante qu'on exprimera en fonction de , P0 et R0 .
I.4 On va maintenant calculer l'énergie cinétique de l'eau. Le champ de vitesse 
de l'eau est
supposé radial à tout instant, et la vitesse radiale est notée v1 (r, t). 
Montrer que r 2 v1 (r, t) est
indépendant de r. En déduire l'expression de v1 (r, t) en fonction de r, R0 et 
r1 = dr1 /dt.
I.5 Calculer l'énergie cinétique de l'eau et mettre le résultat sous la forme 
12 M r12 , où M est une
constante qu'on exprimera en fonction de 0 et R0 .
I.6 Écrire l'équation d'évolution de r1 (t). Montrer que le rayon de la bulle 
oscille à la pulsation
0 = c/R0 , où c est une constante dont on précisera l'expression en fonction de 
, P0 et 0 .
I.7 Récrire la relation de proportionnalité entre pa (t) et r1 (t), déterminée 
à la question I.1, en
fonction de 0 , 0 et R0 .
I.8 Application numérique : calculer c, et comparer cette valeur à la vitesse 
du son dans l'air.
Justifier l'approximation, faite à la question I.1, que la pression est 
homogène à l'intérieur de la
bulle. Quel est l'ordre de grandeur de la fréquence de l'oscillation pour une 
bulle millimétrique ?
Comment se compare-t-il aux fréquences sonores perçues par l'ouïe ?
II. Oscillations forcées
On se propose maintenant de retrouver l'expression de la pulsation 
d'oscillation par une
méthode différente, grâce à l'équation dynamique locale. Ceci permettra de 
traiter les oscillations
forcées de la bulle sous l'effet d'une surpression pe (t) appliquée à grande 
distance de la bulle. On
traite dans toute cette partie la surpression locale p1 (r, t) et la vitesse 
radiale v1 (r, t) dans l'eau
comme des quantités infinitésimales. pe (t) est la limite de p1 (r, t) lorsque 
r tend vers l'infini.
Comme dans la partie I, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans 
viscosité.
II.1 Dans ces conditions, montrer qu'on peut écrire en tout point de l'eau
0

v1
p1
=-
.
t
r

(2)

II.2 En utilisant le résultat de la question I.4, en déduire l'expression de p1 
(r, t) en fonction de
0 , R0 , r1 (t), pe (t) et r.
2

II.3 Quelle est, en utilisant le résultat précédent, l'expression de p1 (r, t) 
à la surface de la bulle ?
En comparant avec le résultat de la question I.7, en déduire l'équation 
d'évolution de r1 (t), et
vérifier qu'on retrouve le résultat de la question I.6 lorsque pe (t) = 0.
II.4 On impose une surpression extérieure sinusoïdale pe (t) = pe0 cos(t), avec 
pe0 > 0, au moyen
d'un haut-parleur. En régime sinusoïdal forcé, exprimer l'amplitude et la phase 
des oscillations
de la bulle en fonction de pe0 , 0 , R0 , 0 et .
II.5 Pour étudier les oscillations de la bulle, on place un petit microphone 
dans l'eau, à une
distance d du centre de la bulle, qui enregistre la surpression locale pm (t). 
Donner l'expression
de pm (t).
II.6 En régime sinusoïdal forcé, en déduire le module de l'amplitude de pm (t), 
noté pm0 , en
fonction de pe0 , R0 , d, 0 et .
II.7 On suppose, dans cette question seulement, que d = 2R0 . Tracer 
soigneusement pm0 /pe0 en
fonction de /0 .
II.8 En pratique, on retient la bulle au moyen d'un petit filet de tulle. Quel 
effet physique,
négligé dans ce problème, oblige à utiliser cet artifice ?
III. Modélisation de l'amortissement
On prend dorénavant en compte la compressibilité de l'eau, négligée jusqu'ici. 
Cette partie
étudie l'effet des vibrations des ondes sonores sur les oscillations libres de 
la bulle.
III.1 On écrit la masse volumique de l'eau en un point quelconque, repéré par 
le vecteur position
~r, sous la forme (~r, t) = 0 + 1 (~r, t), avec |1 (~r, t)|  0 . On note ~v1 
(~r, t) la vitesse du fluide
et p1 (~r, t) la surpression. On rappelle que p1 (~r, t) = c2s 1 (~r, t), où cs 
est la vitesse du son dans
l'eau. Établir l'équation de d'Alembert pour la surpression p1 (~r, t) dans 
l'eau.
III.2 Comme dans la partie I, on étudie les oscillations radiales de la bulle, 
qui conservent la
symétrie sphérique. On donne l'expression du laplacien en coordonnées sphériques
1 2
(rp1 (r, t)) .
r r 2
Vérifier que la forme suivante est solution de l'équation de d'Alembert :
p1 (r, t) =

