X Physique 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Interactions dipolaires entre particules colloïdales
Principaux outils utilisés électrostatique, diffusion de particules, mécanique
Mots clefs dipôle électrostatique, interaction dipôle-dipôle, dipôle magnétique, énergie thermique, suspension de particules, loi de Fick, module d'Young, gel d'actine, champ tournant, viscosité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2011

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Interactions dipolaires entre particules colloïdales
On s'intéresse dans ce problème aux interactions entre des sphères colloïdales 
diélectriques
(resp. magnétiques) plongées dans un champ électrique (resp. magnétique). La 
partie 1 a pour
but de déterminer quelles sont les forces d'interaction entre deux sphères 
colloïdales plongées
dans un champ externe. Dans la partie 2, nous cherchons à déterminer les 
caractéristiques de
l'agrégation d'une suspension de telles particules sous champ magnétique. Dans 
la partie 3, nous
montrons comment ces objets peuvent être utilisés pour déterminer les 
propriétés mécaniques de
gels à l'échelle microscopique. Enfin, la partie 4 traite du mouvement de 
dimères dans un champ
magnétique tournant. Les parties 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.
Remarque importante : À plusieurs reprises au cours de ce problème, on demande 
au
candidat de raisonner par analyse dimensionnelle ou d'évaluer un ordre de 
grandeur. Dans ce
cas, le candidat n'essaiera pas d'évaluer les coefficients multiplicatifs sans 
dimension, qui seront
omis. De l'ordre de l'unité, ils n'influencent pas l'ordre de grandeur du 
résultat.
Données :
Constante de Boltzmann :

k = 1, 38 × 10-23 J · K-1

Température ambiante :

T = 300 K

Viscosité de l'eau :

 = 10-3 Pa · s

Perméabilité magnétique du vide :

µ0 = 4 × 10-7 H · m-1

Permittivité diélectrique du vide :

0 = 8, 9 × 10-12 F · m-1

I. Interaction dipôle-dipôle
I.1 Rappeler les expressions du potentiel et du champ électriques créés par une 
charge ponctuelle q située à l'origine d'un repère 0xyz. On précisera 
soigneusement les notations utilisées.
Représenter sur un schéma l'allure des équipotentielles et des lignes du champ 
électrique.
1

I.2 On cherche maintenant à déterminer le champ créé par un dipôle électrique. 
On considère
deux charges -q et +q situées respectivement à l'origine et au point de 
coordonnées (x = 0, y =
0, z = ), et on note le moment dipolaire p~ = qe~z . Déterminer le potentiel et 
le champ électriques
créés par ce dipôle au point M repéré par ses coordonnées sphériques (r, , ) 
(voir figure 1).
On donnera leurs expressions dans le cadre de l'approximation dipolaire, 
c'est-à-dire dans le cas
où   r. Nous supposerons dans toute la suite de ce problème que cette condition 
de champ
lointain est vérifiée. Représenter les lignes du champ dipolaire sur un schéma.
~ ? Expliquer
I.3 Quelle est l'énergie électrostatique d'un dipôle p~ placé dans un champ 
électrique E
qualitativement pourquoi des dipôles libres de se déplacer ont tendance à 
s'aggréger.
I.4 On considère maintenant deux dipôles électriques (de même moment dipolaire) 
alignés selon
l'axe Oz (~
p = pe~z = qe~z ), l'un étant situé à l'origine du repère, l'autre à la 
position ~r, comme
indiqué sur la figure 1. Chaque dipôle est soumis au champ créé par l'autre 
dipôle. Dans un
système de coordonnées sphériques, ~r = (r, , ), donner l'expression de 
l'énergie électrostatique
d'interaction entre ces deux dipôles. En déduire les composantes de la force 
subie par le dipôle
situé en ~r :
ä
3p2 Ä
2
1
-
3
cos

(1)
Fr =
40 r 4
F = -

3p2
cos  sin 
20 r 4

(2)

z

r
y

O

x

Figure 1. Deux dipôles situés à l'origine et en ~r = (r, , ).
En suivant un raisonnement strictement identique, il est possible de montrer 
que ce résultat
décrit également les interactions entre des dipôles magnétiques m
~ = me~z plongés dans un milieu
non magnétique (c'est-à-dire dont la perméabilité magnétique est égale à µ0 ). 
Dans ce cas le
résultat précédent devient :
Fr =

ä
3µ0 m2 Ä
2
1
-
3
cos

4r 4

(3)

3µ0 m2
cos  sin 
2r 4

(4)

F = -

2

Dans toute la suite de ce problème, nous considérerons le cas de dipôles 
magnétiques et nous
utiliserons cette expression de la force magnétique entre particules.
I.5 On considère maintenant des sphères magnétisables de rayon a. Soumises à un 
champ ma~ celles-ci acquièrent une aimantation qui résulte en un moment 
dipolaire
gnétique externe B,
1
~ où m est la polarisabilité magnétique de la particule. Montrez que m est
induit m
~ =
m B
µ0
homogène à un volume.
Pour une particule sphérique de volume V = 43 a3 constituée d'un matériau très 
magnétisable, on peut montrer que m = 3V = 4a3 . Expliquez la dépendance de 
cette expression avec
la taille a des particules.
On considère ici que le moment dipolaire des sphères magnétiques est dû 
uniquement au
~ = B0 e~z et n'est pas modifié par les interactions entre sphères. Donner
champ uniforme appliqué B
alors l'expression du moment magnétique des sphères plongées dans ce champ. En 
déduire la force
d'interaction entre ces particules.
II. Cinétique d'agrégation entre deux particules
Dans cette partie, on cherche à comprendre la cinétique d'agrégation de 
particules magnétiques suspendues dans de l'eau et soumises à un champ 
magnétique externe uniforme. On
supposera ici que les masses volumiques des particules et du fluide environnant 
sont égales.
II.1 On s'intéresse au cas de deux particules. Quelles forces agissent sur les 
sphères ? Écrire
l'équation du mouvement.
II.2 Par un raisonnement dimensionnel, donner l'expression de la force de 
friction visqueuse sur
une sphère de rayon a en translation à la vitesse ~v dans un liquide de 
viscosité . On admettra
que dans cette loi, le préfacteur vaut 6. Dans quelle limite cette expression 
est-elle valable ?
~ = B0 e~z .
II.3 On suppose maintenant que le champ magnétique est dirigé selon l'axe Oz : B
On admet également que les deux particules sont situées sur cet axe. Dans le 
cas où l'inertie
est négligeable, à quoi se réduit l'équation du mouvement d'une des particules 
? On précisera le
domaine de validité de cette dernière approximation, en exprimant le temps 
caractéristique lié à
la friction visqueuse.
II.4 À l'instant initial, les particules sont séparées d'une distance r0 qu'on 
supposera grande
devant leur rayon : r0  a. Montrer que l'équation du mouvement est à variables 
séparables.
L'intégrer et montrer que le mouvement suit une loi de la forme suivante :
1-

t
r5
=
5
b
r0

(5)

où b est un temps caractéristique du mouvement dont on donnera l'expression en 
fonction de
r0 , a, , B0 et µ0 . Évaluer l'ordre de grandeur de b pour a = 1 µm, r0 = 10 
µm, B0 = 10 mT.
II.5 Dans le cas d'une assemblée de nombreuses particules identiques, on 
observe que le temps
 issu du modèle à deux particules décrit bien la cinétique d'agrégation de 
suspensions dont la
3