1
r - R0
1
r - R0
p1 (r, t) =  t -
+  t+
r
cs
r
cs
Å

ã

Å

ã

.

(3)

(4)

On admettra que c'est la solution générale.
III.3 Justifier qu'on choisisse, pour ce problème, de poser (t) = 0 pour tout t.
III.4 Montrer que
0 r1 (t) = -

Ç

p1 (r, t)
r
3

å

.
r=R0

(5)

III.5 Exprimer le membre de droite de l'équation (5) en fonction de (t), (t), 
R0 et cs .
III.6 Exprimer (t) en fonction de la surpression pa (t) à l'intérieur de la 
bulle et de R0 , puis en
fonction de 0 , 0 , R0 et r1 (t) en appliquant le résultat de la question I.7.
III.7 Déduire des trois questions précédentes que l'équation d'évolution de r1 
(t) se met sous la
forme
r1 +

0
r1 + 02 r1 = 0 .
Q

(6)

Donner l'expression de Q en fonction de cs et de la quantité c introduite à la 
question I.6.
Application numérique : calculer Q.
III.8 Montrer que dans la limite où l'eau est incompressible, l'équation (6) 
coïncide avec celle
obtenue à la question I.6.
III.9 Quelle est la cause physique du terme d'amortissement de l'équation (6) ?
IV. Étude expérimentale des oscillations forcées
Comme dans la partie II, on impose une surpression au moyen d'un haut-parleur. 
Pour tenir
compte de la propagation des ondes sonores dans l'eau, introduite dans la 
partie III, on écrit
maintenant cette surpression sous forme d'une onde plane pe (~r, t) = pe0 cos(t 
- ~k · ~r), avec
pe0 > 0.
IV.1 Déterminer la relation entre |~k| et .
IV.2 En présence de la bulle de rayon R0 , dont le centre est choisi à 
l'origine, on écrit la
surpression totale sous la forme
1
r - R0
p1 (~r, t) = pe0 cos(t - ~k · ~r) +  t -
r
cs
Å

ã

,

(7)

avec r = |~r|. Expliquer pourquoi p1 (~r, t) ainsi défini est solution de 
l'équation de d'Alembert.
IV.3 On suppose que |~k|R0  1, de telle sorte qu'on puisse faire 
l'approximation cos(t- ~k ·~r) 
cos(t) au voisinage de la bulle. Vérifier que les résultats des questions III.4 
et III.5 sont
inchangés. Comment le haut-parleur modifie-t-il la relation obtenue à la 
question III.6 ? En
utilisant le résultat de la question I.7, montrer qu'on obtient un système de 
deux équations
différentielles pour r1 (t) et (t). Dans ces équations, on exprimera cs en 
fonction de Q, 0 et R0
en utilisant le résultat de la question III.7.
IV.4 Résoudre ce système dans le régime sinusoïdal forcé, et déterminer les 
amplitudes complexes
de r1 (t) et de (t) en fonction de pe0 , 0 , R0 , 0 , Q et .
IV.5 Comme dans la partie II, on mesure la surpression dans l'eau grâce à un 
petit microphone
placé dans l'eau à une distance d du centre de la bulle, avec |~k|d  1. 
Exprimer l'amplitude
4

complexe de la surpression enregistrée par le microphone. Vérifier qu'on 
retrouve le résultat de
la question II.6 dans la limite où l'eau est incompressible.