distance interparticulaire moyenne est r0 . On note n le nombre moyen de 
particules par unité
de volume de la suspension. Quel est le lien entre n et r0 ? Donner en fonction 
de n le temps 
d'agrégation d'une suspension de sphères.
II.6 Dans des suspensions diluées de petites particules, les interactions 
dipolaires sont très faibles.
Expliquez pourquoi.
Les déplacements des petites particules sont alors dominés par l'agitation 
thermique. Elles
sont animées d'un mouvement incessant et aléatoire, leurs trajectoires sont 
très irrégulières : c'est
le mouvement brownien, décrit pour la première fois par le botaniste Robert 
Brown en 1827. À
l'échelle macroscopique, la concentration en particules évolue alors en suivant 
un processus de
diffusion, comme celle d'un soluté.
II.7 Rappeler la loi de Fick (on notera D le coefficient de diffusion). En 
faisant un bilan de
quantité de particules adapté, établir l'équation de diffusion régissant 
l'évolution temporelle de
la concentration en particules.
Einstein a montré en 1905 que le coefficient de diffusion de particules de 
rayon a suspendues
kT
où k est la constante de
dans un liquide de viscosité  à la température T est D =
6a
Boltzmann. Quelle est la dimension de D ? Évaluer D pour des sphères de rayon a 
= 1 µm
suspendues dans de l'eau à température ambiante.
II.8 En écrivant l'équation de diffusion sous forme dimensionnelle, construire 
le temps d de
diffusion sur une distance typique r0 . Il est aussi possible de donner une 
interprétation microscopique de d : il s'agit du temps pour qu'en moyenne, une 
particule s'éloigne d'une distance r0 de
sa position d'origine.
II.9 En déduire que, pour des solutions diluées de petites particules, le 
mouvement est séparé
en deux phases : un mouvement initial à caractère diffusif suivi d'une 
trajectoire balistique
lorsque les interactions dipolaires dominent l'agitation thermique. Représenter 
schématiquement
la trajectoire d'une particule entre l'instant initial et sa rencontre avec une 
particule voisine.
Quelles sont typiquement les durées respectives d et b de ces deux phases ?
II.10 L'agrégation de suspensions diluées se fait donc essentiellement par un 
processus brownien,
tandis que les suspensions concentrées s'agrègent de manière balistique. Quelle 
est la concentration critique n qui sépare ces deux régimes ? On exprimera n 
fonction de k, T , a, B0
et µ0 .
Évaluer n pour des suspensions de particules de rayon a = 1 µm, B0 = 10 mT, T = 
300 K.
Quel est l'ordre de grandeur de la distance interparticulaire r  à la 
concentration critique
Comparer r  au diamètre des particules.

n ?

III. Mesure de propriétés élastiques à l'échelle submicronique
Nous cherchons dans cette partie à comprendre comment la manipulation de ces 
particules
magnétiques peut être utilisée pour sonder les propriétés élastiques 
d'échantillons de taille in4

férieure au micromètre. Par simplicité, nous considérons deux particules 
cylindriques de rayon
R = a et de hauteur h = a où  est un coefficient numérique d'ordre unité (voir 
figure 2).
Les axes des cylindres coïncident avec l'axe Oz. Nous considérons que 
l'application d'un champ
magnétique induit pour chaque cylindre un moment dipolaire identique à celui 
qu'aurait une
sphère de rayon a. Le matériau à tester (non magnétique), coincé entre les deux 
cylindres, forme
un disque de rayon R. En l'absence de champ appliqué, l'épaisseur de cette 
lamelle vaut 0  a.

R
h
~
B

Figure 2. Deux particules magnétiques cylindriques séparées par une couche de 
matériau test d'épaisseur . Le champ magnétique est aligné avec l'axe des 
cylindres.

~ = B0 e~z . Dans cette configuIII.1 On applique dans l'axe des cylindres un 
champ magnétique B
ration, à quoi se réduit la force d'attraction entre les deux cylindres ? On 
donnera son expression
en particulier en fonction de h et de l'épaisseur  du matériau test.
III.2 Le matériau test élastique résiste à la compression avec une force Fc qui 
dépend du taux
de compression  = (0 - )/0 :
Fc = R2 Y 

(6)

où Y est le module d'Young du matériau. Donner la signification physique et 
l'unité de Y .
III.3 Montrer alors qu'en mesurant la distance entre les centres des cylindres 
en fonction du
champ magnétique, il est possible de mesurer le module d'Young Y du matériau 
étudié.
III.4 Application : on s'intéresse aux propriétés mécaniques d'un gel d'actine, 
qui est une protéine essentielle dans l'architecture (le cytosquelette) et les 
mouvements des cellules vivantes.
Il est possible de coincer entre des particules magnétiques une couche de ce 
gel. L'épaisseur de
l'échantillon hors charge vaut 0 = 100 nm. En présence d'un champ de 10 mT, on 
mesure
 = 80 nm. En déduire une estimation du module d'Young du gel d'actine.
III.5 En pratique, les variations d'épaisseur de la couche de gel testé sont 
très faibles au cours
de l'expérience. La distance entre les deux particules (qui sont des sphères 
dans l'expérience
réelle) est réalisée de la façon suivante : sur une image de microscopie à fort 
grandissement des
deux particules, on détecte les contours de ces sphères, et on ajuste ces 
données par des cercles.
Cette méthode permet une détection de la position du centre des particules avec 
une très grande
précision. Expliquez qualitativement pourquoi ce protocole consistant à 
détecter tout un profil
5

est plus précis qu'une méthode qui consisterait à mesurer directement la 
distance entre deux
points (les points les plus proches des sphères, par exemple).
Mouvement dans un champ tournant
Dans cette partie, nous nous intéressons au mouvement d'un dimère de particules 
magnétiques dans un champ magnétique tournant. Des techniques de ce type sont 
par exemple utilisées
pour caractériser les propriétés rhéologiques locales (viscosité et élasticité) 
de certains fluides
complexes comme des cellules vivantes.
IV.1 On considère un dimère rigide constitué de deux particules magnétiques de 
rayon a au
~ contenu dans le plan Oxz et
contact. Cet objet est plongé dans un champ magnétique statique B
~
d'intensité B0 (kBk = B0 ). On admet que chacune des particules du dimère 
acquiert un moment
dipolaire égal à celui d'une particule libre. L'axe reliant les centres des 
particules est également
contenu dans le plan Oxz. Il fait un angle  avec le champ magnétique appliqué 
et un angle  avec
l'axe Oz (voir figure 3). En reprenant l'analogie de la partie I.4, calculer 
l'énergie magnétique
dEB -
-
-

EB de l'agrégat dans ce champ. En déduire le couple magnétique B =
e
y = B ey auquel
d
est soumis ce dimère. Tracer B en fonction de l'angle . Quelles sont les 
positions d'équilibre
de ce dimère ? Vous en discuterez brièvement la stabilité.
z

~
B

-
e
y

O

x

Figure 3. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un 
champ magné~
tique B.

IV.2 On considère à présent le dimère dans une situation dynamique. La présence 
du fluide environnant freine l'alignement du dimère avec le champ magnétique. 
La force de friction visqueuse
sur une sphère en translation à vitesse V est connue. Pour un dimère constitué 
de deux sphères
de rayon a au contact, on montre que le couple visqueux résistant à la rotation 
est de l'ordre de :
-

v  -a3 -
e
y

(7)

où  est la vitesse angulaire de rotation du dimère. Commentez ce résultat. Le 
préfacteur numérique qui complète ce résultat dimensionnel est difficile à 
calculer en pratique, mais c'est un
nombre de l'ordre de l'unité. Dans un souci de simplicité, nous le choisirons 
égal à 1 dans ce qui
suit.
6

IV.3 On suppose maintenant qu'on applique un champ tournant dans le plan Oxz à 
la pulsation
~ = B0 (sin (t)e~x + cos (t)e~z ). À l'instant initial, le champ et l'axe du
 (voir figure 4) : B
dimère sont alignés selon l'axe Oz :  =  = 0. On admet par ailleurs que le 
moment dipolaire
porté par chacune des deux sphères suit instantanément les variations du champ 
magnétique. En
considérant que seuls les couples magnétique et visqueux sont en jeu, écrire 
l'équation régissant
la rotation du dimère soumis au champ tournant.
z

t
~
B

-
e
y

O

x

Figure 4. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un 
champ magnétique
tournant.
IV.4 En régime stationnaire, que vaut l'angle  entre le champ magnétique et 
l'axe du dimère ?
En déduire une méthode de mesure de viscosité du liquide dans lequel les 
particules sont plongées.
IV.5 À quelle condition existe-t-il un régime stationnaire ? On déterminera la 
fréquence de
décrochage   au-delà de laquelle le régime stationnaire n'existe plus. Décrire 
qualitativement le
mouvement dans le cas où  >   , et tracer la courbe (t) correspondante.