Figure 1 : Module de l'amplitude (à gauche) et cosinus de la phase (à droite) 
de la surpression
mesurée par le microphone en fonction de la fréquence du haut-parleur. Deux cas 
sont représentés :
avec ou sans bulle d'air [d'après V. Leroy, M. Devaud, J.-C. Bacri, Am. J. 
Phys. 70, 1012
(2002)].
IV.6 Estimer à partir des courbes expérimentales de la figure 1 les valeurs de 
0 , Q et d/R0 .
IV.7 En déduire une estimation de la taille de la bulle utilisée pour cette 
expérience. Est-il
légitime de considérer qu'à la surface de la bulle, la surpression imposée par 
le haut-parleur est
uniforme ?
IV.8 Comparer la valeur expérimentale de Q avec la valeur prédite par la 
modélisation de la
question III.7.Commenter.
IV.9 On a supposé dans tout ce problème que les oscillations de la bulle 
étaient adiabatiques et
réversibles. Nommer un effet physique mettant en défaut cette hypothèse. Quelle 
est la conséquence de cet effet sur la dynamique des oscillations ?
IV.10 Le système décrit dans ce problème est un analogue acoustique de la 
diffusion d'une onde
plane électromagnétique par un dipôle dans le cadre du modèle de l'électron 
élastiquement lié.
Expliciter les points communs et les différences.

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique A PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Rémi
Lehe (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite des oscillations d'une bulle d'air seule, plongée dans un bain 
d'eau
d'extension infinie. Il comporte quatre parties liées qu'il est souhaitable de 
traiter
dans l'ordre proposé.
· Dans la première partie, il s'agit d'étudier les oscillations libres de la 
bulle.
On montre que le système se comporte comme un ressort, dont la raideur est liée
à la compressibilité de l'air et dont l'inertie est due à l'eau qui entoure la 
bulle.
La conservation de l'énergie mécanique de l'eau permet d'aboutir à une équation
d'oscillateur harmonique, sans second membre, pour le rayon de la bulle.
· L'étude des oscillations forcées est réalisée dans la deuxième partie. À 
partir de l'équation d'Euler, de la continuité de la pression à l'interface 
gaz/eau
et de l'incompressibilité de l'écoulement, on établit une équation d'oscillateur
harmonique, cette fois avec second membre, en raison de l'excitation par un
haut-parleur. Une étude de la réponse du système en régime sinusoïdal forcé
est alors menée.
· La troisième partie modélise l'amortissement selon la physique des ondes 
acoustiques, en régime libre : l'eau est traitée comme un fluide compressible. 
L'énoncé
invite à comprendre la forme des solutions, de type « onde sphérique », qu'il
faut utiliser pour résoudre le problème. Via les équations de la dynamique, on
montre que le rayon de la bulle est solution de l'équation différentielle d'un
oscillateur amorti libre.
· Dans la quatrième partie, les calculs précédents sont repris mais en ajoutant,
cette fois, l'excitation du haut-parleur. L'étude est menée en régime sinusoïdal
forcé. On doit alors confronter les résultats théoriques à des courbes 
expérimentales, ce qui est l'occasion de commenter la modélisation.
Le sujet n'est ni long, ni réellement difficile, mais nécessite une bonne 
connaissance
des méthodes de résolution des trois domaines du programme auxquels il touche :
la physique des oscillateurs, la physique des ondes et la mécanique des fluides.

Indications
Partie I
I.1 Appliquer la loi de Laplace à l'air à l'intérieur de la bulle. La pression 
dans la
bulle est P0 + pa (t).
I.2 Raisonner sur l'eau comprise entre r = R0 + r1 et r  R0 .
I.3 Montrer que dVa  4 R0 2 dr1 .
I.4 L'incompressibilité permet de montrer que r2 v1 (r, t) est indépendant de r.
I.5 Raisonner d'abord sur une coquille sphérique d'épaisseur dr située en r, 
puis
intégrer sur le rayon.
I.6 Traduire la conservation de l'énergie mécanique et dériver.
Partie II
II.3 La pression est continue à la traversée de l'interface gaz/eau.
II.5 Utiliser l'expression établie à la question II.2, évaluée en r = d.
II.8 La bulle tend spontanément à monter... pourquoi ?
Partie III
III.2 Il suffit de vérifier qu'une fonction y de la forme

r - R0
1
+
y(r, t) = f t -
r
cs
est solution de l'équation de d'Alembert.
III.3  décrit une onde convergente.
III.6 Traduire la continuité de la pression à l'interface gaz/eau.
Partie IV
IV.6 d/R0 s'obtient en évaluant pm0 /pe0 à une fréquence donnée.
IV.7 Utiliser le résultat de la question I.6.