7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Physique A PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à l'interaction entre sphères colloïdales diélectriques ou 
magnétiques. Il se compose de quatre parties.
· La première permet d'établir les forces d'interaction qui existent entre deux
dipôles électriques ou magnétiques placés dans un champ externe. On démontre
les résultats classiques du dipôle électrostatique, pour les appliquer par 
analogie
à l'interaction magnétique dipôle-dipôle. Même si certains résultats sont 
fournis,
la bonne compréhension de cette partie conditionne la suite du sujet.
· Ensuite, on étudie l'agrégation de particules colloïdales placées dans un 
champ
magnétique. On détermine les temps caractéristiques associés à l'agrégation et
à la diffusion de particules, afin de caractériser l'évolution d'une assemblée 
de
dipôles. Cette partie est la plus longue et la plus difficile ; elle fait appel 
à des
connaissances de mécanique du point et de diffusion des particules. Un bon
sens physique est nécessaire pour appréhender correctement les différents 
phénomènes mis en jeu.
· Les deux dernières parties, plus courtes, présentent deux applications des 
particules colloïdales : les mesures de propriétés élastiques de gels à 
l'échelle microscopique et les mesures de viscosité d'un fluide, par des 
méthodes mécaniques.
Les résultats de la première partie sont constamment exploités, et seules des
connaissances élémentaires en mécanique sont nécessaires.
Ce sujet nécessite un bon recul sur la notion de dipôle, ainsi que sur la 
diffusion de
particules. Il est de difficulté variable : par exemple, la troisième partie 
est abordable
dans son intégralité dès la fin de la première année. Comme c'est de plus en 
plus
souvent le cas, la calculatrice était interdite. Pour s'y préparer, il faut 
s'entraîner à
travailler en ordres de grandeurs lors des applications numériques. L'énoncé 
précisant
que des parties sont indépendantes, il faut traiter en priorité ce que l'on 
maîtrise le
mieux, ce qui impose une lecture préalable du sujet dans son ensemble.

Indications
Partie I

I.4 Le dipôle -
p2 est placé dans le champ créé par -
p1 . Quelle est alors son énergie
potentielle ?
I.5 Sous l'action d'un champ magnétique, les dipôles magnétiques élémentaires, 
que
sont les atomes ou molécules de la sphère, s'alignent.
Partie II
II.1 Ne pas chercher à expliciter les forces ici, il faut juste les présenter. 
Ne pas
confondre le champ externe et le champ engendré par un dipôle.
II.3 L'approximation est valable si le terme inertiel est négligeable devant un 
des
deux autres. Le comparer ici à la force de frottement.
II.4 Utiliser la question I.5, les deux dipôles étant alignés sur l'axe (Oz).
II.6 Les particules sont petites et la solution est diluée. Faire le lien avec 
la norme
de l'interaction dipôle-dipôle.
II.8 Si la densité particulaire n varie sur une échelle de temps  d , alors
n
n/t 
d
Faire de même avec le terme n.
II.9 Quelle est la portée de l'interaction dipolaire ? En déduire la distance 
moyenne
associée au régime diffusif, puis utiliser la question II.4 pour le régime 
balistique.
II.10 Quel est l'ordre de grandeur de la stabilisation énergétique du dipôle ? 
De l'énergie qui peut lui être communiquée de part l'agitation thermique ? Dans 
quel cas
le régime est-il diffusif ? Balistique ?
Partie III
III.3 Écrire la condition d'équilibre pour un des cylindres. La simplifier 
sachant
que   h. Quelle est l'allure de la courbe B0 2 = f () ?
III.5 En quoi la méthode proposée permet-elle d'améliorer la localisation du 
centre
des sphères ? Pourquoi la mesure de la distance entre les deux sphères s'en
trouve-t-elle meilleure ?
Partie IV
IV.1 Faire un schéma : l'angle entre les deux dipôles est  et leur distance 2 
a. Que
devient le couple si l'on s'écarte d'une position d'équilibre ?
IV.2 Décomposer le couple donné pour faire apparaître le terme de friction 
étudié
dans la partie II. Quel est le mouvement du dimère ?
IV.4 Pour déterminer , il suffit de mesurer  en régime permanent. Comment 
peuton visualiser la direction du champ tournant ?
IV.5 Comment doit évoluer le couple magnétique avec la fréquence pour que le 
dipôle
puisse suivre le champ ? Qu'arrive-t-il au couple magnétique si  > /4 ?