Oscillations d'une bulle
I. Oscillations libres d'une bulle d'air
I.1 Appliquons la loi de Laplace à l'air, considéré comme un gaz parfait en 
évolution
adiabatique réversible,

4
3

(P0 + pa ) V = P0
R0
3
où V est le volume de la bulle. Puisque la bulle est supposée sphérique à tout 
instant,

4
4
(P0 + pa (t)) ×
(R0 + r1 (t))3 = P0
R0 3
3
3
si bien que

pa (t) =

P0
- P0
(1 + r1 (t)/R0 )3

Puisque |r1 |  R0 , linéarisons cette expression,
pa (t) = -

3 P0
r1 (t)
R0

Il est cohérent d'obtenir que pa et r1 sont de signe opposé, car pour une
évolution isentropique d'un gaz parfait, P V = Cte impose que P et V varient
en sens contraire.
I.2 Considérons l'eau comprise entre les sphères de rayon intérieur R0 + r1 et 
de
rayon extérieur R1 , avec R1  R0 . Le travail des forces pressantes en r = R0 
+r1 vaut
W(R0 + r1 ) = (P0 + pa ) dVa
En r = R1 , la pression est P0 et le travail de ces forces s'écrit
W(R1 ) = -P0 dVa
Dans les deux travaux, la variation de volume est dVa car l'eau est supposée 
incompressible donc seul le volume de l'air dans la bulle varie. En sommant les 
travaux
reçus, il apparaît que
W = pa dVa
I.3 Remplaçons pa par son expression obtenue à la question I.1. Il vient
W = -
Puisque
on déduit,

Va =

3 P0
r1 dVa
R0

4
[R0 + r1 (t)]3
3

dVa = 4 [R0 + r1 (t)]2 dr1

dVa  4 R0 2 dr1

c'est-à-dire que
Ainsi,

car (|r1 |  R0 )

W = -12  P0 R0 r1 dr1

Le coefficient multipliant dr1 s'identifie à la résultante des forces de 
pression s'exerçant sur l'eau qui dérive du potentiel U(r1 ), tel que
dU
= 12  P0 R0 r1
dr1
Alors la résultante des forces de pression s'exerçant sur l'eau dérive de
U(r1 ) =

1
Kr1 2
2

avec

K = 12  P0 R0

I.4 Notons Dm (r, t) le débit massique à l'instant t, à travers la sphère de 
rayon r,
centrée en O. Puisque l'écoulement est supposé incompressible,
Dm (r, t) = Dm (r + dr, t)
Dm
=0
r
Comme Dm (r, t) = 4 0 r2 v1 (r, t), on en déduit que
ce qui prouve que

Le produit r2 v1 (r, t) est indépendant de r.
Évaluons ce produit en r = R0 : par continuité de la vitesse normale à 
l'interface
eau/gaz, il vient
r2 v1 (r, t) = R0 2 r1 (t)
d'où

v1 (r, t) =

R0 2
r1 (t)
r2

I.5 L'énergie cinétique de la coquille sphérique d'eau d'épaisseur dr située en 
r est
1
0 4 r2 dr × v1 2 (r, t)
2
 2
2
1
R0
2
= 0 4 r dr ×
r1 (t)
2
r2

dEc =

1
dr
0 4 r1 2 (t) R0 4 2
2
r
Puisque l'eau occupe l'espace compris entre r = R0 et r  +, il suffit d'intégrer
sur r entre ces deux valeurs,
Z +
1
dr
Ec =
0 4 r1 2 (t) R0 4 2
2
r
R0
Z +
1
dr
= 0 4 r1 2 (t) R0 4
2
r2
R0

+
1
1
= 0 4 r1 2 (t) R0 4 -
2
r R0

donc

Par conséquent,

dEc =

Ec =

1
M r1 2
2

avec

M = 4 0 R0 3