Interactions dipolaires entre particules
colloïdales
I. Interaction dipôle-dipôle
--

I.1 Avec les notations ci-contre, au point M tel que OM = r -
er , le
potentiel et le champ électrique créés par une charge q ponctuelle
placée en O sont respectivement
V(M) =

1 q
4  0 r

et

-

E (M) =

-

er
z

M

r
O

1
q -

er
4  0 r 2

y

x
-

Les lignes de champ, courbes telles que E y soit tangent en tout point, sont
donc des droites passant par O. Quant aux surfaces équipotentielles, elles 
vérifient
V(M) = Cte , soit r = Cte : ce sont des sphères de centre O, d'autant plus 
resserrées
que l'on s'en rapproche.
Ligne
de champ

Équipotentielle
q >0

q <0

Rappelons que le potentiel et le champ électrostatiques sont liés par
--

-
E = - grad V
Ils vérifient les propriétés suivantes, qui sont valables quelle que soit la 
distribution de charges :
· les surfaces équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ ;
· la norme du champ augmente si les équipotentielles se resserrent ;
· les lignes de champ convergent vers les charges négatives et divergent
des charges positives ;
· le champ est orienté dans le sens des potentiels décroissants.
On peut également donner une expression intrinsèque (indépendante du
choix des coordonnées) du résultat :
--

-
1
q
q
OM
V(M) =
et
E
(M)
=
-
-- 3
4  0 k -
4

0
OMk
kOMk

I.2 D'après le principe de superposition, le potentiel
z
créé par la distribution {O(-q), P(+q)} en M s'écrit
V(M) = VP (M) + VO (M)
r
1 q
1 q
P(+q)
=
-

 r
4  0 r
4  0 r

--
- --
Or,
r = kPMk = kPO + OMk
O(-q)
=  2 - 2  r cos  + r2

 cos   2

r = r 1-2
+ 2
r
r
x
On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire r  . Ainsi,

 cos 

r r 1-
r

1
1
 cos 
d'où

1
+
r
r
r
Alors, le potentiel électrostatique créé par le dipôle en M est
1 q  cos 
V(M) =
4  0
r2

que l'on réécrit en introduisant le moment dipolaire -
p = q-
ez
V(M) =

M

y

1 p cos 
4  0 r 2

Le champ électrostatique en M vérifie
-

--
V -
1 V -
1 V -

E = - grad V = -
er -
e -
e

r
r 
r sin  
donc

Er =

2 p cos 
4  0 r 3

E =

p sin 
4  0 r 3

E = 0

Les lignes de champ du dipôle sont
représentées ci-contre. Qualitativement,
on construit cette figure en notant que
le lignes partent de la charge +q pour
revenir vers -q, deux lignes ne pouvant
se croiser.

-

p

La décroissance du potentiel en 1/r2 (et donc du champ en 1/r3 ) est
caractéristique d'une distribution dipolaire.
On peut directement obtenir des informations en utilisant les propriétés
de symétrie et d'invariance de la distribution de charges :
-

· le plan (O, 
e ,-
e ) est un plan de symétrie de la distribution de charge,
r

donc du champ qui est un vecteur polaire, ce qui impose E = 0 ;
· la distribution est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) : V et

-
k E k ne dépendent pas de .